河北省秦皇岛市2021-2022学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析.pdf

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1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21.已知双曲线二 一 二=1（。80）的右焦点为尸，过尸的直线/交双曲线的渐近线于A、B两 点,且直线/的倾斜a b 角是渐近线04倾斜角的2倍，若 通=2而，则该双曲线的离

2、心率为（）A 3&R 273 而 n 石A.-B.-C.-D.4 3 5 22.圆锥底面半径为石，高为2,SA是一条母线，P点是底面圆周上一点，则P点到SA所在直线的距离的最大值是（）A 2亚 4石 _ .A-B.-C 3 D.43 33.一袋中装有5个红球和3个 黑 球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X,则（X）为（）4.在AABC中，角A 8,C所对的边分别为a,b,c,已知4 cosBsinC=G c，贝!）8=（）6.已知抛物线C:y 2=4 x和点。（2,0）,直线=）-2与抛物线C交于不同两点A,B,直线B D与抛物线C交于另一点E.给出以下判断：以3 E为直径的圆与抛

3、物线准线相离；直线O B与直线O E的斜率乘积为-2；设过点A,B,E的圆的圆心坐标为9,6）,半径为，则/一/=4.其中，所有正确判断的序号是（）A.B.C.D.7.在 A6C中，内角A,C所对的边分另!|为a,b,c,且a c o s 3+/?s i n A =c,.若a =2,AA B C 的面积为3（0一1）,贝！JZ?+c=（）A.5 B.272 C.4 D.168.三国时代吴国数学家赵爽所注 周髀算经中给出了勾股定理的绝妙证明.下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实.图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实

4、、黄实，利用2x勾*股+（股-勾）2=4 x朱 实+黄 实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2.设勾股形中勾股比为1:6,若向弦图内随机抛掷1000颗 图 钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）C.300 D.500 x-y.O9.已知X，）满 足x+y.O,则 金 的 取 值 范 围 为（x-2)3A.B.（1,2 C.（,0 IJ 2,+00）D.（1）VJ 2,4-o o）10.已知数列。,是 公 比 为q的等比数列，且a,%，在 成等差数列，则 公 比q的 值 为（）1 -1-1A.一一 B.-2 C.-1 或 一 D.1 或 一一2 2 211.在A A B C中，s i

5、 n A s i n 3是t a n A t a n 8 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C,充要条件 D.既不充分也不必要条件12.半正多面体（s e,i r e g“/a r s o d）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体，体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形为面的半正多面体.如图所示，图中网格是边长为1 的正方形，粗线部分是某二十四等边体的三视图，则该几何体的体积为（）解ft附二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.已知向量5=（1），（2a+b）-a=2,则|

6、力|=_,14.验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止O C R）,由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0,1,2,9 中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如 14532,12543）,已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7 的概率为.15.已知函数/（X）是定义在R上的奇函数，其图象关于直线X =1对称，当X（0,l 时，/。）=一*（

7、其中e 是自然对数的底数，若/（2020l n 2）=8,则实数。的值为.16.已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为60。，侧面积为4五，则 该 棱 锥 的 体 积 为.三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（12分）如图，在 直 三 棱 柱 中，AB=B C =AA=l,A C =g,点 D E 分别为A C 和 A G 的中点.（I）棱 A A 上是否存在点。使 得 平 面 平 面 M E?若存在，写出Q4 的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（II）求二面角A 5 E。的余弦值.18.(12分)已知抛物线G：/=4)的焦点尸也是椭圆6：/+=1(。

8、0)的一个焦点，G与G的公共弦的长为2瓜.(1)求 的 方 程;(2)过点尸的直线与G相交于A、3两点，与 相 交 于c、D 两 点,且 衣 与 丽 同 向，设G在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线/绕点/旋转时，A M E D总是钝角三角形；(3)P为G上的动点，A、4为G长轴的两个端点，过点。作A2P的平行线交椭圆于点R,过点。作A P的平行线交椭圆于点S,请问A O R S的面积是否为定值，并说明理由.19.(12 分)已知 AABC 的内角 A,B,C 的对边分别为，b,c,且 a s i n(A+8)=c s i n 土C.2(1)求A;(2)若A A B C的 面 积 为 由

9、，b+c =5,求A A B C的周长.20.(12分)已知椭圆C:+V=i,点 尸(毛,%)为 半 圆/+丁2=3(丁20)上一动点，若过户作椭圆C的两切线分别交x轴 于 加、N两点.(D求证：P M 工P N ；(2)当时，求 的 取 值 范 围.21.(12分)已知函数“力=吧，(x)=x-c o s x-s i n x.(I)判断函数g(x)在区间(0,3)上零点的个数，并证明：(II)函 数/(X)在区间(0,3句上的极值点从小到大分别为再，/，证明：/()+/(x2)022.(10 分)已知函数/(x)=|o x +l|+|x-l|.(1)若a =2,解关于x的不等式/(x)()时

10、，/。)1恒成立，求实数。的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】先求出直线/的方程为y (x-c),与)=2*联立，可得A,8的纵坐标，利 用 衣=2而，求出内 的a-b a关系，即可求出该双曲线的离心率.【详解】双曲r线2 斗v2=1(a b。)的渐近线方程为7=hX，直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍,“2ab2，二直线/的方程为尸(x-c)a-b,b-2abc与y=x联立，可得y二一丁 ra 3a-b或 片2abc,:AF=2FB，.2abc _.2abc:、a=5/3 b,:c=2b,

11、.c 2G.e a 3故 选B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题.2.C【解析】分析：作出图形，判断轴截面的三角形的形状，然后转化求解。的位置，推出结果即可.详解：圆锥底面半径为逐，高为2,SA是一条母线，P点是底面圆周上一点，P在底面的射影为。；SA=J T B =3,Z A S Q 90,过。作QTLSA于T,则Q T Q S,在底面圆周，选择P,使得NPSA=9 0,则P到S4的距离的最大值为3,故选：C点睛：本题考查空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，解题的关键是作出轴截面图形，属中档题.3.A【解析】由题意可知，随机变量X

12、的可能取值有0、1、2、3,计算出随机变量X在不同取值下的概率，进而可求得随机变量X的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量X的可能取值有0、1、2、3,则 p（X=0）=邑=竺 p（x=1）=C汨=30P（X =2 =C，3 =尸（X=3）=G =川（）C；5 6（）C；56（）C；56，56.因此，随机变量X的数学期望为E（X）=0 x +lx M 2 x 1|+3x需=*故 选:A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.4.D【解 析】根据正弦定理得到4sin3cos3sinC=V3sinC，化简得到答案.【详 解】由 4bcos8sin C=g c,得4s

13、in8cos8sinC=G sinC,“2人争，2*或 与,.“3或故选：D【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.5.A【解 析】用偶函数 的图象关于y轴 对 称 排 除C,用/4排 除。.故只能选A.【详 解】因为/(-%)=6kMix -#J=6.乂-=f(x),Jl+(X)2 Vl+X所 以 函 数fW为偶函数，图象关于 轴对称，故 可 以 排 除C;f（7 T）-=1 -3 =/?可判断;2 2 2对 于 ，设 直 线 的 方 程 为 犬=冲+2,与抛物线联立，用坐标表示直线0 8与 直 线0 的斜率乘积，即可判断;对于，将x =-2代入抛物线。的方程可得，力，=

14、8,从而，以=-%，利用韦达定理可得|B E|2=16*+48/+3 2,再由r=|仞y,可 用m表示,乙 线 段 的 中 垂 线 与x轴的交点（即圆心N）横坐标为2/+4,可得a,即可判断.【详解】如图，设尸为抛物线。的焦点，以线段3 E为 直 径 的 圆 为 则 圆 心 为 线 段 砧 的 中 点.设3,到准线的距离分别为4，4，。的半径为R，点M到准线的距离为,显然3,E,P三点不共线，则=4 2 =”且也 L =R.所以正确.2 2 2由题意可设直线DE的方程为x=m y +2,代入抛物线C的方程，有/一4阳-8=0.设点8,E的坐标分别为（,X）,（尤2，%），则 x +%=4根，y

15、%=_ 8.所以工也=（阳|+2）（冲2+2）=.乂%+2加（y +%）+4=4.则直线O B与直线O E的 斜 率 乘 积 为=-2.所以正确.将x =-2代入抛物线。的方程可得，%y=8,从而，以=一%根据抛物线的对称性可知,A,E两点关于*轴对称，所以过点A,B,E的圆的圆心N在x轴上.由上，有x+%=4机，X j +x2=4m2+4,则|B E =（x,+x2）2 4XJX2+（必 +必了 4必%=16m4+48m2+3 2.所以，线段踮的中垂线与X轴的交点(即圆心N)横坐标为2机2+4,所以4=2 m 2+4.于是，=(2W?+4 )+(2 1 2 1)+4“+12/7?+8,代入占

16、+%=4 r +4,x +%=4加，得 产=4加*+16 4 +12,所以 一产=Q加2 +4J 一(4+16/+12)=4.所以正确.故选：D【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.7.C【解析】根据正弦定理边化角以及三角函数公式可得A =?，再根据面积公式可求得儿=6(2 -V 2)，再代入余弦定理求解即可.【详解】A 8C 中,a c o s 8+b s i nA =c，由正弦定理得 s i n A c o s 6+s i nB s i nA =s i nC,又 s i n C =s i n(A +B)=s i n A c

17、o s B+c o s A s i n 8,:.s i n B s i n A =c o s A s i n B,又 s i n B *(),.,s i n A=c o s A,t a n A =1,又 A e(0,1),A=.S ARC Z?c s i n A=-bc=3(V 2 1),4 c 2 4二 be=6(2-V 2)，:a=2,：.由余弦定理可得a2=(b+c)2-2 bc-2 b c c o s A,(b +c)2 =4+(2 +0)b c =4+(2 +五)*6(2-夜)=16,可得+。=4.故选：C【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦定理与面积公式的运用,属于中档题.8.A

18、【解析】分析：设三角形的直角边分别为1,G，利用几何概型得出图钉落在小正方形内的概率即可得出结论.解析：设三角形的直角边分别为1,百，则弦为2,故而大正方形的面积为4,小正方形的面积为(6-1)2=4-2 6.图钉落在黄色图形内的概率为匕叵=22落在黄色图形内的图钉数大约为1000 x 立 卫=134.2故选：A.点睛：应用几何概型求概率的方法建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量.(1)一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，只需把这个变量放在数轴上即可；(2)若一个随机事件需要用两个变量来描述，则可用这两个变量的有序实数对来表示它的基本

19、事件，然后利用平面直角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型.9.C【解析】设 攵=三，则的几何意义为点(x,y)到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论.x-2【详解】解：设=二，则的几何意义为点P(x,y)到点。(2,3)的斜率，x-2作出不等式组对应的平面区域如图：5-4-3-2-1y 3由图可知当过点。的直线平行于x 轴时，此时攵=0 成立;y 3%=J取所有负值都成立;y-3 X I y 3 1 3当 过 点A时，k=)取 正 值 中的最

20、小值，八 二4(1,1),此 时 攵=上，=-=2；x-2 1x y=O x-2 1-2故 上的取值范围为(-oo,0 U 2,+8)；x-2故选：C.【点 睛】本题考查简单线性规划的非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键.对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在.10.D【解 析】由小，a3,a2成 等 差 数 列 得2a3=aj+a2,利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.【详 解】由题意 2a3=a+a2,2a q2=a q+a,.2q2=q+l,.,.4=1或4=-3故 选：D.【点 睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质

21、建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练.11.D【解 析】7 T 27r通过列举法可求解，如 两角分别为一,一 时6 3【详 解】27r 7i当4=,B=二 时，sin A sin 5,但tan A tan 3,但sin A sin B”是“tan A tan 3”的既不充分也不必要条件.故选：D.【点 睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题12.D【解 析】根据三视图作出该二十四等边体如下图所示，求出该几何体的棱长，可以将该几何体看作是相应的正方体沿各棱的中点截去8个三棱锥所得到的，可求出其体积.【详解】如下图所示，将该二十四等边体

22、的直观图置于棱长为2的正方体中，由三视图可知，该几何体的棱长为血，它是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，该几何体的体积为V=2x2x2-8xx k lx lx l=型，3 2 3故选：D.本题考查三视图，几何体的体积，对于二十四等边体比较好的处理方式是由正方体各棱的中点得到，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.3【解析】由题意得 石=一2,内=0,再代入而司=而二讨1rm彳 中，计算即可得答案.【详解】由题意可得|“|=&,(2a+b)-a=a-b+2a-a-b+4,a-b+4 2 解得a-b 2，a-b=y/(a-b)2-yla-2a-h+b

23、,2 +4+3=3故答案为：3.【点睛】本题考查向量模的计算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，求解时注意向量数量积公式的运用.【解析】首先判断出中间号码的所有可能取值，由此求得基本事件的总数以及中间数字是7的事件数，根据古典概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】根据“钟型验证码”中间数字最大，然后向两边对称递减，所以中间的数字可能是4,5,6,7,8,9.当中间是4时，其它4个数字可以是0,1,2,3,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有C：x C；=6种.当中间是5时，其它4个数字可以是0 1,2,3,4,选其中两个排在左边（排法

24、唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所以方法数有。；=1（）乂3 =3 0种.当中间是6时，其它4个数字可以是0,2,3,4,5,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一）,所以方法数有C：x =1 5 x 6 =9（）种.当中间是7时，其它4个数字可以是0,2,3,4,5,6,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯-）,所以方法数有C；xC；=2 1 x 1 0 =2 1 0种.当中间是8时，其它4个数字可以是0,2,3,4,5,6,7,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所 以 方 法 数 有=2 8 x 1 5 =4 2（）

25、种.当中间是9时，其它4个数字可以是0 4,2,3,4,5,6,7,8,选其中两个排在左边（排法唯一），另外两个排在右边（排法唯一），所 以 方 法 数 有=3 6 x 2 1 =7 5 6种.所以该验证码的中间数字是7的概率为2 1 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _6 +3 0 +9 0 +2 1 0 +4 2 0 +7 5 62 1 0 51 5 1 2-3 6故答案为：【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查分类加法计数原理、分类乘法计数原理的应用，考查运算求解能力，属于中档题.1 5.3【解析】先推导出函数y =/（x）的周期为4,可得出“2 0 2 0-l n

26、2）=/（l n 2）=l n 2）=8,代值计算，即可求出实数。的值.【详解】由于函数y =/(x)是定义在R上的奇函数，则/(T)=/(x),又该函数的图象关于直线X =1对称，则/(1-X)=/(1 +X),所以，/(2 +x)=/l-(l +x)=/(-x)=-/(x),则/(4+x)=/(x+2)=/(x),所以，函数y =/(x)是周期为4的周期函数，所以/(2 0 2 0 -I n 2)=/(-I n 2)=-/(i n 2)=ea,n2=(en2)a=2 0 =8,解得 a =3.故答案为：3.【点睛】本题考查利用函数的对称性计算函数值，解题的关键就是结合函数的奇偶性与对称轴推

27、导出函数的周期，考查推理能力与计算能力，属于中等题.1 6.-y/63【解析】如图所示，正四棱锥产一 ABCD,。为底面的中心，点M为AB的中点，则N P A O =6 0 ,设A 8=，根据正四棱锥的侧面积求出。的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案.【详解】如图所示，正四棱锥。为底面的中心，点M为A8的中点，则 N P A O =6(T，设OA=-a,.1-PA=41a，PM=y/p-A M2=a,2 24 x （一 a-a）=4A/7 =a =2 ,2 2 PO=ha2 a2 展:.y=Lx a2xpO =i _3 3故答 案 沏当p【点 睛】本题考查棱锥的侧面

28、积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.三、解答 题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。3 1117.(I)存在点尸满足题意，且 以=，证明详见解析；(I I).419【解 析】(I)可考虑采用补形法，取4 G的 中 点 为F,连 接 印，AF,D F,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证8 9,平 面ACC；,即3。若能证明则可得证，可通过用邛我们反推出点尸对应 位 置 应 在 以 =处，进而得证；4(II)采用建系法，以。为坐标原点，以DB,D C,。口分别为X，V z轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应法 向 量，再结合向量夹角公式即可求解

29、；【详 解】3(I)存 在 点P满 足 题 意，且尸A=.4证明如下：取4 G的 中 点 为 尸，连接瓦，AF,D F.贝(JEF AA A B,所 以A F u平 面ABE.因 为A8=8 G。是AC的中点，所 以5OLAC.在 直 三 棱 柱ABC-AAG中，平 面ABC，平 面ACG，且 交 线 为AC,所 以3 0,平 面ACG，所以在平面 ACG 内，=1,ZR4D=Z4DF=90,A D D F 2所以及A P A D 及 ADF,从 而 可 得AEJ_F.又因为P Dc B D=D,所以平面?8 0.因为AFu平面A 3 E,所以平面P 8D L平面A 3 E.(H)如图所示，以

30、。为坐标原点，以D B,D C,尸分别为X，V z轴建立空间直角坐标系.易知 0(0,0,0),呜,0，。A 0,笔。,E 界0 ,_.f 1 73 f 1 73 -(1 、所 以 座=一不一,0 ,A B=不：,0 ,DB=-,0,0 .144 1 2 2 1 2 )设平面4?石的法向量为送二 (x,y,z),则有in BE =-x-y +z =0,4 4 取 y =2,得前=12 6,2,-G).in AB=y =0.I 2 2同理可求得平面B D E的法向量为几=仅,4,-匈,_ _ m-n 8 +3 11则co s玩，”丽飞2+4+316+3=后由图可知二面角A-砥。为锐角，所以其余弦

31、值为【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题2 218.(1)二+三=1；(2)证明见解析；(3)是，理由见解析.9 8【解析】9 6(D根据两个曲线的焦点相同，得到/一 =1,再根据C与C,的公共弦长为2后 得 出丁丁+弓=1,可 求 出/和4 a-b从的值，进而可得出曲线G的方程；(2)设点A(x，yJ,根据导数的几何意义得到曲线G在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的数量积得 出 包 尸 麻 0，则问题得以证明;Q（3）设直线0R：y=3,直线。S:y=&x,川 玉，%）、。（王，乂）、尸5，治），推导出桃？=一看以及OSA O R S=g|（K-七

32、）七%|，求出X；和X：，通过化简计算可得出4 S；0R S为定值，进而可得出结论.【详解】（1）由：Y=4 y知其焦点尸的坐标为（0,1）,尸也是椭圆G的一个焦点，一=1，又a与c?的公共弦的长为2#，G与G都关于 轴对称，且G的方程为r=4 y,9 6二衣+京由此易知G与G的公共点的坐标为（土灰11,2 2联立，得/=9，沙2=8,故C的 方 程 为 匕+工=1；9 8（2）如图，A（X,y）,由尤 2=4），得 y=,.G在点A处的切线方程为y-y =5 一%），即.丫 =若 一 手，令y=0,得x=，即 加卜1 ,uuu _ _ _ y2 2而E4=（ApX-1）,于是E 4/M =；

33、一,+1 =寸+10,因此NAK0是锐角，从而NMFDuTr-NAfM是钝角.故直线/绕点尸旋转时，AMFD总是钝角三角形；设直线OR：y=3,直线。S：y=&x，R（w，%）、。（%”）、（%，%），则3。+3 为 3 _），；9玉）玉）玉）9,8设向量 砺 和 历 的夹角为氏则AORS的面积为SAR S=；|网 网 sin。J网.|得2 （1 -cos?。）二1 J砺|历（砺 丽 =1 J（考+）（X：+W）（七七+%”）2=（忖3%一/%|=3|卷七 龙4 一大/七|=g|（K 一七）七|2 2工+。1 2 72 2 72由9 8 可 得石，同理可 得 芯=E772故有4 S：RS=（Z

34、&），4：:左V 十 OrCi72 72x72（%；+6一2伏）9+8月 6 4 k 隅+72传 +6；）+819又kk=9故一 84s嬴72 x 72（k +6 2占&）72x72（k；+公-2k ）64 x卜J+7 2代+硝+872（将+硝+16272x 7 2,；+后+、72（%；+e）+162-72代 +片）+162则S：O R S=1 8,因此，AQRS的面积为定值3亚.72,【点睛】本题考查了圆锥曲线的和直线的位置与关系，考查钝角三角形的判定以及三角形面积为定值的求解，关键是联立方程,构造方程，利用韦达定理，以及向量的关系，得到关于斜率的方程，计算量大，属于难题.19.（1）60;

35、（2）VT3+5.【解析】（1）利用正弦定理将目标式边化角，结合倍角公式，即可整理化简求得结果;(2)由面积公式，可以求得衣，再利用余弦定理，即可求得。，结合力+C即可求得周长.【详解】A(1)由题设得。sinC=ccos 2A由正弦定理得sin A sin C=sin Ccos 2A,:C G(0,):.sin C w 0 sin A=cos,2c.A A A2sincos=cos 2 2 2A A 1所以cos =0或sin=,2 2 2A当COS=0,A=7 T(舍)2故sin,=5,解得A=60。.(2)SBC=hcsin A=y/3,从而 Z;c=4.由余弦定理得a2=h2+c2-2

36、/?ccos A=h2+c2-he=(b+c)2 3bc=(Z?+c)2-12=13.解得a=V13.a+/?+c=Jl 3+5 故三角形ABC的 周 长 为+5.【点睛】本题考查由余弦定理解三角形，涉及面积公式，正弦的倍角公式，应用正弦定理将边化角，属综合性基础题.20.(1)见解析：(2)2 6,2指.【解析】(D分两种情况讨论：两切线PM、PN中有一条切线斜率不存在时，求出两切线的方程，验证结论成立；两切线PM、PN的斜率都存在，可设切线的方程为y-%=%(%-%)，将该直线的方程与椭圆的方程联立，由A=0可得出关于A的二次方程，利用韦达定理得出两切线的斜率之积为-1,进而可得出结论;(

37、2)求出点、N的坐标，利用两点间的距离公式结合韦达定理得出2,(4一片)(3一片)|2-xo|换元Z =2-%0 e l,2 ,可 得 出|M N|,利用二次函数的基本性质可求得|加用的取值范围.【详 解】(1)由 于 点P在 半 圆2+了2=3(2 0)上，则 芯+弁=3.当 两 切 线PM、PN中有一条切线斜率不存在时，可求得两切线方程为1=&,丁 =1或%=-=1,此时P M 1P N ；当 两 切 线PM、PN的斜率都存在时，设切线的方程为-%)(P M、PN的斜率分别为勺、&2)，i)n(1 +2 k2)x2+4%(%依0)工+2(%-一2 =0A =1 6 2(yo-A xo)2-

38、4(l +2 A:2)r 2(yo-A xo)2-2 1 =O,.(考-2快2 2/%左+(尤-1)=0,.人 能=捐=争 率 T：.P M LP N.综上所述，P MA.P N；C c(2)根 据 题 意 得M/一4，、N%-乎,0Iky )I k2 )=闻号=M*配：1 亘=2/4：/司叫2 2卢2 9 0 p刊令/=2-片 叩,2 ,叫M N|=2 j +”+D =一；,所 以，当1 =1时，|M 7V|=2遥，当，=时，|肱V|.=2瓜/I Imax/2 nun因此，|M?V|的取值范围是2百,2 n .【点睛】本题考查椭圆两切线垂直的证明，同时也考查了弦长的取值范围的计算，考查计算能

39、力，属于中等题.2 1.(I )函 数g(x)在 区 间(0,3 )上 有 两 个 零 点.见 解 析(I I)见解析【解 析】(I )根据题意，g (x)=c o s x-x s i n x-c o s x =-x s i n x,利用导函数研究函数的单调性，分 类 讨 论g(x)在区间(0,3%)的单调区间和极值，进而研究零点个数问题;(I I)求导，r(x)=-co sin由于“X)在区间(0,3)上的极值点从小到大分别为再，x2,求出/(内)+/()=吧 五+乜=COS玉+c o s/,利用导数结合单调性和极值点，即可证明出/(%)+/(%2)0,.g(x)0,g(x)在区间(0,万)

40、上单调递减，g(x)0；.g(x)在区间(乃,2乃)上单调递增，g(乃)=一万0g(x)在区间(1,2万)上唯一零点；当(2乃,3乃)时，sinx。，g(x)0,g(3)=-3 x,tan x2 tan(x,+乃),.g(%)0,g 技 =一10,g(尸)%+万，、s inx.s inx,r.j(x j+j(%2)=-L+-=cos x,+cosx2,X x2由 y =cos x在(2肛 当)单 调 递 减，得cos&cos(x,+)=-cos%,即cos%+cos X 0,故/(%)+/(%)0.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转

41、化思想和计算能力.2 2.(1)x|-3 c x 0,。=0,。0三种情况，求得了(x)的最小值，由此求得 的取值范围.【详解】(1)当a =2时，/(x)=|2 x +l|+|x-l|=1x +2,W x W 1,2r 13 x,x 2由 此 可 知,八 幻 9的解集为 幻3(2)当a0时，/(x)=|x+l|+|x-l|=*(ci 一 l)x +2,x 1C l一(Q+1)X,x 1/(1)=。+1 1 .所以 f(x)1 恒成立.当a =0时，/W =|x-l|+l l,且/=1,/(x)l不恒成立，不符合题意.当a 0时，1)=|1 +4，/(-)=1 +5，若一2 4。1不恒成立，不符合题意；若。2,贝！/(一|1不恒成立，不符合题意.I a)综上，a e(0,+co).【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.