2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学文.pdf

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1、2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（文史类）本试卷分为第1卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第 I 卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件A,B互斥，那么P（A u B）=P（A）+P（B）棱柱的体积公式V=S其中s表示棱柱的

2、底面面积。表示棱柱的高。一、选择题：在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1-3/1.i是虚数单位，复数A.2 i B.2+iC.-l-2 z D.-l+2zx 1,2.设变量x,y满足约束条件 x+y 4 K 0,则目标函数z=3 x-y的最大值为x-3 y+4 0 ,B =xeR|x 0,则“x e A uB 是 x e C ”的A.充分而不必要条件C.充分必要条件，B.必要而不充分条件D.即不充分也不必要条件5.已知。=log23.6,。=log43.2,c=log43.6 则A.a b c B.a ch C.b a c D.c ab6.已知双曲线rX2 =y2=1(。0,。

3、0)的左顶点与抛物线V9=2px(0)的焦点的距离为4,a b且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点坐标为(2,1),则双曲线的焦距为()A.273 B.2石 C.4 G D.4757.已知函数/(x)=2sin(69x+),x e R,其中G0,万 0 4肛若f(x)的最小正周期为6乃,JT且当x 时，/(X)取得最大值，则()A./(x)在区间-24,0上是增函数 B./(x)在区间-3巴-乃 上是增函数C./(x)在区间 34,54上是减函数 D.7(x)在区间 4肛6万 上是减函数*aa,8.对 实 数a和b,定义运算“：a=设 函 数/(%)=(炉 2)(x l),x e R

4、。b,a-b 若函数y=/(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A.(-l,l u(2,+oo)B.(-2,-l u(l,2 C.(-oo,-2)U(1,2 D.|-2,-1第II卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2.本卷共12小题，共110分。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.已知集合人=卜/?|k 1|C=4 5 ,且 AD=AC=1,所以 NOAC=9 0 ,即 又 PO1平面 ABCD,A O u 平面 A B C D,所以 PO _L 而A C c PO =O,所以 AD _L 平面 PAC。(I I I)解：取

5、D O 中 点 N,连 接 MN,A N,因 为 M 为 P D 的中点，所 以 MN/PO,且A/N=L p o =l,由pO J_平面ABCD,得 V N J_ 平面ABCD,所以NM AN是直线AM 与平面2ABCD所成的角，在 RfAZMO中，4。=1,4 0 =,所 以。0 =好，从而4 =！。0 =好，2 2 2 4M N I 4、尺在 MAANM中,tan AM AN=十 =，即直线AM 与平面ABCD所成角的正切值AN 6 5T,4 7 5为-.5(1 8)本小题主要考查椭圆的标准方程和儿何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考

6、查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力，满 分 13分。(I)解：设耳(一 c,0)，E(c,0)(c 0),因为|PF2|=|FXF2,_ /2所以，3 0)2+铲=2 c,整理得2-+-I =0,W-=-i (舍)a)a a或gg，所 以 e=g.a 2 2(H)解：由(I)知a=2c,b=&,可得椭圆方程为3 d+4 y 2 =1 2/,直线FF2的方程为y=/(%c)3X2+4/=12C2,A,B 两点的坐标满足方程组y=/3(x-c).Q fy=0%=王=0,X,=-C,得方程组的解 -5 义=-&,%=o 3 h A不妨设 A-c,-c ,B

7、(0,-V 3c)，、5 5,消 去 y 并整理，得 5X28CX=0。解得85C，3 g-c,5圆心(1,到直线 PF2 的距离 d =1 3 二,二&=因为。2+(=42,所以3(2 +c+c 2 =16.I 2 )4。久整理得7 c 2+12 c 5 2 =0,得。=-(舍)，或c =2.72 2所以椭圆方程为L +=l.16 12(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满 分14分。(DM：当f =l时,f(x)=4 X3+3 X2-6 x,/(0)=0,f(x)=12 x2+6

8、x-6/(O)=-6.所以曲线y =/(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y =-6x.(II)解：/()=122+6以一6/，令/(x)=0,解得x =-f或x =；.(1)若，0,则;T,当x变化时，/(x),/(x)的变化情况如下表：因为r*(),以下分两种情况讨论：XF)(-e)r(x)+-+fM/、/所以，/(x)的单调递增区间是1-0。,(T,+8)(x)的 单 调 递 减 区 间 是,T(2)若，0,则/，当无变化时，/(x),/(x)的变化情况如下表:X(-ooj)f(x)+-+fM/、/所以，/(X)的单调递增区间是(r o,T),(；,+8)；/(x)的 单 调 递 减

9、区 间 是.(IH)证明：由(II)可知，当f 0时，/(X)在(0彳)内的单调递减，在 1,+0 0)内单调递增，以下分两种情况讨论：(1)当;2 1,即/N 2时，/(x)在(0,1)内单调递减，/(0)=Z-10,/(1)=-6Z2+4/+3 -6X4+4X2+30.所以对任意f e 2,4 8),.f(x)在 区 间(0,1)内均存在零点。(2)当0；1即0/2时，/(x)在(0,；)内单调递减，在内单调递增，若 A 7 7r e(0,1,/-=t3+t-l-t3-6r+4r+3=-2r+30.所以/(x)在 内 存 在 零 点。2 J若f e (L 2),/f 尸 +(-1)(3 +

10、1 0.所以/(x)在(0,；)内存在零点。所以，对任意f e (0,2),/(x)在 区 间(0,1)内均存在零点。综上，对任意f e(0,+8),/(x)在 区 间(0,1)内均存在零点。(2 0)本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满 分1 4分。3 +(-1)-*(I )解：由久=：、一 一 eN,2可得22,为奇数,1,为偶数,又黑4+2%=(-2)+1,3当=1时,q +2 氏=-1,由 q -2,1*导。)=/；当=2 H由24+/=5,可得的=8.(I I)证明：对任意wN*%i+2%=

11、-2 2 i+l 2%+。2”+1 =2+1 -，得,+1-%,I=3 x 2 2 T,即%=3 X 2 2 T,于 是9L =4c“所以 c,是等比数列。(I I I)证明：q=2,由(H)知，当Z e N*.且A 2 2 时，%t-l =4 +(%-)+(5-3)+(7 一。5)+一-3)=2 +3(2 +23+25+2 2 )=2 +3 X 2 d 4).=1-4故对任意=2 2 1.由得2 2 1+2%=22&T+1,所 以 阳=g 2 2 J/e N*k因此，S2k=(%+。2)+(4 3 +。4)+(421+)=5，于 是 S2 k-l S2 k-a2-+22k-.1 k4*(4*-1)