2020届中考数学十大题型专练卷10二次函数的综合应用题（含答案）.pdf

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1、2020届中考数学十大题型专练卷题型1 0二次函数的综合应用题一、解答题1.如图，抛物线y =V+Zz x+c与x轴交于A、8两 点（A在3的左侧），与y轴交于点N,过A点的直线/：y =丘+与y轴交于点C,与抛物线y =-d+历c+c的另一个交点为。，已知A（1,0）,（5,-6）,P点为抛物线y =-V+法上一动点（不与A、。重合）.（1）求抛物线和直线/的解析式；（2）当点P在直线I上方的抛物线上时;过P点作P E x轴交直线/于点E,作P F U y轴交直线/于点F,求尸E +PR的最大值；（3）设M为直线/上的点，探究是否存在点M,使得以点N、C,M、尸为顶点的四边形为平行四边形？若

2、存在，求出点例的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）y =-d+3 x+4,直线/的表达式为：y =-x-l；（2）P E+P产最大值：1 8；（3）存在，P的坐标为：（2 +9,一3-旧）或（2-旧,一3 +9）或（4，-5）或（-4,3）.【分析】（1）将点A、Q的坐标分别代入直线表达式、抛物线的表达式，即可求解；（2）P E+P F=2 P F=2 C -X2+3X+4+X+）=-2（方 2 +1 8，即可求解；（3）分N C是平行四边形的一条边、N C是平行四边形的对角线，两种情况分别求解即可.k+=0 k=1【详解】解：（1）将点4、。的坐标代入直线表达式得：一，解得：一，5

3、Z+=-6 n-故直线/的表达式为：y=x-l,将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y =-x2+3x+4（2）直线，的表达式为：y=-x-l,则直线/与x轴的夹角为45 ,即：则 P E=P E,设点 P 坐标为（x,-%2 +3 x +4）、则点 F（x,-x-1）,P E+P F=2 P F=2（-X2+3X+4 +X+1）=-2（x-2）2+1 8,-2 0,故P E+P F有最大值，当x=2时，其最大值为1 8；（3）N C=5,当N C是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x,-%2+3X+4）、则点M（X,-尸1）,由题意得：1丁 丁%1=5，即：l-x2

4、+3 x+4+x+l|=5,解得x=2土 Ji Z或。或4（舍去0）,则点P坐标为（2+J1 7,-3-旧）或（2-旧,一3 +旧）或（4,-5）：当N C是平行四边形的对角线时，则N C的中点坐标为（一;,2）,设点P坐标为（m,-毋+3 m+4）、则点M（，-n-1）,N、C,M、2为顶点的四边形为平行四边形，则N C的 中 点 即 为 中 点,1 m+n -m2+3m +4-n-l即：=-,2 =-,2 2 2解得：机=0或-4（舍去0）,故点 K -4,3）；故点 P 的坐标为：（2+M,-3-J F 5）或（2-9,一3+9）或（4,-5）或（-4,3）.【点睛】主要考查了二次函数的

5、解析式的求法和与儿何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.2.已知二次函数丁 =62（“。0）的图象过点（2,7），点p （p与o不重合）是图象上的一点，直线/过点（0,1）且平行于1轴.P M _ U于点M ,点F（0,-l）.（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P在线段M F的中垂线上；（3）设直线PR交二次函数的图象于另一点Q,Q N 工I于点、N ,线 段 的 中 垂 线 交/于 点R ,求=7的值；（4）试判断点R与以线段尸。为直径的圆的位置关系.【答案】（1）y =-y x2；（2）见

6、解析；（3）竺=1；（4）点R在以线段PQ为直彳仝的圆上4 R N【分析】（1）把点（2,-1）代入函数表达式，即可求解；（2）即玉2=T y,pM=|1-|,又P F=J（x,_ 0 C+（y+以=J-4y +y；+2y+1 =-1|=PM ,即可求解：（3）证明M R 乌 k P F R（S AS）、R t R F Q g R t R N Q （H L）,即 R V =F R ,即 M R =f T?=R N,即可求解；（4）在 AP Q R 中，由（3）知 PR 平分 N M R F,Q R 平分 NF R N,则 N P R Q =g（N M R F+N FR N）=90,即可求解.【

7、详解】解：（1）丁 =奴2（。#0）的图象过点（2,-1）,r r E 1 1 7*-1 =2 x 2*即=二，y=X；4 4（2）设二次函数的图象上的点P（%，M）,则“（办），y=_；x：，即 片=-4y,又 P F =J(%-O)2+(y+=S+N+2 X+1 =E 1|=PM，即 P F =P M ,.点P在线段M E的中垂线上；(3)连接R尸,：R在线段MF的中垂线上，/.M R =F R,乂：P M =P F ,P R =PR,：.P M R 丝 k P F R(SAS),；N P F R =N P M R =9 0，R F P F ,连接 R Q，乂在 R t X R F Q 和

8、 R t R N Q 中，1 ,.。在y =-x 2的图象上，由(2)结论知.Q R u Q N,4.R Q =RQ,.R t R F Q R t R N Q (HL),即 R N =F R ,即 M R =F R =R N，M R ,:.=1 ；R N(4)在A P Q R中，由(3)知 P R 平分N M R F,Q R 平 分乙F R N ,：.Z P R Q =N M R F+4 F R N)=90,点R在以线段P。为直径的圆上.【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、中垂线、圆的基本知识等，其 中(3),证明 X P M R 也 P F R(SAS)、R t R F

9、Q R R t R N Q (HL)是本题解题的关键.3.如图，抛物线了 =办2+笈+。与轴交于点A(一1,0),点8 (-3,0),且08=0C,(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，且/尸08=N 4 C B,求点尸的坐标；(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为如点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点，过点D作y轴的平行线交M N于点E,求DE的最大值.点D关于点E的对称点为凡当m为何值时，四边形M DN F为矩形？y【答案】尸 一/_4%-3：(2)点P坐标为(-2,1),或(*;)或(-9；屈 9；呵或9+V33 9+V33(3)当f=m +2时，OE最大值为4

10、,当m=一4 +走 或-4一 走 时，四边4 8 2 2形M DN F为矩形.【分析】(1)已知抛物线与x轴两交点坐标，可设交点式)=(x+1)(x+3)；由0C=0B=3得C (0,-3),代入交点式即求得a=-L(2)由N P O 8=/A C 8联想到构造相似三角形，因为求点P坐标一般会作x轴垂线P”得放 P C W,故可过点A在B C边上作垂线A G,构造 ACGS P O H.利用点A、B、C坐标求得A G、C G的长，由相似三角形对应边成比例推出黑=空=1.设点尸横坐标为P，则。与P 都能用p表示，但需按P横纵坐O H C G 2标的正负性进行分类讨论.得到用。表示。”与P H并代

11、入O H=2 P H计算即求得的值，进而求点P坐标.(3)用机表示股、N横纵坐标，把?当常数 求 直 线 的 解 析 式.设 横 坐 标 为3把广f代入直线MN解析式得点E纵坐标，/)与E纵坐标相减即得到用机、/表示的D E的长，把机当常数，对未知数/进行配方，即得到当f?+2时，D E取得最大值.由矩形M A W尸得M2。尸且MN与。尸互相平分，所以E为MN中点，得到点。、E横坐标为5+2.由得仁川+2时，D E=4,所以M N=8.用两点间距离公式用，表 示MN的长，即列得方程求，的值.【详解】解：(1)抛物线与x轴交于点A (-L 0),点8 (-3,0)设交点式 y=”(x+1)(x+

12、3)0C=0B=3，点C在)，轴负半轴：.C(0,-3)把点C代入抛物线解析式得：3 a=-3/.a=-1，抛物线解析式为y=-(x+1)(x+3)=-f-4 x-3(2)如 图1,过点A作AG8c于点G,过点P作轴于点”ZAGB=ZAGC=Z PHO=90V ZACB=ZPOB：.RACGs APOH.AG CG.A G-P H,C G -O H：OB=OC=39 ZBOC=9()：.ZABC=45,BC=y/OB2+OC2=372 A8G是等腰直角三角形AG=BG=AB=y/22：,CG=BC-BG=3 C-叵=2 亚 _P_H_ _ _A_G_ _ _1,OHCG2：.OH=2PH设 尸

13、(p,-p工4p-3)当p V-3或JV p V O时，点P在点8左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数：OH=-p,PH=-(-p?-4p-3)=/+4p+3-p=2(/?2+4/?+3)貂徨 9 +65 9 +3 3解传：p=-,p2=-(9+7 3 3 9 +属)(-9 +屈 -9+庖一产J当-3 p 0时，点？在A8之间或在点C右侧，横纵坐标异号；=2(/+4p+3)3解得：p i=2 P2=-综上所述，点 P 的坐标为（2,1）,或（一g j）或（-9 屈，-9;屈）或（_9七 咨,_9+咨）；/.M (?,F-4怯3),N(加+4,-12也35)设直线M N解析式为y=kx+nkm+n

14、=-n r -4m-3k(m+4)+n=-m2-12 z-35k=-2 m 8解得：1，4,n=m+4 m-3；直线 MN：y=(-2m-8)x+m2+4m-3设。(3-r-4/-3)(/V/Vm+4).QEy 轴/XE=XD=t,E(t,(-2/H-8)f+?2+4，-3)DE=-C-4t-3-(-2/n-8)Z+/w2+4n?-3=-Z2+(2m+4)t-m2-4m=-t-(m+2)+4.当 片?+2 时，Q E的最大值为4.如图3,F关于点E对称：.D E=EF.四边形M O N F是矩形：.M N=D F,且M N与。尸互相平分：.D E=-MN,E 为 M N 中点2m+m+4 日x

15、D=xE=-=m+2由得当冷山+2时，OE=4：.MN=2D E=8(o i+4-m)2+-f f l2-1 2 m-3 5-()2=82解得：/n =-4 -,m,=-4 +2 2m的值为一4一 正 或-4 +1时，四边形M DN F为矩形.2 2【点睛】本题考查了求二次函数解析式，求二次函数最大值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法，二元一次方程组的解法，矩 形 的 性 质.第（3）题没有图要先根据题意画草图帮助思考，设计较多字母运算时抓住其中的常量和变量来分析和计算.4.如图，已知直线43与抛物线C：y a x2+2 x+c相交于A（1,0）和点5（2,3）两点

16、.求抛物线。的函数表达式；若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以M A、M 3为相邻两边作平行四边形A M N B,当平行四 边 形 的 面 积 最 大 时，求此时四边形K 4N B的面积S及点M的坐标；在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y =4的4距离，若存在，求出定点尸的坐标；若不存在，请说明理由.1?7(1 15、【答案】(l)y =/+2x+3：当。=耳，S n MA Nfl=2S A A B M =,此时M万,彳卜 存在.当/时，无论x取任何实数，均有尸G =P厂.理由见解析.【分析】(1)利用待定系数法，将4 8的坐标代入产o?+

17、2 x+c即可求得二次函数的解析式；(2)过 点 例 作 轴 于H,交直线A B于K,求出直线A 8的解析式，设点M (“，才+2”+3),则K(ma+1),利用函数思想求出M K的最大值，再求出A A M B面积的最大值，可推出此时平行四边形M 4 N 2的面积S及点M的坐标；(3)如图2,分别过点5,。作直线 尸 的垂线，垂足为N,H,设抛物线对称轴上存在点F,使抛物线 41 7C上任意一点尸到点尸的距离等于到直线y=的距离，其中F(l,a),连接BF,C F,贝l j可根据BF=BN,4C F=C N两组等量关系列出关于a的方程组，解方程组即可.【详解】(1)由题意把点(-1,0)、(2

18、,3)代入产a 2 +c =0得，,4 a+4 +c =3解得 a=-l,c=3,：.此抛物线C函数表达式为：y=-x2+2 x+3 ；(2)如 图I,过点M作轴于“，交直线A 8于K,将 点(-1,0)、(2,3)代入广履+b中,-k+b=0得，2k+4 3解得，E,b=,VA f l=x+l ,设点 A/(67,-a2+2a+3),则 K(a,a+1),贝ij MK=-J+2 a+3-(a+1)=(一1)2H-9,2 41 9根据二次函数的性质可知，当 赤 彳时,根K有最大长度：,2 4S&AMB 域 SRAMK+S&RMK=MK*AH+MK9(x/物)2 21 z、=-MK(,XB-XA

19、)2_27 ,8二以A M、MB为相邻的两边作平行四边形M A N S,当平行四边形M A N S的面积最大时,2727115S 火=2SA4“8 卅 大=2X -,M(-,8424(3)存在点尸,.=-X2+2X+3=-(j c-1)2+4,.对称轴为宜线广1,当)=0 时，X|=-l,、2=3,二抛物线与点x轴正半轴交于点C (3,0),如图2,分别过点B,C作直线广工 的垂线，垂足为N,H,4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线尸 二 的 距离，设尸(1,a),4连接B F,C F,17 5 17贝 ij B F=B N=-3=，C F=C H=，4 4

20、4(2 1)2+(a 3)2=图由题意可列：，(3一1+/=(9)解得，a=-,4：.F(1,).4【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了用函数思想求极值等，解题关键是能够判断出当平行四 边 形 的 面 积 最 大 时，A 8 M 的面积最大，且此时线段MK的长度也最大.5.如图，抛物线y=a f+法(a 0)过点E (8,0),矩形A B C O 的边A 6 在线段OE上(点 A在点B的左侧)，点 C、。在抛物线上，N8AO的平分线AM交 8c于点点N是 C 的中点，已知O A=2,且。4：(1)求抛物线的解析式;(2)F、G分别为无轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、尸构成四边形

21、M N G F,求四边形M N G F周长的最小值；(3)在x轴下方且在抛物线上是否存在点P,使A O C P中。边上的高为小 何？若存在，求出点P的坐5标；若不存在，请说明理由；(4)矩形A B C Q不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、3且直线K L平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.【答案】(1)y=y x2-4.r；(2)四边形M N G F周长最小值为12 0；(3)存在点P,P坐 标 为(6,-6)；(4)抛物线平移的距离为3个单位长度.【分析】(1)由点E在x轴正半轴且点A在线段O E上得到点A在x轴正半轴上，所以A (2,0)；由O A=2,且O

22、A：A D=：3得A D=6.由于四边形A 8 C D为矩形，故有所以点。在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点。坐标.由抛物线经过点。、E,用待定系数法即求出其解析式；(2)画出四边形M N G凡 由于点尸、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M,作点N关于y轴的对称点点M,得F M=F M G N=G N.易得当M F、G、M在同直线上时最小，故四边形M N G F周长最小值等于M N+M W.根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M、N、M坐标，即求得答案；(3)因为0。可求，且已知O C P中。力边上的高，故可求A O D P的面积.又因为A O D P的

23、面积常规求法是过点P作P Q平行y轴交直线O D于点Q,把O O P拆分为a O P。与ACPQ的和或差来计算，故存在等量关系.设点P坐标为t,用 表示P Q的长即可列方程.求得t的值要讨论是否满足点尸在x轴下方的条件；(4)由A X平分矩形A 8 c。的面积可得K在线段A8匕L在线段C O上，画出平移后的抛物线可知，点K由点。平移得到，点L由点。平移得到，故有K(?,0),L(2+m,-6).易证K A平分矩形面积时，K L 一定经过矩形的中心”且被平分，求出“坐标为(4,-3),由中点坐标公式即求得，的值.【详解】(1).点A在线段O E上，E(8,0),O A=2(2,0)：O A：A

24、D=1：3：.AD=30A=f：四边形A B C D是矩形.AD AB：.D(2,-6)抛物线y=a r 2+b x经过点O、E14。+2。=-66 4。+助=0解得：a 2抛物线的解析式为y=y x2-4x(2)如 图 1,作点M 关于x 轴的对称点M,作点N 关于)，轴的对称点M,连接FM、GN、MW1 ,I,V y=-JT-4x=-(x-4)2 -82 2，抛物线对称轴为直线x=4 点C、。在抛物线上，且。不轴，D(2,-6)%、=-6,即点C、D 关于直线x=4 对称Axc=4+(4-切)=4+4-2=6,即 C(6,-6)：.AB=CD=4f B(6,0)TAM 平分NBA。，ZBA

25、D=ZABM=9Q：.ZBAM=45：.BM=AB=4：.M(6,-4)丁点M、M 关于x 轴对称，点尸在x 轴上：.M(6,4),FM=FM ；N为CD中点：.N(4,-6)丁点N、乂关于y 轴对称，点 G 在 y 轴上:.N(-4,-6),GN=GN：.C 四 边 形 MNGF=MN+NG+GF+FM=MN+NG+GF+FM ,当M、F、G、M在同一直线上时，NG+GF+FM=MN最小4)?+(+6)2 +J(6+4+(4+6)=2五+10点=12 应二四边形MNG尸周长最小值为1 2 a.M过点P作PQ/y轴交直线。于点Q6V105,:D(2,-6)8=+6 2 =2而，直线。解析式为y

26、=-3x1 ,设点 P坐 标 为(f,-r-4/)(0 z+切-xp)=PQ*xD=PQ=-/+/乙 乙 乙 乙 乙V AODP中OD边上的高h=生 叵.51 S、ODP=OD*h1 2 1 -)/77T 65/10-r+r=-x 2 V n)x方程无解如图3,当 2 V/V 8 时，点尸在点力右侧解得：八=-4（舍去）,：.P（6,-6）综上所述，点尸坐标为1 2 1 2PQyp-yn r -4t-（-3r）t-t2 21 1 1 1 1 2-St,0DP=S0PQ-S）PQ=-PQXp-PQ*（x p-初）=P Q（Xp-Xp+XD）=PQXr）=PQ=-1 乙 乙 乙 乙 乙、-5“=6

27、（6,-6）满足使A。）尸中0。边上的高 为 鼠 叵.5（4）设抛物线向右平移m 个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L：K L平分矩形ABCD的面积.K在线段AB上，L 在线段CD上，如图4:K（？，0）,L（2+/H,-6）连接A C交KL于点H图4 _ _ 1 S&ACD=S N边的 ADLK=-S 肉形 ABCD,*S2AHK=SxCHL*：A K/L C：.A H K s A C H Lq.AAHK一 sACHL(AH?,K H、2-=(-)-I CHJ H L：.A H=C H,K H=H L,即点，为AC中点，也是KL中点：.H(4,-3)m+2+m,二-=42抛物线平移的距离为

28、3个单位长度.【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径问题，勾股定理，坐标系中求三角形面积，抛物线的平移，相似三角形的判定和应用，中点坐标公式.易错的地方有第（1）题对点。、C、8坐标位置的准确说明，第（3）题在点。左侧不存在满足的尸在点力左侧的讨论，第（4）题 对KL必过矩形中心的证明.6.如图，在直角坐标系中，直线y=-；x+3与轴，丫轴分别交于点8,点C，对称轴为x=l的抛物线过5,C两点，且交x轴于另一点A,连接AC.（1）直接写出点A,点8,点。的坐标和抛物线的解析式；（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3

29、）抛物线上是否存在一点Q（点。除外），使以点Q,A,8为顶点的三角形与A48C相似？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】(1)尸 一;x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=6,故点8、C的坐标分别为：(6,0)、(0,3),即可求解；(2)PH=PG cos a=x2+x +3 +x-3，即可求解：5 (8 4 2 )(3)分点Q在x轴上方、点。在x轴下方两种情况，分别求解.【详解】(D y =-；x +3,令 x =0,则 y =3,令 y =0,则 x =6,故点6 c的坐标分别为(6,0)、(0,3),抛物线的对称轴为x =I,则点A(-4,0),则抛物线的表达式

30、为：y =a(x 6)(x+4)=a(x2 2x 2 4),即 2 4。=3,解得：a=一一，81 9 1故抛物线的表达式为：y =一一x-+-X +38 4(2)过点P作y轴 的 平 行 线 交 于 点G ,作PHLBC于点”，将点B,C坐标代入一次函数表达式并解得：直线8 c的表达式为：y =-g x +3,O C 1则/H P G =Z.C B A -a,t a n ZC B A -=t a n a ,则 c o s a=OB 2设点。(左一!/+，x +3),则点G(x,-1 x +3),8 4 2则 P H =P G c o s a =(-x2+X+3+X-3)=-X2+-X5 8

31、4 2 2 0 1 0*；_ 且 0,故PH有最小值，此时x =3,2 02 1则点 P(3,)；8(3)当点。在X轴上方时，则点Q,A B为顶点的三角形与 A B C全等，此时点。与点。关于函数对称轴对称,则点。(2,3)；当点。在x轴下方时，Q,A,B为顶点的三角形与A A B C相似，则Z A C B =Z Q A B ,当 N A 8 C =N A B Q 时，直线B C表达式的k值为-；，则直线B Q表达式的女值为:，设直线B Q表达式为：y=x+b,将点B的坐标代入上式并解得：直线8 Q 的表达式为：y =g x -3，联立并解得：x =6或-8(舍去6),故点。(。.)坐标为(一

32、8,-7)(舍去)；当 N A B C =N A B Q 时，3 9同理可得：直线3。的表达式为：y =，联立并解得：x =6或-1 0 (舍去6),故点Q(。)坐标为(T O，-12),由点的对称性，另外一个点Q的坐标为(1 2,。2)；综上，点。的坐标 为:(2,3)或(1 2,-1 2)或(-1 0,-1 2).【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其 中(3),要注意分类求解，避免遗漏.7.如图，在平面在角坐标系中，抛物线产-2%-3 与 x 轴交与点A,B （点 A在点8的左侧）交 y轴于点C,点。为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点E.（1

33、）连结点M 是线段8。上一动点（点 M 不与端点8,。重合），过点”作 交 抛 物 线 于 点N （点 N 在对称轴的右侧），过点N 作 N HLx 轴，垂足为H,交 8。于点F,点 P是线段0C上一动点，当M N 取得最大值时，求 4 F+F P+g p C 的最小值；（2）在（1）中，当 取 得 最 大 值 H F+F P+1/3 P C 取得小值时，把点P向上平移个注单位得到点Q,连2结 AQ,把a A。绕点。瓶时针旋转一定的角度Q （0 a 应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半取42的中点G,连接。G,则。G=GQ=!AQ=好，此时，/A Q O=N G O Q,把A A O。

34、绕点。顺时针旋转-一定的角度2 2a(0 E F =-e+3 e=-(e-)+-,3 9二当6 =彳 时，四边形C E O尸的面枳最大，最大值为二.2 4 由(1)可知 N O A C =N O C A =4 5。由 X P C Q s AC 4 P 可得 N Q C P =Z O A C=4 5 Z Q C P =ZOC A,:.Z A C P =N B C O ,由仇一 1,0),C(),3)可得 t an N B C O =-3/.t an Z A C P =,3作 P”_LAC于“点，设P(m,0),则 A P =3 a,万 x/2*.P H =A H =,C/7=(3+m).2 2V

35、2.*V 2 I;而(3+7/z)M*,即胃J3解得加=彳23二 P(-,O).,3 /：y=-x H.2【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，会利用相似三角形的性质解题，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键.39.如图，已知抛物线y=a(x+2)(x 6)与x轴相交于A、B 两 点,与N轴交于C点，且sNCA5=J.设抛物线的顶点为M,对称轴交x轴于点N.(1)求抛物线的解析式；(2)P为抛物线的对称轴上一点，。(,0)为龙轴上一点，且PQPC.当点P在线段M N(含

36、端点)上运动时，求及的变化范围；当n取最大值时，求点p到线段C Q的距离；当取最大值时，将线度C。向上平移，个单位长度，使得缱尊CQ与抛物线有两个交点，求/的取值范围.1 7 4 9【答案】y =-：(x+2)(x-6)；(2);；2 3 4,4 8 1 6C O 3【分析】(1)由解析式可知点A(-2,0),点 B (6,0)根据N C 4 B =t a n N C A O =一，可得。C=3,A O 2即点C (0,3),代入解析式即可求a.(2)由解析式求得顶点M(2,4),设。点坐标为(2,n?)(其中0 9 E 4),利用勾股定理将P C、PQ.CQ用含?，的式子表示，再利用A P

37、C Q 为直角三角形，可利用勾股定理得将含?，的式子代入整理可得一个关于?，n的二次函数，且 通 过 二 次 函 数 增 减 性 可 求 得 取 值 范 围.当取最大值4时，m=4,可得点P (2,4),Q(4,0),故可求得。=逐，。=2 6，C Q=5,利用直角三角形等面积法可求得点P到线段C。距离由题意求得线段CQ的解析式为：y =-=x+3,故可设线段CQ向上平移/个单位长度后的解析式为：43y=-x +3+t,当线段CQ向上平移，使点。恰好在抛物线上时;线段CQ与抛物线有两个交点，此时4可求对应的点。的纵坐标为，进而求得此时t 值，当线段C Q 继续向上平移，线段C Q 与抛物线只有

38、一个交点时，联解抛物线与C Q，的解析式并化简得一元二次方程，有一个交点可知由A =0,得此时，值，即可解题.【详解】解：(1)根据题意得:A(2,0),8(6,0),在R t A O C中c o 3t a n N C 4 O =,且 0 4 =2、A O 2Z.CO=3,C(o,3),将。点坐标代入 y =a(x +2)(x-6)得：a=-4故抛物线解析式为：y=-；(x+2)(x 6)；(2)由(1)知，抛物线的对称轴为：4 2,顶点M(2,4),设尸点坐标为(2,m)(其中0刍 4),则 PC2=22+(?M-3)2,PQ?=?2+(2尸，C02=32+n2,：PQPCf在放APCQ中中

39、，由勾股定理得：尸不+尸。2=C。?，即 22+(电3)2+苏+(-2)2=32+2,整理得：n=(m2-3/n+4)=f 7 7 2 +(04),2 ，2(2)83 7J当机=一时，取得最小值为一；当机=4H寸，取得最大值为4,2 87则 PQ=2 旧,CQ=5,设点P到线段CQ距离为，由 S w=g c Q/=；P C P。，得：h=PCPQ)-二2CQ故点P到线段CQ距离为2；由可知：当取最大值4时，Q(4,0),线段C Q的解析式为：y =-1 x+3,43设线段C Q向上平移t个单位长度后的解析式为：y =x +3+t,4当线段C Q向上平移，使点。恰好在抛物线上时，线段C Q与抛物

40、线有两个交点此时对应的点。的纵坐标为：一!(4+2)(4 -6)=3,43将。(4,3)代入 y =-=x +3 +f 得：t=3,4当线段C Q继续向上平移，线段C Q与抛物线只有一个交点时，,=_ 工。+2)(尤6)联解 ；y=-x+3+t1 3得：一一(x +2)(x-6)=一一x +3+t,化简得：4 4x2-7x+4 r=0 4 9由A =4 9 1 6f =0,得/=一，1 64 9当线段C。与抛物线有两个交点时，3 r+b,cik+=a2 2a+3得，,k+b=。解得，k=a-3,b=a +3,（。3）x+a+3当x=0时，y=a +3,:.N（O,a+3）,如图2,S g PM

41、-S g p N S四边形B AfiV。S1 MQ N，5Aom-Si B O-S四边形8A如0，9 81由二次函数的性质知，当。=一三时;Sw w-Sw w有最大值二,8 32 B M P和b EM N的面积分别为m、n,Q 1加一的最大值为二.求极值等，解题关键是能够设出点P坐标，求出含参数的直线总的解析式，进一步表示出点N坐标.1 1.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A(l,4),与坐标轴交于8、C、。三点，且 8点的坐标为(1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N,且点N在点M 的左侧，过 M、N作 x轴的垂线交 x轴于点G、”两点，当四边形M M

42、 7G为矩形时，求该矩形周长的最大值；(3)当矩形M NHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P,使APNC的面积是矩形M NHG面【分析】(1)二次函数表达式为：y =a(x-l)2+4,将点8的坐标代入上式，即可求解；(2)矩形 M N H G 的周长 C =2A/N +2 GM =2(2x 2)+2(厂+2 x+3)=2尸+8 x+2,即可求解:(3)S A P N,=*=xPKxCO=x P H x s i n 4 5 x 3&，解得：P H=-=H G,即可求解8 2 2 4【详解】(1)二次函数表达式为：y =a(x-l)2+4,将点8的坐标代入上式得：0 =4。+4,解得

43、：a=-l,故函数表达式为：y =Y+2 x+3；(2)设点 M 的坐标为(x,V+2x+3),则点 N(2 X,X2+2X+3),则“V =x-2 +x=2x-2,GM=-x2+2%+3，矩形 MNHG 的周长 C=2MN+2GM-2(2x 2)+2(+2x+3)=2x?+8x+2,V-2 (-3,-2 7 3)；(2)证明见解析；(3)点 P的 横 坐 标 为 一-1 1,3 7-y,点P共有3个.【分析】(1)令)=0,可得关于x的方程，解方程求得x的值即可求得4 8两点的坐标，对解析式配方可得顶点D的坐标；(2)由C f =C4,C O 1 A F,可得。尸 =0 4=1,如图2,易得

44、A DR F A C O F,由此可得OC =g,继而证明A 4 C F为等边三角形，推导可得E C/A B F,再由E C=Z)C=6,BF=6,可得E C 8/，问题得证；(n Q/0 7 c、(3)设点尸的坐 标 为x,gf+V _x一,分三种情况：点尸在B点左侧，点P在A点右侧，点尸I 8 4 8 J在A3之间，分别讨论即可得；由的结果即可得.【详解】(1)令苴/+殛 逋=0，8 4 8解得x =l或-7,故 4(1,0),8(-7,0),配方得 y =1(x+3)2 26，故。卜3,-2月)；8(2)V CF=CA,COLAF,：.0尸=。4=1,D、D COFDOFnn 2百_82

45、 1：.o c=6-,.CF=OC2+OF2=2,：.CA=CF=FA=2,即A 4 C F为等边三角形,:./4FC=/ACF=60,；ZECF=ZACF,：.ZAFC=ZECF,ECHBF,CF：DF=OF：FDi=l：2,：.DF=4,：.CD=6,乂 ,：EC=DC=6,BF=6,：.EC/JBF,四边形BFCE是平行四边形:、(3)设点P 的坐标为，和+乎一述8 J(i)当点P 在 8 点左侧时,因为APAM与ADD,A相似,PM MA石2 3后 773BPTX23 4x,.%=1（舍），PM MA2）-=-AD DD即 至x+7二 工二1-x,4 2G37王 1 （舍），x2=(i

46、i)当点P 在 A 点右侧时,因为APAM与AD。A相似,币 ,3 0 7G即 丁+丁 a 丁，2百 4；.西=1（舍），&=一3（舍）；PM MA4）-=-AD DDjg ,36 773即 丁+丁一丁_1，4 273.%=1（舍），*2=-7（舍）；3：APAM 与 ARA 相似,PM MA则,瓦=不，(G 2 3g 7A/T即 I 8 4 8 J=-x，4二芯=1(舍)，=-3(舍)；PM _ MA6,函一函(上2 3上 7 0即 I 8 4 8 J=1-x，4-2 /5,人 5.%=1 (舍)，x2=；5 3 7综上所述，点P的横坐标为 ，一1 1,-；3 3由可得这样的点P共有3个.【

47、点睛】本题考查的是函数与几何综合题，涉及了等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.1 3.如 图1,AAO B的三个顶点A、0、8分别落在抛物线Q：旷=一/+一%的图象上，点A的横坐标为-3 3-4,点2的纵坐标为-2.(点A在点B的左侧)(1)求点A、B的坐标；将M OB绕点。逆时针旋转9 0。得到“。斤，抛物线尸2：y =o?+b x+4经过A、9两点，已知点M为抛物线尸2的对称轴上一定点，且点A 恰好在以0M为直径的圆上，连接O M、A M,求 O H

48、 M的面积；(3)如图2,延长。交抛物线尸2于点C,连接AC,在坐标轴上是否存在点。，使得以A、。、。为顶点的三角形与A O A C相似.若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.图1图2【答案】点A坐标为(-4,-4),点B坐标为(-1,-2)；(2)&办”=8；点。坐标为(4,0)、(8,0)、(0,4)或(0,8)时，以A、。、。为顶点的三角形与O A C 相似.【分析】(1)把 x=-4 代入解析式，求得点A的坐标，把产-2 代入解析式，根据点8与点A的位置关系即可求得点B的坐标；如 图 1,过点B作轴于点E,过点8 作 BCL r轴于点G,先求出点4、8 的坐标，OA =OA

49、=斤百=4 夜，然后利用待定系数法求得抛物线用解析式为：y=1x2-3 x +4,对称轴为直线：x =6,设 M(6,/),表示出OM2,A M2,进而根据。4，#“2 =0 例 得到(4逝尸+/+8，+2 0=3 6+/，求得，=-2,继而求得AM=2夜，再根据通过计算即可得；(3)在坐标轴上存在点力,使得以4、0、。为顶点的三角形与 O 4C 相似,先求得宜线04 与x轴夹角为45。，再分点。在x轴负半轴或)，轴负半轴时，N A O Q=4 5。，此时A A O。不可能与AOAC相似，点。在 x轴正半轴或y轴正半轴时，N A O D=N O 4 C=1 3 5。(如图2、图 3),此时再分

50、A/)。4s两种情况分别讨论即可得.【详解】(1)当 x=-4 时，y =1 x(-4)-+-x(-4)=-4,二点A坐标为(-4,-4),1 ,7当 y=-2 时，X H-X =-2 ,3 3解得：X 1 =-1,%2=-6,.点A在点8的左侧，二点8坐标为(-1,-2)；(2)如 图 1,过点8作B E L x轴于点E,过点8 作B G r x轴于点G,：.ZB E O=ZOG B =90,OE=,B E=2,将AAOB绕点。逆时针旋转9 0。得到“,。死：.OB=OB ,/B O B =9 0,/.Z B O E+Z B O G=N B O E+N O B E=9 Q。,，N B O G