专练14（30题）（二次函数压轴大题）2022中考数学考点必杀500题（广东专用）（解析版）.pdf

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1、2022中考考点必杀500题专练14（二次函数压轴大题）（30道）4 2 4 21.（2 0 2 2 广东中山一模）如图，抛物线y =-1 x 2+1 x+方 与 x 轴交于4 B两 点（点4在点 8的左侧），顶点为。.点 P为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为机，直线交y轴于点C,过点尸作尸皿。交x 轴于点.F,轴，交直线X。于点E,交直线。厂于点M.求 直 线 的 表 达 式 及 点 C的坐标；（2）当。M=3M尸时，求”的值；试探究点尸在运动过程中，是否存在相，使四边形Z F P E 是菱形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.A Q Q【答案】（i）y =；c（o

2、,-）；（2）掰=1+：3#或 m =l3+；上 （2 3 3 9）（1 7 3 八存在，【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；4 8 3 2（2）过点。作。翁 轴 于 点 0,交 P E 于点M P（m,-m2+-/M+y）,ON =4%/一+士N Q=I 9 9 9 J 9 9 9A Q 3 2一/+加+3，利用尸现1 r轴，得至“D N D M,A而=标，则 D N=3 N Q,进而求解;（3）分点尸在x轴上方、点尸在x轴下方两种情况，利用/E=P E,分别求解即可.A Q 32当产0时，。二一可丁+可工+玄，解得x/=-2,x?=4.回点4在点3的左侧,明(-2,0).0 y =

3、4 x 2+-8x+32,HHnP y =4/(x-1n)2 +z4,*9 9 9 9团D(1,4),设直线力。的函数表达式为产质+人回直线4 D过点4(-2,0),D(1,4),则 2k+b=bk+b=41解得:334 8团y =一工+一，3 3Q O当*=0 时，=，故 c（o，-）；（2）如图2,过点。作。刎 轴 于 点0,交P E于点、N.图2团点P的横坐标为加,4,8 32、，T+7 H ).9 9 9团D(1,4),回。N=4/疗+号7 +%=3/一3+NQ=(9 9 9；9 9 9回P E l r轴,4 m 2+8 机+329 9 9DN DM回-=-NQ MF当。用 二 3 四

4、F 时,DNNQDMMF即4+J9 9 9配N=3NQ,4,8 3 2机_ +机+9 9 9业I _4 m 2 8?4 4 =J3 4 m2 H 8 m H-3-2-A口 寸，,/)=1+y3j3 r.9 9 9 1 9 9 9 )-2团点P在抛物线对称轴的右侧，3 l团 加=1+6;2当I，54 犷2 一8 加+4 =-/3 一4 厂2 +8 相 +至3 2、J 时工 ，w =l3-Vr6.回点尸在抛物线对称轴的右侧，团?=1+底.2综上所述，加=1+|#或7 =1+|石；(3)存在，理由：当点尸在X 轴上方时，设点 P(m,-m2+n+-),则点 E 的坐标为(x,，+?+?),4 Q 4

5、 2 77把点A 的坐标代入AD 的表达式得：+?+/，1 2 2解得 X -HT H-7 2 2 H-,3 3 3山-人 一-、1 2 2 2 4 2 8 3 2、故点*的坐标为 一m+2 +,-3 加-+机+),f 1,2 2、贝 U EP=7 W I /7 7 +7 2?+-I ,由 直 线 的 表 达 式 知，S 施瓦4 0=,贝|以炖氏1 0=3 =生，3 5 AE贝 I J 4 厂=15/(/_ 4)x=5-13 加 2 +2-m+2-+八2 ,1 3 四边形/尸尸 是菱形，则力E=E P,0 0 7 7 1-f 1 2 2 2、5，1 ,2 2 八m+？+=加 +机+2 ,(3

6、3 3 3 1 3 3 3 J解得加=-2 (舍 去)或 胃2 3,O故点尸的坐标为（彳，）;o 16当点P 在X轴下方时，同理可得，点 P 的坐标为e17，-21）.综 匕 点 P 的坐标 为 偿,21）.【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.2.（2022广东广州市第四中学一模）已知抛物线丘（k-2）x+2与y 轴交于点A,与 x 轴交于8、C（点 8 在点C 的左边）.直接写出点8 的坐标；（2）当 4=1 时（如图），求：在直线/C 上方的抛物线

7、上一点M,求点用到直线4 C 的最大距离及此时点M 的坐标；将 线 段 绕 x 轴 上 的 动 点 0）顺时针旋转9 0 得到线段O ,若线段O A与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求机的取值范围.【答案】（-2,0）最大距离为 苧，此时“（2 2）；m 的取值范围为-3-折相-4 或 3+A/T7 m 2【解析】【分析】（1）将解析式变形可得二次函数过定点（-2,0）结合函数图象即可求得点8 的坐标，（2）过 点 M 作MN_Lx轴，交AC于点N,过点垂足为点）,设24 D MN =N A C O =a ,则=cosa-MN,继而求得DM=7蛆，求得直线A C的解析式y=-g x +2

8、,设M（八一;a2+；机+2）,则N（机,机+2）,根据二次函数的性质求得当机=2时，M N的最大值为1,进而求得MD取得最大值以及点M的坐标；根据题意可知P O PO ,求得C7（m,加），A（加+2,加），根据当线段O A与抛物线只有一个公共点，分别求得当O,A在抛物线上时，m的值，进而结合函数图像即可判断皿的取值范围.（1）解：团抛物线产（左-2）x+2与夕轴交于点/,与x轴交于8、C（点8在点C的左边）团 y=kx kx+x+2=A（x x+x+2-4 2 I 4 2 J令_ _ 尤2 _ _ 尤=0,解得,=0,W=-2当x=0时，y=2,当x=-2时，y=0抛物线过定点（0,2）和

9、（-2,0）二 4（0,2）,巩-2,0）（2）当k=l时，抛物线解析式为y=-；x2+；x+2令y=0,则/+1彳+2=04 2解得 =_2,赴=4.-.C（4,0）如图，过点M作M N L x轴，交AC于点N,过点 作M D L A C,垂足为点。，:.ZDM N=ZACO设 ZDMN=ZACO=aDM=cosa,MN.A（0,2）,C（4,0）:.OA=2,OC=4,AC=OA2+OC2=2754 2cos a=_ 7=f=2V5 V52.二.DM=M Ny设过 4(0,2),2=b-JA/oC（4,0）的直线解析式为 =+64k+b=0L =_ l解得 2b=2直线A C的解析式为y=

10、-g x T设 M(，,一；，*2+；机 +2),贝 iN(.1MN=-7n2+m+2-m +24 2 I 2.MN的最大值为1,此时机=2,MD=2义迫75 5当帆=2 时，-m2+-m +2=24 2此时M(2,2)如图，/B b p21 z,加+22 J1 =-m2+tn=-(fn-22 4-1；4 4V 7MZ)取得最大值-P O.L O A,将线段0 4 绕 x 轴上的动点。（m,0）顺时针旋转9 0 得到线段O A 1 PO P O,P O =P O ,且 A 总在 O的右侧，OA=OA=2,二。A(m+2,ni)当点O 在抛物线上时，此时，w =-；/+g机+2解得g=-4,，巧

11、=2当点W在抛物线上时，此时瓶=一；(,+2)2+(加+2)+2解得见=-3 y/v7,m,=3+Ji V结合函数图像可得，当线段O A 与抛物线只有一个公共点时，,加 的取值范围为-3-J T 7 c m -4 或-3 +J 百 机 m为常数，该函数的图象记为G.当加=2时，点 N(3,)在图象G上，则的值为；若函数图象经过点(4,5),求加的值，并 直 接 写 出 时 函 数 的 取 值 范 围；设图象G与 x 轴正半轴交于点/,与夕轴交于点8,过点5作 切 的 垂线，与直线x=m相交于点C,设点C的纵坐标为c,用含，的式子表示c.【答案】(1)5，=1 1 时，5 釉 Y；2 =苫 时，

12、5 3 m +y/m2-或 2，+4，+Jl +8，+12 2m【解析】【分析】(1)把(3,)代入函数y =X 2-2 x+2 求解即可求出;(2)将(4,5)代入y n-gd+gx+m求解得到/的值，再根据二次函数的性质即可求得5 轰 6 v-同理，把(4,5)代入y =f 一的+机求解得到机的值，根据二次函数的性质求得O5,即可得出答案：（3）当用 0时，图象y=+gx+机（xm）与坐标轴无交点，如图1,把x=0代入y=x2-tnx+m t得出抛物线y=V _/加+机与y轴交点坐标为8（0,机），把y=。代入y -m x +m,可得出点A坐标为（叱近三，。），过点C作8 _ L y轴于点

13、。，再证得2 C B X M A O,利用相似三角形性质即可求得c,当0,?3时，图象G与1轴正半轴无交点，当机.3时，函数y=-g x，+；x+（x，”）与工轴正半轴有交点A（“J；+8,（）,与 轴交点坐标为3（0,利），如图2,过点B作轴于点。，再证得ACBD-AAB。，运用相似三角形性质即可求得c.,-x2+x+2(x4 时，将(4,5)代入 y=+w,得 5=-8+2+机，解得m=11当 2 =11 时，y=-0,2 2当X=4时，=5为最小值，.5到.-8当 么4时，把(4,5)代入尸/一 如+”，得5=16 4m+),解 得=y,当机=11时，y=31 X 2+-1 1+11,(

14、x 1L)2 2 3 3X2 -1-1-A H 11(/X.)3331 2/y =x21 1 1+x +=23当x =2时,9 1y得 为 最 大值,把犬=日代入1,1 1 1V=X +X +,2 2 3得 y =x(U)2+L U +U=_ U2 3 2 3 3 9.1 1 H-4.1 1 9 1 .|0,x v 可时，一 为 五，当时，y随X增大而增大,61 1 4 2 U 1 1把X=5代入y =r一1不十石，/曰 1 1得y=5，把x =4代入丫 =/一+?，得 y=5,当日效k 4时，5,(i k 4 时，y 5,综上所述，2=1 1时，5缴 等；，=1时，-4为5.8 3 9(3)

15、把x =0代入 y =-；x?+x +m ,得 =%，抛物线与V轴交点坐标为(0,，)，把x =M代入=_工2+_彳+机，2 2/曰 1 2 3=-+-7 7 7,1?抛物线与直线x =机交点坐标为+-/n),当2 0时，图象y =-g f+g x+心;与坐标轴无交点，如图1,把x=0 代入 y=f ，得 y=，抛物线y=f-皿+/H与y轴交点坐标为5（0,曲,把 X=加代入 y=X?-IX+，得 尸 忆，抛物线与直线丁=机交点坐标为（见 附，把，=0代入、=X 2-，加+，”得/mx+m=0，解得1=巴 近 三 或 冲 竺 也 三（舍），2 2 点 A 坐标为（+J，-41。），过点C作CD

16、_Ly轴于点。，则 NBDC=NAQB=90。，v B C lA B,.ZCBD+ZABO=90,.NB4O+NAbO=90。，;./CBD=ZBAO,:N B D B A O、,CD BD m _ c tnBP f l tn+yjm2-4/n，2m+y1m2-4w 3ni+yjm2-4mc=m-=-22当加.0时，函数丁 =12_ a+m*M与直线x =m的交点坐标为。见相），即函数），=/-阳+皿*.川）与坐标轴无交点，在函数y =-g/+gx+相（工 加）中，令 =0,则一gx 2+g x +?=0,解得：x =l 姮 瓯 或 =匕 姮 鱼（舍去），2 2令x=o,得y=1 3令 x =

17、m,y =-z n2+-m +fn=-m2+m当-2+前%,0时，即机.3时，函数y =-g/+；x+m（xM与x轴正半轴有交点+（!.；+8色,。），与J轴交点坐标为仇0,如图2,过点4作轴于点。，则 N8DC=N8ZM=NAO4=90。，CDy轴,/.NOBD=ZBDC=90P,ZAOB=ZOBD=ABDA=90,四边形4)8 0是矩形，.A D =OB=m,8D-1 +J8 z ,2/.ZCBD+ZABD=90,Z A B D+Z A B O=90,:.Z.CBD=ZABO,.ACSDAABO,1 +Jl+8，”CD=OA，H即n-c,-m=-2-B D OB 1 +J1+8，m21m1

18、+4m+-J l +S m+1【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的综合应用，相似三角形的判定和性质等，本题涉及含参数的讨论和计算，难度较大，解题关键是通过数形结合及分类讨论的方法求解.4.(2022广东珠海二模)如果抛物线C/的顶点在抛物线C2上，抛物线的顶点也在抛物线 G 上时，那么我们称抛物线。与 C2互为关联”的抛物线.如图1,已知抛 物 线y/=gx2+x与 C：/=x2+x+c是 互为关联 的抛物线，点 4 8 分别是抛物线C7,G 的顶点，抛物线C 经过点。(6,-1).直 接 写 出 8 的坐标和抛物线C2的解析式:(2)抛物线C2上是否存在点E,使得A

19、NgE是直角三角形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；如图2,点-6,3)在抛物线。上，点 M,N 分别是抛物线。，C2上的动点，且点M,N 的横坐标相同，记/尸 M 面积为S/(当点M 与点儿 产 重合时S/=0),Zk/BN的面积为 S z(当点N 与点4 8 重合时，S2=0),令S=S i+S 2,观察图象，当4”时，写出x 的取值范围，并求出在此范围内S 的最大值.【答案】/(-2,-1),B(2,3)；抛物线Cz的解析式为/=-存在，点 E 的坐标E(6,-1)或 E(1 0,-13)(3)-2x2,当 f=2 时,S 的最大值为16【解析】【分析】(1)将抛物线C

20、/改为顶点式可得4(-2,-1),将4-2,-1),D(6,-1)代入M=+x +c,求得以=-；(X-2F+3,即可求出8 (2,3)；(2)易 得 直 线 的 解 析 式：y=x+l,若8为直角顶点，B EZ AB,E(6,-1)：若/为直角顶点，AE AB,E(1 0,-1 3)；若E为直角顶点，设 m2+m +2),不符合题意；(3)由 _ y/4 _ v 2,得-2 1 W 2,设 M(r,厂+f),N(t,厂+f+2),且2V1V2,易求直线/尸的44解析式：y=-x-3,过 用 作x轴 的 平 行 线 交/产 于0,5,=r+4 t+6,设交MN于点、P,易知P(t,f+1),邑

21、=2-；/，所以5 =岳+5=4，+8,即当/=2时，S的最大值为1 6.抛物线 C/：y,=-X2+X=-(X+2)2-14 4E U(-2,-1),f 4a 2 +c=-1将 4(-2,-1),)(6,-1)代入抛物线C：y2=a x-+x+c,得：36。+6 +。=-1=_ J_解得：f =-4,c =21 .1 ,团%=x+龙 +2 =(x 2)+3,勖(2,3)；设直线48的解析式为：y=kx+b,回 直 线 的 解 析 式：y x+1,若8为直角顶点，B E AB,kB E-kAB=-l,S kB E=-l,故 可 设 直 线 解 析 式 为y =-X+,将8点坐标代入，得：3=-

22、2+b,解得：b =5,直线8E解析式为y =-x+5.联立y=-x+51 2 c，y =x+x+24解得x,=2X =3x2=6%二T0 (6,-1)；若/为直角顶点，AES 1AB,同理得/E解析式：y =-x-3.联立y=-x-31 2 c，y =一 一+x +24解得=2%=Tx2=1 0%=T 3 站(1 0,-1 3)；若E为直角顶点，设 tn2+z +2)4由 AE B E 得 kB E-kAE=-l,即Lm2+m_ _Lm+m+4=Tm-2 m+2整 理,得:(?+2)(?-2)(，-2)(加一6)+1 6 =0 ,0 ffi+2=O 或 m-2=O 或(利-2)(租-6)+1

23、 6 =0 (无解),团解得加=2或-2 (不符合题意舍去)，倒点E的坐标E (6,-1)或E (1 0,-1 3)；I3M必，0-2 x 2,设M(f,厂+f),N(t)1 +1+2),|2Z yF-yA=r+4t+6.设4 8交A/N于点忆 易知尸（,/+1）,S2=PN-xA-xB 2-t2,团 S=，+邑=4,+8,回当,=2时，S的最大值为16.【点睛】本题为二次函数综合题，考点有利用待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点，两直线垂直其比例系数相乘等于-1等知识，为压轴题.利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键.5.(2022广东江门市新会东方红中学模拟预测)如图，抛物线y=a/+6

24、x+2与 直 线 相 交于/(-I,0),B(3,2),与x轴交于另一点C.求抛物线的解析式：在y上是否存在一点E,使四边形/8 C E为矩形，若存在，请求出点E的坐标：若不存在,请说明理由；以 C 为圆心，1 为半径作回C,。为 回。上一动点，求 加+半。8的最小值.1 3【答案】y=-5N+；x+2(2)存在，E(0,-2)D4+比。8的最小值为竺 史5 5【解析】【分析】(1)直接把/、5坐标代入解析式，求解即可；(2)先 作/加 8交v轴于点E,连接C E,作瓦彻x轴于点尸，再通过证明鲂F C1 3a 4 F 8 和回 8 c 丽 及 1。得到对边平行且相等,结合已知条件，得到四边形/

25、8 C E 是矩形即可得到结论；(3)先作尸比8c于点，连 接 也、C Z),再通过证明0rd 瓯8 c 尸和回。(7 网 得 到 各 边之间的关系，当D A+L D=A L,即点。落在线段/上时，DA+*D B=D A+L D=A L 最小,计算求解即可.把/(-1,0)、B(3,2)代入y=&+6 x+2,得a-b+2=09a +3b+2=2 解得1 7国抛物线的解析式为弓/+畀+2；(2)作“加8交y轴于点E,连接C E；作 8 户 私 轴于点尸，则 尸(3,0).I 3当y=0时，由一耳 2+/工+2=0,得巾=i,忘=4,0C(4,0),0CF=JO=1,AF=3-(-1)=4；又

26、团8/=2,CF BF 1回 =一，BF AF 2BFC=AFB=90,BFCAFB,CBF=BAF,A B C=C B F B F=B A F B F=,BCAE,BCF=90-BAC=EAOf BFC=EOA=90,mBCFlEAO(ASA国 BC=EA,回四边形ABCE是平行四边形，又 EEU8C=90,回四边形/8C E是矩形；OE=FB=2,0(0,-2)(3)如图2,作尸9 3。于点3连接力、CD由（2）得鼬/。=90,BF=2,CF=1,CF=CD,CB=依 S=5mFLC=SBFC=30,I3FCZ=EI8CF(公共角),FCL W B CFfCL CF 1 yf 5团 =产=

27、,CF CB 7 5 5e C L C D 小C D CB 5 DCL=B CD（公共角），D C L B C D.同L D CL 邪DB C D 50 LD=W D B；DA+L DAL,回当。N+）=4t,即点。落在线段江上时，D4+与D B=D 4+L D=4 L最 小.C L=C F=立,5 5S B L=-j 5 一 直=还，5 5 B L2=（撞3 2=25 5又 a 4*=2 2+4 2 =2 0,L=y/A B2+B l 3=2 0 +y=当，D A+-D B的最小值为2叵.5 5【点睛】本题属于二次函数与四边形、圆的综合题目，考查了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定

28、与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，准确的添加辅助线及熟练掌握上述知识是解题的关键.6.（2 0 2 2广东茂名一模）如图，在平面直角坐标系x 0 y中，已知抛物线 =以2+宗+。与x轴交于A（-3,0）,8（1,0）两点，与y轴交于点C（0,3）,连接NC,点尸为第二象限抛物线上的动点.(2)连 接 我、P C、A C,求 B 4 C面积的最大值;在抛物线的对称轴上是否存在一点。，使 得AQAC为直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.【答 案】（1）。=-1，。=-2,=3；（2）一2 7；（3）存 在，点0的坐标是（一】,-2）,（-1

29、,4）,-1,O.3+或卜,子、【解 析】【分 析】（工）根 据 抛 物 线 丁 =加+云+。与x轴 交 于A（-3,0）,3（1,0）两点，与y轴 交 于 点。（0,3）,待定系数法求解析式即可;（2）连 接AC,先 求 得AC的解析式，设 （帆,-川-2加+3）,过点尸作x轴的垂线，交AC于点、M,则M（，”w +3）,根据列出关于小的式子，进而根据配方法求得最值；（3）根据题意，设。（1,n）,分三种情况讨论，分 别 以AC,Q为直角顶点，根据勾股定理即可求解【详 解】（1）.抛物线y =a x 2+Zu-+c与x轴 交 于A（-3。），8（1,0）两 点，与y轴 交 于 点C（0,3）

30、,设抛物线解析式为y =4（x+3）（x-1）,将C（0,3）代入得：3 =3a解 得6 7 =1 0 抛物线解析式为 y （x +3）（x 1）=x2 2x +3即 y =-x2 2x +3/.a =l,b =2,c =3（2）如 图，连 接AC,过 点P作x轴的垂线，交AC于 点M,V A(-3,0),C(0,3)则直线AC的解析式为y=X+3设-2m+3),则 M(m,m+3),Sa”。|=3 t 九2-2m4-3 -(/n+3)Jx 3 =(z?2-3m+一2781x23 27当初=彳时，S“p c最大，最大值为2o(3)存在，。点的坐标为(-1,-2),(-1,4),A(-3,O),

31、C(O,3)：.OA=3,OC=3AC2 AO+0C =?v A(-3,0),B(l,0)-3 +1抛物线的对称轴为x =肯2=-1设。(T，)，则 A 02=(-3+l)2+n2=4+?,CQ2=l +(n-3)2=W2-6M+10当 N C 4 Q =9 0。时，AQ2+AC2=CQ2n2+4+18 n2 6 n+10解得=-22(-1,-2)当 Z A C Q =9 0。时，CQ2+AC2=AQ2n2 6/1+10 +18 =2+4解得=4，。式-1,4)当 Z A Q C =9 0 时，C Q2+A Q2=A C2n2-6 +10 +n2+4 =18解得呼字个子综上所述，。点的坐标为（

32、T，-2）,（-1,4）,-1,-或 一j【点睛】本题考查了二次函数的综合，待定系数法求解析式，求二次函数的最值，勾股定理，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.7.（20 22广东模拟预测）如图，开口向上的抛物线与x 轴交于4 （巧，0）、8 （，0）两点，与轴交于点C，且“C 13 8 C,其中储，是方程N+3 x-4 =0的两个根.（1）求点C的坐标，并求出抛物线的表达式；（2）垂直于线段8c的直线/交x 轴于点。，交线段8C于点E,连接8,求 回 C D E 的面积的最大值及此时点D的坐标；（3）在（2）的结论下，抛物线的对称轴上是否存在点P,使得朋DE 是等腰三角形？若存在，请求出点

33、P 的坐标；若不存在，请说明理由.1 3 5 3【答案】(1)C(0,-2)；=5 12+1 工-2；(2)S/C D E 最 大 为D (,0 )；(3)存Q Q 3 3 5在，P 的坐标为（-5,正）或或（-2）或-）.【解析】【分析】（1）由题意易知4=-4,演=1,则有点/、5的坐标，然后易得射OG3CO8,则根据相似三角形的性质可得OC=2,进而问题可求解；（2）由（1）可 知/8 =5,B C=小,A C=2 小,则易证E M8E W8，设。（6 0）,则 8。=1-/,然后可得。后=口叵（1-/）,B E=-（1-/）,进而根据割补法可求解三角形面积，5 5最后根据二次函数的性质

34、可得最值；（3）由题意易知点。在二次函数的对称轴上，由（2）得 D E=5 ,然后可分当。E=O P时，当 D E=P E 时,当尸。=尸后时，进而根据相似三角形的性质与判定及二次函数的性质可进行求解.【详解】解：（1）由/+3 x -4 =0 得/=-4,=1，酎（-4,0）,B（1,0）,团 0 4=4,OB=1,3 JC 0 C,W ACO=9Q -BC O=WBCfmAOC=B OC=90f盟JO C 睡1C O 8,OA O C H n 4 O C0=,B P=,O C OB O C 1团。C=2,0 C (0,-2),设 抛 物 线 解 析 式 为(x+4)(x -1),将 C (

35、0,-2)代入得-2=-4 内回=二2，,1 1 3回抛物线解析式为y=大(工+4)(x -1)=-x2+-x-2；2 2 2(2)如图：由 Z(-4,0),B(1,0),C (0,-2)得：AB=5,B C=45,A C=2 小,S DES B C,AC B C,0 Z)a 4 C,A B C D B E.B D D E B E AB A C B C 设。(/,0),则 50=1-f,-t D E B E 守=法=忑 0 D E=(1-Z),B E=J (1-/),5 5SABDE=；DEBE=G(1-Z)2,而 SABDC=；BDOC=3(1-/)x 2=l -t,1 13 4 1 3 5

36、SSACDE=SABDC-SABDE=1-/-(1-t)2=-t2-/+=-(r+-)2+-,5 5 5 5 5 2 41团 /5 330 P 逐）或（-,-4）,当D E=P E时,过 作 E取 轴 于 H,如图:HDE=EDB,配HE=BED=90,D H ED EB,DE HE DH JL =HE =DH团-=-=-，B J 5 ,BD BE DE-22 2HE=lf DH=2,0 （y,-1）,I3 E在。尸的垂直平分线上,3 .3 1设 P(,m),则加2=(-)2+(m+1)2,2 2 2解得w=-1,3 50 P ），2 2 4 3 4 s综上所述，P 的坐标为（-；，正）或（-

37、；，-#）或（-；，-2）或-）.2 2 2 2 2【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形相似的判定及性质、三角形面积、等腰三角形判定及应用等知识，解题的关键是分类讨论及用含字母的代数式表示相关点的坐标、相关线段的长度，一般为压轴题.38.（2022广东模拟预测）如图1,在平面直角坐标系中，直线分别与x 轴、y 轴13交 于 点C,经过点C 的抛物线y=x 2+b x+c与直线y=x+l 的另一个交点为点,点D的横坐标为6.（1）求抛物线的表达式.（2）为抛物线上的动点.N 为x 轴上一点，当四边形CQMN为平行四边形时，求 点 的 坐 标；如 图 2,点 M 在直线8 下方

38、，直线OM（。加团 8 的情况除外）交直线8 于点8,作直线5。关 于 直 线 对 称 的 直 线 8当直线8W 与坐标轴平行时，直接写出点M 的横坐标.【答案】（1）y=lx?-=x+l；（2）点M的坐 标 为（3+,&）或（,）,4 4 2 2 2 2点的横坐标为3 或，或 上 警【解析】【分析】（1）先由直线解析式求出4 C,。的坐标，再由C,。坐标求出抛物线解析式；（2）设 N（，0）,由平移与坐标关系可得点用的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可；因为直线8 皿与坐标轴平行，所以8 小 舐 轴和8 皿 即 轴分类讨论，以8。幽 轴为例，画出草图，由于8M 平分皿M W,y.S A O

39、 B=S D B M,等量代换，可以证得EL4O8是等腰三角形，求出力 8 的长度，并且有力和。点坐标，求 出 配 的 三 角 函 数 值，过 B 作8丽 轴 于 H,在 直 角 中，利 用 的 长 度，和 团 员 4”的三角函数值，求出力“和 8”的长度，得到8 点坐标，进一步得到直线0 8 的解析式，联立直线。8 和抛物线解析式，求得交点M 点坐标，当 8 次即轴，用同样的方法解决.【详解】解：（1）令 x=0,则y=x+l =l,团。点坐标为（0,I）,令y=0,则1 x+l =0,4的 点 坐 标 为（-1 0）,3 1 1令x=6,则y=-x +l =,4 2国。点坐标为（6,段）,

40、将 C,。两点坐标代入到抛物线解析式中得,c =l 1 1，9 +6 b +c =2 3,b =解得，4 ,c =1团抛物线的表达式为：=工+1；“4 4（2）设 N （n,0）,回 四 边 形 为 平 行 四 边 形，Q MN H C D ,9团由平移与坐标关系可得A/（+6,）,2团点M在抛物线上，1 ,3 9团 一（+6 厂（+6）+1 =,4 4 20 7 72+9/7+4 =0,晡.的 坐 标 为（乎,/或（子在第一种情况：如图1，当 8虞 盟 轴时，分别过8,。作 x 轴的垂线，垂足分别为“，0,D Q 3tanDAQ=Q=，4cosDAQ=,团 团 8/=配。，八 A 4团 co

41、s勖 4=-=，AB 5向直线B D与直线8 次关于直线QW对称，团勖8%=团。5 M,团 8。幽T轴，W H O B=0 D t B M=W B M,八 4回 4 8=4。=一,3A H _ 4回三二二，316囿 4=,15 O H=A H+A O=,5令人 工=-12,则rlII y=13X+l =一 二4，12 4回 8 点坐标为（-二，-）,设直线。8 的解析式为y=H,代入点3 得，k=g,回直线O B的解析式为y=y=联立，y=1X34 444x2=3 2=14团点的横坐标为3 或第二种情况，如图2,当 8D0助，轴时，设 8D0交x 轴于G,图2团 团 CO8=12O8G,团直线

42、BD与 直 线B M 关于直线OM对称,团 团。8 0=W BG=团 C0B,团 C 3=C O=L过。作 C瓦18G于 E,团 Cr 轴，团 团 8CE=E)C4O,CO 3由a n 团 C4O=,A0 44cosCAO=,CE 4国 co俎 BCE=,BC 54 4田 CE=-BC=,5 5._ 3BE=y/BC2-C E2=1-0C05G,8Gv 轴,CEG=BGO=COG=90团四边形C E G。为矩形，4EG=CO=lf CE=OG=,Q鲂 G=3E+EG=-，54 8回点8的 坐 标 为（1二）,团直线OB的解析式为y=2 x,y=2x化简得，X2-11X+4=0,r a_.1 1

43、 /1 0 5S x _-,2团点M在 直 线C Z）下方，取V 6,取=上g2回点M的横坐标 为 上 晅，2即 点M的 横 坐 标 为3或 争 或 吐叵.【点 睛】本题是一道二次函数综合题，数形结合是本题的解题的突破口，同时.，对于 平行线十角平分线”这种条件，要联想到等腰三角形，是此题的解题关键，此题对学生解直角三角形的能力也有一定要求.9.（2 0 2 2广东模拟预测）已知抛物线y =x）-（m+l）x+2 m+3（1）当，”=0时，请 判 断 点（2,4）是否在该抛物线上；（2）该抛物线的顶点随着的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；（3）已知点E（-尸（3,7）,

44、若该抛物线与线段E尸只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围.13【答 案】（1）不在：（2）（2,5）；（3）X/桁-或x峡 或【解 析】【分析】(1)先求出函数关系式，再 把(2,4)代入进行判断即可；(2)根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐标，代入求解即可；(3)运用待定系数法求出直线所的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根据题意分类讨论，求出，”的值即可.【详解】解：(1)把，”=0 代入 =%2-(加+1)犬+2?+3得，y=/-x+3当 x=2 时，y=2?-2 +3=5*4所以，点(2,4)不在该抛物线上；(2)y=x2-m+

45、)x+2m+?=_旺)2 +2加+3-四 包2 4团抛物线广幺一(m+l)x+2z+3的顶点坐标为(等，2加+3-四?)用纵坐标为2?+3-四 包4令 y=2机 +3-”=一-(/n-3)2+54 4团 04团抛物线有最高点，团当zn=3时，y=2m+3-有最大值,4将加二3 代入顶点坐标得(2,5)；(3)SE(-1,-1),F(3,7)设直线环的解析式为丁 =辰+6把点E,点 b 的坐标代入得L 7 3k+b=7伏=2解得，L w=i回直线E F的解析式为y=2x+i将 y=2x+l代入y=f 一(加+1)1+2m+3得，x2(Z+1)X+2 2+3=2X+1整理，得：x2-（/?+3）x

46、+2 w +2=0解得 =2,=机+1则交点为：（2,5）和（阳+1,2 m+3）,而（2,5）在线段E F 上，团若该抛物线与线段后尸只有一个交点，则2?+3）不在线段E尸上，或（2,5）与（+1,2 m+3）重合，0 w+l 3 或加+1=2 （此时 2 加+3=5）,团此时抛物线顶点横坐标x瞰*F=号】或 x%=1【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用.1 0.（2 0 2 2 广东梅州模拟预测）如图，抛物线丫=2+3 交x 轴于A（3,0）,5（-1,0）两点，交y轴于点C,动点尸在抛物线的对称轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）当以尸，B,C为顶点的

47、三角形周长最小时，求点P 的坐标及APBC的周长；（3）若点0是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点0,使得以4 C,P,0为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点。的坐标；若不存在，请说明理由.备用图【答案】y=-x2+2x+3；（2）尸点坐标为（1,2）,A B C P 的周长最小值 为 加+3 正；。点坐标存在，为（2,2）或（4,折）或（4,-折）或（一 2,3 +旧）或（一 2,3-4?）【解析】【分析】将 A（3,0）,8（1,0）代入即可求解；(2)连接8P、C P、A P,由二次函数对称性可知，8 P=Z P,得至8P+CP=ZP+CP,当 C、P、N 三点共

48、线时，邮8 c 的周长最小，由此求出4 C 解析式，将 P 点横坐标代入解析式中即可求解；设尸点坐标为(1,/),。点坐标为(m，)，按/C 为对角线，/尸为对角线，改为对角线分三种情况讨论即可求解.【详解】解：将 4(3,0),8(7,0)代入二次函数表达式中,0=9。+3b+30=a b+3,解得b =2国 二次函数的表达式为：y=-x2+2 x+3；(2)连接8P、C P、A P,如下图所示:由二次函数对称性可知，B P=AP,B B P+CP=AP+CP,(3忸1 B P+CP+B C =PA+CP+B C8 C 为定直线，当 C、尸、Z 三点共线时，PA+CP有最小值为AC,此时M

49、C尸的周长也最小，设直线AC的解析式为：y=kx+mt代入A(3,0),C(0,3),0=3 左 +m3=0+k=-l7=3,解得回宜线AC的解析式为：y=-x+3,二次函数的对称轴为x=-=l,代入y=-x+3,得到y=2,2a朋点坐标为(1,2),此时ABCP的周长最小值=BC+AC=J12+3,+J32+32=9+3 人；A(3,O),C(O,3)设尸点坐标为(1,小。点坐标为(加，)，分类讨论：情 况 ：/C为菱形对角线时，另对角线为户0,此时由菱形对角互相平分知：A C 的中点也必定是P Q 的中点,由菱形对角线互相垂直知：k A%-1,3 +0 =1 +m m=2由 0 +3 =1

50、+，解得,=2,.n-t I t=1-1-=-1、tn 团。点坐标为(1,1),对应的0点坐标为(2,2)；情况二：4 尸为菱形对角线时，另一对角线为C 0,同理有:3 +1 =0 +勿？0 +，=3 +r-0 一 3-j、-2 tnm =4n=y/l 或t=3+历加=4n=-y/v7r=3-7 n,解得团尸点坐标为(1,3 +J F7)或(1,3-a)，对应的0点坐标为(4,而 )或(4,-71 7)：情况三：。为菱形对角线时，另一对角线为C P,A(3,0),C(0,3)设尸点坐标为(1,7),。点坐标为(加，)，同理有:3 +m=0 +1 0+n=3+fn-0 t-3 i-=-1j n-