《大学物理学》第1-6章课后习题解答.pdf

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1、大学物理学习题答案习题一答案习题一1.1简要回答下列问题：(1)位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？(2)平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？(3)瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？(4)质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？(5)凶|和公网有区别吗？毋|和问有区别吗？牛=0和 粤=0各代表什么运动？(6)设质点的运动方程为：x =x(f),y =)，)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出 二后守，然后根据而求得结果；又有人先计算速度和

2、加速度的分量，再合成求得结果，即你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？(7)如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？(8)“物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零这种说法正确吗？(9)任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？(10)质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，a“、a,、a 三者的大小是否随时间改变？(11)一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？1.2 一质点沿x 轴运

3、动，坐标与时间的变化关系为x =4 f-2，式 中 分 别 以?、s 为单位,试 计 算：(1)在最初2 s 内的位移、平均速度和2 s 末的瞬时速度：(2)l s 末到3 s 末的平均加速度：(3)3 s 末的瞬时加速度。解：(1)最初 2 s 内的位移为为:A r =x(2)-x(0)=0 -0 =0(m /.v)最初2s内的平均速度为：匕y e =0(?/S)加 t 2dxf时刻的瞬时速度为：v(0 =4-4 rdt2 s末的瞬时速度为：v(2)=4 4 x 2 =4 m/s(2)I s末到 3 s末的平均加速度为：aA v v(3)-v(l)-8-0 ,ave=-4/n/51 2(1)

4、当4一=0,即f =2 s时，到达x轴。(2)f =2 s时到达x轴的位矢为：7(2)=12：A r 2 2(3)3 s末的瞬时加速度为：a=(4 0=-4(/n/?),dt dt41.3 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为&，质点出发后，每经过7时间，加速度均匀增加。求经过f时间后，质点的速度和位移。解：由题意知，加速度和时间的关系为bQ=4-1T利用d v =a力，并取积分得J d u 4 4 t dv,V C lQt H-1o o l r J 2T再利用d x =u d f,并取积分 设，=0时4=0 得rI dz x=jI vd t f ZAk x =1 cit 2 H-b-13

5、J*2 6 ro1.4 一质点从位矢为r(0)=4 7的位置以初速度v(0)=4；开始运动，其加速度与时间的关系为)=(3，);2；.所有的长度以米计，时间以秒计.求：(1)经过多长时间质点到达X轴；(2)到达x轴时的位置。解：/0)=(0 风)力=(4 +3产，)，产”)=()+卜力=(今+；力+(4一%即质点到达x轴时的位置为x=12m,y=0。1.5 一质点沿x轴运动，其加速度与坐标的关系为。=-啰2工，式中口为常数，设f=0时刻的质点坐标为X。、速度为%，求质点的速度与坐标的关系。解：按题意 r=02%力2由此给出由此有2 dx dv dv dx dv-co x=-=v ,dt dt

6、dx dt dx即vdv-co1 xdx,两边取积分vdv=-co1 1 xdx,*o%得-jV2-YVQ=-CO2X2/2/；_ /2v=OJA2-X2,A2=+x：1.6 质点的运动方程为尸(f)=:+4/7 +房，式中厂，f分别以加、s为单位。试求：(1)质点的速度与加速度；(2)质点的轨迹方程。芯 _ _ rlv解：(1)速度和加速度分别为：v=(8r)7+.=8；dt dt(2)令 广=x；+行+zE，与所给条件比较可知x-l,y-4 t2,z-t所以轨迹方程为：x=l,y=4z?。1.7 已知质点作直线运动，其速度为v=3 f-(?父|),求质点在0 4 s时间内的路程。解：在求解

7、本题中要注意：在0 4 s时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出4 4现往返。如果计算积分J?力，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分JM小。0 0令以=3/一/=0,解得f=3s。由此可知：f 0,|v|=v；f=3 s时，v=0；而E 3s时，u,可 得y =监.2 v1.12如 题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为八，速率为V,一艘速率为“v的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为 =红三 匚；快艇截U住这条船所需的时间为t=.uylv2-u2习题1.12图证明：在如

8、图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为/=X +C O S 0 ty2=usind-t拦截条件为：X.=x9 即vt=x+u cos 0-t%=y2 D=usn0-t所以D(v-wcos)usindx取最大值的条件为：dxldO=0,由此得至ijcose=/u,相应地sin6=。因此x的最大值为Dyv2-U2X=-UX取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为D _ Dvusin 0“J/_.2习题二答案习题二2.1 简要回答下列问题：(1)有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？(2)物体的运动方向与合外力方向是否一

9、定相同？(3)物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？(4)物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？(5)物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？(6)为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？(7)合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？(8)质点的动量利动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明.(9)判断下列说法是否正确，并说明理由：(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒.(c)只有保

10、守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.(1 0)在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？(1 1)放焰火时，朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？(忽略空气阻力)2.2 质量为机质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力b =-八(%为常数)作用,=0 时质点的速度为%,证明：(1)t时刻的速度为v =vnek,/m；(2)由 0到f 的时间内经过的距离为x=(znv0/Z:)-l-e 一 切 ；(3)停止运动前经过的距离为加%/k。证明：d v d v k(1)由m a =m =F =kv分离变量得=-力，积分得

11、d t v m生=4 ,=v =v”“。v 力 m v()mx=卜力=%小 力=竺。1-1加)J N k(3)质点停止运动时速度为零，即f f 8,故有x =vQe-kd t=妙o2.3 一质量为1 0 k g的物体沿x轴无摩擦地运动，设，=0时，物体的速度为零，物体在力尸=3 +4 N）（t以s为单位）的作用下运动了 3 s,求它的速度和加速度.解.根据质点动量定理，3 3F d t=mv-；7?v0,J（3 +4 f）力=mv0 0 3 f +2 j ；3 x3 +2 x3 2 -Kv =-也=-=2 1 （ms 1）m 1 0根据牛顿第二定律，F=m aF 3 +4/1 3 +4 x3

12、,-r1,则瓦=一机环，=一相环+声力于是 酝2 =万-A)=酝同理，这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理.同上理，两种情况中的作用时间相同，即/=卜1 0 +2。力=1 0，+1令 1 0 7 +产=2 0 0,解得f =1 0 s。2.7 一小船质量为1 0 0 k g,船头到船尾共长3.6 m。现有一质量为50 k g的人从船尾走到船头时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。X!-L-：:q ：s人 ；s船 ：习题2.7图解：由动量守恒 M船匕船一，人u人=0又5船=1V船s人;卜

13、人八性/叩5船,曲 山m人 人如图，船的长度所以L=S船+s人S船L _ 3.6,%=,0 01 +1 +m 人 50=1.2 m即船头相对岸边移动S船=1.2机Hn2.8质量m=2 k g的质点，从静止出发沿X轴作直线运动，受力尸=(1 2 f);(N),试求开始3 s内该力作的功。解A =j F*d x -()d x =j (1 2 叫)力而匕=匕。+14力=1-d t=3 力=3-所以A=1(1 2卜3 /=(3 6/力=?=7 2 9(J)4 n2.9 一地下蓄水池，面积为s =50/,水深度为1.5加，假定水的上表面低于地面的高度是5.0机，问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少？Od

14、 y习题2.9图解：建 坐 标 如 习 题2.9图，图中小 表示水面到地面的距离，力表示水深。水的密度为p=1 03 k g I ni,对于坐标为y、厚度为d y的一层水，其 质 量=将此层水抽到地面需作功d A=d mg y=p sg yd y将蓄水池中的水全部抽到地面需作功4 =dA=14 Psg yd y=g p sg 仇 +%)：=%gW+2M)=1 xl 03 x 5 0 x 9.8x(1.52+2 x 5.0 xl.5)=4.2 3 xl 06(J)2.9炮弹质量为 加，以速度D飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药使弹片增加的动能为T，且 一 块的质量为另一块质量的七

15、倍，如两者仍沿原方向飞行，试证其速率分别为 v +j 2&T/w，v-y/lT/k m证明：设一块的质量为明，则另一块的质量为m2=k m o利用4 +m2=m,有m k m1 k+1-k+1又设叫的速度为匕，加2的速度为为，则有n r 1 2,1 2 1 2T =mv +W2V2 2，n v+mv2=mv 动量守恒联立、解得V +k v2=(k+l)v ,%=(k +l)v -k v2联立、解得2Tk m(v2 v)2,于是有匕将其代入式，有=(Z:+)v-k v 又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行，、M1时只能取2.1 0 一质量为m的子弹射入置于光滑水平面上质量为M并与劲度系数为k的轻弹

16、簧连着的木块后使弹簧最大压缩了 L,求子弹射入前的速度.习题2.1 0图解：子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞，时间极短，木块获得了速度,尚未位移，因而弹簧尚未压缩.此时木块和子弹有共同的速度W，由动量守恒，M）4=mv0此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒,+A/）v；=；kl3由两式消去匕，解出得v0=J k（m+Mm v2.11质量机的物体从静止开始，在竖直平面内沿着固定的四分之一圆周从A滑到8。在8处时，物体速度的大小为以。已知圆的半径为R，求物体从A滑到8的过程中摩擦力所作的功：（1）用功的定义求；（2）用动能定理求；（3）用功能原理求。习题2.11图解 方法

17、一：当物体滑到与水平成任意6角的位置时，物体在切线方向的牛顿方程为mg cos3-f =ma,=m-f -mg cos 0+m dt注意摩擦力不与位移”尸反向，且I沂l=R d6,因此摩擦力的功为Af=-1)mg cos 0Rd 0+m dt-mgR cos 0d0+m vdv=-mgR+；mv；方法二：选 加 为研究对象，合外力的功为A=mg+f +N-dr考虑到/N d尸=0,因而/7 2A-Af+J/”gcos 0-1 dr 1=Af+mgR cos 0d0-Af+mgR1 ,一由于动能增量为纥=o，因而按动能定理有1 2 1 2Af+mgR=mvB,Af=-mgR+mvB。方法三：选物

18、体、地球组成的系统为研究对象，以B点为重力势能零点。初始在A点时，Epo=mgR、Ek0=01 ,终了在8点时，Ep=0,Ek=-mvj1 .由功能原理知：Af=AE=-En=mv-mgR经比较可知，用功能原理求最简捷。2.12 墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为左，物体机与桌面间的摩擦因素为，若以恒力/将物体自平衡点向右拉动，试求到达最远时，系统的势能。解：物体水平受力如图，其 中 =履，力,=?g。物体到达最远时，v=0。设此时物体的位移为x,由动能定理有即解出J-kx-/jmg)dx=0-0Fx-kx2-/jmgx=0X k系统的势能为 后 一 心 空 上 立p

19、2 k2.13 一 双原子分子的势能函数为仆 图2书式中 为二原子间的距离，试证明：4为分子势能极小时的原子间距;分子势能的极小值为-综;当E“(r)=O时，原子间距离为牟;V2证明：(1)当 迫 效=0、4 _ 学20时，势能有极小值E p(r)m in。由dr drdEP=d J f r Xdr dr r J I r.得所以/=%,即 为为分子势能取极值时的原子间距。另一方面，J-Ep(r)_12,dr2 当=时，生 与 以=12&/-4=2 生 0,所以r =r 0 时，取最小值。廿(%J (2)当尸=不 时，&(%=&)7 Y2 2 (2 V=-E01 0 7 7/、12/、6-(3)

20、令 昂(r)=&)1-2 第=0,得到2.1 4 质量为7.2 x 1 0-2、，速度为6.0 x 1 07m/s 的粒子A,与另一个质量为其一半而静止的粒子 B相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5 x l(f m/s,求：粒子B的速率及偏转角：粒子A的偏转角。习题2.1 4 图解：两粒子的碰撞满足动量守恒=mAv A+mBv B写成分量式有mAvA-mAv A c o s a +mBv B c o s /3mAv A s in a =/MSVB s in (3碰撞是弹性碰撞，动能不变:1 2 1 ,2 1 i 2万机/A mAV A+-mBVi利用1 1 7mA=7.2 x 1

21、 0 2 3,mK-3.6 x 1 0 、k g ,vA=6.0 x 1 07m/5 ,=5.0 x l()7？/s,可解得V,B=4.6 9X1 07W/5,/?=5 4 0 4 ，a =2 2 2 0 12.15平板中央开一小孔，质量为根的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为q时重物达到平衡。今在M,的下方再挂一质量为M2的物体，如题2-15图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径/为多少？解：在 只 挂 重 物 时，小球作圆周运动的向心力为用 话，即挂上A Z2 后，则有(M+M Dg=mra重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒.即

22、rnm vn-r，m v，=蜡口；=r2a)2联立、得、3/2+M2)%2.16 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为八=8.7 5 x l(y?时的速率是4=5.46 x l04机父、它离太阳最远时的速率是=9.08x 102机.，这时它离太阳的距离上是多少？(太阳位于椭圆的一个焦点。)解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力即有心力的作用，所以角动量守恒：又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有rxmv-r2mv2，.芍=r4.v,=-8-.-7-5-x-l-0-x-5-.-4-6-x-l-O-4=5.26 x l，0八 12rw n2 v2 9.08

23、x lO22.17 查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。参考文献：石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，1991年 第 10卷 第 10期。2 任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大学物理，2006 年第25 卷第2 期。2.18 通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。参考文献：“高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，2002年第21卷第4 期。高炳坤、李复，“惯性系”考(续)，大学物理，2(X)2年第21卷第5 期。习题三答案习题三3.1简要回答下列问题：(1)地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？作图说明.(2)刚体的转动惯量与那些因素有关？“

24、一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？(3)平行于Z轴的力对Z轴的力矩一定为零，垂直于Z轴的力对Z轴的力矩一定不为零.这种说法正确吗？(4)如果刚体转动的角速度很大，那么作用于其上的力是否一定很大？作用于其上的力矩是否一定很大？(5)两大小相同、质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。问：(a)如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？(b)如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的力矩大？(c)如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？(6)为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定

25、轴转动动能只与外力矩有关，而与内力矩无关？(7)下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：(a)位矢：(b)位移；(c)速度；(d)动量；(e)角动量；力；(g)力矩.(8)做匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心并与圆平面垂直的轴上任一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？(9)一人坐在角速度为4的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度为 口。如果忽然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为/,飞轮的转动惯量为3.2质量为m长为I的均质杆，可以绕过B端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支

26、住A端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，(1)绕8点的力矩和角加速度各是多少？(2)杆的质心加速度是多少？B A习题3.1图解：(1)绕B点的力矩而由重力产生，设杆的线密度为0,p=y,则绕B点的力矩为M xdG=工 gxdm=(gxpdx=杆绕B点的转动惯量为/=，扪？=1/的=；2角加速度为 =M =3女1 21I 3(2)杆的质心加速度为 a=/?=3.3 如图所示，两物体1 和 2的质量分别为叫与加2,滑轮的转动惯量为/,半径为广。如物体2与桌面间的摩擦系数为,求系统的加速度a及绳中的张力7；与北（设绳子与滑轮间无相对滑动）；如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度4及绳中的

27、张力7；与 心。解：先做受力分析，物 体 1 受到重力如g和绳的张力（，对于滑轮，受到张力（和 7 2,对于物体2,在水平方向上受到摩擦力劭2 g 和张力T?,分别列出方程叫 g-Ti=m M （=叫（g a）7 2 -4%g =mia【T2=机2 （。+g）1（刀 _T?）r=M=I a =I区通过上面三个方程，可分别解出三个未知量（叫一加2总尸 丁 一 （1 +）吗,g +/g 丁 （1 +）町/g +/g。7 2 9/1 一叫 7 r 2 加 /7（加1+加2）+/（2 +加2）厂+/（瓶+加2）厂+/（2）在的解答中，取 =0即得 mxg r2 m2r2g+I g 丁 _ mtm2r2

28、ga -r 2，/1 一加7 o ，/2 -7 o 。（m +机2）厂+/（m1+机2）厂+/（m1+机2）厂+/3.4 电动机带动一个转动惯量为l=5 0 k g-m2 的系统作定轴转动。在 0.5 s 内由静止开始最后达到 1 2 0 r/m i n 的转速。假定在这一过程中转速是均匀增加的，求电动机对转动系统施加的力矩。解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度a为A 6 9 120r/m i n x 2/rra d /r o.2a =-=-=8 兀 ra d /sAr 0.5s x 6 0 s/m i n从而力矩为M=/a =50 x8%=1.2 57、1。3依 加2 s-23.5 一飞轮

29、直径为0.30m,质量为5.00kg,边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀的加速，经 0.50s转速达到10r/s。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数：拉力及拉力所作的功；从拉动后t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。解：飞轮的角加速度为Aty 1 0 r/5x2 ra J/ra =-=-Az 0.5s=125.7 ra d I s。转过的圈数为n =xl O r/5x 0.5s=2.5r2 飞 轮 的 转动惯量为/=!机厂 2,所以，拉力的大小为2M la 1 0.3 xr 1/6F =mra=-x5x xl 2 5.7=4 7

30、.l(N)r r 2 2 2拉力做功为W=4 7.1 x2.5x3.1 4 x0.3 =I l 1(J)从拉动后t=10s时，轮角速度为=1 2 5.7x1 0 =1.2 57 xl O3(ra J/5)轮边缘上一点的速度为M =c o r=1.2 57x1()3 x 0.1 5=1 8 8(m/v)轮边缘上一点的加速度为a =a r=1 2 5.7x0.1 5=1 8.8(/n/52)3.6 飞轮的质量为6 0 k g,直径为0.50m,转速为1000r/min,现要求在5 s 内使其制动，求制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数H=0.4,飞轮的质量全部分布在轮的外周上。尺寸如图所示。解：

31、设在飞轮接触点上所需要的压力为F,则摩擦力为尸，摩擦力的力矩为尸在制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由mv g变化到0,所以由 口/力=-4有r,d d du F t=inc o-2 2 2解 得/=也 眩=785.4 N。由杆的平衡条件得 尸=尸=3 1 4.2村。2 m 1.2 53.7 弹簧、定滑轮和物体的连接如图3.7所示，弹簧的劲度系数为Z 0 N m1；定滑轮的转动惯量是0.5k g n?,半径为0.3 0 m,问当6.0 k g质量的物体落下0.4 0 m时，它的速率为多大？假设开始时物体静止而弹簧无伸长。习题3.7图解：当物体落下0.4 0 m时，物体减少的势能转化为弹簧的

32、势能、物体的动能和滑轮的动能,即1 ,1 ,lv2mg h=-k h +mv -,2 2 2 r2将？=6依，g =9.8k g m/s2,h-0.4/M,I =0.5 k g m2,r=0.3?代入，得v -2.0 I m/53.8 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为机的人。圆盘的半径为R,转 动 惯 量 为 角速度为。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。解：系统的角动量在整个过程中保持不变。人在盘边时，角动量为 L =lc o =(j+m R2o人走到盘心时角动量为 L =I(o =JHm l,(j+m R2)因此 C D =A-L(OJ人在盘边和在盘心时，系统动能分

33、别为1 2 r2 1 f 2 n r 1 ,2 1(3+-2W,1 =2 +2 J ,2=2 JC D=-2 -J-c o系统动能增加 A W=卬2-卬 =：机。2 k 2 +：呼一3.9在半径为飞，质量为根的静止水平圆盘上，站一质量为加的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半 径 为 的 圆 周 匀 速 地走动时，设他相对于圆盘的速度为V,问圆盘将以多大的角速度旋转？解：整个体系的角动量保持为零，设人匀速地走动时圆盘的角速度为0,则L =L 人 +,；,=?(u coRj)7?,4 mRco-0解得2R)=S-vR；+2R；3.1 0 如 题 3.1 0

34、图示，转台绕中心竖直轴以角速度g 作匀速转动。转台对该轴的转动惯量J=5xl 0-5 k g m2o现有砂粒以l g/s 的速度落到转台，并粘在台面形成一半径r=0.1 m 的圆。试求砂粒落到转台，使转台角速度变为号。所花的时间。习题3.1 0 图解：要使转台角速度变为由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系的转动惯量加倍才行，即加沙粒=1/。将 J=5*1 0 一 5/.m 2 和 r=0 根代入得m 沙粒=5 x 1 0 kg由,5 x 1 0-3 依所以 t=-=5s1 g/$3.1 1 一脉冲星质 量 为 1.5 x l()3%g,半径为2 0 k m。自旋转速为2.1 r/

35、s,并 且 以 1.0 x l 0l 5r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。2解：脉冲星的转动惯量为/=一机/5转动动能为 W=Ico=ma)2r22 5转动动能的变化率为 =-m r2codt 5 dt=O.4 x l.5 x l O3 0 x 2 x l 04)x 2.1 x 2 x-x l.0 x l 0 1 5 x 2 x-=1.9 9 x l 02 5 J/5由&=也，(o=a t,得停止自旋所需要的时间为dtco _ 2Ar/sa -1.0 xW15r/r=2.1x10%3.1 2

36、 两滑冰运动员，质量分别为M,=6 0 k g,MB=7 0 k g,它们的速率VA=7 m/s,VB=6 m/s,在相距1.5 m 的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为1.5 m。求该瞬时：系统的总角动量；系统的角速度；两人拉手前、后的总动能。这过程中能量是否守恒，为什么？解：设两滑冰运动员拉手后，两人相距为S,两人与质心距离分别为心和乙,则MB MAr.=-s,rR=-sMA+MB MA+MB两人拉手前系统总角动量为L=乙 +4 +BBrB -.S.A+乙)s=630依 /s肛+MB设两人拉手后系统的角速度为0),由于两人拉手后系统角动

37、量不变L=M Ara+M Brco所以，。=-上-=V a +V g=8.67 rad/s1 ,1,两人拉手前总动能为：IV,+-MBV；=273(V拉手后，由于整个体系的动量保持为零，所以体系动能为%.混2=；7b +犷=27如所以体系动能保持守恒。可以算出，当且仅当M VA=8乙 时、体系能量守恒，否则能量会减小，且-AW=叱%J(MAVA 2 M +MB)3.1 3 长/=0.4 0 m 的均匀木棒，质量M=1.0()k g,可绕水平轴O在竖直平面内转动，开始时棒自然地竖直悬垂。现有质量m=8 g 的子弹以v=2 0 0 m/s 的速率从A点与O点的距离为和，如图。求：(1)棒开始运动时

38、的角速度；(2)棒的最大偏转角。解：系统绕杆的悬挂点的角动量为习题3.1 3图L =mv l=0.4Sk g m2sl子弹射入后，整 个 系 统 的 转 动 惯 量 为 二用=0 Q 5 4依/3 1 6所以c o =8.8 8 r a d I s子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为W=l/(y2=2.1 3 J当杆转至最大偏转角。时，系统动能为零，势能的增加量为A 叫=4 c o s(9)+1 mg l(1-c o s 0)由机械能守恒，卬劫=A卬势得6 =9 4.2 4。3.1 4 通过查阅文献，探讨计算刚体转动惯量的简化方法，写成小论文。参考文献：周海英、陈浩、张晓伟，巧算一类刚体的

39、转动惯量，大学物理，20 0 5年第24卷第2期。3.15 通过上网搜寻，查找对称陀螺规则进动在生活、生产中的应用事例，并进行分类。习题四参考解答4.1 惯性系K 相对惯性系K以速度运动。当它们的坐标原点。与。重合时，f =f =0。在惯性系K 中 一 -质点作匀速率圆周运动，轨道方程为+(y)2=a2,3 =0,试证：在惯性系K中的观测者观测到该质点作椭圆运动，椭圆的中心以速度”运动。提示：在惯性系K中的观测者观测到该质点的轨道方程为(X-M?)2,y2 _ ,a2(l-/72)/一 证明：根据洛仑兹坐标变换关系 x=,代入原方程中，得到.(匕 叱；-2=。21 优y=y,z=z化简得(炉广

40、2(1-/?2)2所以，在K系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度运动。4.2 一观测者测得运动着的米尺长0.5机，问此米尺以多大的速度接近观测者?解：由相对论长度缩短关系L=L071-(V/C)2得到 V =c/l-(L/L o)2=3.0X108X _ (1/2)2=2.6 X 1 ()8 机/s4.3 如题图4.3所示，在K 系的。X P平面内放置一固有长度为。0的细杆，该细杆与X,轴的夹角为夕。设K，系相对于K系沿x轴正向以速率运动，试求在K系中测得的细杆的长度2和细杆与x轴的夹角夕。题图4.3解：细杆在K 系中的两个坐标上的投影分别为A x =Zo c o s 6 A y =Zo s i

41、 n /细杆在K系中的两个坐标上的投影分别为A x=J 1-(/c P A x，=/0 C O S O y=l0 s i n O在K系中细杆的长度为/=J+A y?_ /0-/l -(M/C)2 c o s2f+s i n2f=/O-J 1-(w c o s 7 c)2与X轴正向夹角。为 0=a r c t a n =a r c t a n ,堪 =z y u2ic2)4.4 一飞船以9 xl0 3ms T的速率相对于地面 假设地面惯性系 匀速飞行。若飞船上的钟走了 5 s的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？解：根据相对论中时间延长关系T =-/7=4l-(v/c)2代入数据，可得 T

42、=-7 5：=5.0 0 0 0 0 0 0 0 2sV l-9 xlO3/(3xlO8)24.5 已知乃+介子束的速度为0.7 3 c c为真空中的光速,其固有平均寿命为2.5 x 1 0-8$,在实验室中看来，万+介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？解：根据相对论中时间延长关系 T=/T。.=7 1-(v/c)22 5 x 1 0 8代入数据，可得 T =；=3.6 5 8 x 1 0%V1-0.7 32因此 S=v T =0.7 3 x 3 x 1 08 x 3.6 5 8 x 1 0-8=8.0 b?4.6 惯性系K 相对另一惯性系K沿x轴作匀速直线运动，在惯性系K中观测到两个事件同时

43、发生x轴上，且其间距是1 m ,在K 系观测到这两个事件的空间间距是2 m,求K 系中测得的这两个事件的时间间隔。解：由相对论的同时性的两个等价关系At=u Ax -v/c2(1)W =N v I c1(2)联立两式得到MAX=A x，n u -=v =c J -(AJ:/A,rf)2叔 Vl-(v/c)2 M代入(2)式中得到M=AA7-V/C2=A xf-J l-(A x/A f)2 /c =2 x 7 1-(l/2)2/(3 x l 08)=5.7 7 x W94.7 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。证明：

44、令在某个惯性系中两事件满足 4=0,A x O则在有相对运动的另一个惯性系中(相对运动速度为v)，两事件的时间间隔是.,，2、*,2 A x-v/c2/-w(A r -A r -v/c )-w A x-v/c =._J l-(V/C)?由于 A x w O,U WO且VC所 以 ，/(),即两事件一定不同时发生。4.8 试证明：(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。证明(1)设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即A c

45、 =O,时间间隔为/,则在另一个相府运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为 t=(/-A x -v/c2)=u t-i =A fJ l-(v/c)2所以，在原惯性系中时间间隔最短。证明(2)设两事件在某惯性系中于同时发生，即4=0,时间间隔为A c,则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为A x,=w(ZL r -v A/)=u x =.=A xJ l-(V/C)?所以，在原惯性系中空间间隔最短。4.9 若电子A和电子6均以0.8 5 c c为真空中的光速 的速度相对于实验室向右和向左飞行，问两者的相对速度是多少？答案：0.9 9 c 4.1 0 一光源在K 系的原点O发出

46、一光线。光线在O X P平面内且与f轴的夹角为。设K 系相对于K系沿x轴正向以速率u运动。试求在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角。解：光线的速度在K 系中两个速度坐标上的投影分别为匕=c c o s 3fV；=c s i n。由速度变换关系 匕 二 JV,u1 +则在K系中速度的两个投影分别为cc o s0f+u .csin/c2V=-,y-”i u c c o s 6 y t c c o s/+1+c c匕所以，在K系中的观测者观测到此光线与x轴的夹角0=a r c t a n，匕4.1 1如 果观测者测出电子的质量为2叫 人 为电子的静止质量，问电子的速度是多大？解：由相对论质量关系

47、 m=,=J l-(V/c)2而且 m -2m0得到 丫=上。=0.8 6 6 c24.1 2 如果将电子由静止加速到0.1 c c为真空中的光速的速度，需要对它作多少功？速度从0.9 c、加速到0.9 9 c,又要作多少功？解(1)由相对论动能定理：Aa h=/户 =mbc2-mac2=mc2 一 一/J l (%/c)2 7 1-(Vu/c)2 J因 为 匕,=0,匕=0.1 c代入得到 A.=m.c2,-1 =0.0 0 5人,c 2 =4 09 5 x l O-1 6 J 2.5 6 K evL Vi-0.12 J 将 匕=0.9 c,匕=0.9%代入原式Aa b=m0c2 1 -1

48、=4.7 9 4 6*=3.9 3 x W1 3,/2.4 6 x 1 03 e v.Vl-0.9 92 Vl-0.92 J4.1 3 在什么速度下粒子的动量是其非相对论动量的两倍？在什么速度下粒子的动能等于它的静止能量？m V解(1)由相对论动量公式 p =m V =/。J l-(V/c)2而且 p=2?0 vz3联立两式 机=2 m 0o =V=2c=2.6xWsmS-(2)由相对论动能公式EK=me2-moc2而且 EK=2 m o e 2n联立两式 m=2mn=V=c =2.6 x l 08m 5 24.1 4静止质量为9.1 x l()-3 g的电子具有5倍于它的静能的总能量，试求它

49、的动量和速率。I提示：电子的静能为&=0.51 I M e V 解：由总能量公式 E=mc2而且 E=5E。=m-(1)其中 m=加0(2)J l-(v/c)2联立、(2)两式I m y (9.1X10-31)2X(3X108)4 25E：V 25x(0.511x l 06x l.6x l 0-19)2将(1)式代入动量公式T 7p =机 V5 E=0-c/c x。0.9 85c X=O-.-9-8-X-O-.-5-1-M-C-T-2=.5M-e-v-c c c4.15-个 质 量 为M的静止粒子，衰变为两个静止质量为叫和加的粒子，求这两个粒子的动能。提示：利用能量守恒和动量守恒关系解：令两粒

50、子的动能分别为EKK 与EKK 2由相对论能量守恒得到 Me2=*/+EK,+mc2+m2c2(1)由相对论动量和能量的关系 E2=p2c2+加工4=(EK+moc2)2E得至|J p2=苫+2机0后 长2 2由相对论动量守恒p；=p；得到 号+2mtEK=一异+2m,EKc 1 c 2联立（1）、（2）两式解得4=品（加-如）2-届,项2=品（加 加2）2 鬲习题五参考解答5.1 简答下列问题：（1）什么是简谐振动？分别从运动学和动力学两方面作出解释。一个质点在一个使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐振动？（2）在什么情况下，简谐振动的速度和加速度是同号的？在什么情况下是异号的？加