考点22抛物线（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考）(教师版）.pdf

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1、考点2 2 抛物线(核心考点讲与练)1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F 和一条定直线/(2初的距离相笠的点的轨迹叫做抛物线.定点厂叫做抛物线的焦点,定直线)叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：M|MF|=d(d为点M 到准线/的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形斗*标准方程y=2px(P0)y2=2px(P0)x1=2py3。)/=-2py(P0)p 的几何意义：焦点F 到准线/的距离性顶点0(0,0)对称轴y=0 x=0焦点四)电,9血-9离心率e质准线方程户 一 X 2y=2y=2范围x20,yWRxWO,y eRy20,xGR0,xER开口方向向右向左向上向下1.求抛物线

2、的标准方程的方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有P，所以只需一个条件确定值即可.因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.(2)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化 看 到 准 线 想 到 焦 点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.2 .确定及应用抛物线性质的技巧：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.3 .(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系

3、数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式依8|=沏+也+?，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵一、单选题1.(2 0 2 2广东二模)已 知 抛 物 线E：V=4x,圆 氏(x-1)2+/=4 ,直 线/：y=t(f为实数)与抛物线E交于点A,与圆尸交于8,C两点，且 点B位于 点C的右侧，则砌8的周长可能为()A.4 B.5 C.6

4、D.7【答案】B【分析】先判断出抛物线焦点和圆心重合，由 抛 物 线 定 义 得=又F B =2,可 得 的 周 长 为F A+A B+F B D B+2,又知2 )3 0,即 T%2。尸|成立，故 D 不正确.故选：AC.5.（2022山东潍坊二模）已知四面体A8CD的 4 个顶点都在球。（0 为球心）的球面上，A B C 为等边三角形，M 为底面4 2 c 内的动点，AB=BD=2,A D =0，且 ACJ_BD,则（）A.平面AC）_L平面A3CB.球 心。为 ABC的中心T TC.直线0M 与 CD所成的角最小为D.若动点M 到点B 的距离与到平面ACD的距离相等，则点M 的轨迹为抛物

5、线的一部分【答案】ABD【分析】设AABC的中心为G,取 AC的中点E,由题可得B E 1平面4D C可判断A,根据勾股定理可得GO=2 叵 进 而判断B,利用特例可判断C,利用面面垂直的性质及抛物线的定义可判断D.3【详解】设AABC的中心为G,取 AC的中点E,连接BE,D E,则 庞，AC.B因为 ACJ.8D,B E c B D=B,所以AC _L平面B D E,则力C _ L DE,又ABC为等边三角形，A B=B D =2,A D =g，所以 AE=1,E=1 ,BE=6，-D E2+BE2=B D2 即。EJ_3E，又 BE _ L AC,4Cc)E=E，BE m ADC,8E

6、u 平面 ABC,，平面AC)_L平面ABC,故A正确；XV G E =,GB=GA=G C =-3 3/.G D =yjGE2+D E2=.J+l=手，故G为四面体ABC。的外接球的球心，即球心。为 ABC的中心，故B正确：当OMAC时，NDC4为直线0M与C所成的角，山上知ZDCA=f 0)的焦点F到准线的距离为2,过F的直线/交抛物线C于两点A,B,贝I J ()A.C的准线方程为x=-2B.若|A F|=4,则|。4|=后C.若|4尸卜 忸 =4 p 3则/的斜率为土乎D.过点A作准线的垂线，垂足为H,若x轴平分则|AF|=4【答案】BCD【分析】根据抛物线P的几何意义求出P，即可得到

7、抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A、B、D,设4芭，,),B(X2,%),直线AB的方程为X =my+1,联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断C；【详解】解：因为抛物线C：y2=2px(p 0)的焦点/到 准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线方程为V=4 x,则焦点F(l,0),准线为x=-l,故A错误；若门尸|=4,则4=3,所以以2=旬=1 2,所以|OA|=Jx；+y：=向,故B正确；可设4百，y）,B（X2,%）,直线A8的方程为X =y+1,与抛物线y 2 =4 x联立,消去工，可得丁一4 根），一 4 =0,可得乂 +必=4?，凶必=-4,由抛物

8、线的定义可得I 赫 H B F|=（占+1）（%+1）=（碎+2）（叫2 +2）=1 6即*4丫2+2机（+丫2）+4=16,即-4m2+8m2+4=16,解得加=6，则直线AB的斜率为土 且，故 C正确；3对于D,若*轴平分4FB,则/。凡/=/0 阳，又A/x轴,所以 Z A H F =N O F H =N O F B =Z A F H ,所以“尸=,所以1%.=号，即4=3,所以|A F|=4+1=4,故 D正确;故选：B C D7.（2 0 2 2 辽宁葫芦岛一模）已知抛物线。:/=2 2 工过点皿2,2 夜），焦点为尸，则（）A.点 M到焦点的距离为3B.直线M户与x 轴垂直C.直线

9、M F 与 C 交于点、N,以弦MN为直径的圆与C的准线相切D.过点M与 C相切的直线方程为x-2 y +l=0【答案】A C【分析】先求出P =2,由抛物线的定义即可判断A、C选项；B选项由,F坐标即可判断；D选项易知点M 不在直线x-2 y +l =0 上即可判断.【详解】由题意知：（2 夜 丫=4 2，解得P =2,即V=4x,焦点尸（1,0）,准线x=l.由抛物线定义知，点 M到焦点的距离等于到准线的距离为2-（-1）=3,故 A正确;由焦点厂（1,0）知直线MF不与x 轴垂直，故 B错误；如图，设MN中点为P,过 作 准 线 的 垂 线，垂足为易知“，MM+NN MF+NF MNrr

10、 =-=-,2 2 2故以弦MN为直径的圆与C的准线相切，C正确；由2-2x2夜+1户0知”不在直线x-2y+l=0匕 故D错误.故选：AC.三、填空题8.（2022辽宁沈阳 二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为尸，在C上有一点尸，归同=8,则点P到无轴的距离为【答案】4石【分析】根据抛物线的定义，列出相应方程求解即可.【详解】由抛物线的定义可知：|尸尸|=否,+2=8,所以 =6,代入丁=8 中，得 片=48,所以|%|=4 6,故点P到x轴的距离为为4豆.故答案为：4出 抛物线的几何性质1.（2021北京八中高三上学期期中）己知直线：一 丁 +4=0和直线3x=-2,抛物线上一动点P到直

11、线4和直线乙的距离之和的最小值是（）A.3亚 B.4V2 c.1V2 D.2+2V2【答案】A【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义，可得点P到直线4 和宜线右的距离之和d =P B+P A =P B+P F,当 8,P,尸三点共线时，最小，再结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】.抛物线y 2=8x,.抛物线的准线为犬=-2,焦点为尸（2,0）,二点P到准线x =-2 的距离P A等于点尸到焦点F的距离P F,即R4=尸产,:,点P到直线4 和直线12的距离之和d =P B+P A=P B+P F,，当 8,P,尸三点共线时，依+PF最小,，一 卜。+4|.及，4 n in =/=30，

12、点尸到直线4 和直线12的距离之和的最小值为3 72 .故选：A.2.（2 0 2 1 新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）2 0 2 1 年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线Z：/=4y的焦点为尸，圆尸：d+（y l）2=4与抛物线z 在第一（m2、象限的交点为P m,直线/:尤=7（0/得：F（O,1）,准线为y =-l；设 =/与 丁 =-1交于点。，由抛物线定义知：|A F|=|A D|；由圆方:/+（3 1）2=4知：忸同=2；x2=4 y9（x=2由=4得：J,即 p（2,l）,则m=2,V =1x 0,y 0 0设-.-0 tm=2,：.

13、yB 0）相交于A,B两点，若A 8的中点为N,且抛物线C上存在点M,使 得 丽=3两 （。为坐标原点）.（1）求此抛物线的标准方程；（2）若正方形P Q/R的三个顶点P,Q,4都在抛物线C上，求正方形P Q”R面积的最小值.【答案】(I)x2=4y；(2)32.【分析】(1)联 立 方 程f 7X+1,山点N为A 5的中点，求得点N的坐标，再根 据 两=3两，得(x2=2py,到M的坐标，代入抛物线方程求解；设%.)，“限 升 直 线Q 的斜率为左，根据 WQ得到一，由I P Q W I，得至UZ%=网项一%)，再由百=-；一毛，毛=4人-马，得到,=二 ,然后由正方形产。印?的面积k k+

14、k为S=|QH=(1+公)(*3-)2 J 6(A +1),利用基本不等式求解y=X +1,整理得/一2席 2p=0,xz=2py,则%1+%2=2，可得x+%=占+2=2p+2.由点N为A 3的中点，所以M p，P+1).设九),因 为 两=3两，可得M(3p,3p+3),又由点M在抛物线C：/=2py(p0)上，可得(3p)2=2px3(l+p),即 p2_2p=0,解得，=2或p=0(舍去)，所以抛物线的标准方程为Y=4).(尸(2 (-2(2)设 个,才J,QX2,个,才J,直线Q H的斜率为左,7 2,_芯不妨设不 冗3，则女0，且太二4 一 4二七十%2,Xy-x2 4因为尸QJ_

15、Q，所以_J_ 4 4 _xi +x2 .k x,-x24由|尸。=1。印，得1 +7T（-X j 2=（+k2）（刍一）2,即（一丹）2=%2（七）2，即 x2-Xj=k(x3-x2),将百=-毛=4 左一%2,k所以（左+1）=2 公一2,k4,代人得 2 x,H =k(4k 2 x2),k所以 2 =2k3-2k2+k所以正方形P Q H R 的面积为5 =|。，|2=（1 +公）（玉-演）2,=(1 +/)(4 人一2*2/，(二+丫=1 6(1 +/),(二+41 6(公+1)2 公+1=3 x I ,k2(k+1)2因左 2+1 2 2 左，所以“一（当且仅当女=1时取等号）.k2

16、因为2 3，所以&2+1 2 出 位，V 2 2 2k2-1-1 1所以 不2大（当且仅当=1 时取等号），（攵+1 了 2所以S 2 1 6 x 4 x =3 2 （当且仅当A=1 时取等号），2所以正方形PQHR的面枳的最小值为3 2.2.（2 0 2 1 四川省成都市耶都区高三上学期阶段性检测）已知抛物线C：产=2*（0）上的点（2 ）到焦点尸的距离为4.（1）求抛物线。的方程；（2）设纵截距为1的直线/与抛物线。交于A,8两个不同的点，若 丽.丽=4,求直线/的方程.【答案】（1）/=8%；（2）5 x 4 y +4 =0.【分析】（1）利用抛物线的性质即可求解.（2）设直线方程，与抛

17、物线联立，利用韦达定理，即可求解.【详解】（1）由题设知，抛物线的准线方程为x=“，2由点（2 J）到焦点F的距离为4,得2 +f=4,解得p =4,所以抛物线C的标准方程为/=8%.设A（X1,y J,8（孙 见），显然直线/的斜率存在，故设直线/的方程为丁 =丘+1,联立卜,;f 十 1消去 得左+（2%8）x+1 =0,y =8 x,由（）得（2斤一8）2 4&2 0,即左 0）上一点，点A到。的焦点的距离为1 2,到y轴的距离为9,则=（）A.2B.3C.6D.9【答案】C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F,由抛物线的定义知|4尸|=4+5=1 2

18、,即1 2 =9 +|,解得P=6.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.2.(2 0 2 1年全国新高考I卷)已 知。为坐标原点，抛物线C：y 2=2 x(0)的焦点为尸，P为。上一点，P尸与x轴垂直，。为x轴上一点，且PQL OP,若忻9=6,则C的 准 线 方 程 为.3【答案】x=一-2【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得P,即得结果.【详解】抛物线C：2=2 p x (黄珀勺焦点仁 可.为。上一点，P R与x轴垂直，所以P的横坐标为“，代入抛物线方程求得P的纵坐标为土P,2不妨设P(5,p),因为。为

19、x轴上一点，且P Q _ L Q P,所以Q在尸的右侧，又”QI=6,n uunQ(6+g,0),:.P Q =(6,-p)因为P Q J _ O P,所 以 瓦.丽=导6-2=0.Q /?0,/.p =3 ,3所以C的准线方程为x =-一23故答案为：x.2【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.3.(2 0 2 1年全国高考乙卷)已知抛物线。：丁2=2亶0)的焦点尸到准线的距离为2.(1)求C的方程;（2）已知。为坐标原点，点P在C上，点。满 足 而=9灰，求直线。斜率的最大值.【答案】（1）y 2=4 x；（2）最大值为g.【分析】（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；（2）设。

20、（毛,%），由平面向量的知识可得P（1 0 x 0 9,1 0%）,进而可得以=9,再由斜率公式及基本不等式即可得解.【详解】（1）抛物线C：y 2 =2 p x（p 0）的 焦 点 准 线 方 程 为x =一5,由题意，该 抛 物 线 焦 点 到 准 线 的 距 离 为-今）=2 ,所以该抛物线的方程为：/=4；（2）方法一:轨迹方程+基本不等式法设。（毛,%），则 所=9诙=（9-9%,一9%）,所以0（1 0 x 0-9,1 0%），山P在抛物线上可得（1 0%丫 =4（1 0%-9），即/=2 5；j 9 ,2 9据此整理可得点。的轨迹方程为V =二X-五，k _0_ 0 _ 10 0

21、所以直线。的 斜 率0 2/2 5日+9 2 5y；+9，-i o当 先=0 时，k(jQ=；7 1 0k _当犷0时，。厂2 5%+9,%9 9当 先 0时，因为2 5%+2 2 2 5y o 一=3 0,%X）1 9 3此时0 0）的焦点为尸，点尸是C 上一点，且归户|=5,以 PF为直径的圆截x 轴所得的弦长为1,则 2=（）A.2 B.2 或 4 C.4 D.4 或 6【答案】D【分析】根据几何关系，求点尸的坐标，代入抛物线方程，即可求解.【详解】设圆的圆心为“，与x 轴交于点尸,8,线段EB的中点为A,M4_Lx轴，由条件可知1MAi=|,|M|=1,=所以为=2 6，由焦半径公式可

22、知为+与=5,即与=5-,所以代入抛物线方程24=2p（5-）,解得：2=4 或6.5.（2022.广东惠州.一模）若抛物线V=2px（P 0）上一点P（2,%）到其焦点的距离为4,则抛物线的标准方程为（）A./=2 x B.V=4x C.）*=6x D./=8x【答案】D【分析】由抛物线的定义可解答.【详解】抛物线V=2 p x 上一点尸（2,%）到焦点的距离等于到其准线的距离，即为4,.4 +2=4,解得p=4,.抛物线的标准方程为V=8x.故选：D.二、多选题6.（2022.河北秦皇岛.二模）过抛物线C:2=2*上一点A（l,-4）作两条相互垂直的直线，与C 的另外两个交点分别为M,N,

23、则（）A.C 的准线方程是x=-4B.过 C 的焦点的最短弦长为8C.直线MN过定点（。，4）D.当点A 到直线MN的距离最大时，直线MN的方程为2x+y-38=。【答案】AD【分析】由点在抛物线上求得C 为 V=i 6 x,结合抛物线的性质判断A、B；设MN为 并联立抛物线，结合AM,AN及韦达定理、向量垂直的坐标表示列方程求出相、的数量关系，代入直线方程即可判断C；由C 分析所得的定点P,要使A到直线MN的距离最大有M N J_A P,即可写出直线MN的方程判断D.【详解】将 A（1,Y）代入C 中得：p=8,则C 为V=i6x,所以C 的准线方程是x=Y,故 A 正确；当过C 的焦点且与

24、x 轴垂直时弦长最短，此时弦长为1 6,故 B 不正确；设 必 少,x,N3,当，直线MN为人 =冲+”,联立抛物线得：y2-l6my-1 6n=0 ,（16）0,所以FP与F。不垂直，故C错误:5访=；,|。斗|%_%|=3以2+：=同+百 22,当且仅当时=百，即。=1时，取等号，所以aPF。面积的最小值为2,故D正确.故选：AD.8.（2022广东一模）已知抛物线C:/=4 x的焦点为凡 抛物线C上存在个点A，鸟，L,乙（及2 2且 eN*）满 足/程=/上 理=/9一4 2=/2%=网，则下列结论中正确的是（）n11 。A.=2时，B.=3时，山广|+区产|+区尸|的最小值为9 1 1

25、c.”=4时，二阴+优F广化刊+旧D.=4时，忸曰+|鸟尸|+代川+|巴耳的最小值为8【答案】B C【分析】以片乙为抛物线通径，求 得 赢+赢 的 值，判断A；当=3时，写出焦半径出尸出产忸同的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B;当=4时，求出|,代川,忸川,旧题的表达式,利用三角函数的知识，可判断C,D.【详解】当w =2时，/耳 例=/W=万，此时不妨取耳巴过焦点垂直于x轴,1 I 11,不妨取以1,2),(1,-2),则 阴+西=+彳=1，故A错误;2 4当=3 时，NRFg=N且FR=NRFR=?，此时不妨设4,2,6在抛物线上逆时针排列，i SZ=,e （0,j）,

26、2则附=匚。则IS=-i -/2%、l-c o s(c r +-):%,l-c o s(a+q-)故山尸1 +内尸1+1学1=2 2-1-s-hl-c o s a l-c o s(a+)24 4l-c o s(a+-y)21-c o s a4(1 +c o s c r)/1、2(COS 6Z+)令f =c o s a+；,松（；（），则山丹+住8+区 尸 卜 三+产，/Z Z J Z l I人 4 2 f+3 m H 八 8 2 f +6 -2 7（/-1）令/Q）=E*则/一丁1 3当 f l时，,/（/）递增，当i f 彳时，f（t）F|=-+-=馥1 l-co s。1 +cos 0 si

27、n2 0归片+忆 卜T TW5+言万=“1 1 sin2 0 cos2 0 1 ，.，所以/邛+|Q目+忆尸卜旧尸 4+4-“故C 正确；由c 的分析可知：麻|+|叫+|*+|时=之+*=一 号，.1 sm 0 cos 0 sin 8 cos 0 sin 20当sin?2,=1 时，一 三 取到最小值16,sin 20即怀尸|+|2尸|+出尸|+代户|最小值为1 6,故 D 错误;故选：BC【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半 径 依 1=f的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.9.(2022 湖 南常德一模)已知抛物线C:y2=2px

28、(p 0)的焦点F 到准线/的距离为2,则()A.焦点户的坐标为(1,0)B.过点A(-l,0)恰有2 条直线与抛物线C 有且只有一个公共点C.直线x+y-i=o 与抛物线C 相交所得弦长为8D.抛物线C 与 圆/+丁=5 交于M,N 两点，贝 lj|MN|=4【答案】ACD【分析】先求出抛物线方程，对选项逐一判断即可.【详解】由题可知抛物线方程为V=4x对于A,焦点尸的坐标为(L 0),故 A 正确对于B,过点4-1,0)有抛物线的2 条切线，还有y=0,共 3 条直线与抛物线有且只有一个交点，故 B 错误对于c,1y2 4 丫 =)2+4-4=0,弦长为-必|=戊小出+一 句%=叵 N死

29、地，故 C正确+y2 =5对于 D，2 =x2+4 x-5=o,解得 X =1 （x =5 舍去），交点为（1,2）,有|M N|=4,故 D 正确y=4x故选：A C D1 0.（2 0 2 2广东肇庆模拟预测）已知产是抛物线C：y2=8 x的焦点，过点P作两条互相垂直的直线心4 ,4与C相交于4,B两点，4与C相交于E,。两点，M为A,8中点，N为E,。中点，直线/为抛物线C的准线，则（）A.点”到直线/的距离为定值 B.以为直径的圆与/相切C.|A B|+|D E|的最小值为3 2 D.当|M N|最小时，M N/1【答案】B C D【分析】设直线方程，并联立抛物线方程，利用根与系数的关

30、系式，求得点M的横坐标，结合抛物线定义,可判断A;利用抛物线定义推得I AB|=|AF+BF=2 d M,由此判断B;计算出弦长I皮|,可得|阴+|曲 的 表 达式，利用基本不等式求得其最小值，判断C;求 出 的 表 达 式，采用换元法，利用二次函数的单调性求得其最小值，判断D.【详解】设力（X ，x）,8（孙 力），后（不，%），。（%），加（,加），%0%,即），直线4的方程为x=my+2,则直线/,的方程为x =-，y+2,tn将直线4的方程x =m y+2代入y2 =8 x,化简整理得V-8畋-1 6 =0,则 y +）2=8，y,y,=-16 ,故%+=加（乂+为）+4 =8 6：!

31、+4,所以 X”=4 m 2+2,%=；=4 M,因为点A到直线/的距离4 =占+2,点8到直线/的距离d2=x2+2,点M到直线/的距离或=XM+2,又XM=4，/+2,所以4,=4加2+4,故A错误；因为I AB|=|AF+BF|=,+X2+4 =8疗+8 =2dM，所以以|A砌为直径的圆的圆心用到/的距离 为 学，即以I A8|为直径的圆与/相切，故 B正确;1 1 4 4同理，毛+/=(%+”)+4 =8 r +4,所以4=-r +2,yN=,m nr m mQ|。|=|石 尸|+|。/|=七+5+4 =+8,mQ则|AB|+|EO|=8 m2+:+1 6 2 3 2,当且仅当加=1时

32、等号成立，故 C正确;mI M N|=yj(xM-xN)2+(yM-yN)2设 w M r =t,贝 l 相 2 H-=t2,m4 H-=广一 2,IM N 1=4/*+f 2.m m m当f=2时，即旭=1时，|M N|最小，这时A=XM，故 D正确,故选:B C D.【点睛】本题考查了抛物线的焦点弦的性质，具有较强的综合性，要求学生有较好的计算能力和思维能力,解答时要注意直线方程的设法，以及联立后结合根与系数的关系式的化简，涉及到焦半径以及弦长和距离的计算，比较繁杂，要细心运算.11.（20 22重庆模拟预测）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y 2=2p x（p 0）的焦点为F,

33、点M（l，2），A（5，y J，8（,）都在抛物线上，且其1 +序+第=6，则下列结论正确的是（）A.抛物线方程为 2=2x B.尸是AAW 的重心c.|FA|+|FM|+|FB|=6 D.sA F 0+sBF0+S MF0=3【答案】B C D【分析】把点代入可得抛物线的方程，结合向量运算可得尸是A/WM的重心，利用抛物线的定义可得|西|+|而|+|而|=6,利用三角形面积公式及西+迎=2,可得S 九+S 和+S lMF0=3.【详解】对于A,由M（l,2）在抛物线上可得4 =2 p,即抛物线方程为y 2=4 x,错误；对 于 B,分别取A3,A M的中点。,七，则就+海=2 防，FA/=-

34、2FD 即F 在 中 线 匕 同 理 可 得 F 也在中线班;上，所以F 是的重心，正确；IULTI I UULI I IULTI对于C,由抛物线的定义可 得 网=%+1,叫=2,网=当+1,iULTi.UULT IULTI所 以 闸+|户叫+网 +曰+4.由F（L O）是“AfiM 的重心，所以药+：+1=1,即占+=2,IUITI lUuir I uur 1所以|必|+卜加|+卜 =玉+4 =6,正确；对于 D,S&（Fo=g|OH|y J,S 2A A初=；靖=玉；同理 S*ABFO=4 y l X2，SM F O =1 所以 S北F O +SM F O =X|+*2 +1 =3，正确.

35、故选：B CD.三、填空题1 2.（2 0 2 2 北京丰台二模）已知抛物线C：d=8 y,则抛物线C 的 准 线 方 程 为.【答案】y=-2【分析】根据抛物线的方程求出P的值，进一步得出答案.【详解】因为抛物线C:/=8），所以 2 P =8,0 =4所以C 的准线方程为y =-2.故答案为：y=-21 3.（2 0 2 2 福建模拟预测）已知抛物线丁=2/了（四0）与抛物线 2=2 P 乂0。）在第一象限内的交点为尸（X。，%）,若 点 P 在圆C:（x-J i6+（y-J i6=8 上,且直线OP与圆C 相切，则P42=.-3【答案】76【分析】由于点尸在圆C 上，所以可得看+4-2瓶

36、（%+%）+1 2 =0,而点P也在两抛物线上，代入抛物线方程可得毛%=4。也，当OP与圆相切时，可得|0 叶=%+北=|0。2 一 8=2,然后前面的几个式子结合可求得答案【详解】因为卜。-加 +（%-而=8,所以片+乂-2 而5+%）+1 2 =0,因为=2与，x j =2p2y0,所以/为=4 0/2，当OP与圆相切时，|O/f =X+y；=|O C-8=1 2,1 2所以/+%=-/=r,，1 2所以 2%=（超+%y （x：+）=w,所以g=华4.3故答案为：1 4.（2 0 2 2.重庆八中模拟预测）若抛物线/=2*（0）上的点A（%,2）到焦点的距离是点A到 y 轴距离的2 倍，

37、K i P=.【答案】2【分析】直接利用抛物线的焦半径公式解方程组即可求解.【详解】抛物线的准线方程为x =-5.山抛物续的性质可得%+勺2%，所以为 4.而 A（%,2）在抛物线 y 2=2 p x（p 0）上，即 4 =2 p x 0 .由可得:P=2.故答案为：2四、解答题1 5.（2 0 2 2 山东济宁二模）已知抛物线E：丁=2 必（。0）的焦点为 凡 点 M（4,m）在抛物线E上，且AOMF的面积为g p 2 （。为坐标原点）.（1）求抛物线E的方程；（2）过焦点/的直线/与抛物线E交于4 8 两点，过 A、8 分别作垂直于/的直线A C、8 D,分别交抛物线于C、。两点，求|A

38、Cj +忸胃的最小值.【答案】V=4x 1 2 退【分析】（1）根据面积及抛物线上的点可求解；（2）利用直线与抛物线的位置关系分别求得小：|=当 二 （供+2）、忸。|=舞 巨.（电+2）,再通过导数求最值即可.m2=S p,（D由题意可得J 1 p,2X?同=#,解得p=2.故抛物线E的方程为y 2=4 x.(2)由题意宜线/的斜率一定存在且不为0,设直线/的方程为x=+l,rrO,设 A(w，yJ,C(f,%)，由，x=ty+,y2=4x,消去x 得 2-4h一 4=0.所以乂 +必=4，乂为=-4.山AC垂直于/,直线AC的方程为y y=T(x%,)由，2 *)消去 x 得。?+4y-4

39、 历-4)1=0.y=4x,所以 i+%=X%4-f4 a c=j a f y+G i-%)2=小+/(必+为y 4)，回16+16/2%+6fy16+4/2+16夕7 22+l帆+2|2 5/厂 +1 /1.=p 的+2)同理可得|8。|=当 江.(优+2)，所以|AC|+|B*平.心+)，2)+4=亨 d +l)=8S令 x)=t，x 0,则 x)=(x+l)卜2),X0所以当xe(0,2)时，尸(x)0,f(x)单调递增.所以当k 2 时，/(X)取得最小值，即当.=土也时，|A q+忸&最 小值为12G.16.（2022.湖北武汉二模）已知抛物线E：V=2 p x 5 0）,点。,他）

40、为 E 上一点，且。到 E 的准线的距离等于其到坐标原点。的距离.（1）求 的方程；（2）设A 8为圆。+2）2 +9=4 的一条不垂直于y 轴的直径，分别延长AO,B。交 E 于 C,两点，求四边形ABCZ）面积的最小值.【答案】/=2%16【分析】（1）根据抛物线的定义可知，|凶=|。尸|，即可列式求P;（2）首先设直线AC的方程为：y=k x,分别与圆的方程和抛物线方程联立，求点A C 的坐标，利用弦长公式求|A C|,再利用A C L B D,求忸q,最后表示四边形的面积S=gx|A C|x忸q,再通过换元，利用导数求函数的最值.设抛物线焦点厂（g o ，由题意因=|。尸|，故 齐 2

41、X；,解得：p=.故抛物线的标准方程为y2=2x.（2）由题意，直线AC斜率存在且不为0,设直线AC的方程为：y=kx,设点4（百,%）,。（%2，%）,y=kxA+2）”一，联立得：=。，由 寸。，得 寸 0y=kx 22,，联立得：k2x2-2x=0,由 马 工 0，得y2=2x-k2AC=上-止.2因为用代替人，得忸。卜一K1552(公+3悯“2+11.|2(3公+1)俨+3)故四边形A B D C面积S =-AC-BD=闻/+)6k2+20令|&|+百=，(d 2),5=y=6，+：设函数f(f)=6f+：(fN2),广)=6-怖=亭 0,故，0单调递增.故当f=2,即伏|=1时，S取

42、到最小值1 6,所以四边形A8C3面积的最小值是16.17.(2022辽宁建平县实验中学模拟预测)已知点M(p-L p)在抛物线C：/=2 p x(p 0)上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点M作斜率分别为K,k2的两条直线I,若I”与抛物线C 的另一个交点分别为A,B,且有勺+网=2,探究：直线AB是否恒过定点？若是，求出该定点；若否，说明理由.【答案】(l)/=4 x 直线A 3恒过定点(TO)【分析】(1)将 M 点坐标代入抛物线方程即可构造方程求得结果；(2)设A(X1,yJ,B(X 2，y2),利用斜率公式表示出占+占=2,得到乂%=4；设=+与抛物线方程联立可得韦达定理的形式，

43、由此可得t=-1,可得AB:x=m y-l,由此可得定点坐标.(1);加(2 1,2)在抛物线上，；./=22(-1),解得：0=2,.抛物线C 的方程为：丁=4乩 由(1)得：/(1,2)；设 A(X1,y),B(X 2，y2),k _ y _ 2 _ y _ 2 _ 4 4则x,-l y：,y+2;同理可得：k2 =;4%4 44+七=2,T+T=2,整理可得：%=4；X+z%+z当直线A 3斜率为0时，其与抛物线C 只有一个公共点，不合题意；当直线A B斜率不为0时，设 4 8:x=冲+f,y2=4xill 得：y2 4my 4t=0,则 1%=-*,/.-At=4,解得：t=1 ；x=

44、m y+t:.AB:x=m y-,则直线 A 3过定点(一 1,0)；综上所述：直线AB恒过定点(-1,0).【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于*或 y 的一元二次方程的形式；利用A 0求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简宜线方程；根据直线过定点的求解方法可求得结果.18.(2021 山西运城模拟预测(理)已知尸(1,2)在抛物线C：产=2度上.(1)求抛物线C的方程；(2)4,B是抛物线C上的两个动点，

45、如果直线外的斜率与直线P B的斜率之和为2,证明：直线4 B过定点.【答案】(l)V=4x(2)证明见解析【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数P，即得抛物线方程；设AB：x=m y+t,设A(x/,)，/),B(x2,y2),直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得y +%，M%，代入心,+得参数f值，从而可得定点坐标.(1)P点坐标代入抛物线方程得4=2p,.*./?=2,二抛物线方程为V=4x.(2)证明：设A 8：将4 8的方程与)?=4 x联立得产-4逑-4f=0,设 A(xi,yi)8(x2,*),贝ij yi+y2=4m,yiy2=-43所以 A 0=16/n2+16/0=m2+Z0,k J _ 2 _)，2 _ 4 4PA 2L_I%+2，同理：k p B=T l,，4()，/+券+4)=2Gzy2+2y/+2”+4)，.”=4,-4r=4,:.t=-1,故直线A 8恒过定点(-1,0).