2015年数学建模D题.pdf

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1、2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在

2、书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从 A/B/C/D中选择一项填写）：D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：*参赛队员（打印并签名）：L_2.X_指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：II期：20期 年 9 月 9 日赛区评阅编号（山赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录:评卷人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：机器人避障问题摘要二十一世纪科技发展迅速，机器人作业逐渐兴盛。本文研究了机器人避障最短路径和

3、最短时间的问题。主要研究了在一个区域中存在1 2 个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的两种情形。我们通过证明具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径(即直线段)，另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互相连接的。依据这个结果，我们可以认为最短路径一定是由线和圆弧做组成，因此我们建立了线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。一、问题重述图 1 是一个8 0 0 x 8 0 0 的平面场景图，在原点0(0,0)点处有 个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有1 2 个不同

4、形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：编号障碍物名称左下顶点坐标其它特性描述1正方形(3 0 0,4 0 0)边长2 0 02圆形圆心坐标(5 5 0,4 5 0),半径7 03平行四边形(3 6 0,2 4 0)底边长1 4 0,左上顶点坐标(4 0 0,3 3 0)4三角形(2 8 0,1 0 0)上顶点坐标(3 4 5,2 1 0),右下顶点坐标(4 1 0,1 0 0)5正方形(8 0,6 0)边 长 1 5 06三角形(6 0,3 0 0)上顶点坐标(1 5 0,4 3 5),右下顶点坐标(2 3 5,3 0 0)7长方形(0,4 7 0)长 2 2 0

5、,宽 6 08平行四边形(1 5 0,6 0 0)底边长9 0,左上顶点坐标(1 8 0,6 8 0)9长方形(3 7 0,6 8 0)长 6 0,宽 1 2 01 0正方形(5 4 0,6 0 0)边 长 1 3 01 1正方形(6 4 0,5 2 0)边长8 01 2长方形(5 0 0,1 4 0)长 3 0 0,宽 6 0在 图 1 的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过1 0 个 单 位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径山与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的

6、圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为1 0 个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为1 0 个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。机 器 人 直 线 行 走 的 最 大 速 度 为%=5个 单 位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为v =v(/?)=-令 它，其中 是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中 4 个点 0(0,0),A(3 0 0,3 0 0),B(1 0 0,7 0 0),C(7 0 0,6 4 0),具体计算：(1)机器

7、人从0(0,0)出发，0-A、O-B、0和 0-A-B-C-0 的最短路径。(2)机器人从0 (0,0)出发，到达A的最短时间路径。注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。二、问题分析本题可以用AutoCAD作图软件完成部分路线及线段、弧线、坐标的标注等。问题一0 点到A点理论上是直线最短，但不能折点转弯(必须切线转弯)、必须与障碍物保持10单位的距离，转弯弧线半径最短为10个单位，则可以以障碍物5 的左上角和右下角点位圆心画半径为10单位的圆，并在障碍物4 的左下角画同样的圆，那么我们可以用拉绳子的方法模拟机器人行走路线，求出到达目标点

8、的最短距离。0 至 Ij B与 0 至 U C0 到 B与 0 到 C最短路线求解分析原理与0 到 A一样不再重述。0 到 A到 B到 C再到0要求机器人到达各目标点在回到原点，此时不但要考虑障碍物的问题还要考虑从以目标点到另一目标点的转弯问题，此时简单的拉线一不满足。问题二时间与路程和速度的关系T=9,速度与转弯半径的关系U =V(/9)=2 k，根据此公式不难得出半径与速度的关系，即半径越大速度约接近5,但半径越大路程越长，消耗时间也越多。三、模型假设与约定1、假设机器人无体积。2、假设切线转弯时速度变化为瞬间，即没有加速度。3、做题所用的数据全部保留两位小数4、用 A u t o C A

9、 D 软件作图过程不予描述，例举两条路线进行分析。四、符号说明及名词定义V：机器人行走速度V(P):机器人弧线行走速度%:机器人直线行走最大速度P ：机器人转弯半径T：机器人行走时间S：机器人行走路程五、模型建立模型建立1、先 来 证 明 一 个 猜 想：猜想一：具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径(即直线段)，另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互相连接的。(即问题分析中的拉绳子拉到最紧时的状况)证明：假设在平面中有A (a,0)和 B (-a,0)两点，中间有一个半圆形的障碍物，证明从A到B的最路径为AFB。C（0.y）平面上连接两点最短的路

10、径是通过这两点的直线段，但是连接两点的线段于障碍物相交，所以设法尝试折线路径。在 y 轴上取一点C(0,y),若 y 适当大，则折线ACB与障碍物不相交，折线ACB的长度为：14函=2舟+丫 2显然I A C刚随着丫的减小而减小，减小丫得y-必，即c f q,使得A G 与G 8 与障碍物相切，切点分别为E 和 F，显然A C R 是这种折线路径中最短的。由于满足0 夕 的角满足夕，从而A E +E F +F B|A P|,又 由 A E,E O,所以|A P|A E,从而同理可得。再来比较PQ之间路径长度P Q和圆弧EF的长度的大小。若 PQ之间的路径可有极坐标方程r=r(6),则有r 1

11、0,可得：P Q r2+r2d 0 Jd6 9 E F亦即路径APQB的长度超过路径AEFB的长度。以上证明足以说明了 AEFB是满足条件A 到 B的最短路径。猜想二:如果一个圆环可以绕着环上一个定点转动，那么过圆环外两定点连接一根绳子，并以该圆环为支撑拉紧绳子，达到平衡状态时，圆心与该顶点以及两条切线的延长线的交点共线。图 3证明猜想：如图4.31所示，E 点就是圆环上的一个顶点，ACDB就是拉紧的绳子，O?就是切线AC和BD的延长线的交点，证明。E、。2三点共线。我们可以用力学的知识进行证明，因为是拉紧的绳子，所以两边的绳子拉力相等，设为月，它们的合力设为应，定点对圆环的作用力设为转。那么

12、由几何学的知识我们可以知道月一定与丽2共线，而又由力的平衡条件可知：既*即 丽 2 丽2与 葩 共 线。综 上 所 述 E 和。2三点一定共线。2、有了以上这个定理我们可以建立以下模型：如图4,要求求出机器人从A绕过障碍物经过M点到达目标点B 的最短路径，我们采用以下方法：用一根钉子使一个圆环定在M点，使这个圆环能够绕M点转动。然后连接A和 B的绳子并以这些转弯处的圆弧为支撑（这里转弯处圆弧的半径均按照最小转弯半径来计算），拉紧绳子,那么绳子的长度就是A到 B的最短距离。我们可以把路径图抽象为以下的几何图形。下面我们对这段路径求解:如图，A（玉J1）是起点，B（X 2）2）是终点，。1（七）3

13、）和。3 1 4.%）是两个固定的圆，2 是一个可以绕M（p,q）点转动的圆环，三个圆的半径均为r,C、D、E、F、G、H均为切点。a、b、c、e,f 分别是 AQ、。02、A。?、A。?、。2 3 的长度。A、B、均是已知点，。2 是未知点。那么最短路径就可以表示为：L=|AC|+CD+|DE|+E F +|FG|+GH+|HB|因为。2 点的坐标未知，所以我们就不能用模型一中的线圆结构对其进行求解。故得先求出。2 点的坐标。设。2 坐标为（m,n）,ZAO.C、Z A OO2、NA。2。1、Z A O2O3 Z O3O2F分别为a,（i=l、2、3、4、5）,N CO Q、2 E O J、

14、N E O 2 M 分别为 q、4、6。这样便有以卜 关系：4 =小(玉_ 尤3)2+(弘3)2b=yl(x3-m)2+(y3-n)-c =A/(x,-/n)2+(y1-n)2e=yJ(x-x4)2+(y-y4)2f =+(y4-n f在 R f A 4 0 1 C 中：rax-arccos a在A A O 0 2中:a2=arccosa2+b2-c22aba3=arccosb2+c2-a22bc在 A A O 2O 3 中:aA-arccos2cf在 一 Rtg!0F中:2ra5=arccos 则:加一2加一2-4a-一四 一 小-a3-a4-a5又因为M Q 一定会在N E Q尸的角平分线

15、上，所以满足：6=%202我们采用向量的形式来求，易知丽，的一个方向向量:=(12)x2-n而 厚 与 丽2垂直，故其一个方向向量:而:02M =(p-m,q-n)所以:上 丝112II 02M I综合以上式子可以求得。2的坐标，从而可以得出路径的长为:L J a 2一厂+4 r+b+a r +2J(-)2-厂+101=GH+HB,这可以采用模型一中的线圆结构来求解。建立模型绳子套在一个环上，环套在一个定圆上。如图5图5可证明此路线为最短路径。六、模型求解问题一用AutoCAD软件对机器人的行走路径进行作图分析。1,0点到A点（0-A）目测从0点到A点比较短的路线有两条，即从障碍物5顶部绕和从

16、其底部绕（如图6）。用AutoCAD软件对路线进行标注（如图7）,计算两条路线的长度。路线 1 ：SAl=224.5 0+9.05 +23 7.4 9 =4 7 1.04线路 2：5A 2=23 7.4 9 +11.14 +24 9.8 =4 9 8.4 3两条路线进行比较可知线路1最短。2、0点到B点（O f B）目测可知从0点到B点的最短路线必从0点到B点线路1 （如图8）和0点到B点线路2（如图9）中产生，分别对两条路进行标注，线 路1标注图（如图6）,线路2标注图（如 图10）,计算两条路线的长度。图 4图5图6图7线 路 1 ：SR=111.36+6.15+96.95+9.89+60

17、+13.66+76.41 +7.78+76.41+4.23+305.78=800.46线 路 2：Sa=111.36+96.95+6.15+9.24+230.49+12.22+224.5+8.37+178.12=877.4对SDsi 和 品 进 行 比 较 可 知D i（5B SB）,线 路1为最短线路。3、0点到C点（0-C）作图分析可得出两条路线距离比较近，线 路1 （如 图11）和线路2（如 图12）。分别对两条路进行标注，线 路1标 注 图（如 图13）,线路2标 注 图（如 图14）,计算两条路线的长度。图 8图 9图线图11路1=43.59+6.89+80+6.54+387.81+

18、0.7+7.69+133.04+237.49+0.06+184.39=1088.2线路2SCr2=43.59+6.89+80+7.9+170+47.53+169.71+1.72+341.76+8.93+224.5=1102.53对5、Sc进行比较可c知l Scc 2OWAK询遇弱品繇4T帝犀泄11 1O900765432132事加二-烯口烯=7浴燃-S城黄爆曜盘S叫玲法屣(140.69,596.35)(144.5,591.65)(225.0,538.35)(230.63,530)(230.63,470)(222.52,459.82)(147.96,444.79)(141.68,440.55)(

19、51.8,305.5)(50.04,301.04)9(76.61,219.41)(70.51,213.14)9B底底笠(100,700)(140.69,596,35)(144.5,591.65)(225.5,538.35)(230.63,530)(230.63,470)(222.52,459.82)(147.96,444.79)(141.68,440.55)(51.8,305.5)(50.04,301.4)(300,300)(76.61,219.41)(70.51,213.14)凑达滕弟长度圆心坐标总距离总时间2 2 4.5471.0 496.0 2行走路线序号类型起始坐标终点坐标9.0 5(

20、80,2 1 0)O f C最短距离路线1直线(0,0)(2 32.1 1,50.2 3)2 37.492弧线(2 32.1 1,50.2 3)(2 32.1 7,50.2 4)30 5.7880 0.461 80.653直线(2 32.1 7,50.2 4)(41 2.1 7,90.2 4)4.2 3(60,30 0)4弧线(41 2.1 7,90.2 4)(41 7.82,94.83)1 62.2 55直线(41 7.82,94.83)(491.66,2 0 5.51)7.78(1 50,435)6弧线(491.66,2 0 5.51)(492.0 6,2 0 6.0 8)76.417直线

21、(492.0 6,2 0 6.0 8)(72 7.94,51 3.92)1 3.66(2 2 0,470)8弧线(72 7.94,51 3.92)(730,52 0)609直线(730,52 0)(730,60 0)9.89(2 2 0,530)1 0弧线(730,60 0)(72 7.65,60 6.44)96.951 1直线(72 7.65,60 6.44)(70 0.640)6.1 5(1 50,60 0)1 1 1.36长度圆心坐标总距离总时间2 37.491 0 88.22 2 8.0 10.0 6(2 30,60)1 84.397.69(41 0,1 0 0)1 33.0 40.7

22、(50 0,2 0 0)387.816.54(72 0,52 0)806.89(72 0,60 0)43.59行走路线序号类型起始坐标终点坐标长度圆心坐标总距离总时间1直线(0,0)(70.51,2 1 3.1 4)2 2 4.52弧线(70.51,2 1 3.1 4)(76.61,2 1 9.41)9.0 5(80,2 1 0)03直线(76.73,2 1 9.45)(2 94.1 5,2 94.66)2 30.0 6 4弧线(2 94.1 5,2 94.66)(30 0.43,30 7.1 1)1 5.42(2 90.88,30 4.1 1)A5直线(30 0.43,30 7.1 1)(2

23、 2 9.54,532.99)2 36.75 6弧线(2 2 9.54,532.99)(2 2 5.5,538.35)6.85(2 2 0,530)B7一 自：线(2 2 5.5,538.35)(1 44.5,591.65)96.952 730568.668弧线(1 44.5,591.65)(1 40.86,595.94)5.71(1 50,60 0)9直线(1 40.86595.94)(99.0 4,690.2)1 0 3.1 1C1 0弧线(99.0 4,690.2)(1 0 9.0 6,70 4.2 2)2 0.76(1 0 8.1 8,694.2 5)1 1直线(1 0 9.0 6,7

24、0 4.2 2)(2 70.88,689.96)1 62.4401 2弧线(2 70.88,689.96)(2 72,689.8)1.1 3(2 70,680)1 3直线(2 72,689.8)(368,670.2)97.981 4弧线(368,670.2)(370,670)2.0 1(370,680)行走路线序号类型起始坐标终点坐标长度圆心坐标总距离总时间0 A一 Bf C f 0 最短距离路线1 5直线(370,670)(430,670)602 730568.661 6弧线(430,670)(435.59,671.71)5.93(430,680)1 7直线(435.59,671.71)(5

25、43.41,738.2 9)1 1 9.1 61 8弧线(534.41,738.2 9)(540,740)5.93(540,730)1 9直线(540,740)(740,670)1 302 0弧线(740,670)(679.77,732.1 3)1 3.56(670,730)2 1直线(679.77,732.1 3)(641.7,699.47)92.552 2弧线(641.7,699.47)(70 1.59,637.39)4.85(70 9.2 4,643.83)2 3直线(70 1.59,637.39)(72 7.65,60 6.44)40.452 4弧线(72 7.65,60 6.44)(

26、730,60 0)7(72 0,60 0)2 5直线(730,60 0)(730,52 0)802 6弧线(730,52 0)(72 7.94,51 3.92)6.54(72 0,52 0)2 7直线(72 7.94,51 3.92)(492.0 6,2 0 6.0 8)387.812 8弧线(492.0 6,2 0 6.0 8)(491.66,2 0 5.51)0.7(50 0,2 0 0)行走路线序号类型起始坐标终点坐标长度圆心坐标总距离总时间O f A f Bf C f 0 最短距离路线2 9直线(491.66,2 0 5.51)(41 7.82,94.83)1 33.0 42 7305

27、68.6630弧线(41 7.82,94.83)(41 2.1 7,90.2 4)7.69(41 0,1 0 0)31直线(41 2.1 7,90.2 4)(2 32.1 7,50.2 4)1 84.3932弧线(2 32.1 7,50.2 4)(2 32.1 1,50.2 3)0.0 6(2 30,60)33直线(2 32.1 1,50.2 3)(0,0)2 37.490 -A最短时间路线1直线(0,0)(70.2 8,2 1 1.74)2 2 2.9471.1 494.2 1 92弧线(70.2 8,2 1 1.74)(77.91,2 2 0.82)1 2.2 6(82.41,2 0 7.53)3直线(77.91,2 2 0.82)(30 0,30 0)2 35.98