河北省秦皇岛市2022年高三下学期联考数学试题含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-V-1.已知函数,f（x）=Inj+x+l且/（。）+/（。+1）2,则实数。的取值范围是（）1-X2.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计

2、绘制如图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法错误的是（）A.该 市 总 有 15 000户低收入家庭B.在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C.在该市无业人员中，低收入家庭有435 0户D.在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有8 0 0 户3.在关于x 的不等式以2+2x+l 0 中，“。1”是“加+2%+1（）恒成立，的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2 24.已知双曲线三亲 =1（。0力 0）的左、右焦点分别为、8，圆Y +y 2=与双曲线在第一象限内的交点为 M,若四照=可用闾.则该双曲线的离心率为A

3、.2 B.3 C.72 D.百5 .已知复数 ，则-的共枕复数在复平面对应的点位于（）一A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.如图所示，矩形A B C。的对角线相交于点。，E为A0的中点，若 诙=4而+而（九 e R）,则2+等于().1 1A.一一 B.-C.1 D.-12 27 .若函数f(x)=a k可g o,a,l)满足f(l)=1,则f(x)的单调递减区间是()9A.(oo,2C.-2,+8)B.2,+oo)D.(-0 0,-2 8 .已知集合A=x|x l ,f i=x|3r l b 则A.A A f i =x|x l D.ApB=09.若直线二不平行于平面二，且二仁

4、二，则（）A.二内所有直线与二异面B.二内只存在有限条直线与二共面C.二内存在唯一的直线与二平行D.二内存在无数条直线与二相交1 0.若复数z满足(l +3 i)z =(l +i)2,则|z|=()A75 1t 石 r Vio n VioA.-B.C.-D.-4 5 2 5)11.在MBC中，O A +O B +O C 6 AE=2 EB a b|叫阿,若 荏而=9而或，则实数/l=（A.-o.-C.-3 2 3D.A/6V12.已知函数x)=eP，g(x)=l n +l,若 w)=g()成立，则一”的最小值为（）0 B.4 C.3 e-2D.5+I n 6A.2二、填空题：本题共4小题，每小

5、题5 分，共 2 0 分。1 3 .如图，在体积为v的圆柱a。?中，以线段a a 上的点。为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为匕，V 4-V匕，则干上的值是.1 4 .某几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的体积是 c m3;最长棱的长度是 cm.俯视图v-2 v215.己知双曲线C:二 一 二 =一 1 3 0 0 0)的左、右焦点分别为目，瑞，直线/是双曲线。过第一、三象限的渐近少 b线，记直线/的倾斜角为a,直线l:y =t a n 5 ,F2M 1 1,垂足为M，若 M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为_ _ _ _ _ _ _16.函数/(x)=Jg：-1

6、的定义域为三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12 分)已知函数/(x)=|4x1|x+2.(1)解不等式等(%)2；记函数y=/(x)+5|x+2 的最小值为攵，正实数。、b 满足a+6 b=(,求证：丝士9 V ab18.(12分)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给小张提供了两种贷款方式.等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；等额本息：每个月的还款额均相同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账，则2019年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为

7、20年，月利率为0.004.(1)若小张采取等额本金的还款方式，现已得知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还251。元，试计算小张该笔贷款的总利息；(2)若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半，已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素)；(3)对比两种还款方式，从经济利益的角度来考虑，小张应选择哪种还款方式.参考数据：LO C H M yZ S l.19.(12分)已知数列 4 的前“项和为S“，且满足q =-1,40(2 2),S,二二间9 1,w N*,各项均为正6数的等比数列也 满足=%也=%(1)求数

8、列。“,d 的通项公式；(2)若%=；4 b,求数列 5 的前n项和Tn20.(12分)已知抛物线C：y 2=2 p x(),点尸为抛物线的焦点，焦点F到直线3 x-4 y +2=0的距离为4，焦点尸到抛物线。的准线的距离为4，且2=；.(1)求抛物线。的标准方程；(2)若x轴上存在点，过点的直线/与抛物线C相交于P、Q 两 点,且=;不+T厂为定值，求 点 的坐标.21.(12分)如图，在正四棱柱A8CD 4 B C a中，已知4 5 =1,阴=2.DB(i)求异面直线A C 与直线A 2 所成的角的大小;(2)求点C 到 平 面 R 的距离.22.(10分)已 知 A 是抛物线E：V=2p

9、 x(p 0)上的一点，以点A 和点8(2,0)为直径两端点的圆C 交直线x=l于 M,N两点.(1)若|M N|=2,求抛物线E的方程；(2)若 OVpVL抛物线E与圆(x-5)2+V=9在 x 轴上方的交点为P,Q,点 G为 的 中 点，O为坐标原点，求直线 OG斜率的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】构造函数尸(x)=/(x)-l,判断出b(x)的单调性和奇偶性，由此求得不等式。)+/(。+1)2 的解集.【详解】1 _L y*1 y-构造函数尸(x)=x)l =l n +x,由。解得

10、所以尸(X)的定义域为(-1,1),且 x X1 I Y 1 _ y C 1-Y、F(-x)=ln-=-x =-n-+x=-F(),所以尸(x)为奇函数，而1 x 1 +x I I +X )F(x)=I n +x=I n J-1+x,所以尸(x)在定义域上为增函数，且*0)=l n l+0=0.由1 X y 1 X J4+4+1 0/(a)+/(a +l)2得f(a)-l +/(a +l)1 0,即/(a)+b(a +l)(),所 以 l a -1 1时，办2+2%+1()是否恒成立；讨 论 当 以2+2X+IO恒成立时，4 1是否成立，即可选出正确答案.【详 解】解：当”1 时，A =4 4

11、 a()恒成立；当 以2+2+1 0恒 成立 时，若。=0,贝!|2x+l 0不恒成立，不符合题意，_ a 0若。()时，要 使 得 以2+2工+1 0恒 成 立，贝叫“.c ,即。1 .=4-4 a 1 ”是“ax2+2x+l 0恒成立”的充要条件.故选:C.【点 睛】本题考查了命题的关系，考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若 p n q,则推出是 q的充分条件；若 q=p,则推出P是q的必要条件.4.D【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过M点 作 垂 线 交6 K于点，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形。加 工 的 形 状 并 求 出 高 的 长 度

12、，的长度即M点纵坐标，然后将M点纵坐标带入圆的方程即可得出“点坐标，最后将以点坐标带入双曲线方程即可得出结果。【详解】根据题意可画出以上图像，过A/点作白与垂线并交耳与于点，因 为 用=3|M闾，M在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，|摩|-|岫|=2，即3|M R|-|M|=2a,段=a,因为圆d +y 2=的半径为。，OM是圆Y +y 2=的半径，所以QW=因为 O A/=Z?,6|=a,0 F2-c,a2+h2=c2所以？O M g 90,三角形。加工是直角三角形，因为人。鸟，所以O F J M H O M?M F2,M H =*即 点 纵 坐 标 为 当，将M点纵坐标带入圆的方程中可得

13、+哆=，解得用，将加点坐标带入双曲线中可得m-=1,化简得/d-=&2,2,伊-。2)-/=。2c 2 ,02=3/,e=G，故选 D。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。5.C【解析】分析：根据复数的运算，求得复数二，再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案.详解：由题意，复数，一，一 ，则口=五=(三=7+口所以复数：在复平面内对应的点的坐标为：_：_ _：，位于复平面内的第三象限，故选C.点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四

14、则运算求解复数二是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6.A【解析】1 3 1 3由平面向量基本定理，化简得D E =A B-A D,所以九=,口 =-一，即可求解，得到答案.4 4 4 4【详解】由平面向量基本定理，化 简 沃=方 式+屈=嬴 +,品=一 项 +工(囚豆+4 4、1 3 1 3 1=A B A D,所以九=一，1 =-,即九+口 =，4 4 4 4 2故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，其中解答熟记平面向量的基本定理，化简得到阮-3 A B 是解答4 4的关键，着重考查了运算与求解能力，数基础题.7.B【解析】由 f(l)=4 a2=-,Q q,.a=：或

15、 a=-g 舍)，j|2X-4|即f(x)=g).由于丫=a-4|在(-8,2 上单调递减,在 2,+8)上单调递增,所以f(x)在(-8,2 上单调递增，在 2,+o o)上单调递减,故 选 B.8.A【解 析】.集合 6 =x|3 1/.B=x|x 0.集合 A=x|x l二 A c B =x|x 0 ,AD3 =X|X_ _ _ _ _ _ 9 _ _ 9 _.所以 E C =A C -A E =A C A B 9 9A O ,E C=3(AB+AC),(AC AB)3 3=A B-A C-2 A B2+3 A C2=A B-A C 所以2通2=3*2,丸=器=/3 _ 7 62-V故选

16、：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.12.A【解析】令 7)=g()=r，进而求得“一机=2eT-21nf-2,再转化为函数的最值问题即可求解.【详解】.,/(m)=g()=r.=l n +l=f(r 0),：.n-m =2 e-2 lnt-2,9令：(r)=2 -2 1 n r-2,”(r)=2 e 上,(r)在(0,+”)上增，且(1)=0,所以人在(0,1)上减，在(1,+8)上增，所以(。疝n=(l)=22=0,所以一”的最小值为0.故选：A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示和，”

17、是本题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。11 3.3【解析】根据圆柱G Q的体积为V,以及圆锥的体积公式，计算即得.【详解】I 1 1 1 V+V 1由题得，V Z +K=-50(?1.0(7,+-SGO 2 O O2=-5 0,0,=-V ,得-=了故答案为：3【点 睛】本题主要考查圆锥体的体积，是基础题.14.2 2G【解 析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底 面A5 CD为直角梯形，A D/B C,AD_L 侧 棱PAL底 面ABC。,由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度.【详 解】由三视图还原原几何体如下图所示：该几何体为四棱锥

18、，底 面ABCD为直角梯形，A D/B C,A D A.A B,侧棱底面ABCD,则该几何 体的体积为V=x1 I,2)Z x 2=2(cin),3 2 v 7P B=,2?+2?=2血(cm),P C=/22+22+22=273(cm),因此，该棱锥的最长棱的长度为2 a机.故答案为：2；2百.【点 睛】本题考查由三视图求体积、棱 长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.15.75-1【解 析】由啖网=c,则10M becos0,所以点 ccos-2；7a，ccos二a s.i n；a；I 2 2 2b,因 为tana=，可得asin=-,cosa=-,点 坐 标 化 简 为(彳,二 ,代

19、入双曲线的方程求解.c c 2 27【详 解】设NMO6=?。闾=以则 tan a=b,即an-s-i-n-e-x=b,sm.2 a +cos 2 a=i,a cos a ae r .b a解得 sin a=,cosa=,a则 10M|=ccos-,2a a.a所以 ccos,ccossin I 2 2 2即Mc+a b-T-,2r代入双曲线的方程可得(c+a)2 b242 4 6二1 9所 以。2+2。-4/=0所 以/+2 e-4 =0解得 e=/5 -1 .故答案为：V5-1【点 睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，及三角恒等变换，还考查了运算求解的能力和数形结合的思想，属于中档题

20、.16.jxO x 0解：由题意可得，x,、X解可得，0 c X,1,故答案为卜1。%,【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解，属于基础题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)(2)见解析.【解析】(1)分x W-2、-2 X 2,综合可得出原不等式的的解集；(2)利用绝对值三角不等式可求得函数y =/(x)+5|x+2|的最小值为k=9,进而可得出。+6。=1,再将代数式9 与。+6。相乘，利用基本不等式求得+的最小值，进而可证得结论成立.a h a b【详解】(1)当xW 2时，由/(x)2,得l-4 x+x+2 2,即 1-3%0,解得x ；,

21、此时xW 2；1 3 3当2 x 2,得 1 4%一2 2,即5 x+3 0,解得x ，此时一2%2,得4 x l-一2 2,即3 x 5 0,解得x|,此时x g.综上所述，不 等 式/(力 2的解集为卜（2）y =/（A：）+5|x+2|=|4 x-l|+4|x+2|=|4 x-l|+|4 x+8|4 x-l-（4 x+8）|=9,当且仅当（4 x l）（4 x+8）W 0时取等号，所以4=9,a+6b=.6 1)Ia b 所以幺+，=a b(a +6 b)=6 +幺+6 2 1 2+2 a b2 4,当 且 仅 当 迎=3,即a =L,匕=工时等号成立，所 以 +2 2 2 4.a b

22、2 1 2 a b所以、口+工2 2几,即J段2 2.N a b V ab【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.1 8.(1)2 8 92 0 0元；(2)能够获批；(3)应选择等额本金还款方式【解析】(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，即可由等差数列的前n项和公式求得其还款总额，减去本金即为还款的利息；(2)根据题意，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列，设小张每月还款额为x元，由等比数列求和公式及参考数据，即可求得其还款额，与收入的一半比较即可判断；

23、(3)计算出等额本息还款方式时所付出的总利息，两个利息比较即可判断.【详解】(1)由题意可知，等额本金还款方式中，每月的还款额构成一个等差数列，记为 4，S”表示数列 q的前项和，则4 =4 90 0,4 4 0 =2 5 1 0,贝！I 52 4 4)=240(。；+电40)=2 0*(4 90 0 +2 5 1 0)=8 8 92 0 0,故小张该笔贷款的总利息为8 8 92 0 0 -6 0 0 0 0 0 =2 8 92 0 0元.(2)设小张每月还款额为x元，采取等额本息的还款方式，每月还款额为一等比数列,则 x+x(l+0.0 0 4)+x(l+0.0 0 4+x(l+0.0 0

24、4 1 3 9=6 0 0 0 0 0 x (1+0.0 0 4),A i i n n j2 4 0、所以 x L 可-=6 0 0 0 0 0 X 1.O O 42 4 0,I 1-1.0 0 4 Jn n6 0 0 0 0 0 x l.0 0 42 4 Ox 0.0 0 4 6 0 0 0 0 0 x 2.6 1 x 0.0 0 4即 x =-3 8 9 1,1.O O 42 4 0-1 2.6 1-1因为3 8 9 1 2 8 9 2 00,所以从经济利益的角度来考虑，小张应选择等额本金还款方式.【点睛】本题考查了等差数列与等比数列求和公式的综合应用，数列在实际问题中的应用，理解题意是解

25、决问题的关键，属于中档题.1 9.(1)/=3一4；勿=2 (2)7；,=(3-7卜2 +7【解析】(1)由一 一9 一 1化为=6S“+9”+1,利用数列的通项公式和前项和的关系，得到 见 是首项为1,6公差为3的等差数列求解.(2)由(1)得到q,=(3 -4 2 T,再利用错位相减法求解.【详解】(1)v S,=出 9 1 可以化为.=6 S”+9 +1,6=6 ST+9(-1)+1,.%j：=6 a“+9(N 2),.。+；=(4,+3)2,又Q 2 2时，an 0=+3(n 2)数列 从 2开始成等差数列，%=-1,代入5 =J 9 1“6得 =2,4 =3 .4是首项为1,公差为3

26、的等差数列，/.。=3 -4,/=a2=2 也=%=8 也=2”.(2)由(1)得c.=(3 4 2 T,7；,=-1-2 3-2-3 4 2?+(n-)L2 7；,-l 2-22+?+(n-),两式相减得-7；,=-l +3(2 +22+?-+2 T)-(3 -4)2 ,=-l +6(2n-l)-(3 n-4)-2n,二7；=(3-7).2 +7.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前项和的关系和错位相减法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.2 0.(1)/=4%(2,0)【解析】d.1(1)先分别表示出4,4，然后根据于=彳求解出P的值，则c的标准方程可求；a2 2(2)设出直线/的

27、方程x=my+1并联立抛物线方程得到韦达定理形式,然后根据距离公式表示出岛下+面*并代入韦达定理形式，由此判断出j商+；7T为定值时加的坐标.|P M I|Q M I【详解】(1)由题意可得，焦点尸(5,0),P 0,贝(l_ 士_ 上,g5 53 x +2d i 1 解得 p =2.U1 _ 3 _ 1d2 P 2抛物线C的标准方程为)，2=4x(2)设M(r,O),设点P(4 X),。(孙 羽)，显然直线/的斜率不为0.设直线/的方程为X=，*+2x=my+t.联立方程1 2；,整理可得V-4,利-4f=0y=4xA=16(z+m)2 0,乂 +%=4 m,必 当=-4，.I PM 1=J

28、 l+加2 M ,IQM=Vl+/n2|y2|.1 1=1 1=褚+必*I PM|2|QM|2(1+/叫 y：(1+/叫),；(1 +/叫=(y+?)=2 +f一 (l+m2)y,2 2 rm2+2t21 1 2 t要使I R+|I)为定值，必 有:=解得 =2，PM QM I 2t2 2r.万 徐+总 为 定 值 时，点M的坐标为(2,0)【点睛】本题考查抛物线方程的求解以及抛物线中的定值问题，难度一般.(1)处理直线与抛物线相交对应的定值问题，联立直线方程借助韦达定理形式是常用方法；(2)直线与圆锥曲线的问题中，直线方程的设法有时能很大程度上起到简化运算的作用。21.(1)arccos-?

29、(2).10 3【解析】(1)建立空间坐标系，通 过 求 向 量 卡 与 向 量 函 的 夹 角，转化为异面直线4 c与 直 线 所 成 的 角 的 大 小；(2)先求出面A旦R的一个法向量，再用点到面的距离公式算出即可.【详解】以4为原点，A四,A A A所在直线分别为，x z轴建系，设 4 (0,0,0),C(l,1,2),A(0,0,2),),(0,1,0)所 以 京=(1,1,2),AD；=(0,1,-2)cos=4c四 _l x l +2 x(-2)丽西 76x75V30lo-所 以 异 面 直 线A。与 直 线A Q所 成 的 角 的 余 弦 值 为 噜,异 面 直 线4。与 直

30、线 所 成 的 角 的 大 小 为a r cco s暮.(2)因 为 皿=(0,1,-2),=(-1,1,0),设=(x,y,z)是面 的一个法向量,所以有y-2z=0 1 一 1I+),=o 令 E，y=i，z=5，故=(1，)，心_孙L=0即1n-BlDl=0又 C =(l,0,2),所 以 点C到 平 面A 4R的距离为l x l +2 x 143【点 睛】本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力.、2、J 逝12 2.(1)y =4 x.(2)0,-I 2)【解 析】(1)设A的 坐 标 为4 (x o,刈)，由 题 意可得圆心C的

31、坐标，求 出C到 直 线x=l的距离.由半个弦长，圆心到直线的距离及半径构成直角三角形可得p的值，进而求出抛物线的方程;(2)将抛物线的方程与圆的方程联立可得韦达定理，进 而 求 出 中 点G的坐标，再 求 出 直 线0G的斜率的表达式，换元可得斜率的取值范围.【详 解】(1)设A(x o,j o)且 城=2内0,则 圆 心C(丙；2,食),圆C的直径A明=*0-2)2 +城，圆 心C到 直 线x=l的 距 离d=|也2-1|=|2因为|M N|=2,所以(皿)W=(网)2 222,即1+工4,yo1=2pxo,(X。-2)2 +4整 理 可 得(2。-4)x o=O,所 以p=2,所以抛物线的方程为：炉=4丫；(2)联立抛物线与圆的方程y2=2px(无一歹+/整理可得 x2-2(5 -p)x+1 6=0,0,9设 尸(X l,J l),Q(X 2,J2),则 X l+X 2 =2(5-p),X 1 X 2=1 6,所以中点G 的横坐标XG=5-p,（6 +J E）=-2,所以koG=瓦 三E5-p2-(O P1),令 =5-p(4,5),J U ll koG得+；-1 V沁）,历解得OVkoGV旺,2所以直线OG斜率的取值范围（0,也）.2【点睛】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，换元方法的应用，属于中档题.