大一高数期末考试题3.pdf

《大一高数期末考试题3.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大一高数期末考试题3.pdf（45页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、单 项 选 择 题(本 大 题 有 4 小题，每 小 题 4 分，共 1 6 分)1.设/(*)=5*(*+回!1*|),则在*=0处有()(A)八 0)=2(B)/(0)=1(C)八 0)=0(D)/(X)不可导.设a(x)=-，y5(x)=3-3 x,贝！J当x-l时()2.1+x.(A)矶x)与以x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)a(x)与仪x)是等价无穷小；(C)是比伙幻高阶的无穷小；(D)伙工)是比。(用高阶的无穷小.3.若 x)=I(2幻/，其 中/(x)在 区 间 上(-1,1)二阶可导且,(x),则().(A)函数/(X)必在x=0 处取得极大值；(B)函数尸必在犬

2、=0处取得极小值；(c)函数/a)在x=o处没有极值，但点(，F()为曲线y =x)的拐点；(D)函数尸(X)在X =0处没有极值，点(0/(。)也不是曲线y =歹(X)的拐点。4设 X)是 连 续 函 数，且，(x)=x+2(/()/,贝 l /(x)=()x2,+2(A)2(B)2+(C)x-1 (D)x+2.二、填 空 题(本 大 题 有 4 小题，每 小 题 4 分，共 1 6 分)2,lim(l 4-3 x)sinx=5.X T O .已 知 王 是/(x)的一个原函数，则以.照土dx=6.x J x万/2 4 2 2 万 2 -1、lim (cos FCO S-1-i-cos-)=

3、7.8 n n n n.ir x2 arcsin x 4-1.I-/-ax=7 i-x28.-2.三、解 答 题(本 大 题 有 5 小题，每 小 题 8 分，共 4 0 分)9.设函数)=(幻由方程e+sin(盯)=1 确定，求 V(x)以及V(0).求 J I 也.10.J*(l+x)设、r/(*)=xe,-x-f-x 0 求4 c/(xM r.y j 2 x-x2,0 x 0 2dy 2-F v=Inx,解：dx xA5,g（x）在x=o处连续。-(dx f f d x +y,将此方程关于X求导得y =2y+y特征方程：r2-r-2 =0 解出特征根：。=-1,2=2.其通解为 y=Ct

4、e-x+C2e2xc =2=1代入初始条件y()=y()=i,得 3 2-3y=-ex+e2x故所求曲线方程为：3 3五、解答题(本大题10分).1,、j-ln x0=(X-x0)15.解：(1)根据题意，先设切点为(Xo，lnx),切线方程：/1由于切线过原点，解出X o=e,从而切线方程为：JV =eXV .1A=(ey-ey)dy=-e-1则平面图形面积 0 2V.，兀 2(2)三角形绕直线x=e 一周所得圆锥体体积记为匕，则 3曲线y=Inx与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 一周所得旋转体体积为 V21v2=j(e-ey)2dy0 V=V,-V,=-(5 e2-12e+3

5、)D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积 1 2 6V六、证明题(本大题有2 小题，每小题4 分，共 12分)41qq1f(x)dx-qf(x)d=J 7(x)d x-q(J 7(x)d x+16.证明：o o。o qi=(l-q)fM d x-q f(x)do q当GlO应 归2 1/(刍 启/)=以1 4)”。)一 如 一/6)2 0故有：71J/(x).oo证毕。17.F(x)=f(t)dt,x 0）5.极 限 1。x 的值是 a.6 .由+)，l n x=c o s 2 x确定函数，则导函数 =2 si n 2 x+y+ye xy_x_xexy+l n x7 .直线/过点/(1,2

6、,3)且与两平面+2 -7 =,2%-3)，+5 2 =6都平行，则直x-1 _ y-2 _ z-3线/的方程为 丁 一 二r一 二r8 .求函数y =2 x l n(4 x)2的单调递增区间为(一如0)和(1,+8).三、解答题(本大题有4小题，每小题8分，共3 2分)工.(W el i m-9 .计算极限1。x.ln(l+jc)-l.(l +x)x-e .ex-1 .l n(l +x)-x el i m-=e l i m-=e l i m-=解：I O X X T。X X T。r 21 0.已知：团=3,历1=2 6,a-b=3 O,求 降*川。co s6 =,si n 6 =7 1-co

7、 s2 0=B l W 1 3 1 3 ,J=72胖：1 1,11XF(x)=J(x x G a,b 1 1.设/(x)在 切上连续，且。，试求出片(久)。X XF(x)=xf d t-tf(t)d t解：4 aXX尸(X)邛(f)df+爪)-爪)=7(。流a a尸(x)=/(x)解1升21 x co t x+C2四、解答题（本大题有4小题，每小题8分，共3 2分）2 Xy x 11 3.求忑X原式=f/f-J()d tV 3 j 3=p 2-=a rcsi n t _ 二%后7 5 =%2 xy =-1 4.求函数 1 +x2的极值与拐点.解：函数的定义域(8,+00),2(1 x)(l +

8、x)-4 x(3 x1)y (i+x2)2，(i+x2)3令y =得 h=i,2=-iy (l).r2=-1 是极小值点极大值y(D =i,极小值y(T)=_i令 y =得 X 3=0,X 4=6 X5=-6X(-0 0,-)(-后,0)(0,(6,+8)y一+一+73 V 3A 4 8 P 的面积故拐点,一 2),(0,)(W,2)_%3i s.求由曲线 =了 与 y =3x-所围成的平面图形日=3 x-x2,x3-1 2 x+4 x2=0,4x(x+6)(x-2)=0,x=-6,x2=0,x3=2S=(3 x 4-x)d x+(3 x x)d x,x4 3 2/|0 3 2/x4.21 6

9、 2 3 k6 2 3 1 6 l o=4 5 +2-=4 7-3 31 6.设抛物线y =4-上有两点A(_1,3),B(3,-5),P(x，y)使 A 4 B P 的面积最大.解：A 8 连线方程：y+2 x-=0|XB|=4A/5点P 至 点 5 的 距 离+二 一 _+x +3(w w 3)V 5 V 5治面积.在 弧 A B 上，求一点S(x)=L B-+:+3=2(_，+2、+3)2 V 5S，(x)=-4 x+4 当x=l S，(x)=OS(x)=-4 0,试 证e2 (l x)/(x)=e2%i 2 x)-1,/f f(x)=-4 xe2x 0,/w(x)0,因此r(x)在(o

10、,+o o)内递减。在(0,+o o)内，/(x)/(0)=0,/(x)在(0,+o o)内递减,在(0,+00)内，/(X)/(。)，即 (1 _%)一 +X)0 时，e2 (l-x)1X 一 1x+si n x,x ,贝IJ ()(A)尸(0)/-/(O)(B)/(I)-/(0)/(Q /r(l)/(O)/(l)-/(O)(D)/(D-/(0)/l)/0)M7 C2r si n x c o s4 x；1 +x2)M N PP M 1 r f（x2 ar c t an Vx-1）=（）2设 J7（x）d x =si n x +c,则（x）d x=（x-4 _ y _ z-53.直线方程2-机

11、 n 6+p,与x o）,平面，丫平面都平行，(B)PN 0/（x）=彳 X2.设 U 试讨论/（X）的可导性，并在可导处求出广（X）3.设函数y =/a）在（,+8）连续，在/0时二阶可导，且其导函数广（X）的图形如图所示，给出/（）的极大值点、极小值点以及曲线）=/J）的拐点。四 解 答 题（本大题有4小题，每小题9分，共36分）1 .求不定积分 X 1 Xej|l n x|d x2 .计算定积分一,x y z-1 ,x-1 y-2 z-33.已知直线 1 2 3 2-2 5 4,求过直线/!且平行于直线b的平面方程。812-冗4.过原点的抛物线=犬 及 y=O/=l 所围成的平面图形绕x

12、轴一周的体积为5，确定抛物线方程中的m 并求该抛物线绕y 轴一周所成的旋转体体积。五、综 合 题(本大题有2小题，每小题4 分，共 8 分)1.设F(X)=(XT)2/(X),期)x)在区间 1,2 上二阶可导且有2)=,试证明存在(1 4 0)2.o(1)求/(X)的最大值点；/(x)0 x31 -CO S X3x2/(x)=n0Xxx-,试 讨 论/(X)的 可 导 性，并在可导处求出x 0,ff(x)=2 x c o s-+si n 八】解：当 X X；当 x 0 x x1x )及)，=0,x=l所 围 成 的 平 面 图 形 绕x81-71轴 一 周 的 体 积 为5.求4,并 求 该

13、 抛 物 线 绕)，轴一周所成的旋转体体积.，I 2V -x2)2d x=T V a2 一 _ na解：o S o 52T e a _8L r由已知得 5-5 故4=9抛物线为：y =9/)r4*9V =J2 x-9x2d x=18万=冗绕y轴一周所成的旋转体体积：。4 o 2五 综 合 题(每 小 题4分，共8分)16.(4分)设/(x)=(x T)2/(x),助 /(X)在区间口上 二 阶 可 导 且 有/(2)=0.证 明：存 在4(1 4 2)使 得 =0。证明：由/(X)在 1,2 上二阶可导，故尸(x)在 1,2 二阶可导，因/(2)=0,故F(1)=F=0在 1,2 上用罗尔定理

14、，至少有一点看)，(1/2)使尸(%)=尸)=2(x-l)f(x)+(x-l)2 f (x)得 F(l)=0在口，初上对ka)用罗尔定理，至少有点a/2)尸”)=17.(4 分).解(1)x =l为f(x)的 最 大 值 点。f(x)=(x-x2)si n2 x,当 0 x 0 .当 x,r(x)=(x -Ss ia xwo。/为 极 大 值，也 为 最 大 值。/U)=r(/-2)si n2 nr Jr/(l)/(l)=pr-/2)si n2(2+2)(2+3)o(t-t2)t2d t高 等 数 学 上B(0 7)解答一、填 空 题：(共2 4分，每 小 题4分)电_=,。1 y =si n

15、 si n(x2)?则 d x 2 x c o ssi n(x2)c o s x2 o 力 d x=7v2 .已知+x ,a=1|l n x|d x=2-3 .t e o4.y =/过 原 点 的 切 线 方 程 为=依。r/d n x)5.已知/(x)=,i/lij J x 、=x +c。_3 96.。=2 ,h =2时，点(L 3)是曲线y =的拐点。二、计算下列各题：(共36分，每小题6分)1 .求y =(si n x)g 的导数。解:/=(eC*y=.r l n si n x(_s i n x l n x+C Ot X CO S X)2 求 j si n I n xd x解|si n

16、I nxd x=x si n I n x-j c o sI nxd x=x si n I n x-x c o sl n x-Jsi n i nxd x=(x si n l n x-x c o s I n x)+C3.求 吟M=Vx2-l+51 n l x +Vx2-H+C4.设 N+L x 在点x=0处可导，则k为何值?YkZ：(0)=li m =li m -解：1。-X/；(0)=li m =1xf 0+xk =li m(.-H-f-,-)5.求极限+7 n2+l2 V 2+22 Jr+r解：li m(.-+-；-H-F ,-)1V i77=ln(x+J l+f)l；=ln(l+V 2)x+

17、2y-z +l =0(2x-y+z=0y-2+y=0 x+2yc 1x=0,y=一将 2代入上式y1(0)=|o2 24.求由y=厂与y=围成的图形绕丁轴旋转所得的旋转体的体积。解一=1 (-力心3=7110四、证明题：(共12分，每小题6分)1 .证明过双曲线盯=1任何一点之切线与x,y二个坐标轴所围成的三角形的面积为常数。证明：双曲线盯=1上任何一点(用)的切线方程为y _y=_y(x-x)X(0,y 4),(2x,0)切线与x轴、y 轴的交点为/cv 八,s =x(y+)=2故切线与OX,0y二个坐标轴所围成的三角形的面积为 X2.设函数/(X)与g(x)在闭区间也，勿上连续，证明：至少

18、存在一点4使得f 记)g(x)d x=g 4)j f(x)d x证明：令/(x)=f g(x)d xf x)d xF(a)=F(b)=0,由R olle 定理，存在一点4 以凡切，使尸修)=,即/C)g(x)d x=g e)f f(x)d x高 等 数 学 上 解 答(07)一、单项选择题(每小题4 分，共 16分)1.f(x)=%cosxe lsi n x(-00 x0 tr-0 i=2/(0)=-1五(8 分)证明:当“1 时，-l)l n x (x -l)2。证明：只需证明(x +D l n x x-l。令/(1)=(x +l)l n x-x +l/x)=l n x +0,/、x ,/(

19、X)在U，+8)单调递增。/(1)=0,当X 1 时，/(x)0 0 g p (x2-l)l n x (x-l)2o六、(8分),F(x)=已知。(尸_厂)劝，/(X)连续，且当X 0时，尸(X)与/为等价无穷小量。求()。rF(x).l i m =1解：1 厂F(x)=f(x2-”)/“劝=x2 门 (M -/(x)=2 xf t)d t+x2f x)-x2f x)=2 x f tltF(x)2 x ；f (M l i m =l i m =2 f(0)D 12 g o X2 7/(0)=g七、(8分)设有曲线y =4 F(OWxl)和直线y =c(c 02 ,c =l为最小值点。m i n

20、A=-d y+J*(l)d y=1八、设x)在(。，。)内的点与处取得最大值，且l/(x)K (a xb)o证明：(a)l +S)K K S-a)证明：八%)=。在口，/对f M应用拉格朗日定理f(x0)-f(a)=/*()(x0-a)(a x0)/(a)=-x0),f(a)l K(x0 a)在%，切 对(x)应用拉格朗日定理fX b)-r(尤 )=/)3 -/)(X。匕)f(b)=f 2)(b-x0),f(b)00(A)l(5)77(C)e(D)2答()3、/(x)=三的阶麦克劳林展开式的拉格朗日型余项R“(x)=()(式中0 01)(A)_ i_ p+l(+1)(1 Ox 严(5)(-1)

21、(+1)(1-e)n+,(C)r+i(l-0 x)n+2(D)(T)/I(l-0 x)n+2答（）4、设/（x）在x=0的某邻域内连续,W（0）=0/im=2,则点x=010 1 -cosx 是/Xx）的极大值点（8）是/Xx）的极小值点（C）不是/（x）的驻点（O）是f（x）的驻点但不是极值点答（）5、曲线y=X?-2x+4上点o（O,4）处的切线北7与曲线V=2（x-1）所围成的平面图形的面积A=21 4 9 13(A)一(C)(。)一4 9 4 12答（）二、填 空 题（将正确答案填在横线上）（本大题分5小题，每小题3分，共15分）设 y =I n J l +t an（x +），则y =

22、_1、V x2、用 切线法求方程/-2-5 x-l =0在（-1,0）内 的 近 似 根 吐 选x o并相应求得下一个近似值X I。则x。，羽分别为.x-l _ y +l _z-l3、设 空 间 两 直 线 _ 2 _ 2与x+=）_ =Z相交于一点，则九二。s i n x +e 1 、/（x）=o x t a n x八、解答下列各题（本 大 题7分）试求/“=l n x）dx的递推公式（为自然数），并 计 算 积 分（I n x）3dx.九、解答下列各题（本 大 题8分）设/X x）在 他 内 可 微，但 无 界，试证明U（x）在（a,b）内无 界。十、解答下列各题（本 大 题5分）设lim

23、(p(x)=o，lim/(n)=/(o)，证 明：lim/(p(x)=/(%)Xf*O To XT.5。十一、解答下列各题(本 大 题4分)在半径为R的球内，求 体积最大的内接圆柱体的高十二、解答下列各题(本 大 题5分)12 0 4.cosa=,cosB=-，n重量为，的重物用绳索挂在A B两个钉子上，如图。设 13 5,求4,8所受的拉力工，人。十三、解答下列各题(本 大 题6分)一 质 点，沿抛物线y=x(10-x)运动,其横坐标随着时间f的变化规律为x=的单位是秒,x的单位是米)，求该质点的纵坐标在点加(8,6)处的变化速率.十四、解答下列各题(本 大 题7分)设曲线x=6，x=及劣=

24、0,围成一平面图形.求这个平面图形的面积;(2)求此平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积.、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)(本大题分5小题，每小题2分，共10分)1、C2、答：B3、C10 分4、(B)5、C二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分5小题，每小题3分，共15分)(1-勺)sec2(x+-)厂 X2(1+tun(x H)1、X10 分2、%=5分1XI =5 10分53、44、-15、b1,、-,b 0210分三、解答下列各题（本 大 题 4 分）n-a xb-3J1k0-4,12,2平面法向量n=-2c万与0平行从而平面与章垂直。四、

25、解答下列各题（本 大 题 8 分）14分8分10分当p w 1时，4 =lim f =lim(-j-)RX。+0 I%。+0 1 p x。7=lim-(1-T+0 1 -p 2P7=1当P=1时,f*dx 6dx r 1|1=lim In xl.=+oo4)Xp x+of2当p 0,存在T 0使当|”-叫 时，恒有|/()-/(0)|0使当0卜-/|3时,|(p(x)-o|n 8 分故当0卜-%|加 寸，就有|/e(x)-/(M o)|成立因此也”1夕(切=/3。)s分X T 1。10 分十一、解答下列各题(本 大 题 4 分)设内接圆柱体的高为，则圆柱体的底面半径r=R2 y 了其体积为 V

26、 =7i/z(/?2 0 /?2/?4分V=万 西一3为2)4唯 一 驻 点h =空R33V =a X0 X-X0则(1)li m与?=A与(II)li m上汉=A关 系 是：rog(X).1%g(X)(A)是(II)的充分但非必要条件(8)是(II)的必要但非充分条件(C)是(H)的充要条件(0)(1)不是(II)的 充 分 条 件，也不是必要条件答()3、物(x)在。性 续，F(x)=/(x)d r(a x /?),则尸(x)是/1(x)的(A).原 函 数一般表示式(B).一 个 原函数(C).在 a,上 的 积 分 与 一 个 常 数之差(D).在 a,b止 的 定 积 分答()4、若

27、已知X 0时，P。)=卜 -2)/,川 的 导 数 与 2是 等 价 无 穷 小，则/(0)(A)1 5(C)-l答()二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分4 小题，每小题3 分，共 12分)1、y =x e 7的铅直渐近线是2 j t a n2 x d x =3、三、解答下列各题(本大题共2 小题，总 计 12分)1、(本小题6 分)写出/(x)=l n(l-x)(|x|-72-1-7-Z指出锥面4 1 6 被平行于 X平面的平面所截得的曲线的名称。四、解答下列各题(本大题共5 小题，总计24分)1、(本小题1 分)药(x)为以T为周期的连续 周 期 函 数，则/(x)在 a，a +

28、T (a wO)上的定积分与/(x)在 0,T 上的定积分的大小关系是x _ y+2 _ z+74、直线？一二-一 一1 与平面3 x +y-9 z +1 7 =0的 交 点 为O求 14 x d x.2、（本小题2分）计 算（x +V x ）d x.3、（本小题5分）求 n x d x.J x v 1 +I n%4、（本小题5 分）求 武二），5、（本小题1 1 分）、r t a n x 1 i、设 y（x）=（2-x）2,（5 x l）求d y.五、解答下列各题（本大题共2小题，总 计 1 4 分）1、（本小题7 分）试 证：F（t）-J i n。？+2 f co s x +l）d x 为

29、偶函数.2、（本小题7分）试证:对角线向量是A =3,-4,7 ，B=2 3-6 的平行四边形是菱形，并计算其边长。六、解答下列各题（本大题共3小题，总计2 0 分）1、（本小题6 分）在抛物线y =Y 找 出 到 直 线 3H-4），=2 的距离为最短的点2、（本小题6分）设曲线的方程为），=x）.已知在曲线的任意点（x,y）处满足y”=6 x,且 在 曲 线 上 的（0,-2）点处的曲线的 切 线 的 方 程 为 2 x-3 y =6,求此曲线的方程.3、（本小题8分）经济学上，均衡价格Po 定义为供给曲 线 与 需 求 曲 线 相 交 时 的 价 格，消费者剩余定义为需求曲线与直线p =

30、Po 间的面积（右图区域I）,生产者 剩 余 定 义 为 供 曲 线 与 直 线=p。间的面积（右图区域R）已知需求曲线方程p（x）=1 0 0 0-0.4 1,供给曲线方程为p（x）=4 2 上求均衡点及消费者剩余和生产者剩余.P/格七、解答下列各题（本大题共2 小题，总计6 分）1、（本小题1 分）设f（x）在x=/处连续，g（x）在与处不连续，试判定/（X）=/（x）+g（x）在X。处的连续性.2、（本小题5 分）若 lim/（x）=oo.lim g（x）=A,试判定 lim/（x）.g（x）是否为无穷大？XTX。X T/X-X0一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，

31、填在题末的括号中）（本大题分4 小题，每小题3 分，共 12分）1、D10 分2、答3、B4、B二、填 空 题（将正确答案填在横线上）（本大题分4 小题，每小题3 分，共 12分）1、x=0分分分ooO2、=tan x-x 4-c.3=4、（243）三、解答下列各题（本大题共2 小题，总 计 12分）1、（本小题6 分）X2 X3 xn/（x）=-x-+H“（x）2 3 nR“（X）=一 匕 ,。介于 与x之间n+1 （1-；）2、（本小题6 分）fr2 2二 _ 2=_2o.,4 16用=。所截得的曲线为口=。故 汽=时为一对相交直线孔 力时为双曲线四、解答下列各题（本大题共5 小题，总计2

32、4分）1、（本小题1 分）JA/JT dx=-x2+c.2、（本小题2 分）2,3原式=（+%2）|o_ 4010分7分10分4分10分10分7分10分3、(本小题5 分)f i n xJ XA/1+l n x=J-*d(l n x)J V l +l n xf r.:-.、f d(l +l n x)I A/I+I n x d(l +I n x)I 1 JV l +l n x=-(1+I n x)2-2 j l +I n x +c.4、(本小题5 分)令 V 7 =f原 式=f/(1+f)=2 l n z-l n(r +l)；=2 1n-35、(本小题11分)d y=yf(x)d xKtanJ

33、C=(2 x)271 2 兀 A 1 s e c l n(2 -x)-2 2 2,xm ,t a n a x23 分7 分10分4分6 分8 分10分2分10分五、解答下列各题(本大题共2小题，总 计 14 分)1、(本小题7 分)F(-t)=l n(f 2 -2 f c o s x +l)d x令 x=7T-UF(-t)=一，l n(/2+2 t COSM+)d u=I n Q 2 +2 f c o s x+V)d x=)2、(本小题7 分)因为 5=3X2+(-4)X3+(1)X(-6)=0因此这个平行四边形的对角线是垂直的，于是它是菱形。(6分),故 ZLG2分6 分8 分10分2六、解

34、答下列各题（本大题共3 小题，总计20分）1、（本小题6 分）设 抛 物 线 上 任 点）,到直线的距离为:-4 x2-22又由 2x-3y=6 得y=-x-2代入得y=3X2+-3y=j(3x2+等)dx=x3+-x+c再将(0,-2)代入得 c=-2,:.y=x3+y x-2.(本小题8 分)p=1000-0.4x2=8400V 9+161 ,d-(4 x2-3 x +2)=1(8X-3)3唯 一 驻 点x=-82、QJ,f=-05故当x=?时,d最小o即点 2 1到直线3x-4y 2=0的距离最短k8 647（注如用切线平行于已知直线解也可以）（本小题6 分）v y=|y*dx=3x2+

35、c(1)_ 2 y-2)33、（10 分）4 分8 分10分3 分5 分10分3 分6 分10分七、解答下列各题(本大题共2小题，总计6分)1、(本小题1分)F(x)=/(x)+g(x)在X。处必不连续若尸(x)在与处连续，则g(x)=F(x)-/(x)在/处 也 连 续，矛盾!2、(本小题5分)4分10分答：不一定.若A+0,l i m?-=01。/(x)g(x)l i m/(x)-g(x)=o oXf%但若A=0则等式可能不成立例如 l i m-=o o,l i m (x-1产=0ix1 x-x i但 l i m 5 (%-1)2 =0。8 x-l4分6分10分b极 限l i m(l +二

36、 尸 (a w 0,b。0)的值为1、x-o ab -b e(A)l.(B)l n (0(,.(D)a a答()2、3l i m(l +c o s x)CO S A=X f 0A.e3 B.8 C.1 D.o o答()3、设/1(x)在 a,b 上 连 续，在(a,6)内 可 导 记(I )f(a)=f(b)(11)在3/)内/*)三0则：(A)(I )是(I I)的充分但非必要条件(B)(I )是(11)的必要，但非充分条件(C)(I )是(11)的充要条件(0)(I )与(11)既非充分也非必要条件答()若(xo,/(x。)为连续曲线,y=/(x)上的凹弧与凸弧分界点，则()(A)(xo,

37、/(xo)必为曲线的拐点(6)(xo,/(xo)必定为曲线的驻点(C)xo为/(x)的极值点()xo必定不是/(X)的极值点答()5、一长为Zzvn的 杆 绕。点在水平面上作圆周运动杆的线密度夕=r厂 为杆上一点到。点 的 距 离，角 速 度 为。，则总动能E=(A)g 22(6)(C)()G)2l3答()二、填空题(将正确答案填在横线上)(本大题分3小题，每小题3分，共9分)1、J(3-x2)3dx=2设/(x)=。-1)小，则/(x)的单调减少的区间是3、对于B的值，讨论级数 n=l(1)当 时，级数收敛(2)当 时，级数发散三、解答下列各蕨(本大题共3小题，总 计13分)1、(本小题4分

38、)验证/Xx)=X?在 2,4上拉格朗日中值定理的正确性2、(本小题4分)级数3、自 2 1F是否收敛，是否绝对收敛？(本小题5分)设/(x)是以2万为周期的函数，当X*7 1 3兀7 T一时，6 =可。又设S(x)是 X)的以2兀为周期的Fourier级数之和函数。试写出$(x)在卜兀，句 内的表达式。四、解答下列各题(本大题共5小题，总计23分)1、(本小题2分)2、3、求极限 lim 16z2 2x3-9 x2+12x-4(本小题2分)求 J(e*+1)处.(本小题4分)求 f Jx；ld x.4、(本小题7分)求 J W d x.5、(本小题8 分)1V=-八试将函数 X2在点X。7

39、处展开成泰勒级数。五、解答下列各题(本 大 题 5 分)00/X 如果基级数=0 在=一2 处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少？试证之.六、解答下列各题(本大题共2 小题，总 计 16分)1、(本小题7 分)如 图 要 围 成 三 间 长 都 为y,宽 都 为x的 长 方 形 屋 围，其墙的总长度为a,问 各 等 于 多 少 时，所围成的总面积最大?(墙的厚度不计)求由曲线y=e 2，,x轴及该曲线过原点的切线所围成的平面图形的面积.七、解答下列各题(本 大 题 6 分)c h x Y ()设/(x)=-八,试讨论f(x)的可导性并在可导处求出了(X)I n(l-x),x 0,b.0).九

40、、解答下列各嬴(本 大 题 12分)设函数f(x)在b，口上有连续导数(a 0),又设x =r co s。，/(x)=r si n O.试 证 明：2 1 f(x)d x+=b f (b)-a f (a),其 中a =a r ct a n ,0=a r ct a n .a b一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中)（本大题分5小题，每小题2分，共10分）1、答:c2、B3、答 4、5、C因 石=（Jm）v22=-d r（vr）22 r=a）2rdr2E=L 2 r dr）2=-C02l34二、填 空 题（将正确答案填在横线上）（本大题分3小题，每小题3分，共

41、9分）a J=27x-9x3+x5-+c.1、5 72、（0，1）（答 0，1不 扣 分）3、6一1时收敛PNT时发散三、解答下列各题（本大题共3小题，总计13分）1、（本小题4分）证 明：”）=2在2,3上 连 续，在（2,3）可导即/（x）在 2,3上 满 足 拉 格 朗 日中值定理的条件又f（x）=2x4 r（m?一:=64 Z得到（2,3）内有解1=3即存在=3,八？一 2）这 就 验 证 了拉格朗日中值定理对 函 勤.（x）=x2在 2,3上 的 正确性10分10分10分10分10分4分8分10分2、（本小题4分）u 7 0记n10io7殳-（几 f 00）由于 Un 1 0.6 分

42、故原级数绝对收敛，从而收敛 1 0分3、（本小题5 分）f（x）=1 x 1,-X r（r 1对 2 2 作周期为2 万的延拓，到 在 兀，叫内的表达式为x +2 乃,力=F%,/7 T一乃 X -,271 八-x 0,2Q X 7T,/（X）满足Fo u r i e r 级数收敛的充分条件。故（3 分）（5 分）x +2 万,S（x）=九r,天，,兀-71 X-,27 1X 2,-x 0,20 X 2 1 2 x-1 8=22、（本小题2 分）j（e +l）3e d x=J（e*+1 兄 d（e*+1）=十（e*+1）4+c.3、（本小题4 分）令 x=se c t5分8 分1 0分5分1

43、0分原 式=P t a n2 tdt4 分=P(sec2 r-l)Jr6分兀=(tan r-r)|J=634、(本小题7分)，2+a x 2 0,Xd X=2-r +C 2 X +2 x 2C=c2 令 C=c2=C/x|dx=X22+*，。，忖.x1=2 +C-+c,x 2时，级数不可能收敛.8分故收敛半径是2.10分六、解答下列各题（本大题共2小题，总计16分）1、（本小题7分）如图 4y+6x=a y-总面积为 A=3xy=3x（-x）4 2dA 3a 八=-9xdx 4当时，务。d2Adx2=-90-0/(0+0)=lim coshx=1X TO+O/(x)在尤=0处不连续,故不可导s

44、inhx,x 0,/(x)=-1-，尤 0,1 -x3 分5 分10分八、解答下列各题（本 大 题6分）原式=lim-1。21n（l+2x）5 分=limxfOax na-bx In/?41 +2%1 1 a=In 4 b九、解答下列各题(本 大 题12分)因为，2=x2+f2(x),=arctan ,dOxx2+f(x)于是所以r0)d6=xf(x)-f(x)dx=,(x)dx-(x)dx=-f(x)dx-(x)dx=bf(b)-af(a)-2f(x)dx2(x)dx+f /(6)d0=(b)-4 填空/(x)=0rX +r(0)7a-7 a-x 八-,x 0 x=A,贝!)a=_,b=_,

45、A=_ _ _ _。解：要使极限存在，分子与分母应是极限丽落的同谛筋小或高标为小,于是有1+4+方=0,用一次罗必达法则分子仍为无穷小，有 4Ho解出：a=-4/3)=1/3代入求得极限A=8/34.函数y=x2的极小值点为 。解：y =2*(1+xIn2)驻点 X _ _ 而5,y =2(2In2+x(ln2)2)在驻点处 y”0,故驻点为极小值点。5.设/(x)=x Inx 在 xo处可导，且/M)=2,则/(x0)=。解：/(幻=111*+1,由/(*0)=2知*0=6,于是有/(*0)=6.6.设lim什/(1。x2 则/(X)在x=0取 得(填 极 大 值 或 极 小 值)。解：li

46、m，1 )=一1,由极限的保号性有，(“)/()0,有 y(x)-/(0)010 X X即在X=()的某邻域内有f(x)00,x 4 是否连续？是否可导？并求/(X)的导函数。解：当x0及x0+x-0+x 1Vxhm/:-=0XT0+J1+X+1lim f(x)=O=lim f(x)=f(0)/(x)在(一8,8旌 续。x-0-x-0+当x 0时，fr(x)=J1 +，X/-1,当 x coXT0+X XT0+X x-0+V x(V l+X +1)I V1+x 1/。)在工=。不可导，/()=J2”2 n 7 7 x 0 x 8解：原式=lim 3-+-2=limX-0 0 1 XT8In 3

47、2x23X-3 x In3 4 (i N-=-lim In 3(3 x+3 x)=(In 3)1 2 XT8x设曲线方程为3.x=f+2+sin y=t+cost，求 此 曲 线 在 户2的点处的切线方程，及%=2时,=1“=0 y=切线方程：y _ i=：(x_2)1+cosf 2 2v=-s-in-/-c-o-s-/-1-v ffi=-s-in-0-c-o-s-0-1-=-1解：(l+cosf)3 X=1(1+cos 0)4四、四、试确定a,“c 的值，使尸*3+如2+必+在点(1,“)处有拐点，且在x=0处有极大值为1,并求此函数的极小值。解：y 3x2+lax+Z,y(0)=0 n Z

48、 =0,j(0)=l,c=1.y=6x+2,y=6+%=0,a=3.j =x3-3x2+l,y=3x2-6x=3x(x-2)y，=0时，驻点：“=0,2 =2(0)=6 0.:.极小值3(2)=-3。五、五、若直角三角形的一直角边与斜边之和为常数，求有最大面积的直角三角形。解：设所给直角边为与斜边与其之和为L,则s=xyjL-x)2-x2=1 3-2Lx2 2令 p (e a p).证：令/(*)=5财 好)=学 e)X Xf(x)在(a,+/(B),即 则 色 驾电Pln(a)aln(p)=lnap lnpa=ap pa.七、七、7=/(*)与3=5加(*)在原点相切，求极限lim V w/

49、1-0 0解：/(0)=sin(0)=0./r(0)=(sin x)x=o=cos 0=1,当x f 0时 了(x)与x是等价无穷小,lim V w/1-0 02/(2/)21 n=V2八、八、设/(X)在0,1上连续且在(0,1)内可导，且/(0)=/=0,八 1=1.证明：(1)至少有一点f G (1/2,1),使得/(6)=6；,存 在#(o，e，使得rs)-/(力F=i证：(1)令尸(x)于(x)-x,则/在 0,1 连续，在(0,1)可导，F(1/2)=/(1/2)-1/2 0尸5 1)-1=0-1 e +1；D、1+12.设，(x)=x l nx在。处可导，且/(%)=2,则/(%

50、)=(BA、0；B、e；C、1；D、e2o3 .若s i n2x是/(x)的一个原函数，贝(D)oA、x s i n2x +c os 2x +C；B、x s i n2x-c os 2x +C；x s i n 2 x c os 2 x+C x s i n 2x +c os 2 x+CC、2；D、2。4.已知函数/(%)=/+。/+以 在 =1处取得极值一2,则(B)oA、a =-3,b =0且x =1为函数/(x)的极小值点；B、。=0,6 =-3且x =1为函数/(X)的极小值点；C、。=-3)=0且=1为函数“X)的极大值点；D、。=0/=-3且x =l为函数/(x)的极大值点。二、填空题(