2023年高考数学总复习：空间向量与立体几何（附答案解析）.pdf

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1、2023年高考数学总复习：空间向量与立体几何一.选 择 题（共 8小题）1 .（20 22春茂名期末）已知2=（1,1,1）为平面a 的一个法向量，A （1,0,0）为 a内的一点，则点。（1,1,2）到平面a的距离为（）A.V 3 B.V 2 C.D.返2 32.（20 22春双流区期末）在底面为等边三角形的三棱柱A B C-4 8 1。中，已知4 4 i J _ 平面ABC,AB=2,A A i=4,。是棱C C 1 的中点，M 是四边形A 8 8 1 A l 内的动点.若C i M平面 A 8 D,则线段C 1 M 长的最小值为（）A.2A/2 B.2 C.V 3 D.V 73.（20

2、22春延庆区期末）下列命题错误的是（）A.若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线B.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行C.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行D.一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角4.（20 22春池州期末）在正方体A B C。-A i&C i D i 中，棱长为2,E为 BC的中点，点 P在平面BDDB内运动，则PE+PCi的最小值为（）A.3 B.2A/3 C.3 7 2 D.55.（20 22春南平期末）如图，正 方 体ABCD-ABCD

3、中，菽=股,A X=M D 率=入彳，当直线。与平面M NE所成的角最大时，入=（）A.A B.A C.A D.A2 3 4 56.（20 22春延庆区期末）如图，己知直三棱柱A B C-4 8 1 c l 中，ABA.BC,A B=BC=BBi)=2,则线段ABi上的动点P 到直线BCi的距离的最小值为（7.（2022春开封期末）如图，已知一个八面体的各条棱长均为2,四边形A8C。为正方形,则下列结论正确的是（）A.该八面体的体积为B3B.该八面体的外接球的表面积为16nC.E 到平面AOF的距离为我D.EC与 所 成 角 为 608.（2022春和平区校级期末）九章算术中将底面为直角三角形

4、且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”.如图在堑堵ABC-A181。中，ACA.BC,S.A41=4 8=2.下列说法不正确的是（）A.四棱锥B-A M C C i为“阳马”、四面体A C 1 C B为“鳖膈”B.若平面48c与平面A i B C i的交线为/,且48与4 8 1的中点分别为M、N,则直线C M、C1 N、/相交于一点C.四棱锥B-4 A C C 1体积的最大值为23D.若尸是线段4 1 c上一动点，则A尸与48所成角的最大值为9 0 二.多 选 题（共4小题）（多选）9.（20 22

5、春福州期末）在棱长为a的正方体A B C。-AIBICIDI中，尸为4 8 1上任意一点，E、尸为C。上任意两点，且E F的长为定值，则下面的四个值中为定值的是（）A.点Qi到平面PE F的距离B.三棱锥Oi -PE尸的体积C.直线。i P与平面EFA所成的角D.二面角尸-E F-Q1的大小（多选）1 0.（20 22春嘉兴期末）如图，在平行六面体A B C。-A山中，A C和8。的交点为。，设A B =a，A D=b A A；=2则下列结论正确的是（）A.B D =b-a B.B D =a-b+cC.A C =a+b+c D.A j O a-b+c（多选）1 1.（20 22春鼓楼区校级期末

6、）如图，正方体A B C D-A i 8 1 c l z 5 1的棱长为1,则下列四个命题正确的是（）A.直线BC与平面A B C i D i 所成的角等于三4B.点 C到面A B。的 距 离 为 近2C.两条异面直线P C和 B。所成的角为三4D.二面角C-8。-。的平面角的余弦值为近3（多选）1 2.（20 22春沙坪坝区校级期末）如图，在菱形A B C D 中，A 8=2,Z A D C=1 2 0a,将 A B D 沿 对 角 线 翻 折 到 P8 O位置，连 结 P C,则在翻折过程中，下列说法不正确的 是（）A.存在某个位置，使得PD J _ 8 cB.当二面角P-BO-C的大小为

7、9 0 时，P C=2C.P C与平面B C D 所成的最大角为6 0 D.存在某个位置，使得8到平面PZ X 7 的距离为愿三.填 空 题（共 4 小题）1 3.（20 22春岳麓区校级期末）已知 Z，b-3 是空间的一个单位正交基底，向量三=a+2b+3 c，a+b，a b，c 是空间的另一个基底，用基底 a+b，a-b c 表不向量D1 4.（20 22春茂名期末）已知正方形A 8 C Q 的 边 长 为 蓊，两个不同的点M,N都在的同侧（但 M 和 N与 A在 8。的异侧），点 M,N关于直线AC对称，若 AMLCM则点M到直线A D的距离的取值范围是.1 5.（2 0 2 2 春泰州

8、期末）长方体A B C。-4 8 1 0 0 1 中，A B=A D=2,D D i=4,则点B到平面 4 C1O的距离为.1 6.（2 0 2 2 南京模拟）如图，四棱锥S-4 B C。的底面为正方形，底面A 8 C。，则下列结论：A C _L S B,4 8 平面SCD,A8与 S C 所成的角等于DC与 S A 所成的角,二面角8-SO-C的大小为45 ,S B 与平面S A D所成的角的为/B S D,其 中 正 确 结 论 的 序 号 是.四.解 答 题（共 6 小题）1 7.（2 0 2 2 南京模拟）如图，四棱锥S-A B C。的底面A 8 C O 是正方形，5。，平面4 3 8

9、,S D=A D=2 a,E 是 S O 上的点，且（0 !.平面 A 8 C D(1)证明：P B L A C；(2)若 P B=P D,且 以 与 平 面 A B C。成角为60 ,在 棱 P C上是否存在点E,使二面角。-BE-C的平面角的余弦值为巨？若存在，求出P E的长；若不存在，说明理由.13AB2023年高考数学总复习：空间向量与立体几何参考答案与试题解析一.选 择 题（共 8 小题）1.（2022春茂名期末）已知2=（1,1,1）为平面a 的一个法向量，A（1,0,0）为 a内的一点，则点。（1,1,2）到平面a 的距离为（）A.V3 B.&C.匹 D.近2 3【考点】点、线、

10、面间的距离计算.【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算.【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.【解答】解：依题意，标=（0,1,2 而Z=（l,1,1）为平面a 的一个法向量，所以点力（1,1,2）到平面a 的距离y.Ia|V3故选：A.【点评】本题考查了点到平面的向量公式，属于基础题.2.（2022春双流区期末）在底面为等边三角形的三棱柱ABC-481。中，已知AAid_平面ABC,AB=2,A 4 i=4,。是棱CC1的中点，M 是四边形A8B14内的动点.若CiM平面 A 8 D,则 线 段 长 的 最 小 值 为（）A.272 B.2 C.V3

11、 D.V?【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征.【专题】计算题；作图题；对应思想；定义法；立体几何；数学运算.【分析】取 BB1、4 4 的中点尸、E,连接ECi,FC,E F,证得平面C1EF平面ABD则 Ci Mu平 面 Ci E凡 M 在 E k上，则线段CiM 长的最小值为C i到 EF的垂线的距离.【解答】解：取 BBi、A 4 的中点尸、E,连接ECi,FC,E F,如图，,:F、。分别为A 4,C C i的中点，：.FC/AD,FC 仁平面 ABD,A C C平面 ABD,：.F C /n A B D,同理可得：E C 1 平面A 8 D,：ECFC=C,平 面C iE

12、 F平面ABD,平面 A B O,；.C iM u平面C iE凡 即M e平面C iE兄.历是四边形A B B iA i内的动点，:.MEEF,过 点。，作C 1 M L E F,此时C 1 M值最小，.CII=JEB 2+B 2 =62+2 2=2我,EM=,ICIA/I=7EC12-EM2=V（2V2）2-12=V7-故选：D.【点评】本题考查点到直线的距离，是中档题.3.（2 0 2 2春延庆区期末）下列命题错误的是（）A.若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线B.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线也与这个平面平行C.如果一个平面内有两条相交

13、直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行D.一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角【考点】二面角的平面角及求法.【专题】计算题；对应思想；分析法；空间角；逻辑推理.【分析】利用线面间的位置关系逐项进行分析即可.【解答】解：对 于 A,若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线，故正确，对 于B,如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线可能与这个平面平行，也可能包含于这个平面，故错误，对 于 C,如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行，故正确，对 于D,一个平面垂直于二面角的棱，它和二面角的两

14、个面的交线形成的角就是二面角的一个平面角，故正确，故选：B.【点评】本题考查二面角的定义，考查学生的分析能力，属于基础题.4.（2022春池州期末）在正方体ABCO-AiBiCiDi中，棱长为2,E 为 B C的中点，点尸在平面8OC181内运动，则 PE+PG 的最小值为（）A.3 B.273 C.372 D.5【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征.【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算.【分析】利用点面对称关系，找到点E关于平面BDDB的对称点为F,则PE+PCi=PF+PCi,再根据两点之间线段最短，可得答案.【解答】解：在正方体ABC。-4 Bi C 1A 中，

15、棱长为2,E 为 B C 的中点，点 P 在平面BDDB内运动，取 AB的中点F,连接EF,A F B因为E为8 C的中点，所以点E,F也关于平面8。出1对称,所以 PE+PC=PF+PC 的最小值为F C =V l2+22+22=3-故选：A.【点评】本题考查了几何体中的最短距离问题，属于中档题.5.(2 0 2 2春南平期末)如图，正 方 体ABCD-ABCD中，菽=取,A X =M D 率=九 区 忑，当直线。1与平面M N E所成的角最大时，入=()A.A B.A C.A D.A2 3 4 5【考点】直线与平面所成的角.【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；数学运算.【分析】利用坐

16、标法利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即可求解.【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体A B C。-4 B 1 C 1 O 1的棱长为1,则 M(A,0,1),N(1,0,A),C(0,1,0),Bi(1,1,1),D(0,0,0),D(0,2 20,1),(-1,0,-1),E(1-入，1,1 -A),M N=(A,o,-A),M E=(-入，1,-入)，2设平面M N E的一个法向量为二=(x,y,z),(f 1 x1 z=UAr n，,nwM N=0 .2 2 尽.e 组 一M 1 1、贝 叫 _ _,，令元=1,可得n=(1,2 A-,1),n-M E =

17、0 (y-X )x+y-z=0 2又D D；=(3 0，1)，设直线D D 与平面M N E所成的角为0,一 _.I n D D.|i则 sin0=|cos=-I n-l-l-D D-j=伍/口 A当 2入-1=0,即入=工时，sin。有最大值，即直线。与平面MNE所成的角最大.2 4故选：C.【点评】本题考查直线与平面所成角的问题，考查运算与思维能力，属中档题.6.（2022春延庆区期末）如图，已知直三棱柱4B C-481。中，ABA.BC,A B=BC=BBi=2,则线段A81上的动点P 到直线BCi的距离的最小值为（）A.近 B.&C.D.近2 3 3【考点】点、线、面间的距离计算.【专

18、题】计算题；转化思想；综合法；空间角；数学运算.【分析】以 B 为坐标原点，BC所在直线为x 轴，BA所在直线为y 轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求点到P 到直线8。的距离的最小值.【解答】解：以 B 为坐标原点，BC所在直线为x 轴，8A 所在直线为y 轴，8劭 所在直线为z 轴，建立空间宜角坐标系，则 A(0,2,0),B(0,0,0),Ci(2,0,2),B(0,0,2),设 尸(a,b,c),p=X AB,0W入 Wl,，(，b-2,c)=(0,-2入，2入),解得。=0,6=2-2 入，c=2A,：.P（0,2-2 入，2入），B P=（0,2-2入，2入），（2

19、,0,2）,_ BP B C1 A 1 r BP在 前 7方向上的投影为h=_ 1&入,1|B C j V44p 到直线 BC1 的距离 d=|gp|2-h2=（2-2 人）？+（2 入）2-（加 入）2=（入 f）2年当人=2 时，动点p到直线BC I的距离的最小值为2 近.3 3故选：C.【点评】本题考查动点到直线的距离的最小值的求法，考查运算求解能力，是中档题.7.（2022春开封期末）如图，已知一个八面体的各条棱长均为2,四边形ABC。为正方形,则下列结论正确的是（）A.该八面体的体积为反3B.该八面体的外接球的表面积为16TTC.E 到平面AOF的距离为旧D.EC与 所 成 角 为

20、60【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；异面直线及其所成的角.【专题】对应思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角：数学运算.【分析】直接求出八面体的体积判断4求出正方形ABC。的对角线长，除以2 得到八面体外接球的半径，得到外接球的表面积判断B；取 A。的中点G,连接EG,FG,EF,证明A。，平面E G F,在平面EFG中，作出E到平面A F D的垂线段，求解三角形得到E到平面A D F的距离判断C；求解两异面直线所成角判断D.【解 答】解：对 于 A,四 棱 锥E-A B C D的 所 有 棱 长 为 2,则 斜 高 为 遥，高为V（V 3）2-12

21、=V2则八面体的体积为2X（lx=里 巨，故 A 错误；3 3对于8,八面体的外接球球心为正方形ABC。对角线交点，可得外接球半径为J 5，表面积为8TT,故 B 错误；对于C,取 AD的中点G,连接EG,FG,E F,得E G=F G=M，AZ）J_平面EGB,过 E 作 E”_LFG,交 FG 的延长线于 H,X EHLAD,A D Q F G=G,故 EHJ_ 平面 AOF,解 得 ”=会 厘，到平面A。尸的距离为31,故 C 错误；3 3对于。，ED/BF,.EC与 8尸所成角为NCQ=60,故。正确.正确的说法为BQ.故选：D.【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查多面体体积、外

22、接球的表面积、点到平面的距离及空间角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.8.（2022春和平区校级期末）九章算术中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膈”.如图在堑堵ABC-A向。中，A C L B C,且 441A B-2.下列说法不正确的是（）A.四棱锥B-4A C C 1为“阳马”、四面体4C1CB为“鳖膈”B.若平面A 1 8C与平面A i B C i的交线为/,且A i B与A i B i的中点分别为M、N,则直线CM.CiN、/相交于一点C.四棱锥B-A M C

23、。体积的最大值为23D.若尸是线段4c上一动点，则A尸与48所成角的最大值为9 0【考点】直线与平面所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积.【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算.【分析】由堑堵、阳马、鳖膈的定义判断A，由平面的基本性质判断B,由棱柱与棱锥的体积公式判断C,由线面垂直的性质定理，结合异面直线所成角的定义判断).【解答】解：堑 堵ABC-AiBiCi是直棱柱，平 面4BC i_L平 面BCCiBi,平 面ABCC平面 BCCB=BC,由 A C _L BC,BCLCC,ACCC=C,所以 8 C _L平面 4A C C 1,四棱锥 B-A iA C G 为“阳马

24、”，又 A iC u平面 A C C 14,则BC L A iC,441与A C,A B垂直易得，四面体ACCB为 鳖膈；A正确；A出 与A 18 1的中点分别为M、N,则M NBBiC C i,所以MN,C C 1共面，又 M N=LBBIWCCI,所以 C M,GN相交，2设 C M C C i N=P,则 P&CN,而 C M u平面 ABC,C iNu平面所以P是平面A iBC与平面A 1B1C 1的一个公共点，必在其交线/上，8正确；VABC-A.B,C,=SAA8 c,AAI=LC 8CX2W工(A C2+BC2)=A x 22=2,1 1 1 2 2 2当且仅当A C=B C=&

25、时，等号成立，所 以 V B-A,A C C,=V A BC-A.B,C,-V A,-A BC =V A BC-A.B,-A V A BC-A,B,C,=2YABC-A.B,C,3 1 1 1 3即四棱锥B-4 ACG体积的最大值为国，故C错误；3由A选项推理知8 C _L平面A C C 14,A F u平面A C G A 1,则 BC L L A F,当 A F J _A iC 时，4 C C B C=C,4C,BC u平面 A iBC,所以 平面 A iBC,又A iBu平面A iBC,所以A F L 4 B,此时A F与A由所成角为90 ,是最大值，故。正确.故选：c.【点评】本题考查了

26、立体几何的综合应用，所以中档题.二.多 选 题（共 4 小题）（多选）9.（2 02 2 春福州期末）在棱长为a 的正方体A B C D-4 BICI）I中,P 为 4 B 1 上任意一点,E、F为 CQ上任意两点，且 E F的长为定值，则下面的四个值中为定值的是（）A.点 到 平 面 P E F 的距离B.三棱锥O 1-P E F 的体积C.直线。iP与 平 面 所 成 的 角D.二面角P-EF-1的大小【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角.【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算.【分析】推导出平面PE尸就

27、是平面A iO C Bi,对于A,由点。I 到平面A i O C B 的距离为定值，得到点。1到平面P E F 的距离是定值；对 于 B,由 点D 到平面P E F的距离，E F是定值，M P E F的面积是定值，得到三棱锥D-P E F 的体积是定值；对 于 C,直线。I 尸不确定，平面EF D 1就是平面。C G O 1,当 P 与 4重合时，直线D iP与平面EF）所成的角为三，当 P 与 Bi重合时，直线力出 与平面EF D i所成的角为？L；2 4对于,二面角P-E F-。的就是二面角4 -D C-其大小为定值工.4【解答】解：,在棱长为的正方体A BC-4BiC iO i中，尸为4

28、 B 1 上任意一点，E、F为 CD上任意两点,且E F的长为定值，平面P E F 就是平面A iO C Bi,对于4,.点。I 到平面4 D C B I 的距离为定值，.点囱 到平面P E F 的距离是定值，故A正确：对于8,点。1到平面P E F 的距离，E F 是定值，Ai B i CQ,到 E F的距离是定值,.PEF 的面积是定值，.三棱锥。1-PE产的体积是定值，故 2正确；对于C,.尸为4 8 1 上任意一点，E、/为 CC上任意两点，直线出尸不确定，平面E FD就是平面。C C 1O 1,当P与A i重合时，直线。1P与平面E FG所成的角为三，2当P与Bi重合时，直线Q 1P

29、与平面EF Z J i所成的角为三，4直线出P与平面E FU所成的角不是定值，故C错误；对于力，二面角P-E F-9的就是二面角4-O C-。，其 大 小 为 定 值 故。正确.4故选：ABD.【点评】本题考查命题真假的判断，考查点到平面的距离、三棱锥的体积、线面角、二面角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.（多选）10.（2 02 2春嘉兴期末）如图，在平行六面体A BC O-4B1C 1D 1中，A C和8。的交点为O,设A B=a，A D =b A A；=2则下列结论正确的是（）A.BD =b-a B.B D -b +cC A C j =a+b+c D.A j O -a-b+c【考点

30、】空间向量及其线性运算.【专题】计算题；整体思想；综合法；空间向量及应用；数学运算.【分析】求得而判断选项4求 得 可 判 断 选 项B；求 得 可 判 断 选 项C；断选项D.【解答】解：选项A：BD =A D-A B=b-7判断正确；选项BD +D Er j-A B=b +c-a 判断错误；选项 C：A C =+BC +C C 7=a+b+c 判断正确；选项 Q：A O =A O -A A =y (A B+A D)-A A；-y l -b -c 判断错误故选：AC.【点评】本题考查了空间向量的线性运算，属于基础题.(多 选)11.(2 02 2春鼓楼区校级期末)如图，正方体A BC。-A

31、iBC iD i的棱长为1,则下列四个命题正确的是()A.直线B C与平面A B CIOI所成的角等于三4B.点C到面ABCD的 距 离 为 近2C.两条异面直线9 c和BC i所成的角为三4D.二面角C-8 C 1-。的平面角的余弦值为近3【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角.【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算.【分析】以。为坐标原点建立空间直角坐标系，对于A,求出平面A 5 C 1O 1的法向量，利用向量法求出直线B C与平面A BC iC i所成的角；对于B,利用向量法求出点C到面ABCD的距离；对 于C,求 出 万

32、 忑=(0,1,-1),前 =(-1.0,1),利用向量法求出两条异面直线。1C和8。所成的角；对于D,求出平面BCC的法向量，平面B C 1 D的法向量，利用向量法求出二面角C-BCi-的平面角的余弦值.【解答】解：以。为坐标原点建立空间直角坐标系，如图,对于 A,A (1,0,0),B(1,1,0),C i(0,1,1),D(0,0,1),C(0,1,0),B C=(-1.o,o),A B=(o,i,o),(-1,o,i),设平面A BC iD i的 法 向 量 为(x,y,z),n*AB=y=0.一则,一 ,取 x=1,得 n=(1 0,1),n AD1=-x+z=0设直线B C与平面A

33、 B。所成的角为0,则 sine=J jC n J =二=近,：,e=2L,IBC I -I n I V2 2 4直线B C与平面A B C i Di所成的角等于匹，故A正确;4对于B,点、C到面ABCD的距离为：d=n|故 8 正确；Ini a 2对于 C，(0)L -1)，(-1,0,1),-DC BC CS =西|两才两条异面直线Q 1C和BC所成的角为工，故C错误;3对于。，平面B C C i的法向量二=(0,1,0),DB=(1，1，0),D C；=(1，1)，设平面BCiQ的法向量ir=(a,b,c),则|DB*m=a+b=O,取”=1,得-ir=(1,-1,1),DCj,m=b+

34、c=O设二面角C-BCi-D的平面角为a,贝!cosa=_ p.1nJI P I *I m I V3 3二面角C-BCi-D的平面角的余弦值为近，故。正确.3故选：ABD.【点评】本题考查命题真假的判断，考查线面角、点到平面的距离、异面直线所成的角、二面角的余弦值、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.(多选)12.(2022春沙坪坝区校级期末)如图，在菱形ABCD中，AB=2,N49C=120,将ABO沿对角线BO翻折到P8O位置，连结尸C,则在翻折过程中，下列说法不正确A.存在某个位置，使得B.当二面角P-8。-C的大小为90时，P C=2C.PC与平面BC所成的最大角为60D.存

35、在某个位置，使得B到平面PCC的距离为加【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角.【专题】综合题；转化思想：综合法；空间位置关系与距离：数学运算.【分析】A,当点P在平面B C D内的投影为BCD的重心点Q时，可得POu平面PDQ,P D L C B,即可判断；A,当二面角P-B D-C的大小为90时，平面PBC_L平面B C D,即可得POC为等腰直角三角形，即可判断.C,取 的 中 点O,连接OP、O C,则OP=OC=7.可得P C与平面BC所成的角为N P C O,当尸C60,即可判断；D,若8到平面PD C的距离为愿，则有。8_L平 面P C D,即B

36、_LC,与BCD是等边三角形矛盾；【解答】解：选项A,当点尸在平面BC。内的投影为BCD的重心点。时，有P Q L平面BCD,D QICfi,：.PQLCB,又。nPQ=。，D Q、PQu平面 PZ)Q,.CB PDQ,.尸 力u平面P。，.POJ_C8,即选项A正确.选项8,当二面角P-3。-C的大小为90时，平面PB_L平面BCD,:PB=PD,：.OPBD,;平面 PBOC 平面 BC=8),/.BCD,：.OPA.OC,又O P=0 C=G .POC为等腰直角三角形，:.P C=O P=G即选项8错误.选 项C,取B D的中点。，连 接O P、O C,则OP=OC=愿.由题可知，ABO

37、和BCD均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为NPCO,当时，ZPCG60,即选项C错误；选 项C,：点B到PO的距离为a，点8到CD的距离为代，.,.若8到平面P D C的距离为我，则平面尸8_L平面P C D.平 面C8Z)_L平面PCD,则有力B_L平面PC,即D B L C D,与BC。是等边三角形矛盾.故。错误，故选：BCD.【点评】本题主要考查立体几何中的翻折问题，线面角的计算，点面距离的计算，二面角的计算等知识，属于中等题.三.填 空 题(共4小题)13.（2 02 2 春岳麓区校级期末）已知 之，b-Z 是空间的一个单位正交基底，向量;=a+2

38、 b+3c，a+b，a b，c 是空间的另一个基底，用基底 a+b，a-b c 表示向量D=_工；旌2 2【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理.【专题】计算题；方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算.【分析】设与=x（a+b）+y（a -b）+z 3,再利用空间向量的相等，列出方程组求解即可【解答】解：设 p=x（a+b）+y（a -b）+z c，则。=（x+y）a+（x-y）b+z c，2 2故答案为：（a+b）（a _ b）+3 c-2 2【点评】本题考查了空间向量基本定理，向量相等的应用，属于基础题.14.（2 02 2 春茂名期末）已知正方形A 8 C。

39、的边长为K历，两个不同的点M,N都 在 2。的同侧（但 M 和 N与 A在 8。的异侧），点 M,N关于直线AC对称，若则点M到直线A D的距离的取值范围是 _（阮+8）.【考点】点、线、面间的距离计算.【专题】计算题；整体思想：综合法；立体几何；数学运算.【分析】依题意建立平面直角坐标系，即可得到直线A C、BO 的方程，设 M（刈，加），根据点关于直线对称的计算方法求出N 点坐标，再根据则疝.而=0,即可得到 即、川的关系，最后根据M、N 在 8。的同侧得到不等式，求出即的取值范围，即可得【解解.答】解：依题意如图建立平面直角坐标系，贝 U A(O,0),B(2 V 2 ,0),D(0,2

40、 近),0(2 72 ,2匹),所以直线 A C 的方程为y=x,直线8。的方程为x+y=2加,设M (刈，y o),M关于A C对称点N(m,H),兀-“1(-=-1 m=yn则 xo，解得 ，即 N(y o,x o),xn=xn0-H n=y0+n所以赢=(x 0,y0),3 i=(y0-2 V 2 ,x0-2/2)当 x 0=&，则 M=(点,y0),C N=(y0-2 V 2 ,-V 2)此时京 演=加 (y0-2/2 )-V 2 y0=-4此时4 M J _ C N不成立,所以x0卉4 5,所以A M S Nux。(yQ-2 V 2 )+y 0 (x0-2 V 2 )=0,即 xoy

41、 0-&X Q-&70=0)所以V 2 x0兀*法 V 2 x n _ _又M、N在B Q的同侧，所以y -*+X n 2加，u u x 0-V 2 ux n 2 -2 V 2 x n +4即-=o,即x0-2(X0-V 2)2+20，所以乂0 夜，即点M到直线A D的距离的取值范围为（&,）；故答案为：（&，KQ）.【点评】本题考查了点到直线距离的计算，属于中档题.1 5.（2 0 2 2春泰州期末）长方体A B C。-A iB iC iG中，A B=A D=2,DDi=4,则点B到平面A i。的距离为 1.一3一【考点】点、线、面间的距离计算.【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数

42、学运算.【分析】建立空间直角坐标系，求 平 面 的 法 向 量，利用点到平面的距离公式求解即可.【解答】解：在长方体A B C D-AIBICIDI中，以A为坐标原点，AB,AD,44所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，因为 A B=4 D=2,AAi=4,所以 A (0,0,0),B(2,0,0),C (2,2,0),D(0,2,0),A(0,0,4),C l (2,2,4),设平面A l。的法向量为：=(x,y,z)A1C1=(2,2,0),A 1 D=(0,2,-4)，n-A jC j =0 =2 x+2 y=0n A D=0 I2 y-4 z=0令 z=l 得：(

43、-2,2,1)，又 而=(-2,2,0)，点B到平面4。的距离为：吗14+4+0|=_=1In|+S+F 3故答案为：区.3【点评】本题考查了点到平面的距离公式，属于中档题.1 6.(2 0 2 2 南京模拟)如图，四棱锥S-A 8 C D 的底面为正方形，SC底面A 8 C D,则下列结论：A C 工SB,4 3 平面SCD,A8 与S C所成的角等于D C与 S A 所成的角，二面角2-S Z J-C 的大小为4 5 ,S 3 与平面S A O 所成的角的为/8S O,其 中 正 确 结 论 的 序 号 是 .【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面平行；直线与平面所

44、成的角.【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；数学运算.【分析】根据线面垂直的性质、判定定理，二面角、线面角的定义一一判断即可.【解答】解：四棱锥S-4 8 c o 的底面为正方形，S )_ L 底面A B C D,/),X /.”/.-Y在中，：S)_L底面48C,底面A8C为正方形，.连接8 D,则 8O_LAC,根据三垂线定理，可得ACJ_5B,故正确；在中，.,AB/CD,ABCA=,SD,AOu平面SA O,所以CD_L平面 SAD,SAu平面SA。，所以C D _ L S A,与 SC所成的角为N5CC与 SA所成的角为NSAB=90,.;A B 与 SC所成的角小于OC与 S

45、A所成的角，故错误；在中，V 5D ffi ABCD,BD,OCu平面 ABC。，所以 SO_LOC,SDLBD,即ZC D B为二面角B-S D-C 的平面角，又 A8CO是正方形，所以NCCB=45,.二面角B-S O-C 的大小为45,故确.在中，V SD ffi ABCD,ABcF A B C D,所以 SJ_AB,又 ABC。是正方形，所以 A8_LAZ),SD H A D=D,SD,AZ)u平面 SA O,所以 48_1_平面 SAD,所以/A SB 为 S 3与平面SA。所成的角，故错误.故答案为：.【点评】本题考查线线垂直，线面平行的证明，线面角，线线角，面面角的求法，属中档题

46、.四.解 答 题(共 6 小题)17.(2022南京模拟)如图，四棱锥S-A 8C D 的底面ABCD是正方形，ABCD,SD=M AD=2a,E 是 SO 上的点，且 E=A(0 AEC 的 面 积SAAEC x A C x,2-啥）2 =-1-X 2 a x -2+入 2 a 2 =a2V1+X 2，故三棱锥 B-AEC 的体积“T E C =y X SAAEC X 舄 X a2h 71+2）由 VE-ABC=VB.AEC可得白一31X a2h V 1+X 2,解得h r /入 ,3 3 Vi+X2又h夸a，解得人=1，即实数人的值为1.【点评】本题考查了线线垂直的证明和点到平面距离的应用

47、，属于中档题.1 8.（2 0 2 2春南平期末）如图，在三棱锥A-B C O中，A B=A C=A D,底面是以8。为斜边的直角三角形，点 历 是B D的中点，点N在棱A。上.（1）证明：AM,平面B C D；若 A B=B D=2 B C,直线B N与平面8 c o所成角的正切值为近，求二面角N-B C2-C的大小.【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直.【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算.【分析】（1）依题意可得再证即可得到A M J_ C M,从而得证；（2）过点N作N/7LB C,由面面垂直的性质得到人巴，平面8 C Q,则N N B H 为 B N 与平面B

48、 C D所成角，根据线面角的正切值求出N H,过“作H P L B C,即可证明3 C J_平面N H P,从而得到/N P H即为二面角N-B C-D的平面角，再根据线段关系计算可得.【解答】（1）证明：在A B。中，由A B=A D,M B=M D,得A M_ LB O,又在 RtZi B C C 中，M C=JIB=M D总B D,A B=A C，所以j r所以 N A M C=/A M B*，即 A M L C M,又有 C M C B O=M,且 C M,3 D u平面 B C D,所以A例，平面B C D；(2)解：过点N作NH_ LB C,由(1)可得，A M_ L平面B C D

49、,A Mu平面A B C,从而平又平面A 8 O C平面5 8=8 0,N H 1 B D,M/u平面4 5。，从而NH_ L平面B C D,所以B N在平面B C D内射影为B H,故N N B H为B N与平面B C D所成角,所以 ta n/NB H 与 ，设 A B=8 O=2 B C=2,设 蛇=入，因为NH/A D所以 N H S 入，HD=入，HB=2-x,在 Rt NB H 中，由ta n/NB Hn.娈HB 2解 得x2，N H=2&，3 3过，作 P_ L8 C,因为 N_ L平面 B C。，NH1.BC,M H C H P=H,NH,“Pu平面 N P,所以8 C _ L

50、平面N/7P,从而B C L N P且BCLHP,N N P H即为二面角N-BC-D的平面角,由 地 上 得 坐1上，MD 3 B D 3 _所 以 里 上，故p H?C D 3 3所以在RLA NPH中，N H=H F,所以/NPH=三，4即二面角N-BC-D为土4【点评】本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题.19.(2022春清远期末)如图，在三棱锥P-A B C 中，平面ABC,点 M,N 分别是PB,4 C 的中点，且 MN_L4C.(1)证明：BCJ_平面以C.(2)若 笈=4,A C=B C=2圾,求平面PBC与平面AMC夹角的余弦值.【考点】二面角的平面角及求法；