不定积分的概念.pdf

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1、第四章不定积分1、不定积分的概念一.原函数与不定积分定 义 1、设函数尸、f(x)在 区 间/上 有 定 义,V x e/,若有尸(x)=/(x),则称尸(x)是/(x)在区间/上的一个原函数。如果质点的路程函数为S =.#),速度函数为V，已知丁(。=出)，由定义S(。是 W)的一个原函数；(s i n x)=co sx,故 s i n x是co s x 的一个原函数，.问题：在什么条件下，一个函数一定有原函数，是否唯一？如何求原函数；定 理 1、(原函数存在性定理)区间上的连续函数一定有原函数。注：初等函数在定义区间内连续，故初等函数在其定义区间内一定有原函数；如果F(x)是/(X)的一个

2、原函数，即如(x)=/(x)；由于(尸(x)+c)=/(x),表明果(x)+c也是/(X)的原函数(C 是任意常数)；表明原函数不唯一。定理2、/(X)的任意两个原函数之间最多相差一个常数。证:设 尸(x)、G(x)都是函数/的原函数，即尸(x)=/(x),G x)=/(x),对任意的x,有 尸(x)-G(x)=/一 G(x)=f(x)-f(x)=0即 明-G(x)=c,或 F(x)=G(x)+c、。注：根 据 定 理 2,如果已知/(x)的一个原函数为F(x),则/(x)的所有的原函数可以表示为F(x)+c,即/(x)的原函数的全体为 F(x)+c,称为/(x)的原函数族。定 义 2、设/(

3、X)在区间/上的原函数的全体为 网x)+c,称其为/(x)在区间上的不定积分，记作=/(x)+c。其 中 J为积分号,尤为积分变量,/(X)为被积函数,f(x)dx为被积表达式。由此定义，由于 s f)=v(f),则 J V(f)=s(f)+c；由F (s i nx)=co s x ,则 j co s x d x =s i nx +c,j 1 7 dx=a rct a n x +c.注：由不定积分的定义，/(x)的不定积分为/(x)+c是一族曲线，称之为积分曲线族。其特点：只要作出其中一条曲线了 =尸。)的图，通过沿y轴的上下平移，即可得到所有的积分曲线y =f(x)+c 的图形。二.不定积分

4、的性质1 .和差的积分等于积分的和差：，/(x)g(x)kx=J 7(x”x 证：设尸(x)=/(x),G(x)=g(x),则由定义，J/(x)d x J g(x”x =(F(x)+q)(G(x)+c2)=F(x)G(x)+c F(x)G(x)=F，(x)G,(x)=/(x)士 g(x)表明，/士 G(x)是/(x)g(x)的一个原函数，则R/(X)士g(x)kx =F(x)G(x)+c=j/(x)J x J g(x”x2 .非零常数因子可以从积分号中提出来：口/依=女 7(*/；3 .积分与微分(导数)的关系：J 7(X 依 =/(x)J 7(x”x =/(x)+cd J 7(x M x =

5、/(x”x .(x)=/(x)+c注：在忽略任意常数的基础上，积分与微分互为逆运算；对于性质=/(x)+c,但不能写成：J r(x)j x =/(x)；当导函数/(X)已知求原函数/(x)时，有/(x)=J r(x”x-C,又因为不定积分J 7(x /x 中本身已包含了任意常数，故常常写作“x)=，(x x三.基本积分公式根据不定积分的定义，即若尸(x)=/(x),则 7(无 M x =E(x)+c 以及已知的基本初等函数的导数公式，直接推出以下1 6个基本积分公式：J O.d x =c；rxa+1(3)xadx a w-1 -+c；Ja +1 x =+c；(7)j co s xdx=s i

6、n x +c；(9)s e c2 xdx=t a n x 4-c；(2)kdx=kx+c；(4)dx=ln|x|+c；X(6)axdx=cxJ na(8)i nx d x =-co s x +c；(1 0)e s c2 xdx=-co t x +c；(11)sec x tan xdx=sec x+c；(12)cscxcotxtZx=-cscx +c；(13)f-dx=arctan x+c；Jl+x2(15)sinh xdx=cosh x+c；dx=arcsin x+c(16)cosh xdx=sinh x+c对于公式+c 说明如卜：x0时，1中|=Inx,且(in,。=(in x)=；x -c

7、 o s。之间只相差-，个常数，且2 4 2sin2x=-cos 2x=-cos2 x=gsin2x从而它们都是函数k in 2 x的原函数。2例5.计算积分JVT-cos2 xdx o解：7 1-cos2 x=1 sin x I ；在不定积分中，约定=即 Jl-cos?x=sinx,从而：JVl-cos2 xdx=jsin xdx=-cosx+c例6.质 勤 机的物体，自100米 高 处 以 初 速 度%=0自由下落，问经过多长时间能到达地面？到达地面时的速度是多少？解：根 据 牛 顿 第 二 定 律：F=ma,有 =且；由 于。=/,即/=且，从 而，v=vdt=gdt=gt+cx 再由七

8、=0,得.=0,v=gt o因为 s，=y=g1，故s=JsWf=jgf力=I 产 +j ;由于 s(0)=0,得02=0，求得 到达地面时，s=1 0 0,所需时间为：=仁=10(秒)；到达地面时的速度为：v(1 0)=g-1 0 =10y/2g(米/秒)例7.峨y=/(x)在点(x,y)处的切线的斜率为k=x%试求曲线的方程，口知点(0,1)+X在曲线上。解：已知，y=k=+，故1 +x2y=ydx=+arctan x+c当x=0时，y=1 可得c=l。所求曲线为：y=x +arctanA,+1 o例 8.已 知/(tanx)=sec?x,/(0)=2,求 f(x)。解：/f(tanx)=

9、sec2x=1+tan2x,故/(r)=l+x,则/(x)=j(l+x)dx-x+x2+c由条件/(o)=2,求得c=2,所求函数为：/(X)=X+1X2+2O注：利用基本积分公式时，必须严格按照公式的形式。如已知，jsinxt/x=-cosx+c,但jsin 2xdx 丰-cos 2x+c。例 9.计算 J r(lnx)d x,j/(ln x)dx,解：因为：/(lnx)=/(lnx)L 则：ff(lnx)-dx=|/(lnx)fJx=/(lnx)+cf(nx)dxr=f(nx)2、换元积分法不定积分i n 2 xdx就不能直接用基本积分公式上i n xdx=-c o s x+c 来计算，因

10、此还必须介绍计算不定积分的一些方法。一、第一换元积分法(凑微分法)定 理 1、设尸()是 f(M)的一个原函数,且=9(X)可导，则=H(x)+c证:因 为 尸()=/()，而尸 口(尤)是由尸()、W =/(X)复合而成,故 尸(x)D =尸(财(x)=/()”(x)=/p(x)G(x)由不定积分的定义。就 有 J/e(x)W (x)J x=E e(x)+c。注：J/p(x)e (x)c/x u=e(x)jf(ulu=F(u)+c=F (x)+C，故称此法为第一换元法；其特点是将被积函数中的某一部分函数视为一个新的变量；J/o(x)e (xM x=j/e(x)k e(x)=,因此，第一换元法

11、也称为凑微分法。例 1.求积分 j s i n 2xdx o角 不：s i n 2xdx u=2x sinudu=-c o s w+c =-c o s 2 x+cJ-2J 2 2例 2.求积分，力。解：iea,dt u=at-leudu=eu+c=eal+cJ=a J a a例 3.求积分 2xex dx 解：2xex dx x2=u j c dn =e1 1+c=ex+c例 4.求积分j xj l-x2 dx Of t?：Ixyjl-x2dx l x2=u uji-u2*r -du=-i u2du-u3+c =-(l-x2)+c注：一般，对于积分打-(%”，可以选择代换为：儿=/，或者凑微分

12、为：卜 i/(x L =：J 7(xx如果利用了第一换元法，积分完成后应当变量回带。练 习I、用第一换元法计算下列积分（要求写出所采用的代换）1.2.3xdx a=3x3.-=d x u=x2+2X2+2j-p-dx u=1-xI n”+c =l n(x2+2)-l c o tM +c=-l c o t 3 x+c3 3-I n w +c =-l n(l-x)+c+c4.f x2c o s x36?x U=x3-cosudu=-sinu+c =s i n x3+cJ 3 J 3 35.x2ex dx u=x3 euda=el t+c =ex+c3 J 3 36.1 xs i n(2 x2-l)

13、dx u=2x2-1 j s i nudu=-;c o s +c =-c o s(2 x2-1)4-c例5.凑微分练习dx=d(ax+b)xdx=g d x1+3)xAdx-g -2)rf()d x =-x x1 d(i n x)s i n xdx=-1 d(c o s x)sin x cos xdx=sin x cos xdx=g J(s i n2 xsin x cos xdx=J (c o s 2 x)_2I212.12eaxdx=d*xex dx=ex d(-x)=-d(ex)a 2 2注：第一换元法通常也写作：=J/M x）d 9（x）=尸 p（x）+c ,即（px）dx=d（p x,

14、称为凑微分法，要求熟练掌握凑微分法。例6.用凑微分法计算下列积分:解:,r sin x .xax=-axJ cos x-In c os x 4-cr 1 .1 r 1 “X、1 x/ar Ct an+Cf/dx=f/d()=arcsin+c注：补充基本积分公式：(1 7)JtanxJx=-lncosx+c；(1 8)jcot xdx=In sin x+c；(1 9)f 1 dx=arcsin+c；(2 0)dx=-arctan-+c 0J y/a2-x2 a 乜一十厂 a a例 7.计算下列积分 X J i.&d x,_ J_ jXoJJ xnx解：p2 J l-4/d x =1 J71-4x

15、3Jx3=卷|V 1-4X3J(4X3)Vl-4x3J(l-4x3)=-(1-4x3)+c=-(1-4X3)+C12J,7 12 3V 7 18v f-dx=f-Jinx=J xlnxlnlnx J Inxlnlnxd(In In x)=Inlnlnx+cdxdx4(3 2x4)=2y13-2 x4+c=_-/3-2x4+c8 4f,X dx=dx2=-j=1/1 d(Mx2)=-T=arcsin A/)43-2x4 2 3一 2：2&2 T 9产 2收 V3练习2、计算下列不定积分1.2 dx-ln(x3+3)+c/+3 3 7例 8.求积分-dx oJ ex+ex解：解法1：-dx=f-7

16、 -d x =7dx=-rdex=-arctan e-+%(1+6刃 J(l+e-21 八 +e 解法 2：f-dx-f r-d x -I*7-arctane+cJer+e-x Je-x(l+e2x)J(l+e2x)解法 3：-d x-f-dx-j。，吁 dx=工 arctan(sinh x)+cex+e-x 2 Jcoshx 2 Jcosh2x 2 例 9.计算被积函数为三角函数的积分：Jcos3xcosxdx,jcos2 xdx,jsin3 xdx,Jtan10 x-sec2 xdx,Jtan3 x-sec5 xdx,jsec xdx 解：|cos 3x cos xdx=；j(cos 4x

17、+cos 2x)dx=(sin 4x+sin 2x+ccos2 xdx=j1 +cos2x dfx =1 x+1 s.m 2cx+c224-jsin2 xJ(cos x)=-j(l-co s2 x/(cosx)=geos x-co sx +cjtan10 x-sec2 xrfxjtan10 xJ(tan x)=tan x+cjtan3 x-sec5 xdx=jtan2 x-sec4 xrf(secx)=j(sec2 x-l)sec4 xd(sec x)isec7x-s e c5x+c75jsecxJx=jsecx-secx+tanx1secx+tanxdx=fJ secx+tanxd(sec

18、x+tan x)=ln(sec x+tan x)+c注：补充积分公式:(21)卜 ecxdx=ln(secx+tan x)+c(22)Jcsc.山=ln(cscx+cotx)+c练 习 3、计算下列不定积分1.sinx.-raxcos x-V (c o sx)=+cJ cosx 2 cos2J(9-4.?)=arcsinx+v 9-4 x2+c2 3 43.-6/(1 -x4)=-7InCl-x4)+cJl-x 4J1 -x4 44.I ri2arccosx i ，-dx=-l j l 02arccosJ(2arccosx)=02arccosx2 InlO21nl05.J t a n x se

19、 c x d x =jt a n2 x(i(se c x)=j(se c2 x-l)d(se c x)=se c3 x -se c x +c6.就会公二/3旨 n x)=-+，7.元+1)；2/二/七 一.=3 3 2 心+1)+，2、换元积分法.第二换元法在第一换元法中，代换”=小)，从而使得积分由 年力 变 为 积 分 (“州，从而 利 用 了()的原函数求出积分。但是对于这样一类积分如后二”公，若仍然采用代换 =e(x),则总是无法完成积分的计算。因此必须寻求新的积分的方法。定理2、设函数x =e G)单调且函数/(次)州(。的一个原函数为),则有：J y(x)r f x =F-1(x)

20、+c事实上，F，(x)由函数%)与 f =(x)复合而成，故加，(x)=尸。(X)=/“)加3.焉=/M O)=/M注：x=(p(t)j/S)/C=)+c =F(P (X)+C,相当于作了代换x =(f),称此换元的方法为第二换元法，其特点是将积分变量无视为某个新的函数。1.被 积 函 数 中 含 有 行 二 Z、G/的积分例 1.求积分-x2dx,J /1;dx,J /；dx o角 4：-x2dx x=asint a2-a2 sin2 tdt=a2 jc os2 tdi2 2 i 2=-j(l +c os2t)dt=%(t-sin 2f)+c =-(z2 /2 2 2=a z(a r c s

21、.in x i x -x-、)+c =a ur c si.n x2 a a a 2 aj/1:dx x=atant/】a se c2 tdt=a+x a+a t a n t se=f se c r 力=l n(se c r +t a n/)+c =l n(a +x+Ja=In L+V t z2+九 2 )+c.-dx x=d se c r f-a se ct t a n tdt=se ctdtJ&_Q2 Lt a n r J=l n(se c r +t a n r)+c =n(x +)+c *=a a4_y/a2-X2-sin r c osr)+c/2 XCT-Xk-+c2一se c2 tdt

22、 _ _a x-a xa-)+c*aaIn 卜 +J 一 Q2 )+C注：被积函数中如果含V7、Gi a7可以考虑使用三角代换，其目的之一是去掉被积函数中的根号；去掉根号后，还应该结合凑微分法完成整个积分；如果使用三角代换，则应在变量回带时，应作出相应的变换三角形；补充的两个基本积分公式：(23)-d x =In +c(24),=dx=Inlx+-Jx2 a2)+cJ r2-n2 2a x+a J J v 2 4.。2 !例2.计 算 积 分fd x.3 Xyl9 -4 x2解：f/1 dx x=|sin u f-x y j9-4 x2=J|sinu-3cosw一 -cos udu21 r,、

23、(i,J s=J esc udu-ln(cscw-cot u)+c=ln(一练 习1.1.-rdx x=tanw sec2 udu=fcoswJw=sjQ +/J sec u J2.fJ .dx x=seer-seer tan tdt=t+(J xyjx1-1 Jsecr tanr例3.求 积 分J l +X2 dX。解：解法 1.J i +x2dx x=tan jtan3 u-seen-sec2 udu1 5 1 3 1。2 V2=-sec u sec w +c=-11+K25 3 5V 7解法 2.jx371+x2 Jx =j(x2+l-l)V l+x2 d x2=g J(l+x=半(1

24、+，产 _ Z(i+x2)%+c=_ l2 L 5V 7 3V 7 J 5例4.求 积 分f-,.dxJX2V1+X2解：解法 L f-J dx x=tan w f-sec2 udux2yl+x2-J tan u-sec ur cosu,1 v=Tau=；-c=-J sin-u sin u2x 2x 7177/inu+c=/+c1:=arccos+cX=j(sec2 u-l)sec2 nd seenT(i+/2+c2产 广 刁/G+i)(l+2户-L(l+x乎 +C3 Jl+x2-+cX解法 2.-J dx x=sin huJ x27177r sin h2 u-c oshwc osh udu=

25、j dusin h-w.c oshw J l +12=-c ot h u+c=-c=-F csin h ux解法3.（倒代换）,1 ,dx x1 1X271+X21uu,A 2,V l +x2du=7 +c =-F c+u2 X例 5.计 算 积 分 f=d xaJx +71-x21 ,f 1 .r c os u+sin u-sin u.-/.dx x=snu-c os udu-；-dux +J l _ 12=J sin w +c os u-J sin w +c oswsin w -r c os u-sin w -c os u,-)au=w +-；-dusin w +c osw J sin u

26、 4-c os u=u+l n(sin u+c osw)-J-COSMJ sin u+c os udu2 f-cos udu=+l n(sin u+c osw)+2cJsin w +c oswf-dx-c os udu=+l n(sin w +c os )+c%+11_ 工 2 J sin u+c os u 2 2=a r c sin x +l n(x +71-x2)+c2 2练习(至少用两种方法求解：三角代换、倒代换)1.f-j dx x =2sinu f-2c osudu r-/4-x2 2 s in 2 co s w二l n(cs cw -co t w)+c=l n(-.)+c2 2 x

27、 x=l n(2 w +V4 w2-1)+c=l n(H -)+c2 2 x x2.简单无理函数的积分例5.求积分解：选 择 适 当 的 代 换，去 掉 所 有 的 根 号。7=-7=dx x=u6 -6 u5du=6 du=6 f(w2-w +1-)duJ6 +F -JW3+W2 Jl +W J 1 4-W3 26(-+w -l n(l +w)+c=2A/X-3 Vx +Vx +6 l n(l +Vx)+c例6.计 算 积 分R后八解；令 一-=U ,贝I1 一 =2(1 +1),V 1 +x上 =-1+31 +1 +Wdx=4 11dL i(1 +d)24 (一4 u(尸du)=-4f 4

28、 2J(l-w2)(l +w2)U,从而=l n(l 一 )一 l n(l +)+2 a r ct a n +c,1 u.I n-+2 a r ct a n u+c1 +w_ J l +X-y11 X _ 11 X=I n T=,+2 a r c t a n J-+cJ l +x +Vl-X V l +x注：一 般，对 于 被 积 函 数 中 含 有、近?，均 可 以 采 用 代 换“=、叵?，首 先 去 掉 根 号，然后x+b N x+b再 讨 论。另 解 为：(-J-dx=己 )dx x =s in z =-(co s f d f)J x Vl +x Jx yji-x2 s int cos

29、t1-s in r ,-dts in rj(cs cr -V)dt=l n(cs cf -co t r)-r +cl n(-.1二.I)-a r cs in x +cX X练习1.-dx Vl+x=u1 +Vl+X-=3-u+ln(l+w)+c +1 232.dx x=a sec u f：-(a secwtan w.1 rcosw.tan uau)=、dua Jsin w1 1 1 x=-+c=-=+ca-sinw a/x2-a23.-7Xdx x=j -ydu)=-duJX(X6+4)J:(+4)U2 Jl+4/=-ln(l+4M6)+c=-ln(l+4-)+c2 4、7 24 x6r 1

30、f 1 1 f 1 4 1 4Jx(f+4)J 1(l+卞)24 J(l+)x6 24 x64.6=u 血)=2=2 farctanMJ(arctanM)J(1+X)V7+7 J l+M2 J、7=(arctan w)2+c=(arctan 4)+c5.f dx 1 +/=-du=(-)du=In-+c=I n-beJ1+优 3u w-1 J w-1 u u 靖 +1-dx=-7-dx=d(l+6-*)=ln(l+6-，)+cJ1+J ”.)J 1 J 3、分部积分法对积分J x e Z x，无论怎样换元均无法求出其原函数。本节介绍一种新的积分方法一分部积分法。设函数=(x)、u=u(x)均可

31、微，乘积导数公式为：(w v)=，+/,或/=-urv,两端对 x 积分得：uvdx=j(w v)dx-j wvdx=uv-uvdx uvdx-uv-uvdx udv=uv-vdu即为不定积分的分部积分公式。注：使用此公式时，首先应将被积函数分成两部分，即/(x)=/；一般应注意使积分J/M x 较 积 分 容 易 计 算。例 1.求积分 xexdx o解：/(x)=x e*，令：u=x,vr=ex,则，=1,v=ex 9 利用公式如果令：u=ex,/=工 则/=屋，v=X2 利用公式：xexdx=x2ex-2 2可见，不恰当的分部将直接影响到积分的计算。例 2.求积分j x s in 2xd

32、x。解：/(x)=x s in 2x,令：u=x,vf=s in 2x 9 则=1,v=-co s 2 x,则-1 f 1x s in 2xdx=x co s 2 x-co s Ixdx2 J 2 x co s 2x+s in 2x+c注：如果被积函数形如：xkea x、xk s in a x、xk cosax,则积分时必须采用分部积分法，而且总是设 =/,设 M=e 、s in ax co s ax,其中左是非负整数。练习：xexdx=xdex-xe exdx=1)+cj x co s y 6k =2 卜d s in =2(x s in -扭 弓 公)=2(x s in：+2 co s )+

33、c例 3.求积分 j inxdx o解：令：u=nx,M =l,贝lJ/=xv=x,故：jinxdx=xnx-j xdx=xn x-x+c例 4.求积分 jx3 arctanxdx。解：令：u=arctanx,/=/,则=二,v-x4,故1 +x2 4,3.1 4 f l 1 4 1 4 1 f X，+%2 X-1 +1x arctanxdx=x arctanx-x dx-x arctanx -z-ax4Jl+x2 4 4 4 J 1 +x2=1 x 4 arctanx1 f(z x 7-l1 -I-x)dx =I x 4arctanx-4 4 J l+x2 4-x-arctan x)+c注：

34、如果被积函数形如元Inx、x arctan ax x arccotx,则积分时也必须米用分布积分法,且取 =lnx、arctan ax arc cot ax,而取/=/,k 是非负整数。练习：I.jx2 In xdx=g jin xdx3=g Q3 1nx 一 j.x，d In x)=g(x3 Inx-jx3 dx)2.-(x3 Inx-3、x1 dx=In x+c=-(31nx-l)+carcsin xdx=x arcsin x-j.x /1 dx=xarcsin x+V1-x2+c1-x2注：分部积分公式通常也写作:adv=uv-v d u.在较为熟练的情况下，要求掌握此公式。例5.求积分

35、-x2dx o角 星：a2-x2dx=xyja2-x2-卜d ja -2 =xyja2-x2-x2=Ma?-a-r X -d x =xa2-x2-yja2-x2dx+-a-dx=xy/a2-x2 一 yja2-x2dx+a2 arcsin (出现循坏)Ja移项后，可得：fya2-x2dx=xyla2-x2+arcsin +cJ 2 2 a或者：-x2dx x=asinu 例6.求积分J*sinbxdx。解：eax smhxdx=一：cosbx=一：卜 cosbx-jcosbxde=cosbx-a eax cosbxdx=-eax co sb x-y eaxd sinbx=一(e cosb x-

36、*(eax sinbx-jsinbxdeax(出现循坏)=(eax cosbx-eax sinb x-a eax sinhxdx整理可得：J*sin bxdx=-(b eax cosbx-ae sinftx)-eax sinbxdxax移项后即得：卜以 sin bxdx=(a sinb x-b cosbx)+c例 7.求积分jsec3 xdx解：jsec3 xdx=jsecxd tanx=secxtanx-jtanx-secxtanxdxsec x tan x-jsec x(sec2 x-ijrfx=sec x tan x-jsec3 xdx 4-jsecxJx移项后可得：jsec3 xdx=

37、g sec x tan x+g ln(sec x+tan x)+c注：以上各例均出现循环现象，必须进行移项处理。例 8.求积分 jx(x2+X)ex dx o解：p(x2+1卜”=；j(x2+1&加=J-J(/+i尸+%(/+1)1.1 1 2 1 2=尤？+1 ueudu=(u-l)eu+c=x2ex+1+c=x2ex 4-c-=2e J 2e/2e 2例 9.设函数/(x)的一个原函数是包土求积分xfx)dx o解：利 用 分 部 积 分 公 式，有/矿(x”x=xdf(x)=xfx j/(x)t7x；由 条 件 可 知，j7(x”x=芋+C*及/(X)=(手)=xcos：jsin x,所

38、以:xfx)dx=V W-=x “csx厂sin”sinx 2sinx-Fc=cos x-F cx x注：采用分部积分法时，函数与dx凑成微分小的顺序一般为：(反、对、骞、指、三)d x fd v练习：(用凑微分的方法计算分部积分)2.xsinxcosxx=-g 卜dcos2x=-(x co s2 x-jcos2xdx)=g(xcos2x ；sin2x)+c例 1 0.求 积 分 f-dx oJ 1 +cosxft?：j-dx=xsec2xd+cosx 2J 2 Jxxtan =xtan 22x,x ci xax=x tan +2 In cos +c222-dx=1 +COSX:；s dx=-

39、卜 d cot x+卜 d esc x-(xc o tx-jcotxdx)+(xescx-Jcscxdx)-x cot x+lnsinx+x esc x-ln(csc x-cot x)+c例 11.求积分 j(arcsin x)2 dx。解：J(arcsinx)2 dx arcsinx=u 2dsin =u2 sin w -2 jwsin wJwu2 sin w +2 jwJ cos w =u2 sin w +2(cosu-jcosudu)u2 sinu+2(wcosu-sinw)+c=x(arcsinx)2+2V1-X2 arcsinx-2 x +c或：J(arcsinx)2 6k=x(ar

40、csinx)2-jxrf(arcsin x)2=x(arcsin x)2-jx-2(;arcsin%)】?dxx(arcsin x)2+2 jarcsin xd yj-x2=x(arcsinx)2+2y jl-x2 arcsinx-l-x2d arcsinxx(arcsin x)2+2V1-x2 arcsin x _ 2 JJ1 x2,/1 dx1-x2例 1 2.求积分)2+2V1-X2 arcsinx-2 x +c解:2 dx=J(lnx)/()=(inx)3 3 dx=-(in x)?+3 J(lnx)2X X X X X1 a 1 9-ln3x+3(-ln2x-2x xfln x-J

41、x)=-ln3x+3-ln2x+2flnxJ(-)J X X X J X=-In3x+3 In2 x+2(Inx+)+c=-(in3 x+31n2 x+61nx+6)+cX X XX X例1 3.求/“=的 递 推 公 式。+a2)n解：/Ax _ x f r/y+a2)(x2+a2)(x2+a2yx 一 2 x，+/)-几2 +/严dx、“i+In、1 .dx-2na2：dx(x24-a2)n J(/+/)J(x2+a2)n+,(7T 7r+M_2/7 f l 2/,+1,in+1-w(x2+a2)7+(2n-l)Z)1x+1 2 -1/Ina2(x2+a2)a2 In X=arctan+c

42、,则对于任意的自然数，均 可 以 利 用 上 述 的 公 式 求 得/“，如x+a a a1 x 1 11 X2a2 x2+a2+l(ia rc ta n +c)a,2 a a1 x 1 x*7-7+r arctan+c2tr 尤 +。,2a a4、几种特殊类型函数的积分有理函数R（x）的积分由多项式的商所构成的函数称为有理函数，或有理分式；如6 =f W=旬 +俨、+一 +4”/+4“尸 Q(x)%廿+制 用+%x+a,(aobo(0 )如果 用，称上式为真分式；2加，则上式为假分式。利用多项式的除法，可以将假分式化为多项式与真分式的和。因此，研究有理函数的积分主要是研究真分式的积分。设 M

43、 x)=纲 是 真 分 式,即 血；则在实数范围内，可以将分母。（X）因式分解成为若干单因式如（一步（k 重）与二次质因式如（？+p x +q）（p 2-4 q 0）（s 重）的乘积。如 果。（x）分解后含有左重的单因式（x-力，则 R（x）=笔 分 解 成 为 部 分 分 式 后，必然含有人项之和：7 4+7 4T+-+/+-A.特别当女=1 时，分解后有，-x-a）x-a）（工 一。）x-a）xa 如果Q（x）分解后含有s 重的二次因式*+p x +q）（p2-4（/0 ）,里 分 解 成 为Q（x）贝|J碗=部分分式后，必然含有S 项之和:A x+B,A?x+A,+5,Atx+B、(x2

44、+px+q)(x2+px+qj(x2+px+qj (x2+px+q如果s =l,则 分 解 后 有A*+8；x+px+q上述过程称为将真分式化为最简分式之和。分析上述结果，有理函数的积分只要解决以下的几类积分即可。r A 广 A r A x+8 r A x+B ,、-dx;7-7 dx；z-ax；hr-r-dx(*)J(x-Q)J x +p x +q M +p x +q)f-dx=A ln(x-a)+c；J x-a J/-丫2三 彳 *+c；x-a)I-k x-a)f _ dx(p2-4 g 0 )；J%+p x +q例1.计算积分12力：7疝，1芋7 0J x +6x +5 J +6x +2

45、5解：23 x +7 dx：因为：X2+6X+25=(X+5)(X+1),故用待定系数法J x+6x 4-53x +7 A B-=-1-x-+6x 4-5 x +5 x +1通分后比较两端的分子，有：3x +7三A(x +l)+B(x +5),即应有4 +B =3,A +58=7；解2 1得：A =2,8=1,即:3x +7-.-=-1-+6x 4-5 x +5 x +1r 5 3x +7 dfx =r(z-2-H-1-)、d，x =21 n(x +1八)+l，n(/x +5)、+cJx +6x 4-5 J x+5 x+1(,3X+7 dx：分母x?+6x +2 5的判别式A =36 4x 2

46、5=6 4 0,故不能进行因式分J x2+6x +25解，其求解方法如下：因为分母是二次的，其导数则是一次的；而分子恰好是一次函数，故首先在分子上凑出分母的导数：廿+6*+25)=2+6,即分子部分可以写为：3 3 33x 4-7=-(2x)+7=-(2x +6-6)+7=-(2 x +6)-22 2 23x +7x2+6x +25,3 r 2x +6-dx=-2 J 犬+25-dx-2-dxJ +6x +25=|l n(Y+6 x +25)2 z-dxx +6x +25对于积分J-公，分母是二次的，而分子则是常数；解法是：将分母的一部分配成完全平方：x2+6%+25=(x +3)2+16,然

47、后积分 z -dx=-d(x +3)=-a r ct a n +cJX2+6X+25 J(X+3)2+1 6 1 4 4 综合以上两步，有f,3 x+7dx=-ln(x2+6x +25)-2 f?-dx3+6 X+25 2 1X2+6X+2532+6x +2 5)-a r ct a n-2c*=ln(x2+6x +25)-a r ct a n X+c2 4 2 2 4注：对于积分f A+A d x,考虑分母是否可以分解因式，然后按照上例的方法求解。J ax+bx+c例2.求不定积分 生产解：因为：x3+l =(x +l)(x2-x +l),故,1A Bx+C-=-1-o-+1 X +1 尸一X

48、 +1，通分后得到恒等式:AQ 2 _X+I)+(5R+CXR+I)三1,比较等式两端x的同次基的系数：，A +8 =0-A+5+C =0,解得:A +C =l1 I?A =,B=,C =,从而3 3 3 dxx3+l1 x-2)dx=3士d x-x +l“(23,x +1 x x +1卜(X+X+g J7317 7 Td x扣(x +1)-/Q 2-x +X2-X 4-1 d x +-f7Y-d(x_-)1 2l n(x +l)-l n(x2-x +l j+l3 6 577TX La r c t a n(-2-)+c2；l n(x +1)一 ,也仅 一 x +1)+-j=-a r c t a

49、 n(-S+cf t?:；$=+x x-1 j X X例3.计算不定积分 dx oC-11(IF,通分后比较分子，得恒等式：-1)2+Bxx-1)+Cx =1即 A +B=O,2A 8 +C=0,A =l。解得 A =1,B=l,C =l；则I1dx)dx=I n x-l n(x-l)-+cx-例4.计算不定积分x5-x4-8.X(I)2解：利用多项式的除法，X5-X4-8=X2+X+1-x +8x(x-l)2x2+X +1-18(x-1)2 x(x-l)218(IF 心-IFX3+x2+x-8(lnx-ln(x-l)-)+c3 2 x 1 x 11/+-X2+X+3 27x-8(ln x-l

50、n(x-l)+c注：根据以上的讨论，所有有理函数的原函数均可以被求出。三角函数有理式的积分将有理函数中的X用三角函数sinx、cosx替换后所得的函数,即由sin x,cosx以及常数经 过 有 限 次 四 则 运 算 所 构 成 的 函 数，称为三角函数有理式,记作/?(sinx,cosx)o 积分jR(sinx,cosxx称为三角函数有理式的积分。因为.x.x X -x tan;sinx=sin2-=2sincos =2 tan cos =2-2 2 2 2 2 l+tan2fc 光cosx=cos2-21-tan2f221 +tan21xj2代换：w =tan ,x=2arctan，dx