2023届高考数学专项练习导数与函数放缩问题含答案.pdf

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1、2023届高考数学专项练习导数与函数放缩问题函数放缩常用结论：(l)sin x x,xG(0,T T),变形即为电”工+1 (3)x ln(x4-1)(4)ln x x0.常用变式：-n x x-.ex ex.nx-xex第一组：对数放缩(放缩成一次函数)ln x x-l,ln x x,ln(l+x)1)，l n x f x-1(0 x l),21 x)2(JC)I n xyfx 广()%1),(放缩成二次函数)I n x W f 一%,ln(l+x)x-x2(-l x x-x2(x 0)(放缩成类反比例函数)I n xN l-L,i n x 2 (xl),(0 x -,ln(l+x)-(x

2、0),ln(1 4-x)-(x x +l,ex x,ex ex,(放缩成类反比例函数)ev(x 0),e -(%O),1 +%+1%2第三组：指对放缩-l n x(x+l)-(x-l)=2第四组：三角函数放缩X31-6+1sin x x0),sin x x-x2,1-x2 c o sx0,/(%)工 工 6 2 恒成立，求a的取值范围。例2:已知/(x)=一 I n x-1,证明Q 2 1 时，/(%)0e例3：已 知 函 数=叱+x l,证 明:a 2 1时，f(x)+eQ.ex2o a例4：已知/0)=。0-1 1 1幻+三(。尺),求证：。=1 时，/(x)/(x)+-对Dxe L 2

3、t亘成立。x2例5：已知f(x)=#xln x,求证：f(x)(%)=1 2-公一皿工对女0都有了*)2 0恒成立，求。的范围3例8：(x)=sinx+ln(x+1),OlH,/(x)-o r都 有 人 恒 成 立 求加取值范围.例10：设/*（幻=加-。-1 口.工 莉/（幻 1-6 1 对/1 （1,+8）恒成立，求a的范围QX精选习题41 .若x 0,/(x)=6 z ln(x+l)d-i-2 x-l 0恒成立，求的范围.X+1JT2.右X W 0,J(X)=工+5 m -0 8 5 1 2 0 恒成乂，求。的取值范围。3 .已知函数/(x)=xln x当xN l时，若/(X)NQ(X-

4、1)恒成立，求。的取值范围;(2)求证：当2 2 且w N*时,！+,+.+,ln 2 3 n54.7(x)=xln x+x+l,a R.当x0时，若关于x的不等式/(元)2 0恒成立，求 的取值范围；(2)当e N*时，证明:一(ln 2)2 +(I n当2 +(I n四 了 0).(1)求/(x)的单调区间；(2)若/(x)2 0在(0,+oo)上恒成立，求a的范围;111(3)求证:-1-1-H-In 2 In 3 ln(n+l)nn+1a-16.已 知f (x)=ax+-b(l-2a)(a 0)x(l)/(x)In在,+8)上恒成立,求a的范围;(2)证明：1+，+1+，ln(+1)+

5、-(1)2 3 n 2(+1)77.已知/(x)=or-ln(x+1)若对/工 0,+8),/(工)2 0恒 成 立，求的范围;(2)证 明：1 +W+,ln(+l)2 3 n导数与函数放缩问题函数放缩常用结论：sin x x,x e（0,乃），变形即为吧 x+l（3）xln（x+l）1nxexe*,x0.常用变式：1-In x W x-1,X N x+1,2 4,In x 之-x ex第一组：对数放缩（放缩成一次函数）lnx x-l,Inxvx,ln(l+x)xi（i、（放缩成双撇函数）lnx l）,2 1 x）lnx1),lnxVx尸(0尢v 1)，yjx yJx(放缩成二次函数)InxW

6、 f-x,ln(l+x)x-x2(-l x (x 0)(放缩成类反比例函数)In x N l-,(x 1),lnx(0 x,ln(l+x)(x0),ln(l+x)-(x x+l,ex x,ex ex,（放缩成类反比例函数）/1一（x0）,ex-（x 1 +X +x2(x 0),ex l+x+x2+x3,2 2 6第三组：指对放缩e*In x 2(1+1)(工一1)2第四组：三角函数放缩sinx x0)，sin x x-x221-x2 cosx0,/(%)工工/，恒成立，求a的取值范围。解：放缩法：由九+1可 得：2 xlnx+1 xex-(Inx+1)e2 x+lnA；-(lnx+1)2 x+

7、lnx+l-(lnx+l)_e-=-=-=2xx x x例2:已知/(x)一lnx-l,证明时，/(%)0e考 虑：/2 x+l,ln x x-l放缩证 明 如 下：因为aN，e所以f(x)=/-山工-1 2 ex -lnx-1 x-(x-l)-l=0例3：已知函数/x)=.卡匕 1,证明:时，f(x)+e0.exj,.、ax+x l+ei x+x l+l x1+x l+(x+2)(x+1nf (x)+e=-一-=-02 r_i 3例4：已知/*(%)=a(x-lnx)-(a G H),求 证：a=1时,f(x)f (x)+对Vx G 1,2 1亘成立。x 23 1 2 5即 证：当 G 1,

8、2 Ht,g(x)=x-lnx+-+-0恒成立x x2 x3 29放缩法：考虑：ln xx-l.3 1 2 5 ,、3 1 2 5g (x；=x-ln x+-x(x-l)d-F -x x x3 2 x x2 x3 2=-+4-4-先证三 士N O 即证：6 x?+2 x 4 3/之。(易证)X X x 2 ,x x X 2 考虑不能同时取等,即可得原式得证。例5：已知/(x)=ex2 xln x,求证：f(x)0.ex考虑：ex e x,即 e -e x 0.ln x 1 ,=I n e x 1-，即 ln x+0.(3)x ex ex由相加，且不能同时取等，即可得式成立，即证。例6：已知/(

9、x)=ax-lnx-l,(1)若了(x)N O恒成立，求a的取值范围；(2)证明：-F x 4-I n%1 2 0.X证明：(1)先证：时，/(幻2 0 恒成立时，f(x)x-nx-x-(x-l)-l=0再证：。1 时，/(%)2 0不恒成立Qln x+l,令-=匕 贝 I 一 x I n x=I n t.2 -x I n x 4 1,K P-F x+ln 尤-1 2 0.X X例7：已知/(%)=x2-ax-lnx对X/x 0都有/(x)0恒成立，求4 的范围.10解:。I n x-x2+x,-*f M =x2-ax-Inxx2-ax-x2+x=(l-d)x。对Vx 0恒成立,例8：已知/(

10、工)=5 1 1 1 1+1 1 1(%+1),当l2 0时，/(x)-以4 0恒成立，求。的取值范围。当 2时，/(%)-cvc=sinx+ln(x+Y)-axx+x-ax=(2 a)x0则 (x)0不恒成立综上可得a N 2例9：若;1 0对V x 0都有竺2 0恒成立，求4的取值范围4解：4/(x)=el x-考虑：ere x,ln x Aex-=-x夕 2/_|1当I _即4 2 士时，/(x)N Of亘 成立。Xe e例1 0：设/(X)=办2 -。-I n x,若/(冗)1-J r对(L+8)恒成立，求Q的范围。X解：原式o 8(冗)=a*2-+6 1-1田 工 0在(1,+00)

11、恒成立，求a的范围。xQ g =0,g(x)0恒成立/.g(l)0,得a|即a 2g为g(x)0恒成立的必要条件。接下来证充分性：即证：时，g(x)=ax2-a+e i T n x 0恒成立2xg(x)=a(x2-l)+ex-ln x-(x2-l)+1-x-ln x-(2 x-2)+$一、一 1 n x-x 2 x 2 x=,-x-ln x-+x-lx再证力(冗)=/r Tnx,+x-l 0 xF口 口 力n F 7 /1-r 1 1 1、1 1 1 1 X2 2 x+1 (x 1厂 八证明如下：h(x)=-e 一 一 +1 -+1 =-；-=-0X X XXX X X即必幻在(1,+0 0)

12、为增函数，又始)=0易得6(%)011综 上 可 得 反精选习题1.若xN O,/(x)=ln(x+l)+b 2 x-1 2 0恒成立，求a的范围.x+1解法一:。/(0)=0,若/。)2 0在0.+8)恒成立，则(0)2 0恒成立，解得a N-1.即为/(x)N 0在 0.+8)恒成立的必要条件，下面证明其充分性：1 1 1 X2当Q 一 1时，f(x)=a ln(x+l)H-F2X-1 -ln(x+l)H-F2X-1 一 九+-+2尤-1 =-0 x+1 x+1 x+l X+1得证。解法二：利用放缩：I-ln x-ln(x+l)d-i-2 x-l-x+-b 2 x 1 =-0 x+l x+

13、l x+l x+l1 1 1 x当a v 1时，/(x)=a ln(x+l)+-+2 x-l 6 7-(1-)+-+2%一1 =-(2 x+a +l)x+l x+l x+l x+l若 G 时,2%+。+1 0,则/(%)%(2%o+a +l)O2x0 4-1综上可得2.若 元 0,J(x)=x+s in x-a xc os xN O恒成乂，求。的取值范围。12解法一：/(幻2 0对7%6 0仁 恒成立，又/(0)=0,则(0)2 0,解得。4 2为制2 0对7%0,5恒成立的必要条件，下面证明其充分性:当 x+s in x-2 xc os x 2 s in x-2 xc os x=2 c os

14、 x(t a n x-x)0,得证。角 星 法 二：当 Q x +s in x-2 xc os x 2 s in x-2 xc os x=2 c os x(t a n x-x)0再证a 2时，f(x)2 0不恒成立。如下：2f(x)=x+s in x-ox c os x 2,则 0 ，即c os x()0a a a2一/(x0)or0(c os/)0不怛成立a综上可得a 23.已知函数f(x)=xln x当x 2 1时，若/(x)2 a(x-l)恒成立，求。的取值范围;(2)求证：当2 2且 N*时,+,+.+1 a(x-1),当 元=1时,0 2 0,显然成立；当x l时，不等式可化为a W

15、的x-a /、xlnx.、力g(x)=-，g(x)x-l(ln x+l)(x-l)-xln x _ x-ln x1d)2=(1Ah(x)=x-nx-l,h(x)=1 ,x故(x)=x-ln x-1在(1,+c o)上T,S fc x-ln x-l l-0-l=0,、x-ln x-1g M =-5-(x-1)-0,故g叱若在a,+8)上T,且果普口a13(2)当4=1时,ln x -(x 1),令x=(几22且 N*),即In ,x n-n-n/.In n-ln(n-l)ln(n-l)-ln(n-2),.*.I n 2-ln l,n n-2上述各式累加得：ln+4+得证。2 3 n4 7(x)=

16、x ln x +o+l,R.当x 0时，若关于元的不等式/(幻2 0恒成立，求a的取值范围；(2)当 eN*时，证明:一 0恒成立，即一。W(lnx+)疝n恒成立,x1,x-令尸(%)=lnx+(%0),则尸(%)=一厂，x x 尸(%)在(0,1)I,在(l.+o o)?,;.F U)=F(1)=1,-ci x-l,ln x 1-,x令人 x=-+-1 11,则m iIhn-+-1 11-+-1 =-1-,n n n H+1Z1+l2 /1 、2 1 1 1.(In)2 ()2 -=-n +1 (+1)(/1+2)n+1 +2Z1c、2 zi 3、2 +l2 1 1 1 1 1/.(In 2

17、)+(In )+(In-1 -+-+-2n 2 334 n+l1 _ nn+2 2 +4现证明（In竺）2fl一，即证2 1%陛(+1)V n1jiy ln +Tn+i-n 1),x则g(x)=l+3 -=-j +l 0,g(x)在(l,+oo)T g(x)g(l)=0,xr x x.,.2 111%工一,成立.令工=,则(*)成立，x V n八。、2 八 3、2 八 +l2 i 1 1 1 1 1 n/.(In 2)+(In _)+(In-)0).求x)的单调区间；(2)若/(x)2 0在(0,+8)上恒成立,求a的范围;(3)w N”,求证:1 1I n 2 I n 31ln(；2 +l)

18、-1-F.+nn+1解:/(x)=L+a=(i(l)(x 0),X X当a 0时，/(x)在(0,1)1,在(1,+8)T.当0 a l时,/(x)在(0,l),(a,+8)T;在(1,a)J.(2)/(I)=-g a,当a 2 0时，/0不恒成立；当a 0恒成立，则/(幻同=f(y)=a 0恒成立，解得“(3)由(2)知a =时，f(x)=1 n x 1时，=-I n x x(x-l)x-1 x人 c c m e 1,1 1 1 1 1 1 1y x 2,3,，则有 1 ,，,ln 2 2 I n 3 2 3 ln(+l)n n+1 1-+I n 2 I n 3+1ln(n +l)1 1 1

19、 1 1 归、/I-1 1-=-,得证.2 2 3 n +1 +115n-16.已 知 f (x)=ax+-F(l-2 a)(a 0)x(l)/(x)Inx在 1,+8)上恒成立，求a的范围;(2)证明：1+，+1+!ln(+1)+-(1)2 3 n 2(+1)解：由 题 意 得+(1-2)2 1 1 1 1在1,+0 0)上恒成立，x即 a(x+-2)ln x+-+8)上恒成立，X XH Pa(x-l)2 只1 1工-工+1在1,+0 0)上恒成立，当x=l时，a(x-l)2 23后工一工+1恒成立，当1时，t z(x-1)22口皿工一%+1可化为42恒成立，(x-1)2A令 g/.、=xl

20、n x-x+1 则mi.且.、:一2x-n高x-xn一x-2 令 (x)=2 x-ln x-xlnx x x在(l,+oo)J,/z (l)=0,/.h(x)0,.,.g(x)0).XZ7 1即以 H-F1 -2 tz-In x 0,x令 g(x)=+-+1-2 a-In xx则 ga)=0 乎al.X若一空 1,即a ，时，g(x)在L幺 二4 J /-幺二,+oo Ta 2 L a)a)Z7 1 Z7 1 _g(X)min=g(-)，g(l)=0,g(-)0,不合题思；a a若-一L i,即a=时,g(x)在限+8)T,gO)N g(l)=0,符合题意;a 2若，时，g(x)在(一-,+o

21、oT,g O)2 g =0,符合题意;a 2 a)综上所述，。的取值范围为：,+00)16由 得当a=，时-Nlnx在1,+8）恒成立，（当“x=l”等号成立）；2 2 lx令人 =-+-1 l(eN )，贝u！ni-1(/-+-1-n-)l,n-+-1-，m即ri 一1 /(1一+-1 -)、l,n-+-1,n2 n n+n I n n+1 nRll即 一1 l,nn+1 1 z 1 1 、-+-(-),n n I n n+故 1 +-1 +-1 +1 2 ,3,+1、1 Z1 1 1 1+(ln+ln +In-)+-(1 +-2 3 n 1 2 n 2 2 2 31 1 、+广日V J=l

22、n(n+1)+-(1),得证。2(+1)7.已知/(尤)=ax-ln(x+l)若对Vx e 0,+oo),f(%)0恒成立，求a的范围；(2)证明：1 +W+L ln(+1)2 3 n解(x)=a -i=+,(x0)x+1 x+1当a 4 0时，/(幻0在0,+8旭成立，/5)在 0,+oo)J,f(x)0时，/(x)=-Jx+1当上4 0,即a 2 1时，(幻2 0在 0,+劝 叵成立，/(%)在 0,+oo)Ta/(尤温=/(0)=。符合题意;当上q 0,即a l时，/(x)在(0,匕0)1,在(上q,+oo)Ta a a1 -a 1/(x)m in=f(-)=1 -a-l n-=l a+lna l.(2)由(1)得，当4=1 时,xln(x+l),令 =工,则4之n n n/.1+-4-+ln +ln +H =ln(+1),得证。2 3 n 1 2 n17