《复变函数与积分变换》期末考试试卷及答案.pdf

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1、 复变函数与积分变换 期 末 试 题(A)一.填空题(每小题3分，共计15分)L 学 的 幅 角 是()；2.L(-1 +，)的主值是/(0)=(z-sin z4.z =0 是-4 的(Z)极点；5.R e5/(z),oo=(|传力|二.选择题(每小题3分，共计15分)1 .解析函数/(2)=“(%丁)+加(再y)的导函数为()；(A)/(z)=%+/,；(B)f(z)=ux-i uy.(C)/(z)=+叱；(D)fz)=uy+ivx,2 .C 是正向圆周目=3,如果函数/(z)=(),则 j(z)dz=0.3 .如果级数在z =2点收敛，则级数在(A)Z=-2点条件收敛；(B)2 =2,点绝

2、对收敛;(C)z =l+i点绝对收敛；(D)z =l+2i点一定发散.4.下列结论正确的是()(A)如果函数/(z)在Z。点可导，则/(z)在z 0 点一定解析；(B)如果/(z)在 C 所围成的区域内解析，则j/(z)dz =O(C)如果t/(z)dz =O,则函数/(z)在 C 所围成的区域内一定解析；(D)函数/(z)=(,)+/(,)在区域内解析的充分必要条件是M(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5 .下列结论不正确的是().(A)为 s i n，的 可 去 奇 点;8为 s i nz 的 本 性 奇 点；(C)为 的 孤 立 奇 点 8 为一.的 孤 立 奇 点sinz

3、三.按要求完成下列各题(每小题10分，共计40分)(1)设/(2)=必+axy+by+i(cx2+dxy+y )是解析函数，求 a,b,C,d.dz 其中C是正向圆周：国=2；(3)z15计算|=3(1+Z2)2(2+Z4)5 dz人、Z(Z2-1)(Z+2)3(Z-3)2(4)函数/(z)=U%发 一乙 在扩充复平面上有什么类型的奇(sinzzz)*点？，如果有极点，请指出它的级.四、(本题14分)将函数f(z)=一一在以下区域内展开成罗朗级数:z(z-1)(1)0|z-l|1,(2)0|z|1,(3)1|z|0）的傅立叶变换，并由此证明:乙-布P 复变函数与积分变换 期 末 试 题（A）答

4、案及评分标准一.填 空 题（每小题3 分，共计15分）1 .1一3 的 幅 角 是（一工+2 Z万,=0,1,2 ）；2.L（T +i）的主值是2 31 3兀 1（7 m2 +工，久3./（z）-T，/（0）=（0）,4.z =0 是2 4 1+Zz -s in z 14 的（一级）极点；5./（Z）=一,Res（z）,o o =（-i）；ZZ二.选 择 题（每题3 分，共 15分）1 5 B D C B D三.按要求完成下列各题（每小题10分，共 40分）（1）.设/（z）=/+i（cx 2 +的+2）是 解 析 函 数，求a,b,c,d.解：因为/（N）解析，由C-R条件du _ dv d

5、u _ dvdx dy dy dx2x+ay=dx+2y ax+2by=-lex-dy,。=2,d =2,a=2 c,2 b =d c=1,b=1,给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。（2）.计算/d z其中c是正向圆周:J C（z-l）Z解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数 2）=在复平面内只有两个奇点Z =O,z2=1,分别以Z 1*2（2-1）Z为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 且 位 于C内zZ=2m（c y+2m-7=2mz Z T（Z _ 1）z-o无论采用那种方法给出公式至少给一

6、半分，其他酌情给分。15(3).I-r r d zM=3(1+Z2)2(2+Z4)3解：设y（z）在有限复平面内所有奇点均在：忖3内，由留数定理z5(1+Z2)2(2+Z4)3d z =2 z R e 5/(z),o o（5 分）=2m R e s7(-)4z z/(-)-z z(4 5z（8 分）(l +!)2(2 +d)4)3?z z11z z,.丁有唯一的孤立奇点z =0,z(l +z2)2(2 z4+1)3R e W)|，O J =11(2七4+1)3=1I-；-r f d z =2m-（1 0 分）J|Z|=3（1 +Z2）2（2+Z4）3 万A、z（z 2-l）（z +2）3 /2

7、（4）函数/（z）=/（z-3 在扩充复平面上有什么类型的奇（S1I17Z2）点？，如果有极点，请指出它的级.解：f（z）=式 二 一 l）（z +2）：（Z _ 3）2 的奇点为 z=k,k=0,1,2,3,，00（s in TZZ）（1）z =左，九=0,1,2,3,为（sin疝尸=0的三级零点,（2）z=0,z=l,为/的 二 级 极 点，2=-2是/（）的可去奇点，（3）z =3为f（z）的一级极点，(4)z =2,-3,4-.,为/(z)的三级极点;(5)8 为/(z)的非孤立奇点。备注：给出全部奇点给5 分，其他酌情给分。四、(本题1 4分)将函数/(z)=?一在以下区域内展开成罗

8、朗级数;z (z-1)(1)0|z 1|1,(2)0|z|1,(3)1|z|o o解：(1)当O v|z l|v l=!=-!r-!-Vz2(z-l)(z-1)(z-1+l)100而 =0(一 1)“9-i)r(z-i+i)Mn=0f(z)=X(-iy+,n(z-iy-2-6 分二0(2)当0 目 111f(z)=Z 2(Z 1)z2(l-z)-zn=0w=0zn21 0分(3)当1 目12(：1 )=产，)行1 1 4 分z =o z =o z每步可以酌情给分。五.(本 题 1 0分)用 L a p l a ce 变换求解常微分方程定解问题:y(x)-5y(x)+4y(x)=exXO)=1

9、=/(O)=1解：对yx的Laplace变换记做L（s）,依据Laplace变换性质有1I52L(5)-5-l-5(s)-1)+4L(s)=5+1整理得L(s)=-1 (s+l)(s l)(s-4).v-11111=-1-1-10(5+1)6(5-1)15(5-4)s-11 5 1=-d-d-10(5+1)6(5-1)15。-4)（5 分）（7 分）15（10分）6六、（6 分）求/=/叫 0）的傅立叶变换，并由此证明:f C O S cot 7 1p2-+-a-)2 7 da)=2/3e?解：尸（。）=%向 出（0）-3 分J-8F(o)=e-ia,ep,d t+e-ia,te-p,dt(/

10、0)=夕-，。），出+7-（夕+汕），山（,0）e(P-ia)t e-(fl+icaU+Pia,+痴 (夕 0)尸（。）=2。P-ia)P+ia)p1+co2(夕 0)4 分=二。（/0）-5 分=方如。）1f+0 B=I _ 7(cosH+isinofMG(0)4 j +(D12 B r+o C O S C O t i r+0J3sina)t=上 -Tda)+J-超(0)71 J O B、O)2%于+8 W6分f coscot!夕+疗2。复变函数与积分变换 期 末 试 题(B)一.填空题(每小题3分，共计15分)二.1.上三的幅角是()；2.(一+i)的主值是2()；3.=(),/(z)=/

11、+2盯 一2+Z(办2+2盯+/)在 复 平 面 内 处 处 解析.4.Z=。是 5的()极点；5./(Z)=一,Z ZR es(z),o o =()；二.选择题(每小题3分，共计15分)1 .解析函数/(z)=(羽y)+Z v(x,y)的导函数为()；(A)f(z)=uy+ivxi(B)/(2)=ux-i uy.(C)f(z)=%+叱;(D)f(z)=ux+iuy,2 .C 是正向圆周目=2,如果函数f(z)=(),则 j(z)dz=O.(A)；(B)；(C)3z-；(D)z-l z-13 .如果级数 c z在z=2 点收敛，n=l(A)z=2 点条件收敛；(C)z=l +i点绝对收敛；4

12、.下列结论正确的是()(z-iy(z-l)-则级数在(B)z=-2 i点绝对收敛；(D)z=l+2 i点一定发散.(A)如果函数/(z)在z 点可导，则/在 z0点一定解析;(B)如果 /(z)dz=O,其中C 复平面内正向封闭曲线，则/(z)在C 所围成的区域内一定解析；(C)函数f(z)在z 点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以展开成为z-z。的昂级数，而且展开式是唯一的；(D)函数/(z)=(x,y)+A(x,y)在 区 域 内 解 析 的 充 分 必 要 条 件 是、v(x,y)在该区域内均为调和函数.5.下列结论不正确的是().(A)、d 是复平面上的多值函数；(B)、c

13、o sz是无界函数；(C)、s i n z 是复平面上的有界函数；(D)、是 周期函数.三.按要求完成下列各题(每小题8 分，共计50分)(1 )设/(z)=(x,y)+i(x2 +g(y)是 解 析 函 数，且/(0)=0,求g(y),u(x,y),f(z).(2).计算(/dz.其中C是正向圆周|z|=2；(3).计算2Z一 z)Iedz,其中c是正向圆周忖=2；(4).利用留数计算(z _ )(7 _ 2)2 d z。其中c是正向圆周|z|=3；Z(Z2-1)(Z+2)3(5)函数/(z)=一-i在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果(sinz)有极点，请指出它的级.得 分|四、(本题1

14、 2分)将 函 数 在 以 下 区 域 内 展 开 成 罗 朗 级-z(z-1)(1)0|2-1|1,(2)0|z|1,(3)1|z|oo得 分 五.(本 题 10分)用 Laplace变换求解常微分方程定解问题-1 卜 (%)5 y(%)+4 y(%)=必)=火0)=1六、（本 题8分）求/）=6一*（力0）的傅立叶变换，并由此证明:4-00.f costal 冗-/3t力二-+-疗-7 da)=20e 得 分 复变函数与积分变换 期末试题简答及评分标准（B）；-1 填空题（每小题3 分，共计15分）1.上N的幅角是(-工+2 氏次=01,2,)；2.乙 九(一 1 一)的2 4主 值 是(

15、ln2-z)；3.,/c=1,b=1,给出C-R 条件6 分，正确求导给2 分，结果正确2 分。（2）.z（z-l）2 d z-其中C是正向圆周忖=2；解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算,仅给出用前者计算过程因为函数/(Z)=在复平面内只有两个奇点Z1=0,Z2=1,分别以Z|*2(zT)z3dz+z匕(Z T)?Zdz为 圆 心 画 互 不 相 交 互 不 包 含 的 小 圆 C,C2且 位 于 c内1 1dz=z=2 加(，)+2 万 一1 r=0z加吃二。r z%z(3).计 算 力 了 石 d z,其中C是正向圆周忖=2；解：设/(z)在有限复平面内所

16、有奇点均在：回 2 内，由留数定理，十 Jdz=-2m Re s (z),8 =2mc_x-(5 分)1|z|ooIZ%z(1-z)z11-iz-z2 Z1I I I(I H-1-7 H-z 2lz2 3!z7+.-)(1+,+2+二+)z z z7+z+2!3!z4!z2、“1 1)(1+z z1H-7+z311c,=-(1 +1+-+-)=-t 2!3!3心r”)也=一8产(z2-l)(z+2)3(4)函数/(z)=/.八、3 在扩充复平面上有什么类型的奇点?,如果有(sin 庇)极点，请指出它的级./(z)的奇点为z=左，)=0,l,2,3,ooz=k,k=0,l,2,土3,为(sin欢

17、:尸=0的三级零点,z=l,为/(z)的二级极点，z=-2是/(z)的可去奇点,z=0,2,-3,4，为/(z)的三级极点;0 0为了(Z)的非孤立奇点。给出全部奇点给5分。其他酌情给分。|得 分|1四、(本 题14分)将 函 数/(Z)=F-X在以下区域内展开成罗I _|z-(z+l)朗级数；(1)0|z+l|l,(2)0|z|1,(3)l|z|00(1)0|z+l|1,(2)0|z|1,(3)1|z|oo解：当Ov|z+l|(z+1产u (z+1)w=0 n=000f(z)=n(z +l)n2-6 分n=0(2)当0|z|l1 1 Jr=-(-i r 2(Z+1)Z2 M=才(一”一2 一 一I。分n=0(3)当 1 v|z|(0)=0,了(0)=1解：对y(x)的Laplace变换记做L(s),依据Laplace变换性质有s2L(s)-1 +2sL(s)-3L(s)=5 +1整理得s +2L(s)=(5+1)(5-1)(5+4)1 3 1 ,y(x)=-e-A+-ex-e-3 x4 8 8s n 八八i帕-M 六、(本题6分)求r 1+0 0 .%s i n G co s m-dco=lIt2分，T0 2 s i n o=-4C D C D,)=口 3 -5 分=r eiM-d c o%J-8 C D得分