2022年天津市红桥区高考数学一模试卷（附答案详解）.pdf

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1、2022年天津市红桥区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共9小题，共45.0分）1.已知集合A=1,2,3,B=lYIY=2x-1,x EA，则AnB=()A.1,3 B.1,2 C.2,3 D.1,2,3 2.设xER,则”X 是“2x2+x-1 O的（）A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)=e气2x-6的零点所在的区1、司是（)A.(3,4)B.(2,3)C.(1,2)4.已知a=e令，b=log52,c=ln3,则（)A.a b c B.c a b C.a c b D.(0,1)D.c b a 5.已知盒中装有大小、质置完全相同

2、的2个黑球，3个红球，现从盒中随机抽取2个球，则取出的两个球颜色相同的概率为（)A.1 10 1-s.B 3-10.c 2-s.D 6.将函数f(x)=sin(Zx+：)的图像向右平移尸个单位，所得图像对应的函数（)A.在区间于气上单调递增B在区间竺兀上单调递减4 C.在区间子，早上单调递增D.在区间竺，加上单调递减2 2 2 7.已知双曲线-S-=l(aO,bO)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，Aa2沪OAF是边长为2的等边三角形(O为原点），则双曲线的方程为（）X 2 y 2 A.-=1 4 12 B.x 2 y 2-=1 12 4 c x 2-沪1 3 y 2 D.x2 _=1 3

3、 8.设aO,b L若a+b=2,则：声的最小值为（）A.6 B.9 C.3-.jz D.18 9.如图，四边形ABCD中，AB/CD,AB=5,CD=2,BC平，瓦页0,M,N分别是线段AB,AD上的点且闷材I+|面v1=2,则AM元V最大值为（)1l2 A 3-2 B 3-4 c A B 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9+丑10.i是虚数单位，复数-2+i 11.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、迈、3，则此球的体积为.寸212.在（）6的展开式中，x2的系数为.2.fx 13.圆x2沪4x=0在点P(l，乔）处的切线方程为.14.从8名老

4、师和6名学生中选出5名代表，要求老师和学生各至少一名，则不同的选法共有种15.已知XER,设闭数f(x)=;言naxx,x+；aix三1，若关千x的不等式f(x)?0在R上恒成立，则a的取值范围为.三解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.在1:,.ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bsinA=3csinB,a=3,2 cosB=.3(I)求b的值；(II)求sinA;（皿）求cos(2B气）的值17.如图，正匹棱柱ABCD-A1B1C1队中，AA1=2AB=4,点E在CC1上且C1E=3EC.(I)证明：A1C.l平面BED;(lI)求异面直线BE与A1C所成角的大小

5、；（田）求二面角A1-DE-B的余弦值业火-、-、一各、，d,.、.-、，乡：、，、.、,、s(,、，七t,:：,Di乙?D,I A A 18.已知椭圆5心l(a b 0)的一个顶点为A(O,-3)，右焦点为F,且IOAI=IOFI,其中0为原点(I)求椭圆的方程；(II)已知点C满足30C历？，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点），直线AB与以C为第2页，共13页圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点求直线AB的方程19.已知an是等差数列，其前n项和为Sn,bn是等比数列，且a1=b1=3,鸟3,时b3+b4.(I)求数列化小加的通项公式；(II)求L=l竺Lbk+1 已知函数f(x)=.f

6、x,g(x)=alnx,a E R,(I)若曲线Y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有共同的切线，求a的值和该切线方程；(II)设函数h(x)=f(x)-g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值p(a)的解析式；(ill)对(II)中的p(a)，证明：当aE(0,+oo)时 O,可知X-,2 1 所以当“一*dfrac 1 2 今title=latexlmg/Zx2+x-1 o,2 但是“2x2+X-1 0-=#X主，所以“x-”是“2x2+X-1 O的充分而不必要条件，2 故选A.3.【答案】C【解析】解：易知f(x)=ex+2x-6是R上的增函数，且f(l)=e-4 0,所以

7、f(l)f(2)0,所以f(x)的零点所在的区间是(1,2),故选：C.判断函数的单调性，利用函数零点判断定理，推出结果第4页，共13页本题考查了函数零点的判定定理，屈千基础题4.【答案】B【解析】解：1 人 a 1,2 1-1:a=e 2=-,:,石1 又.b=log召 lne=1,:.c a b,故选：8.利用对数函数及指数函数的单调性与,1比较大小，从而比较三个数的大小本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用5.【答案】D砑cf_2【解析】解：取出的两个球颜色相同的概率为一一cJ s 故选：D.取出的两个球颜色相同分为2个黑球与2个红

8、球两种情况进行讨论可解决此题本题考查古典概型应用，考查数学运算能力及抽象能力，屈千基础题6.【答案】A【解析】解：将函数f(x)=sin(2x+：)的图像向右平移尸唷纠立，所得图像对应的函数为y=sin2x,在区间平，子上，2xE早，早，y=sin2x单调递增，故A正确；在区间干，兀上，2xE平，加，y=sin2x单调递增，故B错误；在区间于平上，2xE早，3亢，y=sin2x单调递减，故C错误；3兀在区间一，2亢上，2xE 3亢，4亢，y=sin2x没有单调性，故D错误，故选：A.由题意，利用函数y=Asin(wx+p)的图象变换规律，芷弦函数的单调性，得出结论本题主要考查函数y=Asin(

9、wx+O,b 0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，a2 b2 t.OAF是边长为2的等边三角形(0为原点），:.C=2,：双曲线的渐近线为y=x,b a b:.t心的=./3,G 即沪c2-a2=3,;:_;:.=3,a2 a2 解得a=1,b=13,2 双曲线方程为x2_=1.3 故选D.8.【答案】B【解析】解：因为a0,b l,a+b=2,所以a+(b-1)=L 所以沪亡（沪六）a+(b-1)=4+1+一1)占5+2三5+4=9,当且仅当a=2(b-l)，即a=I,b计时取“=，4 所以一的蔽小值为9.a.b-1 故选：B.根据题意，转化条件，利用基本不等式即可求出最小值本题考查了

10、基本不等式的应用问题，是基础题9.【答案】A【解析】解：设ACnBD=O,由千瓦了历了0，所以AC.1BD,依题意四边形ABCD中，AB/CD,AB=5,CD=2,BC打了，设OC=x,则OB=,OD=V4二x2,第6页，共13页所以OA扣（打了二吁打了二万，所以AD寸o沪0A2 打飞4,由器启得岳弓i=x2苦所以BD=OD+OB=勹+；勹f画在三角形ABD中，由余弦定理得cosLDAB=:,16+25-21 1 2X4X5 2 依题意闭和闷和2,设闭百I=x,则闷和2-x，其中0 X l时，f(x)在(-oo,1)单调递减，且f(l)=1 0,所以a 1;所以f(x)2:0在X:5 1恒成立

11、，可得a2:0.当xl时，f(x)=x-alnx 2:0恒成立，即a:5点恒成立，令h(x)点，则h(x)=lnx-1 ln2x,当h(x)0时，X e,所以h(x)在(e,+oo）上单调递增，当h(x)0时，1 X l两种情况讨论；当xl时，采用参变分离构造函数求最值本题研究二次函数在x$1的最小值时，利用函数恒过定点(1,1)，使讨论的过程更简洁，即只要研究对称轴a$1和al两种情况，属千中档题16.【答案】解：（I）由正弦定理及bsinA=3csinB,得ab=3bc,即a=3c,因为a=3,所以C=1,由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB=9+1-2 x 3 x 1 x f=

12、6,所以b花2(II)因为cosB=，且BE(0，切，所以sinB=,廷3 3 由正弦定理知，a b=-,sinA sinB 3花所以盂；言，即sinA=串6 3.4森1（职sin2B=2sinBcosB=一，cos2B=2cos2B-1=-,9 9 所以cos(2B-:)=cos2Bcos：十sin2Bsin-=亢4平133 3 18【解析】(I)利用正弦定理化角为边，可求得c的值，再由余弦定理，即可得解；(II)先根据同角三角函数的平方关系，求得sinB的值，再由正弦定理，得解；（皿）根据二倍角公式分别求得sin2B和cos2B的值，再由两角差的余弦公式，得解本题考查解三角形，熟练掌握正弦

13、定理，余弦定理，二倍角公式，两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题17.【答案】(I)证明：以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz.依题设，B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4)历=(0,2,1),DB=(2,2,0)，丙C=(-2,2,-4),瓦(2,0,4).、1IIIIIIII II11、11，D,Al4”x y 因为丙t丽0,丙t丽0,故A1C.LBD,A1C.LDE，又DBnDE=D,所以A1C.L平面DBE.(II)解：（方法一）因为A1C.L平面DBE,且BEc平面DBE,则BE.L

14、A1C,所以异面直线BE与A1C所成角为90;（方法二）历f=(-2,0,1)，石c=c-2,2,-4)，页了兀C=X1 Xz+Y1Y2+z凸0,则BE.LA1C,所以异面直线BE与A1C所成角为90;（田）解：设向世冗（x,y,z)是平面DA1E的法向昼，则冗上页？，冗上瓦飞故Zy+z=0,Zx+4z=0.令y=1,则Z=-2,X=4,冗（4,1,-2).伍，瓦t等千二面角A1-DE-B的平面角，cos（万，职孚间1生C|X心y心Z1Z2平=1对yf+z扣丘言百42 第10页，共13页【解析】(I)以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D-xyz.通过计算示t5百0,

15、示t页f=0,推出A1C.lBD,结合A1C.lDE,证明A1C.l平面DBE.(II)（方法一）通过A1C.l平面DBE，推出BE.lA1C，说明异面直线BE与A1C所成角为90;（方法二）计算面f.瓦C=X1X2+Y1Y2+Z1Z2=0,说明异面直线BE与A1C所成角为90;（皿）求出平面DA1E的法向量，利用空间向痲的数量积求解二面角A1-DE-B的平面角的余弦函数值即可本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角以及异面直线所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题18.【答案】解：（I）由已知可得b=3,记半焦距为C,由IOFI=IOAI可得c=b=3,由a2沪

16、c2，可得a2=18,2 2 椭圆的方程为土十=1,18 9(II):.，直线AB与C为圆心的圆相切千点P,:.AB.LCP,根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3,y=kx3 由方程组灶y2，消去y可得(2k气l)x2-12kx=O,解得X=0,或x式芒i-+-=1 18 9 依题意可得点B的坐标为（12k 6k2-3 2k2+12炉1),:p为线段AB的中点，点A的坐标为(0,-3),：点P的坐标为（6 k-3 2k2+12k2+1),由3祝巨孔汗，可得点C的坐标为(1,0),-3 故直线CP的斜率为=元3志1-2k2-6k+l:AB 1.CP,:.k.

17、3=-1,2k2-6k+1 整理可得2k2-3k+1=O,1 解得k=或k=1,2 1 直线AB的方程为y=x-3或y=X-3.2【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切问题、中点坐标公式等基础知识与基本技能方法，向位与椭圆的综合问题，考查了推理能力和计算能力，属千拔高题(I)根据题意可得c=b=3,由正b2+c2,可得a2=18,即可求出椭圆方程；(II)根据题意可得直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线AB的方程为y=kx-3,联立方程组，求出点B的坐标，再根据中点坐标公式可得点P的坐标，根据向量的知识求出点C的坐标，即可求出CP的斜率，根据直线垂直即可求出k的值，可得直线A

18、B的方程19【答案】解：（I）因为S3=3,bi=b3+b4,则3a1+3d=3,(b1q)2=b1妒b1矿，解得：d=-2,q=2,又a1=b1=3,:.a11=52n,b11=3 2九一1;(II)由(I)得：Sn=n(4-n),骂芫骂14k2了骂（卢功，设心号号 芫0 汃告序赍1.,得：江2+4（卢卢护盖12 22 2 设Bn=-+-十一n 沪22.zn,.),1 12泸n2:.-B=-+-+-2 n沪232n+1,得沪扣吉吉气盖了设C九叶卢卢气产，1.-C 1 3 5 2九一12 n歹歹十子严,:.An=8 得：沪+2（合卢合护告，整理得：Cn=3 2n+3 n 一了;.Bn=6-n2

19、+4n+6 2n,:.沈1玉丸Bn=2止bk+l.n-n-.2n.【解析】(I)利用方程思想，建立公差d,公比q的方程求解；(II)利用“错位相减法“求和n+2 2n-2 本题考查等差、等比数列的通项，错位相减法求和，属中档题20.【答案】解：（I)f(x)式歹，g(x)气(x 0)x=alnx 有已知得（上巴解得：a=1,x=e2 2寂x两条曲线的交点坐标为(e气e)切线的斜率为k=f（社）上2e 切线的方程为y-e=上(x-e2)2e(II)由条件知h(x)=.Jx-alnx(x 0),1 a奴2a:.h(x)XI=-=,2长X2X 当aO时，令h(x)=O,解得X=4a2.第12页，共1

20、3页,：当0 X 4a2时，h(x)4正时，h(x)O,h(x)在(4a2，十oo)上单调递增:.X=4a2是h(x)在（0，十oo)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点：最小值 0,h(x)在(0,+oo)上单调递增，无最小值故h(x)的最小值p(a)的解析式为 0).（皿）证明：由(2)知cp(a)=2a(1-In 2-In a),则矿(a)=-Zin(2a).令砑（a)=0,解得a=-.2 当Oa;时,O,1:.()(a)在(0,）上单调递增；2 当a抇时，矿(a)O,1:.()(a)在(-,+00)上单调递减2 1 1:.()(a)在a=处取得极大值叭）=1.2 2:()(a)在(0,+oo)上有且只有一个极值点，1:.叭）=1也是()(a)的最大值2 当aE(0,+oo)时，总有()(a):;1.【解析】先分别求出函数f(x)与9(x)的导函数，然后根据曲线Y=f(x)与曲线y=9(x)相交，且在交点处有共同的切线，建立方程组，解之即可求出a和切点坐标，最后根据导数的几何意义求出切线的斜率，再用点斜式写出化简本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属千基础题