人教版初中数学2020年中考数学题型卷---与圆有关的证明与计算题（含解析）.pdf

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1、与圆有关的证明与计算题一、单选题1.如图，是。的弦，OC_LAB交。于点C,点。是。上一点，ZADC=3 0 ,则 ZBOC 的度数 为（）.B.4 0 C.5 0 D.6 0 2.如图，AB为。的切线，切点为A，连接AO、B O,BO 与。交于点C,延长3。与。交于点连接A O,若 NABO=36，则/A O C 的度数为（）A.5 4 B.36 C.32D.27 3.如图，AA3C是。的内接三角形，NA=119,过点C 的圆的切线交5 0 于点P,则N P 的度数为（）C.29D.6 14 .如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点。是这段弧所在圆的圆心，A3=40加，点 C 是AB的中点,且

2、 CD=10加，则这段弯路所在圆的半径为（）A.25 mB.24/7?C.30 mD.6 0 m5 .如图，点。为扇形。43 的半径08上一点，将 AQ4c沿 AC折叠，点O恰好落在AS上的点。处，且3。：4y=1:3（8 D 表示50的长），若将此扇形。A3 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比C.1:4 D.2:96 .如图，边长为2 6的等边AABC的内切圆的半径为（）D.267 .如图，在位中，Z A B C=90 ，A S=243 B C=2,以4 6 的中点为圆心，物的长为半径作半圆交4。)于点。，则图中阴影部分的面积为（C.2-兀D.4-|8.如图，/比1的内切圆。与 8

3、a C A.4 8 分别相切于点久E、F,且/8=5,B C=13,。=12,则阴影部分（即四边形】明的面积是（）A.4 B.6.25 C.7.5 D.9于点E，/，则下列结论不一定成立的是（）9.如图，A 3是。的直径，C,。是。上的两点，且 平 分NA3D，AO分别与8 C，0 C相交不A.OC BD B.A D 1O C10.如图，在RrAABC中，ZACB=90则图中阴影部分的面积为（）ACOBA-B-r-T二、填空题11.如图，。的两条相交弦A C、3。，A DC.ACEF=A5ED D.AF=FD,NA=30,BC=4,以纤为直径的半圆。交斜边46于点C.1 -D.-TT-y/33

4、 2 3ZACB=ZCDB=60，AC=2 0，则。的面积是12.如图,边长为2 的正方形4 式中心与半径为2 的。的圆心重合，氏 厂 分 别 是 力 的 延 长 与。的交点，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是.(结 果 保 留 万)13.如图，C D 为。的直径，弦 A3 L C。，垂足为E，A B =B F，CE=1,A B =6,则弦A尸的长度为.14 .如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为“，则 勒 洛 三 角 形 的 周 长 为.15 .如图，在平面直角坐标系中，已 知。经

5、过原点0,与x 轴、轴分别交于A、3 两点，点 3 坐标为(0,26)，0c与。交于点C,Z O C A =30,则圆中阴影部分的面积为16 .如图，AB是圆。的弦，O C A.A B,垂足为点C,将劣弧AS沿弦AB折叠交于0C的中点O,若A B =2V 10 -则圆。的 半 径 为.17 .如图，扇形。钻 中，Z A O B =90.P 为弧AB上的一点，过点尸作P C _ L Q 4,垂足为C,P C与 A B交于点。，若 P D =2,CD=1,则该扇形的半径长为18 .如图，在圆心角为90 的扇形Q钻 中，O B =2,P 为 AB上任意一点，过点尸作于点E,设M为 aOP E的内心，

6、当点P 从点A运动到点3 时，则内心M所经过的路径长为19.如图，N AO3 =90,Z B=30 ,以点。为圆心，。4为半径作弧交AB于点A，点C，交 OB于点。,若 Q 4 =3,则阴影部分的面积为_.20 .如图，在扇形/仍中，N AQB=120，半径必交弦用于点，且 OCL Q4.若 0A=2耳,则阴影部分的面积为DB三、解答题21.如图，A A B C内接于。，直径AD交 于 点 反 延 长 至 点E使D F =2 O D ,连接F C并延长交过点4的切线于点G且满足A G/A B C,连接0C,若COS/A 4 C =L,B C =6.3(1)求证：N C O D =N B A C

7、；(2)求。的半径0C；(3)求证：CF是。的切线.22.如图，心A 4 8 C内 接 于。，4。8 =90。,8。=2.将斜边48绕点4顺时针旋转一定角度得到4，过点。作O E _ L A C于点E,NO A E =NA B C,O E =1,连接。交。于点F.(1)求证：是。的切线；(2)连接F C交A8于点G,连接F B求证：FG?=GO GB.2 3.如 图 1,有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心。(保留作图痕迹，不写做法)如图2,设A 3是该残缺圆。的直径，C是圆上一点，N C钻的角平分线AO交。于点0，过点。作。的切线交AC的延长线于点E.(1)求证：AEL DE-,(2)若力E=

8、3,A C =2,求残缺圆的半圆面积.图图2 4.如 图 1,已知。外一点尸向。作切线为，点 4 为切点，连接P0并延长交。于点8,连接/。并延长交。于 点 C,过 点 C作CDL P B,分别交外于点区 交。于点。，连接图1图2(1)求证：力 2?(2)如图2,当A P =AO时求N P 的度数;连 接 在。上是否存在点0 使得四边形/觞是菱形.若存在，请直接写出鬻的值；若不存在，请说明理由.2 5.四边形ABCD是。的圆内接四边形，线段A 6是。的直径，连结AC、8 D.点H是线段BD上的一点，连结A”、C H,且ZACH=NCBD,AD=CH,8 4的延长线与CO的延长线相交与点P.(1

9、)求证：四边形ADC”是平行四边形；(2)若 AC=BC,PB=4PD,AB+C=2(不+1)求证：ADHC为等腰直角三角形；求C”的长度.26.如图，点/是A4BC的内心，B I的延长线与AABC的 外 接 圆。交于点。，与AC交于点E,延长CD、BA相交于点口，NADF的平分线交4尸F点G.A G(1)求证：DG CA；(2)求证：AD=ID；(3)若。石=4，BE=5,求8/的长.2 7.如图，在矩形A 8 C O中，C D =2,A Q =4,点P在上，将A A B P沿AP折叠，点3恰好落在对角线AC上的E点.。为AC上一点，。经过点A，P.（2）在 边 上 截 取C=CE，点F是

10、线 段 的 黄 金 分 割 点 吗？请说明理由.2 8 .宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务.图是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图是其示意图，其 中 都 与 地 面/平 行，车轮半径为3 2 c m,N 5 C Q =6 4。，3 c =6 0 c 7,（1）求坐垫E到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫E到 8的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适.小明的腿长约为8 0 c m,现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置E ,求 的长.（结果精确到 0.1c m,参考数据：s in 6 4 0.9 0,c os 6 4 0.4 4,t a n 6 4 2.0 5 ）2 9

11、.（材料阅读）：地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中 的。）.人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”）,尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直.站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角a的大小是变化的.（实际应用）：观测点A在 图1所示的。上，现在利用这个工具尺在点A处测得a为3 1,在点A所在子午线往北的另一个观测点3,用同样的工具尺测得a为6 7 .PQ是。的直径，P Q V O N.(1)求N P O 3的度数:(2)已知O P =6 4（

12、X）觊，求这两个观测点之间的距离即。上AB的 长.（乃取3.1）3 0.如图，A、B、C、D、E是。上的5等分点，连接A C、C E、E B、B D、D A,得到一个五角星图形和五边形M N F G”.(1)计算N C 4 D的度数;(2)连接4E，证明：A E =M E；求证：ME2=BM BE-GD与圆有关的证明与计算题一、单选题1.如图，A 8是。的弦，OC_LAB交。于点C,点。是。上一点，ZADC=3 0 ,则ZBOC的度数 为（）.A.3 0 B.4 0 C.5 0 D.6 0【答案】D【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出/的小/曲=/况；得 出 是 等 腰 三

13、角形，得出/6戊三/彼6 0 即可.【详解】解：如图，v ZADC=3OP,：.ZAOC=2ZADC=60.是。的弦，OC_LA5交。于点C,AC=BC-：.ZAOC=N3OC=60.【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明AC=80.2.如图，AB为。的切线，切点为A，连接AO、BO,BO与。交于点C,延长3。与。交于点连接A O,若4 480=36，则/A ZX?的度数为（）BA.5 4 B.3 6 C.3 2 D.2 7【答案】D【分析】由切线性质得到N A O B,再由等腰三角形性质得到NQ4=N O D 4,然后用三角形外角性质得出 NADC【详解】切线性质得到ZR4O=90。.-.Z

14、AOB=90-36=54QOD=OA：.ZOAD=ZODAQ ZAOB=ZOAD+ZODA:.ZADCZADO=2T故选【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键3.如图，AA3C是。的内接三角形，NA=119,过点C 的圆的切线交5 0 于点P,则N P 的度数为（）【答案】AC.29D.61【分析】根据题意连接笫 ACO尸为直角三角形，再根据况的优弧所对的圆心角等于圆周角的2 倍，可计算的NCO尸的度，再根据直角三角形可得N尸的度数.【详解】根据题意连接戊：因为NA=119。所以可得6。所对的大圆心角为ZBOC=2x119=238因为划为直径，所以可得NC

15、OD=238-180=58由于ACOP为直角三角形所以可得 NP=90-58=32故选4【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2 倍.4.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点。是这段弧所在圆的圆心，A B =4 0 m,点。是A 8的中点,且C D =1 0 z,则这段弯路所在圆的半径为（）【答案】A【分析】根据题意，可以推出/吐劭=2 0,若设半径为r,则 阳=7-1 0,O B=r,结合勾股定理可推出半径r的值.【详解】解：O C A B,A D -D B 2 0 m,在 中，=0 0 2+4。2设半径为r得：r2=（r-1 0）2+2 02,解得：r=2 5

16、 m .,这段弯路的半径为2 5机故选：A.【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出如、OB的长度.5.如图，点C为扇形Q 4 5的半径0 6上一点，将A。4 c沿AC折叠，点。恰好落在A B上的点。处，且【详解】解：连接0。交 于B D :AD=1:3（8。表 示 的 长），若将此扇形O A 8围成一个圆锥,为（）0DA.1:3 B.1:乃 C.1:4 D.2【答案】D【分析】连接勿，求 出/必，利川弧长公式和圆的周长公式求解即可.则圆锥的底面半径与母线长的比:9由折叠的知识可得：0M=,。4,Z0MA=90，2NQ4M=30，ZAOM=60.且

17、 8。：A。=1:3，：.ZAOB=SO设圆锥的底面半径为r，母线长为/，：.r:l=2:9.故选：D.【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.6.如图，边长为2G的等边 A B C 的内切圆的半径为（）【答案】A【分析】连接加、C O,8 的延长线交M T 于，如图，利用内心的性质得/平分乙完4 40 平分N B A C,再根据等边三角形的性质得/。田6 0 ,C H LA B,则N O f=3 0 ,A H-B H=-A B=3,然后利用正切的定义计算2出 0/即可.【详解】设 AABC的内心为0,连接加、B 0,的 延 长 线 交 于 ，如图，；AA8

18、C为等边三角形,平分4 c 4,加 平 分 N S 4 C,Y AABC为等边三角形,/.ZCAB=60.CH AB.N Q 4 =3 O，A H =B H =A B =/,2O H在 R t A A Q H 中，/t a n Z O A H -=t a n 3 0 ,A H0 =正 x 百=1,3即AABC内切圆的半径为1.故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了等边三角形的性质.7.如图，在中，/除 9 0，/庐2 百，陷 2,以4?的中点为圆心，物的长为半径作半圆交/C于点则图中阴影部分的面积

19、为（)A 5#)71A.-4 2B”C.2 g-兀D.4丛*【答案】A【分析】连接切,过 点。作OH LA C,垂 足 为H,则有4 =2 4/,NA H O=90 ,在 族 4 8。中，利用N4的正切值求出N片3 0 .继而可求得OI L z f 长，根据圆周角定理可求得/8 8=6 0 ,然后根据S 研=必做-8”版S非於进行计算即可.【详解】连 接OD,过 点。作OH V A C,垂 足 为H,则有 4 9=2 4 ，/A H O=90 ,B e 2在欣4 胸 中，/月 除 9 0。，A B=2也，B(=2,t an/4=A B 2G 3r.Z J=3 0 ,.0/-0 A=,A lf-

20、A Oco sZ A=x,Z B OC=2Z A=60 ,2 2 2 2.49=243,S网影=Ss制S酿箔g o产_ x260万 x(6)5A/3 7t3604 2故选40B【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.8.如图，的内切圆。0 与比；。、4?分别相切于点以E、F,且 4 5=5,比=1 3,。=1 2,则阴影部分（即四边形/丽的面积是（）A.4 B.6.2 5 C.7.5 D.9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断/6 C为直角三角形，且/劭 小 9 0 ,继而证明四边形力助 为正方形，设。的半径

21、为r,利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】；心 5,陷 1 3,0 4=12,:.AE+AC=BC,二成为直角三角形，且/协 U 9 0 ,为4 8。内切圆，吩/4 梦 9 0 ,且二四边形力陟为正方形，设。的半径为r,：.OE OF-r,S四 边 彩M*12,连接/。，B O,C O,EADS MH+5zi,ia+S BOI；：.(A B +AC+BC)r=A B AC,.尸2,S网边心林：后 产=4,故 选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.9.如 图，AB是。的直 径，C,D是。上的两点，且8 C平 分N

22、A8O，AO分 别 与BC，0 C相交于点、E，F，则下列结论不一定成立的是()【答 案】C【分 析】A D 1 0 CC.ACEF ABED D.AF=FD由圆周角定理和角平分线得出NA)B=90，ZOBC=Z D B C,由等腰三角形的性质得出NOCB=Z O B C,得 出NDBC=NOC5,证 出0 c BD,选 项A成立；由平行线的性质得出A D 1 0 C，选 项8成 立；由垂径定理得出AF=D，选 项D成立；ACEF和ABED中，没有相等的边，ACEF与ABED不全等，选 项，不成立，即可得出答案.【详 解】:A B是。的直 径，B C平分NABD，二 ZAZ)3=9()，/O

23、B C =ZD BC,二 AD1BDB=6O，AC=2 6,则。的面积是AD少【答案】4K.【分析】由NA=N 30C，而NACB=NCr5=60，所以NA=NACB=60，得到八4 c s为等边三角形，又AC=2 G，从而求得半径，即可得到。的面积.【详解】解：NA=/BOC,而 ZACB=ZCDB=60，/ZA=ZACB=60，/.AACB为等边三角形，AC=2百，.圆的半径为2,二。的面积是4兀，故答案为4Tl.【点睛】本题考查/圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大.12.如图,边长为2的正方形/腼中心与半径为2的。的圆心重合，反 尸 分 别 是 劭 的 延 长 与。的交点

24、，则 图 中 阴 影 部 分 的 面 积 是.(结果保留力)【答案】万一1【分析】延长G C8交0 0于M,N,根据圆和正方形的面积公式即可得到结论.【详解】解：延长式1,CB交0 0于 他N,则图中阴影部分的面积=X(S.4 1rSi i.m)=X(4-4)=-1,4 4故答案为：Ji-1.【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键.1 3.如图，CD为。的直径，弦垂足为E，A B =B F，C E=l，A B =6,则弦A尸的长度为.【分析】连接Q 4、0 B,0 5交A尸于G,如图，利用垂径定理得到A E =3 E =3，设0的半径为r,则OE =

25、r 1，=r ,根据勾股定理得到32+(r-l)2=产，解得厂=5 ,再利用垂径定理得到O B Y A F,AG FG，则A G 2 +OG 2=5 2,A G?+(5 0 G =6?,然后解方程组求出AG，从而得到A尸的长.【详解】连接。4、O B，0 B交AETG,如图，,/A B L C D,：.A E =B E -A B =3,2设。的半径为厂，则OE =r 1，0 A =r,在H A Q 4 E中，32+(r-l)2=r2,解得r =5,A B =B F，:.0 B LA F,A G F G,在 R/A Q 4 G 中，A G2+O G2=52.在用A A B G 中，A G2+(5

26、-OG)2=62,解由组成的方程组得到A G =y ,4 8/.A F 2 A G .54 8故答案为二.【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.也考查了垂径定理.1 4 .如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为。，则 勒 洛 三 角 形 的 周 长 为.【答案】兀 a【分析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，计算弧长即可.【详解】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为：如 普 =:7i

27、a.180 3则勒洛三角形的周长为：；7t a x 3=7ra.故答案为：兀a.【点晴】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.15 .如图，在平面直角坐标系中，已 知。经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、5两点，点3坐标为（0,2百），O C 与 D 交于点C,Z O C A 30,则圆中阴影部分的面积为一,【答案】2乃一26【分析】由圆周角定理可得N O 8 4 =N C =30,在位加 中，利用解直角三角形求出/、4?的长，然后根据S阴=S ,幺制求解即可.【详解】连接A B,Z A O B=9 0 ,/.AB是直径，根据同弧对的圆周角相等得NOBA=NC=30，/OB=2 也,A OA

28、=OB tan ZABO=OB tan 300=273=2.AB=AO+sin30=4,即圆的半径为 2,3S阴影=S半圆-S A A B O=-2-x 2 x 25/3=2%-.【点睛】本题考查了：同弧对的圆周角相等；9 0的圆周角对的弦是直径；锐角三角函数的概念;圆、直角三角形的面积分式.熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.16.如图，A8是圆。的弦，OC_LA3,垂足为点C,将劣弧A8沿弦AB折叠交于OC的中点。，若【答案】3亚.【分析】连接以，设半径为x,用 x 表示在；根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果.【详解】解：连接力，设半径为x,将劣弧AB沿 弦 折 叠 交 于 外 的中点

29、D,：.OC=-x,O C 1A B，3:.AC=-A B =y/0,2O A2-C C2=A C2.2f 一 （铲）2 =1（）,解 得,X=3A/2.故答案为30.【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程.1 7.如图，扇形QW中，Z A O B 90.P为弧A 3上的一点，过点尸作P C _L O 4,垂足为C,P C与A B交于点。，若P D =2,CD=1,则该扇形的半径长为B【答案】5【分析】连 接8，设半径为八 在直角三角形仅了中利用勾股定理将S 用r表示，得到/C,又有/3/仍，利 用 生=生，解出r即可A O B O【详解】连

30、接0 R设 半 径 为 八 则 小 此 施=八POP及CD=3,在直角三角形OCP中,O C2+P C2=O P2.即 得 如=-9,得 到。仁J/-9得到J r?-9，又 易 知 /冲 仍，所以-=-,即.=,A O B O 得到 _,产 _9 =1，解出尸5；故填5B【点睛】本题主要考查勾股定理及相似三角形的证明与性质，本题关键在于能够连8,表示出1 8.如图，在圆心角为90。的扇形（MB中，O B =2,P为A 8上任意一点，过点P作 尸后，。3于点E,设M为A O P E的内心，当点P从点A运动到点8时，则内心M所经过的路径长为【答案】旦兀2【分析】以0 B为斜边在0 B的右边作等腰R

31、tP OB,以P为圆心PB为半径作。P,在优弧OB I二 取一点/，连接“3，HO,BM.M P.求出 NQMP=135，证AOMB三 QMP(S4S),得/。闻8=/0M尸=135，由/+/0苗8=180，证0必6 四点共圆，故点M的 运 动 轨 迹 是，由弧长公式可得.【详解】如图，以0 8为斜边在0 8的左边作等腰R/AP OB，以P为圆心P力 为半径作。尸，在优弧08A ZPEO=9Q，点M是内心，NQ例P=135，：OB=OP、/M 0B=ZM 0P，0M=0M,：.bOMB=kOMP(SAS),ZOMB=40M p=135，ZH-Z B P O 45,2，NH+NOMB=180，。

32、,民 四点共圆，.点M的运动轨迹是0 8，内心”所经过的路径长=。兀/=显兀,180 2故答案为1力.2【点睛】本题考查了弧长的计算公式：7=丝 鸟，其中/表示弧长，表示弧所对的圆心角的度数.同时1 8 0考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质.1 9.如图，ZAOB=90,Z S=3 0。，以点。为圆心，Q 4为半径作弧交A B于点A，点。，交0 8于点0,若。4 =3,则 阴 影 部 分 的 面 积 为.3【答案】一74【分析】根据题意连接6c可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧4 c所对的阴影部分面积等于弧力 所对圆心角的面积减去

33、A Q A C的面积，而不规则图形砥?的面积等于A O B C的面积减去弧%所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.【详解】解：根据题意连接汇OA=OC,ZOAB=9 0 NB=9 0 -3 0 =6 0.A4 C。为等边三角形:.ZAOC=6C)阴影部分面积 1=-X TV X32-X3X3COS30=7U 3 6 0 2 2 4 阴影部分面积 2-l x 3 x-x -x 32=-2 2 3 6 0 4 43 阴影部分面积二阴影部分面积1+阴影部分面积2冗43故答案为一)4【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.2 0.如图，在扇形/如中，N A O 8 =1 2

34、 0，半 径O C交弦力6于点。，且O C _ L Q 4.若Q 4 =2g，则阴影部 分 的 面 积 为.O【答案】加+兀【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是A A O。的面积与扇形如C的面 积 之 和 再 减 去 的 面 积，本题得以解决.E解：作于点凡在扇形 缈中，4 4 0 8 =1 2 0，半径 宓交弦 仍 于 点。，且O C _L Q 4.O A=26，.Z AO。=9 0，Z B O C =9 0 .O A =OB,：.N 0 A 8=/O B A =3 O ，=O A-ta n 3 0 =2 V 3 x =2.A D =4,AB =2 AF =2

35、 x 2 /3 x =6 O F=632;.B D=2,阴影部分的面积是：SMOD+S扇 形0 8 c-SR B D O=2垦2 +3 0 X 4(2 -_ 2x y/3=石 +万，LSA U UW i/I C/o C IS DU U 2 3 6 0 2故答案为：/3+71-【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.三、解答题2 1.如图，A 4 3 C内接于 0,直径A O交BC于点反 延长A。至点凡 使 DF=2 O D ,连接F C并延长交过点1的切线于点G,且满足A G/B C，连接0C,若co s/8 AC =g,BC=6.(1)求证：N CO

36、 D=N BAC；(2)求。的半径0C；(3)求证：CE是。的切线.【答案】（1）见解析；（2）。的半径。为 弁；（3）见解析.【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理，结合题意进行计算，即可得到答案;（2）根据三角函数性质，得到/+3 2=9/，从而得出答案；（3）根据相似三角形的性质进行计算，即可得到答案.【详解】解：（1）；AG是。的切线，AO是。的直径，二 NGAF=90.；AG/BC,：.AEBC,二 CE=BE,/.ZBAC=2ZEAC,/ZCOE=2ZCAE,：./COD=/BAC；（2）V ZCODZBAC，OE 1二 cos ABAC=cos ZCOE=,OC 3.设O=x

37、，0C=3x,BC=6,：.CE=3,：CEAD,二 OE2+CE2=OC2，x2+32=9x2 9-（负值舍去），827OC=3x=,827。的半径OC为一；8（3）,:DF=2 0D，二 O F=3 O D =3OC,.Q E _ PC _ 1,6 c-OF-3 :N CO E=/FO C，：.COES.O E ,ZO CF=ZDEC=9C l.CF是。的切线.【点睛】本题考查平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质.2 2.如图，RtM BC内接于。，Z A C B=9 0 ,BC=2.将斜边AB绕点A

38、 顺时针旋转一定角度得到AD，过点。作 DE_ LA C于点=连接。交。于点（1）求证：A O是。的切线；（2）连接尸C交 A 6于点G,连接F B求证：F G?=G 0 G B.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点。在 4?上，48为 直 径,故 只 需 证 即可.由 N/L 夕仆/为俏9 0 和N Z M 氏/8 C 可证得N底 N曲年90 ,而 、/、C 在同一直线上，用 1 8 0 减去 90 即为/例氏90 ,得证.（2）由（1）利用勾股定理得出A 3 =百，公 积 金 图 形 得 出ABCA，可知 名=丝=匹=2叵,AD DO

39、 AO 5即可得到八4 6。人。40,再根据相似三角形的性质得到NEG0=N8Gr,又因为A F G。ABGF,即可解答【详解】（1）证明：.,N D 4 =ZA8C且 NABC+NC4B=90 ZEAD+ZCAB=90 NZMB=90 AO 为0的半径.A。为。的切线（2）证明：由知N D 4 8 =90。AC=BC=2 AB=#）由模型可知，AAED BCA AD=y/5：AO=DO=-2 2AE AD DE 2 7 5ADDOAO5:./SABD-M）AO：.ZEBD=ZADO：.AE UDOZACF=ZCFO=ZABFNFGO=/BGF:.FG O-BG FFG GOBGFG.FG2=

40、GOGB【点睛】此题考查三角形相似，圆切线证明，解题关键在于证明2 3.如 图1,有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心0 （保留作图痕迹，不写做法）如图2,设A3是该残缺圆。的直径，C是圆上一点，N C钻的角平分线A ）交。于点。，过点。作。的切线交AC的延长线于点E.（1）求证：A ELD E；（2）若DE=3,A C =2,求残缺圆的半圆面积.【答案】图1做图题作法：详见解析；图2解答过程：（1）详见解析；（2）5 n【分析】作弦P Q,TS，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点。即为圆心.（1）连接。交于由切线的性质可得OOLOE,然后证明。D A E即可；（2）首先证明四边形CEDH

41、是矩形，然后求出比；再利用勾股定理求出四即可解决问题.【详解】解：图1做图题作法：在残缺的圆上取两条不平行的弦PQ和TS；以点P为圆心大于PQ-半长为半径在PQ两侧作圆弧；以点。为圆心，同样长的半径在尸。两侧作圆弧与中的圆弧交于M ,N两点；作直线M N即为线段PQ的垂直平分线：以同样的方法做线段TS的垂直平分线LK与直线MN交于点0即为该残缺圆的圆心.图2解答过程：(1)证明：连接8 交于”;DE为。的切线OD1DE平分 NC4B二 ZCAD=ZDAB：OD=OA二 ZDAB=ZODA=ZCAD：.OD/AE AELDE(2)解:是。的直径二 ZACB90：OD/AE:.8 八 BC:.BC

42、=2CH,四边形CEO”为矩形:.CH=ED=3BC=6：AC=2/.AB=2 西 A O=MS半圆=；万AO2=5兀【点睛】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.2 4.如 图 1,已知。外一点户向。作切线为，点力为切点，连接0。并延长交。于点6,连接4。并延长交。于点G 过 点 C作分别交阳于点色 交。于 点 连 接 A9.图1图2(1)求证：4Y%!；(2)如图2,当4 5 =4 0 时求N P 的度数；连接4 8,在。上是否存在点。使得四边形44将是菱形.若存在，请直接写出鬻的值；若不存在，请说

43、明理由.【答案】(1)见解析；(2)NP=3()；存在，詈【分析】(1)由切线性质和宜径1 可得/P A O =/C D A =9 0 ,由PB AD可得NPOD=/C A D，即可得：A P 0-DCA；(2)连接如，由AD=OA=OD可 得 是 等 边 三 角 形，由此可得NTOA=60，N P=30；作BQ L A C交。于 0,可证4以火为菱形，求富 可 转 化 为 求.【详解】(1):巴 切。于点4 4C是。的直径,/.4 A O =/C D A =90。，,/C D 1PB,./C E P=90。，二/C E P =/C D A,PB AD,PO A =/C A O,APO DCA

44、，(2)如图2,连 接0 D,.AD=AO,OD=A O，.OAD是等边三角形，NOAD=60.PB AD./.PO A =/O A D =60,V PA O =90，4=90。PO A =90。60。=30.存在.如图2,过点8作BQ AC交。T Q,连接P Q,B C,C Q,由得：NPOA=60，/P A O =90，4 0 c =PO A =60。，OB=OC,二 /A C B =60。，/B Q C =/B A C =30。，BQ AC,CQ=BC,BC=OB=O A，CBQg OBA(AAS)BQ=ABNOBA=NOPA=30。:.AB=AP.:.BQ=AP,/PA_LAC,BQA

45、P,二四边形48仍是平行四边形，,/AB=AP.四边形/戚是菱形，PQ=AB,/.=tan/ACB=tan60=6 ,CQ BC图?【点睛】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等.2 5.四边形ABC。是。的圆内接四边形，线段A3是。的直径，连结AC、3 D.点”是线段3。上的一点，连结AH、C H,且NACH=NCBD,AO=CH,8A的延长线与CD的延长线相交与点尸.(1)求证：四边形ADCH是平行四边形;若 A C =BC,PB=&口,AB+CD=2(V5+1)求证：ADHC为等腰直角三角形；求C”的长度.【答案】

46、(1)见解析；(2)见 解 析;=【分析】(1)由圆周角的定理可得 B C =ND4C=NACH,可证4)/C B，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形A D C H是平行四边形：(2)由平行线的性质可证NADH=NCHD=9()，由NCDB=NC45=4 5 ,可证AOHC为等腰立角三角形；通过证明AAOPS A CB P,可得竺=竺，可得且4 =J=,通过证明ACHOS A4c5,可得B C P B B C,5C D C H I,可得AB=J5C，可求8=2,由等腰直角三角形的性质可求CH的长度.【详解】证明：（1）/N D B C =Z D A C,Z A C H =N

47、C B D ,：.A D A C =Z A C H.:.A D/C H，且 AD=C”，四边形ADCH是平行四边形,(2)：A8是直径,；.ZACB=90=ZADB，且 AC=BC,NC4B=NABC=45。，二 NCD3=NC4B=45。，AD/CH，；./ADH=NCHD=90。，且，ZCDB=45：.NCDB=NDCH=45。,:.CH=DH，且 NCHD=90。,：.ADHC为等腰直角三角形；.四边形A6CD是。的圆内接四边形，:.ZADP=/P B C，且 NP=NP，二 M D P s、CBP,AD PD.且,PB=1r5 PD、BC PBAD 1k而 AD3CH _ 1,京 忑：

48、4CDB=ZCAB=45,ZC/D =ZACB=90,.CH D ACB,CD CH 1ABBC45*.AB=后CD，；A5+CO=2(后+1),.V5CZ)+CD=2(75+1),.8 =2,且A0HC为等腰立角三角形,-CH=41,【点睛】本题是圆的综合题，考查J圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求 的 长 度 是 本 题 的 关 键.26.如图，点/是AABC的内心，B I的延长线与AABC的外接圆。交于点。，与AC交于点E,延长 8、8 4相交于点/，NADR的平分线交A尸于点G.（2）求证：A D=I D；（3）若。E=4，B E =5,求3/的长.

49、【答案】（1）详见解析；（2）详见解析：（3）3【分析】（1）根据三角形内心的性质得N2=N 7,再利用圆内接四边形的性质得NADF=NABC，则N1=N 2,从而得到N1=N 3,则可判断。G A C；（2）根据三角形内心的性质得N5=N6，然后证明Z4=Z D A I得到D A =D I；（3）证明AZME AZ出4,利用相似比得到AD=6,则 /=6,然后计算3。一。/即可.【详解】（1厂点/是AABC的内心，N2=N7,:OG 平分 NADF，:.Z1=-ZAF,2 Z A D F =Z A B C,：.Z1=Z2.N3=N2,N1=N 3,：点/是AA8C的内心，N5=N 6，N4=

50、N7+Z5=N3+N6,即 N4=NZM7，*.D A =DI-.：N3=N7,ZAD EZBD A,：/DAE/DBA，：.AD:DB=D E:D A,即 AD:9=4:A D，AD=6，DI-6,BI=B D-D I=9-6 =3.【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.2 7.如图，在矩形ABC。中，CD=2,AD=4,点P在3 C上，将ZVLBP沿A P折叠，点3恰好落在对角线AC上的E点.。为AC上一点，。经过点A，P.（1）求证：是。的切线；（2）在边CB上截取CF=C E,点/是 线