2023年新高考数学大一轮复习专题26数列的通项公式（解析版）.pdf

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1、专题2 6数列的通项公式【考点预测】类 型 I 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项.类型n 公式法：若已知数列的前项和S”与%的 关 系，求数列 4 的通项与可用公式 an=S，(n=I)构造两式作差求解.用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和凡合为一个表达，(要先分=1 和 2 2 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一).类型in累加法:形如4川=4,+/5)型的递推数列(其中/()是关于的函数)可构造：的-4-2=-2)2 a =/(1)将上述吗个式子两边分别相加

2、，可得：an=/(n-l)+/(-2)+./(2)+/(l)+a,(n 2)若f ()是关于 的一次函数，若/()是关于 的指数函数,若/()是关于n的二次函数，若f()是关于 的分式函数，类型IV累乘法：累加后可转化为等差数列求和；累加后可转化为等比数列求和;累加后可分组求和；累加后可裂项求和.%形如=a-f r i)型的递推数列(其中/()是关于的函数)可构造：/=I 4 )a24=/(D将上述丐个式子两边分别相乘，可得：a=f(n-1)-/(n-2)./(2)/(l)a,(n 2)有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解.类型V 构造数列法：(一)形 如 qM=p q,+q

3、 (其 中 均 为 常 数 且 型 的 递 推 式：(1)若 p=l时，数列 七 为等差数列;(2)若q =0时，数列 4 为等比数列;(3)若p w l且qw O时，数列 七 为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如下两种：法一：设 用+2 =p(a+几)，展开移项整理得a“+I =p 4+(p T)%,与题设a“+i =+q比较系数(待 定 系 数 法)得 A =-,(p*O)a+l+-=p(an+-)=4 +7 =p(a,i +-7)，即p-p-1 p-1 p-1 p-1(3+4 构 成 以4+”为 首 项，以 为 公 比 的 等 比 数 列.再 利 用 等 比

4、数 列 的 通 项 公 式 求 出I P-1 J P-1卜 计 嵩 的通项整理可得为.法 二：由 +=pa“+q得a“=P 4i +q(n N 2)两 式 相 减 并 整 理 得 也 =p,即”+i -4,构成以a-an-i%-4为首项，以口为公比的等比数列.求出“e-勺 的通项再转化为类型I H (累加法)便可求出可.(二)形 如4向=网,+/()5*1)型的递推式：(1)当/()为一次函数类型(即等差数 列)时：法一：设a,+A +B =pa,i+A(-l)+8,通过待定系数法确定A、8的值，转化成以q+4 +B为首项，以4=尸 为公比的等比数列 a,.+An+B,再利用等比数列的通项公式

5、求出 ,+A +8 的(一?)！通项整理可得为.法 二：当/()的 公 差 为 时，由递推式得：a“+i =P 4,+/()，=P 4 i+/(T)两式相减得：%=p(a“-a._ J +d,令 b“=a”+a“得:”,=乃“_1+d转化为类型V 求 出,再用类型H I (累加法)便可求出外.(2)当/(n)为指数函数类型(即等比数列)时：法一：设a“+2/()=/7 a“T+2/(-1),通过待定系数法确定力的值，转化成以q+儿/为首项，以A：=二 二 为 公 比 的 等 比 数 列 ”,+(“),再利用等比数列的通项公式求出%+4f()的通项整理可得册.法二：当/()的公比为q时，由递推式

6、得：*=pa“+f()-，an-pan_,+f(n-l),两边同时乘以 4 得 anq =pq a吁 i+q f n-1)-，由两式相减得 ，a 0）型的递推式：在原递推式a*1两边取对数得lg4+i=qlga+lgp,令 勿=lga“得：2+|=4+lg，化归为q川=为+4 型，求出“之后得为=10（注意：底数不一定要取1 0,可根据题意选择）.类型v n 倒数变换法：形如为一（口为常数且。二0）的递推式：两边同除于牝4,转化为=匚+p 形式,4%化归为q,M=p%+4型求出_ 1 的表达式，再求勺；还 有 形 如 4”=吧 的 递 推 式，也 可 采 用 取 倒 数 方 法 转 化 成 一

7、!一=生 工+形 式，化归为pa“+q a“+i q a“pan+l=pa“+q 型求出 的表达式,a再求凡.类型VID形如an+2=pan+l+q an型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列 q-。,-的形式求解.方法为：设4+2-3 的=（用-3”），比较系数得 h +k =p,-h k=q,可解得、4,于是。用-履“是公比为人 的等比数列，这样就化归为4M=PQ+4型.总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式风.【题型归纳目录】题型一：观察法题型二：叠加法题型三：叠乘法题型四：待定系数法题型五：同除以

8、指数题型六：取倒数法题型七：取对数法题型八：已知通项公式为与前项的和S“关系求通项问题题型九：周期数列题型十：前项积型题型 一：“和”型求通项题型十二：正负相间讨论、奇偶讨论型题型十三：因式分解型求通项题型十四：其他几类特殊数列求通项题型十五：双数列问题题型十六：通过递推关系求通项【典例例题】题型一：观察法例 1.（2022山东聊城.高三期末）某数学兴趣小组模仿“杨辉三角”构造了类似的数阵，将一行数列中相邻两项的乘积插入这两项之间，形成下一行数列，以此类推不断得到新的数列.如图，第一行构造数列1,2；第二行得到数列1,2,2；第三行得到数列122,4,2,则第5 行从左数起第6 个 数 的 值

9、 为.用 4表示第行所有项的乘积，若数列 凡 满足Bn=log2A,则数列 4 的 通 项 公 式 为.【答案】8 8,=见2【解析】（1）根据题意，第 5 行的数列依次为：1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,3 2,4,3 2,8,16,2从左数起第6 个数的值为8；（2）A=2,4=2 2=24=25=2 3 0+3 ，A=28=2,+3 +3，+3 2+3 3 3”T 1+3”-故有 A =2 i+3 +3 +3 2+3修=2及=2W1+3贝=噫 4=总 2 2=1 +3,2故答案为：8；纥=三 里例 2.（2 0 2 2 河南商丘高三阶段练习（理）将数列 2 与 3 +1 的

10、公共项从小到大排列得到数列%,则其通项。“=.【答案】4【解析】数列 2 中的项为：2,4,8,1 6,3 2,64,1 2 8,2 5 6,经检验，数列甘,中的偶数项都是数列 3 w +1 中的项.即4，1 6,64 ,2 5 6,可以写成3+1 的形式,观察,归纳可 得%=4 .故答案为：4.例 3.（2 0 2 2 云南 昆明一中高三阶段练习（文）2 0 2 2 北京冬奥会开幕式上，每个代表团都拥有一朵专属的“小雪花”，最终融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奥主火炬，惊艳了全世界！（如图一），如图二是瑞典数学家科赫在1 9 0 4 年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个

11、正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程,就得到一个“雪花，状的图案.设原正三角形（图）的边长为3,把图二中的，图形的周长依次记为4，%，%,%，得到数列%.图一图二（1）直接写出生，的值;（2）求数列%的通项公式.【解析】生=1 2,4=1 6.(2)由图形的作法可知:从边数看，后一个图形的边数是前个图形的边数的4倍，所以，从一个正三角形开始，“雪花”图案的作法所得图形的边数是以3 为首项，4为公比的等比数列，所以，第个图形的边数为34”T,从边长看，后一个图形的边长是前一个图形的边长 的;倍，所以，从一个正三角形开始，“雪

12、花”图案的作法所得图形的边长是以3 为首项，；为公比的等比数列，所以，第 个 图形的边长为所以,(广寓.例 4.(2 0 2 2.宁夏六盘山高级中学高二阶段练习(文)一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图，,，分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数构成的数列记为伍 .(1)写出生，a3,%,%的值；(2)猜想数列 q 的表达式，并写出推导过程；2 2 2 2(3)求证：;+;+;+-+-2),a2-a3-i a4-l an-【解析】(I)解.：根据图，分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照此规律，可知q=l,%=5,4=1 3,4=2 5

13、,%=4 1.解：数列的通项公式为：an=2n-2n+.推导过程如下：由图可得；出 一 4 =4 x 1 ;。3 一 4=4 x 2 ；a4 一%=4 x 3 ；4一%=4 x 4；山上式规律，可得4-6“=4(-1),所以2 2,q一 4 =4(1 +2 +3 +4 +-1)=4=2 n(n-l),2所 以=2一 2 鹿+1,当n=符合即数列的通项公式为a=2n2-2n+.(3)解：由 4,=2 2-2 +1 2 2 时.-2 -2”一 ”(I)，所以原式=+；+1 2 2 2 2因为e N,可得一0，可得一:+7 +;+一：1（2）.n 2-1 a3-1 a4-1 a -1例 5.（2 0

14、 2 2 安徽合肥市第六中学高二期末）如图，第 1 个图形需要4根火柴，第 2个图形需要7根火柴,，设第个图形需要。“根火柴.,，一一,“”Z Z1 2 3 .九（1）试 写 出%,并 求 见；（2）记前个图形所需的火柴总根数为S“，设=S,+5,求数列，的前项和【解析】(1)由题意知:4=4,1=7 ,a3=1 0,a4=1 3,可得每增加一个正方形,火柴增加3 根,即/=4+3,所以数列 为 是以4为首项，以 3 为公差的等差数列，则4=4+3（-1）=3 +1.（2）由题意可知，5“=4 +小 一 1）内_（3 +5）22”一 n 3 几(+2)所以 2=S,+5=T -11 11 2

15、1则厂诉所+翡-=K1 +2_T_2)4_3(J lX +2)11 2/2 +3 3 n2+5n2 3(/7 +l)(n+2)-6(w2+3 r t +2)例 6.（2 0 2 2 全国高二课时练习）古希腊的毕达哥拉斯学派将1,3,6,1 0 等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示.把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列 为,写出外,4以及【解析】由题意得：a,=an+n+,所以6=%+”4 T =a-2+n-%=4 +2累 力 口 可得=%+2 +3 +=1+2 +3+=-(之 2),当n=时，4 =1 满足上式，所 以%=*W(e N*),所以。5

16、 =1 5,。6 =2 1例 7.(2 0 2 2 全国高二课时练习)观察数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数，并写出每个数列的一个通项公式：(1)1,3,7,3 1,1 2 7；(2)2,5,1 7,2 6,5 0；c 1 1 1 1 1 5 一 一 一记记 一远；(4)1,/2 ,2,y/5)/7 【解析】(1)观察数列得各项加1 后是2的基次，应填空1 5；6 3,(2)观察数列得各项减1 后是正整数的平方，应填空1 0；3 7,a=n2+l；(3)观 察 数 列 得 后 项 等 于 前 项 乘 以 应 填 空:；q=(_ )+2 8 6 4 2(4)观察数列得各项都化为二次根式后，

17、为正整数的正的平方根，应填空 石；瓜,a“=品.例 8.(2 0 2 2 广东 广州市培正中学三模)设%是集合 2，+2”0 s 2-1,.的通项公式 b,=（“+1）2-1；（3）由前行的项数为里?个，而上|好 1 0 0 2）,以上 各 式 相 加 得=+3 +5 +7 +.+（2“3）=（I +2；）（T）又4=0,所 以%=（/?-l）2（n2）,【答案】-4948【解析】%=2,练+i=an-nf二 an+an=一 ，。2 -4 =一1，a3a2 =-2,4 二 -3，%（）（）一%9=-99,将以上99个式子都力口起来可得40n-q=1-2-3 -99=-9 9（；+9 9）=一4

18、950,Soo=Y 948.故答案为：-4948.例 11.（2022 全国高三专题练习）已知数列 4 满足4=2,4*2=4+2（1）,则数 列 董 的前2022项的和为2022【介入】2023【解析】由题意可知，满足4=2,田-%=2 +2,当 2 时，an-an_x=2(/?-l)+2=2n,.,令-4=4,%-。=6,%一%=8,，4 一%=2n，以上各式累加得,=q+(/_ q)+(q +(4 )=2+4+6+8+2.(2+2n)n=-=n(n+1),2八 1111当 =1 时，4=2,也满足上式，/.an=nn+1),则一=-.an n(n+1)n n+lBln1 1 1111 1

19、1,1 n；数歹|J静 的前项和为S“+=1-+-+-77=-77=-77 蠹%a3 2 2 3 n/?+1 n+n+而4=0 也适合上式，.a“=（-I）,故答案为：（-炉例 10.（2022内蒙古 乌兰浩特一中模拟 预 测（文）已知数列”满足4=2,4,用=%-,则求2 0 2 22 0 2 2 2 0 2 3故答案为:2 0 2 22 0 2 3例（2 0 2 2.全国.高三专题练习）数列 叫 中，/+六则【答案】|9【解析】因为+1=an+/一，所以a+t-ann +n1 1 1-=-21n +n n n +l则当 2 2,wN 时,将-l个式子相加可得=一 二 +二一彳 +.H-=I

20、 ,因为 q=l,则 4 =2 (n 2),2 2 3 n n n n当 =l时，4=2-!=l符合题意，所 以%1n1 9所以=Q故答案为：例13.（2022.湖北.华中师大一附中模拟预测）在数列 ,中，已知4=,%“=告：，P0,ne N.（1）若p=l,求数列%的通项公式；记包=4,若在数列 2 中，b“池 伽eM）,求实数P的取值范围.【解析】（1）由题意，可“=弋7,得：一 =，运用累加法:4+1 4+i玛+LL+-L j+2+=4 4 a2%a21 _ +1 _ n2+n+2p/2+4 22 _ _ 2a +i -2 .-an-7Y-，P -,n+2p n n+2p，二1时，也成立

21、，氏=n2 n+2 +22 由 4=；,2n n2-n+2p4由题意“不，即2n4化简得：(-4)p 2n(A 7-4),当(2n)i T i i i x=2x3=6 ,当九 4 时，p(+1)2 111 +2/1所以即为际而4 话又因为“+1)-/()2，i，e N 单调递减，且 6)=木，所以解(“+).2,川4 元 得 色 6,故n的最小值为6.例 15.(2022全国高三专题练习(理)已知数列 叫的前项和为S“，且满足S,=(+l)2%-3,eNt.求 应 的通项公式；(2)若2=(2+3)(-1)4,求 也 的前项和7；.【解析】解：=1时，q=4 q-3,解得q=l.当2 2,“e

22、N+时,故%=S“-S“T=(+1)2,nn+2故Un-%幺.幺必4-2 a2 6 1n 77-1 3 2 _ 6 +2 +1 5 4（+1）（九 +2）ai符合上式,、6故(的通项公式为%=逅而用,N,.（2）解：结 合（1）得4=（2 +3）（T,=6（TW+2）,所以 E+4+4=唔+1+6（：+6（-1）+为6n+2=3 +（-I）-例 16.(2022 全国高三专题练习)在数列”“中，q=l(2),求数列 ”的通项公式.【解析】因为=1,=（I一一1|4 一|（此2）,所以一a=-n-,由7 _%I an-2 3 生 n-n-2 n-3 2 11所以“-,-.-q=-一 =一an-2

23、 -3 。2 /t n1 n 2 3 2 n又因为当=1时，0=1,符合上式，所以为=.n例 17.（2022.全国.高三专题练习）记S,为数列%的前项和，已知=1,是公差为g的等差数列.（1）求%的通项公式；1 1 1 c(2)证明：一+2 时，an=S-S,i =-=n，当”=1 时，4=1满足上式,/.an=n.故答案为：n例22.（2 0 2 2 全国高三专题练习）数列/中，q=l,当 2 2 时，a=2na.,则数列%的通项公式为.f -Q 7+-2【答案】a,=L【解析】解：因为4,=2 4-,n 2所以2 =2 ,4=L=2 T-I a-i况=2 ，L,=2。*i累乘得：&.一.

24、丝=2 -2 L 2 f ,n n eN*,-i*%-3 45+2)(-1)J+n-2所以2=2=2 ,n N 2,n s N*.%由于4=1,所以 =2号 ,2 2/WN*.显 然 当 时,e满足，广+一 2-2-M+-2所以q,=2k e N.“人.,、.“2+n-2故合案为：4 =2,.i n f 1 1 T例2 3.(2 0 2 2.全国.模拟预 测)在数列%中，=：,%=万=4“，若75丁+W/+L+777*T/I*C,I 4 J 4 C4 zC 174-I且对任意eN*,筹2九2 +4恒成立，则实数2的取值范围是()A.(oo,l B.,C.信/D.1，H【答案】An -1 1 2

25、 2 n 3 2 1【解析】解:山-=而可，,得4，=而而、百而引人市袤X二T X =_x l =-L(2),2-+4 (+l)x 2 八 八11 _ 1所以(+1)J=,2 (2 2),当”=1 时，2a,2x 1,符合上式，1，所 以以 7(-+：1”.=2所以7；=l x 2 +2 x 2 2+n-2,2 7；=l x 22+2 x 23+n-2n+l,作差得一7；=2,+2 2 +L +2 -.2向=3,；)-n-2向=(1 )2向 2，所以北=(-1)2向+2.由7；2加2 +4,得(-1)2 e+2 2九2 +4,整理得4 4 2(-1)-3.易知 函 数y=2（x-l）-9在1,

26、+00）上单调递增，所 以 当x e l,+8）时，ym in=-l,所以故 选：A.【方法技巧与总结】数 列 有 形 如 为=/（）-。,1的 递 推 公 式，且/（2）的 积 可 求，则 将 递 推 公 式 变 形 为%=/（），利用叠乘法求出通项公式乙a-i题 型 四：待定系数法例24.（2022 全国高三专题练 习）己知数列?满 足：q=lM 2=4,4a“3 a,-4+2=，设心1”1%（2%+1）】嗝（2%+1），=*.则4+Z+%=-【答 案】20222023 解 析1依 题 意4 =1,4=4,4%+|-3 4-=0,%+2-4用=3&+1-。“）,所以数列卜是 首 项%-q

27、=3,公 比 为3的等比数列,所 以a同 4=3,an+i-an=3 4,=4+(%一4)+(%-%)+(4,一4-1)=1 +3+3。+31 1 1=-=-,4=1 也满足，1-3 2所 以4 =3苛-I，,1 I 1 1b -=-=-“log3 3 logs 3n+I 枕(+1)n +1 所以 4+2+82()22=l_g+g_；+-=1-2022 2023 202320222023故答案为:20222023例25.（2022 四 川宜宾 二模（理）在 数 列&中，q=l,a,=1,且 满 足2。/田=%（3q川-a“）（”2 2）,则q=.【答 案】【解 析】解：因为 4=1,2aan+

28、l=an_l（3an+l-a），显然 a,产 0，所以 2。/用=3a.“a,i-4一乩，同除474Alt得2 =2-匚，所以2（，-一=-一，所以下:=2,所以 一 一 J-1是以2a-i an -a_,）a+1 an J_ L I为首项、2为公比的等比数列，所以-=2X2T=2 ,所以%1 _=2 7+2-2+.+2,+1=2-11-2所以4=占z 1故答案为：-2 1例2 6.（2 02 2 全国高三专题练习）已知数列。中，q=1,。的=|一，若，=三，则数列 2的前项 和S“=.【答案】-4+6/1-195 1 _ ,a-1 1 1 4一2【解析】由凡+1=弓-，有q _ 1 _ 2

29、_L-?.1,4川-2 =5-=-；2 an an+l-2,-L 2 a 2 a%-2 =!.%-2 a _ 2两式相除得到 1 4 1 ,所以c i ,c i 1+1 2 “2 an-1a1 2=-2，是以7为公比，1 为首项的等比数列，所以,4 i-29=_2.仕 3 2 4-1an-L G J，%=2_ ，Ou2n 1 4n-xl I n=-4-l 4=+-6-n-l-3 3 3 3 9 9故答案为一中例2 7.（2 02 2全国高三专题练习）已知数列的递推公式6i+l3 -4且首项4=5,求数列 4 的通项公式.【解析】令。用=q=x .先求出数列的不动点*=在4，X-1解得X|=2.

30、将不动 点%=刍=2 代入递推公式,整理得*2 二=!1 =（4,-2）+1凡+1-2 an-2令 T,1 1,C1,人口=数列 是 以;为首项，以 1 为公差的等差数歹IJ.2 2 的通项公式为4=b+(n-l)-l =?-.,1 1 2将包=-不 代入，得-7=”一 可 一-2 a-2 3例 28.(2 02 2 全国高三专题练习)已知数列 ,满足：4=2,=(2 2),求数列(的通项公an-式.21 1 2 (2 +。”)【解析】因为4 用=工 厂，故。e-1 =广且。向+2 =一包,1 +1 +凡 1+4a“+i +2斜，而言。，故嬲肛故安所以数列 会|是以4 为首项，以-2 为公比的

31、等比数列,故言=4 =an+i-5an,则 hn+l-h =2 ,且4=出-5q=2.b=4+(矶)=2+丑 2*=T,n 2出=2 符合该式，A=l Jt=lan+x-5d=2,令a=2c，则2(2加一5c力=2 ,即2c,5q,=l,即 2（c“M+g =5（c“+g）且q=0,故,是 以;为首项，|为公比的等比数列.臼 图”二 卜 衿 5）例 33.（2 02 2 江苏高三阶段练习）已知数列%满足4=3,an+l=2a-n+l,（1）求数列 端 的通项公式；al t n（2）若数列 q,满足c.=QQ 1（2 J 1）求数列 5 的前项和。【解析】（1）%+i=2 a“-+l,二4 用一

32、（+1）=2（%-）由此可得数列%-构成以4-1 =2 为首项，公比4=2 的等比数歹I J,利用等比数列通项公式得：a,-n=2xT-=T ,所以数列 q 的通项公式为：”“=2+”.，_ J n _ 2 _ _ （2）由得 一（2 +1 乂2 角+1）-（2 +1）（2 向+1）-2 +-2 的+kq+Cz+c a+L +%例 34.（2 02 2 全国高三专题练习）数列 4 中，4=-1,“向=$7，求心的通项公式.1 .=2 _4“_ _ 1 1【解析】Qa+1 =_ ，a+|T _1_1 a“-l a-1，即 Z7-2-an 向1 1又一，则力口,是首项为-g,公差为-i 的等差数列

33、,即可3-2/7 2-3,2-=-=-1 2/1 2n 2n 12故 答 案 沏 Q 罚【方法技巧与总结】形如。+1=pq,+q （为常数，p q*0 且 pwl）的递推式，可构造“向+/l =p（a“+团，转化为等比数列求解.也可以与类比式4,=p a,i+q作差，由可”然后利用叠加法求通项.P（4,-%），构造,）+i-）为等比数列,题型五：同除以指数例 35.（2022 河南高三阶段 练 习（文）已知数列a,的首项q=3,且 满 足=2a“+2向-1 ,（1）设,=票，证 明 也 是等差数列；（2）求数列4-1 的前项和S”.【解析】（1）将等 式 =2勺+2向一1两边都减去1得4+1

34、=2（4-1）+2叫再除以2向 得 争1=*+1，即向=+1.即%”=1.且 4=，=1.所以也 是首项为1，公差为1的等差数列.由（1）知包=，所以=,”“=2+1.所以。“-1=小 2.贝|JS“=卜2+222+33 +-+-2.2S,=1-22+2-23+3-24+2+,.-得:-S“=2+2?+2+2-2n+1-S=2(22n+,=(1-n)2+,-2所以 S“=(-l)2 e+2.例 36.(2022天津二模)记S 是公差不为。的等差数列/的前“项和，已知4+3%=55%=，数列 出 满足 2 =+2T(2 2,e N*),且4=q-1.(1)求%的通项公式；(2)证明数列1*+1)

35、是等比数列，并求 包 的通项公式；(3)求证：对任意的”eN*,XT-&+1)=2(常数)，lg(a,i+1)所 以:数 列 四4 +1)是以月(9+1)=1为首项,2为公比的等比数列.所以：/g(4+l)=lx2T,所以：d=102，-l,由于=1./(2)8 =4 时，/(6)2 5-=-OM.0)的递推公式，则常常两边取对数转化为等比数列求解.题型八：已知通项公式册与前项的和Sn关系求通项问题例45.(2022 全国高三专题练习)已知正项数列q 的前项和5,满足：5“=2 4-2,(6电).求数列%的通项公式；【解析】S=2-2,(We N J,S.t=2a,.,-2,(n2,neN J

36、两式相减得到4,=2“T(n2,/?eNJ.当”=1时，可得q=2,又为0,.q 是首项为2,公比为2的等比数列.的通项公式为4 =2(eN+).例46.(2022全国高三专题练习)已知正项数列 可 的前项和为5.，满足2S“=M+a,-2.求数歹1 4 的通项公式；【解析】2s“=4+/-2；当 =1时，代入得4=2.当2 2时，2 5,1=%+%-2；-得 2a=a-a+a-a_t,整理得a“+a,i=。；一吮=(%-一|)(%+4 1),因为%0,所以a“一所以数列4 为等差数列，公差为1，所以 a“=+1.例47.(2022江西九江三模(理)已知数列%的前项和为5.，且满足4=2,+1

37、+4=35+6.求%;求 数 列 7 二：的前项和.nn+)an【解析】当九=1 时，%+4 q=3 S +6,*.*4=2,，%=4.当2 2 时，由川+44=3 s“+6 ,得4+4%=3 S“+6,两式相减得 4+1 -an+4(%-.1)=3a,即 4+1 =4%二数列%-，%,均为公比为4的等比数列二4a=2 -4 i =22-1,a2n=4 -4-=22 ,=2+2 _+2 _2 1 1+(H+l)-2n+,n+2数列的前”项和例 4 8.(2 0 2 2 福建福州三中高三阶段练习)已知数列 q 的前项和为5 必=1,S =G 1).(1)求数列%的通项公式；(2)若=2 一 2用

38、，求数列 2 的前项和人【解析】(I)由于S“=(+；”,所以2 S,=(+1)4,当 2 2 时，2 S“T=a,i，-得次=(+1)4-,整理 得&=&t，所以&为常数数列，又?=1,n n-I nJ 1所以见=.由(1)得b,=2 T%u=(w+l 2 T,J 9 f7；,=2 x 2o+3 x 2l+4 x 22+(+1)2”T，27；,=2X2+3X22+4X23+(+12 ，-得一=2+(2 1+2 2+故 =-2 .例49.(2 0 2 2.全国高三专题练 习)已知数列%的 前”项和为5“，4=4,%=8,且S,.-2 5用+S“=4 .求证：数列“是等差数列；(2)若,，S,1

39、4%向成等比数列，求正整数在【解析】因为S,+2-2SN+S=4,所以S“+2 一S,M 5+1+5 =4,即0 短一S+I)-(5+I-S)=4,则a“+2-a“+i =4.又q =4,a2=8,满足-4=4,所以 a,是公差为4的等差数列.(2)由(1)得，a=4+(r t-l)x 4 =4/z,则出皿2/+2 .2乂 S1 -1 4ai nam+,所以(2/+2 机)=14 x 4 z x 4(?+l),N _,化简得T n?+机一56=0,解得m=7 或根=8 (舍).所以m的值为7.例5 0.(2 0 2 2 青海海东市第一中学模拟预测(理)设数列 叫的前几项和为S ，S=2%+-4

40、.(1)证明：数歹U q一 1 是等比数列.2 1 170(2)若数列 的前加项和图=三，求机的值.64+J 513【解析】(1)当九=1 时,4=2。一3,4=3.当2 2时，S,I=24Z,I+5 -1)-4,两式相减得a=2 a,i-l ,即4-l =2(a.l),-1 =2,则数列%-1 是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)得4-1 =2 ,an=2Z,+1,当 =1 时，=2 +1=3,数列 4 的通项公式为4=2 +1.2 _ 2 _ _J _ 1aan+l(2n+l)(2+1+l)2+1 2n+,+1 T=f i _ n+f i _ n+f i-1 L+p_-一(3 5

41、)5 9)19 1 7)(2 +l 2,n+l+l)3 2,n+l+l 入1 _ L_=12 2 2.b 9 3所以当 =1时，-=-=3,所以4=6.得 互=；x 3 .+；=3 ,所以也,=(”+1 3 .又当=1 时，4=6 =(1+1 3,所以d=(+l 3 .所以 7；=4+2+=2 x 3+3 x 3 2+(”+1 3”,3 7；,=2X32+3X33+-+(M+1)-3,+I,所以一2 7；,=2X3 +3 2+3 3+3 _(+1)-3向=6+也二工+0里 x 3 i，2 2所以(,=誓例53.(2 0 2 2.福建三明一中模拟预测)设数列 4的前项和为S“，若q=l,S,=%

42、M-1.(1)求数列 4的通项公式；(2)设“,=,求数列出 的前 项和7；.a”一【解析】因为q=l，S“=a“+i-l.所以解得%=2.当2 2时，S,i=a,-1,所以a“=S 一S i=。向-为，所以2 a“=4田，即 乎=2.因为生=2也满足上式，所以 4是首项为1,公比为2的等比数列，所以q=2 T(e N*a 由(1)知。前 二2”，所以=最，3 +2 x|+3出)+”x(|./=l x|+2 x(|+(_l)x(9+展).-畤1+2,所以I*-联，2sl例54.(2022.全国.高二专题练 习)记S”为数列%的前项和.已知-+n 2an+1 .(1)证明：可 是等差数列；(2)

43、若%，%，%成等比数列，求5的最小值.2S【解析】解:因为一+=2 a,+l,Bp25+2=2w+n,n当2 2时，25“_+(-1)2=2(-l)a,i+(-1)，一得，2s+_ 2s1)=2natl+n 2(/7 1)an_1 (/?1),即 2a“+2-1 =一2(-1)4_+1,即 2(-1)%一2(一1)41=2(/?-1),所以 一a”】二1,之2且 N*,所以%是以1为公差的等差数列.(2)解：由(1)可得。4=4+3,%=%+6,%=4+8,又4，。7,%成等比数列，所以。7 2=4%，即(q+6=(q +3(4+8),解得q=-12,所以a“=-1 3,所以s=T 2+皿 口

44、 =2一 =_1 2 2 2 2所以，当 =12或=13时(5)面二一78.例55.(2022福建厦门一中模拟预测)已知数列。“的前项和S“，4=1,a 0,aa+i=4 S-.(1)计算外的值，求6 的通项公式；(2)设d=(-1)的 二,求数列出 的前2 项和T2.【解析】解:当=1时，4 4=4%-1,解得出=3,山题知=4S“-1 a+i”+2=4%一1 ，由一得S-a“)=4%,因为4,0,所以an+2-an=4,于是：数列 七 的奇数项是以4=1为首项，以4为公差的等差数列,即 2-1=1+4(-1)=4-3 =2(2-1)-1,偶数项是以电=3为首项，以4为公差的等差数列，B J

45、 a2n=3+4(-1)=4 n-l所以 叫 的 通项公式。=2”1；(2)解：由(1)可得2=(-1)(2-1)(2 +1),b 2 n 7+b 2 n=(4 -3)(4/?-1)+(4 -1)(4 4-1)=4(4/?-1)T2=(4 +4)+(4 +a)+S 2 1 +力2 )=4 3 +7+(4/?-l)=4 x-=4 (2 +1).例56.(2 0 2 2.福建省福州第一中学三模)设数列 4的前项和为S“，q=0,%=1,nSn+l-(2n+1电 +(/?+l)S.l-1=O(n.2).(1)证明：6 为等差数列；(2)设5=2%，在和 M之间插入个数，使这”+2个数构成公差为4的等

46、差数列，：【解析】(1)证明：因为”.2时，S同一(2+1电+(+1电_1 =0,则(踹-5“)-(+1)(S,-S“T)-1=。即“4+1+-1=0 ,n.2,因为。2 _2_ =0,贝lj nan+l-(+1)%-1 =0,”e N .，所以(-1)%-a,-1 =0,.2.，则-得 na+i-2nan+nan_t=0,n.2,即4+|+4 1=2 4,”.2,一所以 ,为等差数列.(2)解：由(1)可得 4的首项为q =0,公差为4-4=1，所以%=T，所以=2 T,hn-b 2-T-r的前项和 为(则 72f +3|+4j+(+】)(!一，所以#=2冏+3囿+呜)+咽+(+咽 ,则一

47、得 立=2+R+p 丫+0 _(+1)闺 一1I 7)所以工,=1+号-(+)1-=3-(+鸣，2所以 7；=6-（+3）（；）（2022全国高三专题练习）已知数列 q 满足4=2,a,用=2（S.+”+l）5 e N*）,令“+1.求证：也 是等比数列；记数列 曲 的前项和为7“，求I.【解析】（1）证明：4=2,%=2（4+1 +1）=2X（2+2）=84+1=2（S“+”+D（N*）,a=2（Sn.,+n）（n 2）-得，a+l=3a+2（e M）经检验，当 =1时上式也成立，即%+i=3 q,+2（/e N）所以 4 田+1=3（4+1）即也用=3。，且4=3.所以 2 是首项为3,公

48、比为3 的等比数列.由(1)得勿=3,nb=n-3.所以 7；=1x3 +2x3 2+3 x3+x3,3 7,=lx32+2 x 33+3 x 34+-+nx3+,两式相减，得-27；=3 +3 2+寸+3-X3(1-3)-n x1-3Tj 2 n-l）-3-3 4 4例 57.（2022 全国高三专题练习）已知数列%的前“项和为S”，且有24+224+23。3+-+2%=2.（1）求数列%的通项公式；（2）设口=，刀,为数列出 的前项和，证明：Tn 0,：.Tn=2-2.n+2 n+2例58.(2022江西高三阶段练习(理)已知首项为1的数列q 的前项和为5,且咯+|-(+2)S“=g n(

49、n+1)(+2).(1)求证：数列 空=是等差数列；(2)求数列a“的通项公式；(3)若数列%满足向+舟=%“,求证：(崖4 ,一二.【解析】(1)证明：两边同时除以5 +D S+2),得 _ _ _ _ _ _ _ _(+1)(+2)n(n+1)3又 皂，,故是以;为首项，为公差的等差数列1x2 2 n(/i+l)J 2 3(2)解：由(1)可知，S=(n-l)+|=|n +|,n(n+l)3 2 3 6则 S=”(+1)(2+1).6当儿.2时，an=5“一S“T=，(+1)(2+1)-，(-1)(2-1)=2,6 6而4=1符合上式，故。“=2.(3)证明：因为心用 也=出”，故%,用(

50、2+U且伪也久 也 凯局)而b“=2n2+12 ，2|2,neN广），则i=l）【答案】n2【解析】解：当.2时2 H-25,4+%=0,%=+23“一 1 Ss._、=,整理可得 5.-S,I=-2SS_,T-一 =2,数列是 以 1为首项，2 为公差的等差数列，：8 =2-1,寸 =（1 +2-1），-2,.白 E 2 故答案为：n2例 60.（2022四川宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理）已知数列%满足1+3+3+/匕=2,3 5 2+1贝 I 4 +/+=.【答案】（2-12+1【解析】1+多+今+3=2，3 5 2+11+幺+生+_ =2T，3 5 2/2-1两式相减得：#7 =2