[研究生入学考试]《概率论与数理统计教程》课后习题解答.pdf

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1、第一章事件与概率1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件 B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。(1)叙述ABC的意义。(2)在什么条件下ABC=C成立？(3)什么时候关系式C u B是正确的？(4)什么时候,=8成立？解(1)事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。(2)A B C =C等价于CuA6,表示全系运动员都有是三年级的男生。(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时，1.3 一个工人生产了 n个零件，以事件表示他生产的第i个零件是合格品(1 W i 用A,表示下列事件：(D 没有一个

2、零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解仆 4；(2)；0 区(14)；i=l/=1 i=l i=l j=l加n(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；7=1i*j1.5 在分别写有2、4、6、7、8、1 1、1 2、1 3的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本 点总数为府=8 X 7。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、1 1、1 3中的两个，或为2、4、6、8、1 2 中的一个和7、1 1、1 3 中的一个组合，所以事件A“所得分数为既约分数”包含A

3、；+2 A；x A；=2 x 3x 6个样本点。于是P(A)=2 x 3x 68 x 79L 41.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的概率。解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于9 x 1 0 1 =8 9个不同位置，当它处于和红“车”同行或同列的9 +8 =1 7个位置之一时正好相互“吃掉”。故所求概率为1 7P(A)=8 91.9 一幢1 0 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解每位乘客可在除底层外的9

4、 层中任意一层离开电梯，现有7 位乘客，所以样本点总数为9。事件A“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从 9 层中任取7 层，各有一位乘客离开电梯”。所1.1 0 某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从00001到 10000。问事件“偶然遇到一辆自行车,其牌照号码中有数字8”的概率为多大？-94 r 9 Y解 用A表 示“牌照号码中有数字8，显然P(A)=-=，所以10000 iojP(A)=1-P(A)=1-10000L 1 1 任取一个正数，求下列事件的概率：(2)该数的四次方的末位数字是1；(3)该数的立方的最后两位数字都是1；4 2解(2)当该数的末位数是1、3、7、9

5、 之一时，其四次方的末位数是1,所以答案为一=一10 5(3)一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件A 表示“该数的立方的最后两位数字都是1，则该数的最后一位数字必须是1,设最后第二位数字为a,则该数的立方的最后两位数字为1和 3 a 的个位数，要使3 a 的个位数是1,必须a=7,因此A 所包含的样本点只有71这一点，于是1.12 一个人把6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到2 根草的情形。解(1)6根草的情形。取定一个头，它

6、可以与其它的5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它未接过的3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有5 3 1种接法，同样对尾也有5 3 1种接法，所以样本点总数为(5 3 。用 A 表示“6 根草恰好连成一个环”,这种连接，对头而言仍有5-3-1种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为4-2。所以A 包(5 3 1)(4 2)8含的样本点数为(5.3-1)(4-2),于是P(A)=一 ，=(5-3-1)(2)2根草的情形和(1)类似得几 1.1

7、5 在A48C中任取-点P,证明AA8P与AABC的面积之比大于的 概 率 为 二。n n解 截 取CD=LC。，当且仅当点尸落入C48之内时A48尸与A4BC的面积之比大于f l I，因此所求概率为尸(A)AABC3万有面积 CDr的面积 5CD 1.1 6 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分 别 用 表 示 第一、二艘船到达泊位的时间。一 艘船到达泊位时必须等待当且仅当2 42-X 2 32-X 2 220 x-y2,0y-xL 因此所求概率为 P(A)=-0.1 2 11

8、.1 7 在 线 段 上 任 取 三 点 尤 九 2,无 3，求：(1)%2 位于匹与尤3 之间的概率。(2)4玉,A%2,A%3能构成一个三角形的概率。;1 ，3 x -1x -1.解(1)P(A)=-(2)P(B)=-C3 1 21.2 0 甲、乙两人从装有a个白球与人个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。史解均表示白，02 表示黑白，例 表示黑黑白，你+表 示 黑 一黑 白，则样本空间。=。1，七+J,并且P(0j)=，一，a +ba、b b-a-，尸(仆 )=-，。+一1

9、 a +b a +h-i a +b 2b-1/？-(/-2)aa +b-1 a +b (i -2)a +b-(i-l)p(户总P(%)=b l a a +b a +b -X)-a甲取胜的概率为 P(0 j)+P(0 3 )+P(0 5 )+-乙取胜的概率为P(0 2 )+尸(汲,)+P(0 )+1.2 1 设事件 A,8 及 A D 8 的概率分别为 p、g 及 r,求 P(AB),P(A B),P(AB),P(AB)解由 P(A。8)=P(A)+P(B)-P(A B)得P(A B)=P(4)+P(6)-P(A u 8)=p +q -rP(A g)=P(A-A B)=P(A)-P(A B)=r

10、-q ,P(A B)r-pP(AB)=P(A u B)=1 一尸(A u 8)=1 -r1.2 2 设A 2 为两个随机事件，证明:P(A4)=1-p(A)P(A2)+P(A,A2)；(2)1-尸()-P(月)P(4 4)P(A,UA2)0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。1.2 4 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45 乐订乙报的有 3 5%,订丙报的有3 0%,同时订甲、乙两报的有1 0%,同时订甲、丙两报的有8%,同时订乙、丙两报的有5%,同时订三种报纸的有3%,求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的：(3

11、)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件A表示订甲报，事件8表示订乙报，事件C表示订丙报。(1)P(ABC)=P(A-(ABu AC)=P(A)-P(ABu AC)=3 0%(2)P(ABC)=P(AB-ABC)=7%(3)P(BAC)=P(B)一 P(AB)+P(BC)-尸(ABC)=23%P(CAB)=P(C)-P(AC)+P(BC)-P(ABC)=20%P(ABC U+BAC+CAB)=P(A8C)+P(BAC)+尸(CAB)=7 3%(4)P(ABC+ACB+BCA)=P(ABC)+P(ACB)+P(BCA)=14%(5)P(A+

12、8+C)=90%(6)P(ABC)=-P(A+B+C)=1-90%=10%1.26某班有“个学生参加口试，考签共N张，每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？N解 用4表 示“第，张考签没有被抽到，i=l,2,，N。要求P(U d)。i=lP(A，)=(M)4 4)=(写)，P(A A)=(空)=%展1与1N-2N)所以 N N(Mp（U a）=z（-i）i1=1 I=I1.2 9 已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解 用仇g分别表示男孩和女孩。则样本空间为:Cl=(b,b,b),(

13、b,b,g),(b,g,b)(g,b,b),(,b,g,g)g,b,g(g,g,b)(g,g,g)其中样本点依年龄大小的性别排列。A表示“有女孩”，B表示有男孩”，则P(B|A)=P(AB)_ 6/8 _ 6P(A)7/8 71.3 0 设M件产品中有机件是不合格品，从中任取两件，（1）在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）设A表 示“所取产品中至少有一件是不合格品”，8表 示“所取产品都是不合格品”，则（2）设C表示“所取产品中至少有一件合格品”，。表示“所取产品中有一件合格品，一件不合

14、格品”。则(mz n Y M 一 舟(M 2-nAjP(C)=MP(O)=M2mM+m-l1.3 1 个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求:已知前2 1伏 ）个人都没摸到，求第k个人摸到的概率;第 攵（0）,而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p,证K明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为二即。r!解 用4人表示“母鸡生攵个蛋”，3表示“母鸡恰有r个下一代”，则8 8 夕 女。一2 （攵、P（B）=P（A ）P（B I A）=Z-P Q-P）jk=r k-r_（4 P）U（1 -P H _（4 P）/l（l-p）r!（k-r y.r!P）c”1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨

15、床的台数之比为9:3:2:1,它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？9 3 2 1解则 p（A,）=,P（4）=，尸（43）=话，4）=12 3 1P（BAi）=,P（BA2）=,P 4）=亍，P（BA4）=-由贝时叶斯公式得 p（Aj B）=P（A）P（8 I A）=火p（4）尸 4）*=|1.36有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是,、4922飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4.如果,而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试3 12问他是乘火车来的概率是多少？解 用4

16、表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A,表示“朋友乘汽车来”，A,表示“朋友乘飞机来”，8表 示“朋友迟到了”。则 P（A IB）=之P（4）P（8|4）2h l1.41 一个人的血型为。,A,8,A 3型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.0 3,现在任意挑选五个人,求下列事件的概率(1)两个人为。型，其它三个人分别为其它三种血型;三个人为。型，两个人为A型；(3)没有一人为A 3。解(1)从5个人任选2人为。型，共有 种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能,在 余 下 的2人 中 任 选 一 人 为B型，共 有2种 可 能，另 一 人 为A 3型，顺此所求概

17、率为：2x3 x2x0.4 62 x0.4 0 x0.l l x0.13 =0.016 8(2)f5|x0.4 62x0.4 02 0.15 5 7(3)(1-0.03)5 =0.8 5 8 71.4 3做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p,求在成功“次之前己失败了初次的概率。解 用A表 示“在成功”次之前已失败了机次”，8表 示“在前 +加一1次试验中失败了九 次”，C表 示“第”+加 次试验成功”贝U P(A)=P(BC)=P(B)P(C)=p T(l _ py.pm(+?-=P (l-P)I m)1.4 5某数学家有两盒火柴，每盒都有“根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中

18、抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴(l r 0)Z:=0,1,2,o 由于 4&一 =e ,得=2,乙=。(不k 224 2合要求)。所以 P(J =4)=e 2=-e 2 o2.11设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.9 9 9。解 设J为该种商品当月销售数，/为该种商品每月进货数，则尸(J W幻2 0.9 9 9。查普哇松分布的数值表，得x N 1 6。2.12如果在时间，（分钟）内，通过某交叉路口的汽车数量服从参数与，成正比的普哇松分布。已知在一分钟内没有汽车通过的概率为0.2,求在2分钟内有

19、多于一辆汽车通过的概率。解 设j为时间r内通过交叉路口的汽车数，则f =l时，P(J=0)=e =0.2,所以?l =l n 5；f =2时，A t 21n 5,因而P 1)=1 -P也=0)-P(J=1)=(24-I n 25)/25=0.83。2.13 一 本500页的书共有500个错误，每个错误等可能地出现在每一页上（每一页的印刷符号超过500个）。试求指定的一页上至少有三个错误的概率。解在指定的一页上出现某一个错误的概率p=一,因而，至少出现三个错误的概率为豹500丫 1 丫(49 9丫 _ pOOY 1 丫(49 9丫 旦 Jso o J 5o o J=1-9攵 Jso o J I

20、so o J利用普哇松定理求近似值，取；l =p =500 x一=l,于是上式右端等于5002 1 5l-Y-e-1=1-0.0803013 k!2e2.1 4某厂产品的不合格品率为0.03,现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？解设每箱至少装100+x个产品，其中有个次品，则要求X,使|O.03A0.97100+X-eoo+0.9 0,0 p /M=0,1,2,3,4；p(/7=/2)=O.3,O.74,.n =0,1,23,4；p(?=Q=0.2*0.84-*,k =0,123,4。2.1 8抛掷三次均匀的硬币，以J表示出现正

21、面的次数，以77表示正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(？,)的联合分布列及边际分布列。2.2 1设随机变量J与独立，且P(J=1)=P(t=1)=p 0,又PG=0)=p(77=0)=l p0,定义l =p若J+为偶 数，问P取什么值时J与6()若4+为奇数独立？解 p(c=i)=pq=o)p(=o)+P 化=1)尸(=i)=(i-p)2+p2p(=0)=PC =0)P(7=1)+P(4=0)P(7=1)=2p(l -p)而 p =1，=1)=P4=i)=/，由 P C=1,?=i)=p =i)P=1)得0=122.2 2设随机变量J与77独立，且PC =l)=P(Z 7=l)=g,

22、定义？=，证明两两独立，但不相互独立。证明 p(?=D =PC =1)P =1)+PC =-1)P(7=_ 1)=gp(?=-1)=PC =1)尸=-D +P C =-D P =1)=；因为 P(J=1,=1)=p(J=1,77=1)=-=p(J =I)P?=1)4P比=1，=-1)=P(J=1,77=-i)=l p(j =i)p=-1)4尸(4=_i，7=I)=PC =I,=I)=；P4 =-I)P=1)P=-lX =-l)=P(J=-l,Z7=l)=|P=1)P=-1)所以?,J相互独立。同理与，相互独立。但是=1,=1/=1)。P(J =I)P(=1)尸 =i)，因而 q&n 不相互独立

23、。2.23设随机变量J与独立，且只取值1、2、3、4、5、6,证明J +不服从均匀分（即不可能有P(J+=左)=,左=2,3,12 o)证 明 设 尸C=k)=Pk,尸(=k)=qk,k=1,2,6 o若尸(J+7 7 =k)=,&=2,3,一,12,则PC+；7=2)=pU1=(1)P+=7)=2应6+。2%+。6坊=5 (2)尸 +=12)=/?6必=5 将（2）式 减 去（1 ）式，得：（06 一 Pl Ml 0，于 是。6 P l。同 理46 0。因此P4 与 式 矛 盾。2.2 4已知随机变量J的分布列为 n 0 7 T21 1 12,求=J+2与？=co sj的分布列。解 分布列为

24、P(7；=2)=；,P(=2+g)=g,尸(z7=2+g)=；的分布列为尸(4=-1)=l，=0)=,=1)=-4 2 4，一2-1 0 1 3、2.2 5已知离散型随机变量J的 分 布 列 为1 1 1 1 1 1 ，求 =J2的分布列。解 P(=0)=:,尸(=1)=，尸=4)=g,P(=9)=g(0 1 3、112.2 6设离散型随机变量。与 的分布列为J：1 3 1 ,7/：j_ 2，且J与相互独 3 3 J立，求6=4+的分布歹h(0 1 2 3 4、解 11 1 J_ J_、6 24 4 24 12,2.2 7设独立随机变量J与 分别服从二项分布：b(k;np)与b i k;%,P

25、)，求+的分布列。解 设J为 1重贝努里试验中事件A发生的次数(在每次试验中P(A)=)，为4重贝努里试验中事件A发生的次数(在每次试验中P(A)=p),而孑与相互独立，所以J+77为 +%重贝努里试验中事件A发生的次数，因而P G +=Q =(I；2卜4%+厂 上，z =0,1,.,+2。2.2 8设J与为独立同分布的离散型随机变量，其分布列为P(J=)=n)=*,=1,2,求J+的分布列。-1n-i 1 1 n 解 PC+Z7=)=Z PC=%*(=%)=Z玄%=1 k=i 2 2 22.29 设随机变量 J 具有分布：PC =A)=(,A =1,2,3,4,5,求 E J、E$及 E(J

26、 +2)2。解，二=；(1+2+3 +4+5)=3,E 2=1(12+22+32+42+52)=11E +2尸=E 2+4+4=272.3 0 设随机变量J具有分布：P(&=k)=Lk=l,2.,求E J及2K解 心=品立=2,喀=落=汽唔JD J =E J 2_(咐=22k 12.3 1 设离散型随机变量J的分布列为：。4=(一1)下 =9，4=1,2，一，问J是否有数学期望？8 2A 8 8 解i(-i)I-=2 L-,因为级数2上发散，所以j没有数学期望。k=i k 2 k=i k 女=1 k2.3 2 用天平秤某种物品的重量（硅码仅允许放在一个秤盘中），物品的重量以相同的概率为1 克、

27、2克、10克，现有三组祛码：（甲组）1,2,2,5,10（克）（乙组）1.2,3,4,10（克）（丙组）1,1,2,5,10（克）问哪组祛码秤重时所用的平均祛码数最少？解 设 、虞、,分别表示及甲组、乙组、丙组祛码秤重时所用的祛码数，则有物品重 量 度 123456789 104 1 1 2 2 1 2 2 3 3 1$1 1 1 1 2 2 2 3 3 1刍 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1于是 E&=（1 +1+2+2+14-2+2+3 +3 +1）=1.8酸=j（l +l +1 +1+2+2+2+3 +3 +1）=1.7阳=（1 +1 +2+3 +1 +2+2+3 +4+1）=2所

28、以，用乙组祛码秤重时所用的平均祛码数最少。2.33某个边长为500米的正方形场地，用航空测量法测得边长的误差为：0 米的概率是0.49,10米的概率各是0.16,20米的概率各是0.08,3 0米的概率各是0.0 5,求场地面积的数学期望。解 设 场 地 面 积 为 S 米 2,边 长 的 误 差 为 4米，则S=6 +500）2 且E&=0 E&2=2（102 x 0.16+2（）2 x 0.08+3（）2 x 0.05）=18 6所 以 E S=E 化+500）2=E$+1000EJ+250000=25018 6（米？）2.3 4 对三架仪器进行检验，各仪器发生故障是独立的，旦概率分别为P

29、|、p hP y试证发生故障的仪器数的数学P1+P2+P 3。e1第，架仪器发生故障第i架 仪 器 未 发 生 故 障 一 J为发生故障的仪器数，则E&=P&=1）=p：,i =1,2,3 ,所以=E&+E j?+E&3-Pl +P2+3.2.3 7 如果在15000件产品中有1000件不合格品，从中任意抽取150件进行检查，求查得不合格品数的数学期望。解 设，1 V 1则的分布列为 X 11，因而=。设4为查得的不合格品数，则1 5 T?J 1515 015 04 =E/,所以 EJ=Z E q=1 0 oi=l i=l2.3 8 从数字0,1,，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝

30、对值的数学期望。鹿一Z +解 设J 为所选两个数字之差的绝对值，则P(J=Z)=，=1,2,一，In-k +lI 2)于是=攵k=12-(+1次 =(+1)4=1n+232.3 9 把数字1,2,-一，任意在排成一列，如果数字恰好出现在第女个位置上，则称有一个匹配,求匹配数的数学期望。解设J*=n)E式E&+1).n-oo证明 由于4=2(4=)存在，所以该级数绝对收敛。从而n=0E g=S p c=)=X Z P G=)=P C=)=p c?i)。n=1 i=l i=l n-i i=loo(2)D J存在,所 以 级 数=Z 2 p(j =)也绝对收敛，从而=0DJ=EJ2+E j _ EJ

31、(EJ+1)=W (+1)P(J=)-E 氧 EJ+1)n=l=Z i P 化=)一 E&(E g+1)=2 P=n)-E 氢 E j+1)n=l Z=1/=1n=i=2”(短 )-酸(酸 +1).=12.4 1在贝努里试验中，每次试验成功的概率为,试验进行到成功与失败均出现时停止，求平均试验次数。解 设成功与失败均出现时的试验次数为则尸(J 1)=1.P(J?)=p T+q T,=2,3,(4=1 -p)oo oo利用上题的结论，E J =PCz i)+PC?)=i+Z(p T +。1)n=2 n=2,p,q p2-p+l -p -q p(l-p)2.42从一个装有 2个白球、几个黑球的袋中

32、摸球，直至摸到白球时停止。如果(D摸球是为返回的，(2)摸球是返回的，试对这两种不同的摸球方式求：取出黑球数的数学期望。解 略。2.43对一批产品进行检验，如果检查到第 件仍未发现不合格品就认为这批产品合格，如在尚未抽到第 件时已检查到不合格品即停止继续检查，且认为这批产品不合格。设产出数量很大，可以认为每次检查到不合格品的概率都是p，问平均每批要检查多少件？解 略。2.44流水作业线上生产出的每个产品为不合格品的概率p ,当生产出个不合格品时即停工检修一次。求在两次检修之间产品总数的数学期望与方差。解 设 第 个 不 合 格 出 现 后 到 第i个不合格品出现时的产品数为i =l,2,-，Z

33、.又在两次检修k之 间 产 品 总 数 为 则盘/=1因。.独立同分布，P&=j)=q J-p,j =1,2,G?=1 )，由此得：E却=二t JQj P=1，E&；=f j 2 q，Tp=j=i P M P。=岗-(酸)2=p心4*,D上冲2.4 6 设随机变量J 与独立，且方差存在，则有。（切）=。+（E j）2 .+）.（即 产（由此并可得 ）（切）？D D?J）证明 D（5）=E$?f S）2=E针E?f-（酸）2（助）2=EE r f -E$（E疗+E7回 T E+“E疗=E D q-的丫 D j=D/D/+阳了.Dr j +(E q)22.4 7 在整数。到 9中先后按下列两种情况

34、任取两个数，记为J 和：(1)第一个数取后放回，再取第二个数；(2)第一个数取后不放回就取第二个数，求在=%(0WZW9)的条件下J的分布列。解 P(J =i|=攵)=看 i =0,1,9.(2)P(J =i I =k)=L(z =0,1,-,9,z k),P =k =k)=092.49 在次贝努里试验中，事件A出现的概率为p,令1在第i次试验中A出现0在第i次试验中A不出现求在+$+4,=0 Wr)的条件下，,(0 i )的分布歹I。解尸（。=0 或+5+一 +&=）=PC =o，&+泰+蠢+4 =0P（+.-+,尸虑=1后+幺+以=)=1-匕=。n n2.5 0 设 随 机 变 量,J 2

35、 相互独立，分别服从参数为几 与几2的普哇松分布，试证:P=后|。+$=）=（n 4 在1.k ,I I rv 7 1 n-k44 +乙一”、Pg=+A,=及）证明 P&=%|g+&=）=喧 3p（q+4=）=P&=k）P&=k）尸（4 +5 =）由普哇松分布的可加性知$+J 2服从参数为4 I +4 2的普哇松分布，所以4 1 -4 ”2 4,c-e k(一 人)!P&=k&+&=)=(4+九),.)1/，-(4 1+A 2)n!丫2,+A2儿广儿+丸2,2.51设J-4 2,，气 为 厂个相互独立随机变量，且（li W r）服从同一几何分布，即有P&=k）=q p i,k =1,2,（1

36、z r）,其 中q l-p.试证明在。-n f.=的条件下，（。，/?，.）的分布是均匀分布，即证明 P&=，媒=%|J+a=P&+J，=)P&+&=):尸(.=，=，)P&+&=)由于41，4 2,，相互独立且服从同一几何分布，所以P”二 卜 P%=1，2,从而P4 =看，=或第三章 连续型随机变量3.3函数sin x是不是某个随机变数J的分布密度？如果J的取值范围为兀 3(1)0,；(2)0,7r：(3)0,7t o2 2冗解：当 工 0,m 时，sin九2 0且Esin x d r=i,所以sin x可以是某个随机变量的分布密度;因 为 卜i n3=2Wl,所以sin x不是随机变量的分

37、布密度;3(3)当尢 万,一九 时，sin x 0,有(1)!caF(-a)=1 -F()=/一 J。p(x)d x；(2)P(阳 a)=2 1 -F(t z)o证：(1)F(-。)=p(x)d x=1 -p(x)d xJ c o J a广 一8=1 +p(-x)d x=1-p(x)d xJ a J r0=1-F(a)=I-J p x d xr a J /-J。p(x)d x =-p(x)d x；(2)P的 a)=1 -P(g 0,人 0是两个常数，且a+人=1。证明F(x)=a Fx(x)+b F2(x)也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为E(X)

38、与 工(龙)都是分布函数，当不时，耳(须)耳(工2)，工(玉)工 尸2(*2)，于是F(X j)=a Fx(X )+b F2(x,)-i 8 x 8F(x-0)=a F(x -0)+b F2(x -0)=a F(x)+b F2(x)=F(x)所以，尸(x)也是分布函数。=h =,又令2这时0 x00 x 0片(x)=,八 F2(X)=X 0 X 0l 1 X 10 x 01 4-rF(x)=-0 J C 显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故尸(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。3.9已知随机变数J的分布函数为Xp(x)=1 2 -x00 j c

39、 1l x 2其它(1)求相应的分布函数F x)；(2)求 P(J 1.3),尸(0.2?1.2)。解:尸(x)=0 x 0 yd y=-x2 o%1 yd y+1 (2-y)d y=2 x-x -x 2PC 1.3)=1 -W 1.3)=1 -F(1.3)=0.2 45P(0.2 J 1.2)=F(1.2)-F(0.2)=0.663.1 0确定下列函数中的常数A ,使该函数成为一元分布的密度函数。(2)p(x)=A c o s 尤0-x 2 2其它A x2l x 2(3)p(x)=Ax2cx 30其它n 7t 解：(2)Ac o s x d x =CG x d x=2 A =1,所以 A=；

40、2 2-,科 ，2 9 6(3)I Ax d x+I Ax d x =A=1,所以 A =。J i J 2 6 2 93.1 3某城市每天用电量不超过一百万度，以J表示每天的耗电率(即用电量除以一万度)，它具有分布密度为,、1 2 x(1-%)2 0%0.8)=11 2 x(1 公=0.02 7 2*0.8P也 0.9)=1 2 x(1 8-公=0.003 7J0.9因此，若该城市每天的供电量为8 0万度，供电量不够需要的概率为0.02 7 2,若每天的供电量为9 0万度，则供电量不够需要的概率为0.003 7。3.1 4 设随机变数J服 从(0,5)上的均匀分布，求方程4x2+4 3+4 +

41、2 =0有实根的概率。解：当且仅当(4 )2-1 6(+2)0 (1)成立时，方程4 x2+4夕+4 +2 =0有实根。不等式(1)的解为：J 22或44一1。因此，该方程有实根的概率p=P C 2 2)+PC WT)=P C 2 2)=353.1 7 某种电池的寿命J服从正态N(a,c r 2)分布，其中a =3 00(小时)，2 5 0)=P(；。-1.4 3)P(。1.4 3)=0(1.4 3)=0.9 2 3 6 ；nz匕 x J 3 00(2)P(-x J ()-l 0.93 5 3 5 3 5X 1.6 53 5x 5 7.7 5万(x,y)=1 x+y 00 x+y 0对每个变元

42、单调非降，左连续，且尸(一8,y)=/(羽一8)=0,F(-,+oo)=0,但是F(x,y)并不是一个分布函数。证：(1)设A x 0,若x+y 0,由于x+A x+yO,所以/(,)=E(x+A r,y)=1,若x+y WO,则当x+A x+y WO时，F(x+A x,y)=0；当 x+A r+y 0 时，FX x+A r,y)=1。所以 F(x,y)0时，l i m F(x -A x,y)=l i m Fi x,y-A y)=1 =F(x,y),AxJO AyJO所以尸(x,y)对无、y左连续。(3)F(oo,y)F(x,-)0,F(+,+oo)-0(4)P(0 W J 2,0 W 2)=

43、F(2,2)-/(2,0)-F(0,2)+F(0,0)=-1,所以F(x,y)不是一个分布函数。3.2 3 设二维随机变数,）的密度1 ,、/、-s i n(x+y)P(x,y)=j 20兀 兀0 x-,0 y-2 -2其它求（5）的分布函数。兀 71解：当O W x W ,O V y W 一 时,2 -2F(x,y)=y)=：s i n(r +s)d s d t1产=c ot-c os(r +y)d t=g s i n%+s i n y s i n(x+y),所以F(x,y)=0-s i n x+s i n y s i n(元 +y)-(s i nx+l-c os x)；(1 +s i n

44、y-c os y)1(x 0)u(y 0)0 x ,0 y 一2 2x-,Q y ,y 2 23.2 4设二维随机变数（J,7）的联合密度为k e 3x4yp（x,y）=0,y 0其它(3)求P(O 4 1,O 7 7 0,y 0时,F(x,y)=：1 1 2 3-4 8出 杰=1 2(1)-3 力)(：/4 8为)=(l-e-3 x)(l eiv),所以尸(x,y)=0,y 0其它(3)尸(0 J l,0 2)=F(l,2)-F(0,2)-F(l,0)+F(0,0)3.2 5设二维随机变数C，）有密度函数A力+嫡求常数A及G，7 7）的密度函数。解:p(x,y)dxdypoo pooJ co

45、 J co；-；-r-dxdy%2 (1 6+/)(2 5 +/)-4A r dx r dy _ A茄 J。1 6 +/J。2 5 +/-2 0所以，A =2 0：F(x,y)=V p(t,s)dtdsJoo J o o2 0ry dtds7t L L (1 6 +产)(2 5 +Y)7i J-1 6+厂 J 2 5 +/1 /x 兀、,y 、=(arctg-+Xarctg-+)7T 4 2 5 23.2 6设二维随机变数（J,）的密度函数为p(尤,y)=4xy 0 x 1,0 y 1o其它求(1)P(0 J g,；Z 7 l);(2)P C=7 7);P G );(4)P CW)。解:(1)

46、P(0 77l)=pj j xydxdy=xdx ydy=;24。4。4 6 4(2)P 记=)=JJ 4xydxdy=0;x=y(3)P(J 7 7)=Jjxydxdy=j J 4xydydx=2(x-x2)dx=;x y 0 0 2(4)P(7)=13.2 8设C，)的 密 度 函 数 为p(x,y)=200 l,0 y 2其它.1求J与7中 至 少 有 一 个 小 于-的 概 率。解:P 1)u(Z 7|,；7 1)poo A OO1-J1 Ji p(x,y)dxdy=12 2583.3 4 证 明：若 随 机 变 数J只 取 一 个 值a ,则4与 任 意 的 随 机 变 数7 7独

47、立。证：J的 分 布 函 数 为a(x)=0 x a设 的 分 布 函 数、C，)的 联 合 分 布 函 数 分 别 为%(y),F(x,y)。当 x Wa 时，F(x,y)=x,r/y)-Q-Fi.(x)Fll(y)a 时，F(x,y)=P(4 x,q y)=P(y)=Fg(x)F4(y)。所以，对任意实数 x,y,都有F(x,y)=(x)T (y),故 J与 相 互 独 立。3.3 5 证 明：若 随 机 变 数J与 自 己 独 立，则 必 有 常 数C,使 尸(J=C)=1。证：由于尸 x)=P(J x)=P(J x)P(J x),所以 F(x)=F(x)2,口(外=0或1 0由 于 尸

48、(一8)=0,/(+8)=1,尸(%)非 降、左 连 续，所 以 必 有 常 数c,使 得x C0F(x)=1 0故 P(J=c)=1.3.3 6设二维随机变量C，7)的密度函数为p(x，y)=1 l -，/4，o 其它问J与 是否独立？是否不相关？解：P式光)=7m =2 1乃 A、(|x 区 l);p4(x)=0,(|x|1)。2 J1-y2同 理,%(y)=,(l y)=0,(1 y 1)。由于p(x,y)h pg(x)%(y)，所以J与不相互独立。又因p(x,y),心(x),%(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E j=E =(切)=0,故c o v(，7)=0,J 与 z；不相关。3

49、.4 1设某类电子管的寿命(以小时计D具有如下分布密度：1 0 0M“)=7%100 x】5 0)=匚詈公量所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(%)3 =%7 ；三个这类管子全部要替换的概率是Q -%?=%7。3.4 7随机变数4在任一有限区间 a,H上的概率均大于0 (例如正态分布等)，其分布函数为与 瓮)，又服从 0,1 上的均匀分布。证明？=今的分布函数与J的分布函数相同。解：因为J在任一有限区间 a,以上的概率均大于0,所 以 也(幻 是严格上升函数。由于 0,1 上的均匀分布，所以 的分布函 数 序(x)=P(9 x)=P(介T()0)求4 +的密度函数。解：=pn(x)=-e!

50、a,PM(x)=L P式%-y)%(y)tf y,当x N O时，,、r 1 J l-t-y l+l l l ,P/x)=J hT e x p彳-dy4 f z a J1 fo J W.-21Z=e 6+J e 0 dy+y e a dy=J _(1 +与 e%4。a当x v 0时，i f-y 、y r-y 尸*+.i v/P/3 =彳 JY：6 +f e F d y+f所以1j yP+nM =r(ax)e/a4a3.5 0设随机变量J与独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为M光)=%(1 +/)证明：G=g(J +77)也服从同一分布。证:/+(y)=r1 1 1 ,r-r-亍 d xJ-兀