考研高数内部讲义.pdf

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1、高数部分高数第一章 函数、极限、连续求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对 于 合 型 和 台 型 的题目直接用洛必达法则，对于、8、广 型的题目则是先转化为蒋型或三型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1 山嘉1 卵 炉=、1 通+觉=、4.夹逼定理。高数第二章 导数与微分、第 三 章 不定积分、第 四 章 定积分第 二 章 导数与微分与前面的第一章 函数、极限、连续、后面的第三章 不定积分、第四章 定积分都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。对于第三

2、章 不定积分，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。在此只提醒一点：不定积分C 中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积 分 的 结 果 可 以 写 为 F(x)+1,1 指的就是那一分，把它折弯后就是0*)小=FM +C中的那个C,漏掉了 C也就漏掉了这1 分。第四章 定积分及广义积分可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对 于 型 定 积 分，若 f(x)是 奇 函 数 则

3、 有 二 若f(x)为偶函数则有对于I ”小型积分，f(x)-般含三角函数，此时用会的代换是常用方法。所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手,对 于 对 称 区 间 上 的 积 分 要 同 时 考 虑 到 利 用 变 量 替 换 x=-u 和利用性质信函数=、工 偶 函 数=2 偶 函 数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题H也同样有效。高数第五章 中值定理的证明技巧由本章 中值定理的证明技巧 讨论一下证明题的应对方法。用以下这组逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式A =E、(AAB)=CS 口口口均=目由这样一组逻

4、辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中个可以是这样的：条件给H I A、B、D,求证F成立。为了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手，我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时可能遇到的问题有以下几类：1.已知的逻辑推导公式太多，难以从中找出有用的一个。如对于证明F成立必备逻辑公式中的A =E 就可能有A =H、A n(I C K)、(A C B)nM等等公式同时存在，有的逻辑公式看起来最有可能用到，如(A C B)=M,因为其中涉及了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通；2.对于解题必须的关键逻辑推导关系不清楚，在该用到的时候想不起来或者弄错

5、。如对于模型中的(AC B)=C,如果不知道或弄错则一定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。通过对这个模型的分析可以看出，对可用知识点掌握的不牢固、不熟练和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大原因。针对以上分析，解证明题时其一要灵活，在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应该再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题：另外更重要的一点是如何从题目中尽可能多地获取信息。当我们解证明题遇到困难时，最常见的情况是拿到题莫名其妙，感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西，长时间无法入手；好不容易找到一个大致方向，在做若干步以后却再也无法与结论拉近距离

6、了。从出题人的角度来看，这是因为没能够有效地从条件中获取信息。“尽可能多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同时出题老师也正是这样安排的，但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(C c DC E)n F 再倒推 想 到(ACB)=C、A=E 就可以证明了。如果把主要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题，那么主要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的表现。其中的规律性很明显，甚至可以以表格的形式表示出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型：条件欲证结论可用定理A关于闭区间上的连续函数

7、，常常是只有连续性已知存 在 一 个 满 足 某 个 式子介值定理(结论部分为：存在一个 使得/零值定理(结论部分为：存在一个 使得九。二。)B条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导存 在 一 个 满 足“=0费尔马定理(结论部分为：/:)洛尔定理(结论部分为：存在一个 使得兀=)C条件包括函数在闭区间上连续、在开区间上可导存 在 一 个 满 足拉格朗日中值定理(结论部分为：存在一个 使得J (s)-b-a)柯 西 中 值 定 理(结 论 部 分 为：存 在 一 个 使 得f(e)_ g(b)-g(a)另外还常利用构造辅助函数法，转化为可用费尔马或洛尔定理的形式来证明从上表中可以发现，有关

8、中值定理证明的证明题条件一般比较薄弱，如表格中B、C 的条件是一样的，同 时 A 也只多了一条“可导性”而已；所以在面对这一部分的题目时，如果把与证结论与可能用到的几个定理的的结论作一比较，会比从题目条件上挖掘信息更容易找到入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重点应该放在熟记定理的结论部分上；如果能够做到想到介值定理时就能同时想起结论“存在一个使 得/=八、看到题目欲证结论中出现类似“存在一个使得/的形式时也能立J _/-/_ n ，-g（b）-g（a）刻想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子儿）=;而见到式子g，也如同见到拉格朗日中值定理样，那么在处理

9、本部分的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。所以说，“牢记定理的结论部分”对作证明题的好处在中值定理的证明问题上体现的最为明显。综上所述，针对包括中值定理证明在内的证明题的大策略应该是“尽一切可能挖掘题目的信息，不仅仅要从条件上充分考虑，也要重视题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同时保持清醒理智，降低出错的可能”。希望这些想法对你能有一点启发。不过仅仅弄明白这些离实战要求还差得很远，因为在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到；很多结论、性质和定理自己感觉确实是弄懂了、也差不多记住了，但是在做题忖那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无

10、法做到灵活运用；这也就是自身感觉与实战要求之间的差别。这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的掌握程度是不同的样，对于考研数学大纲中“理解”和“掌握”这两个词的认识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要做的就是靠足量、高效的练习来透彻掌握定理性质及熟练运用各种变形转换技巧，从而达到大纲的相应要求，提高实战条件下解题的胜算。依我看，最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。高数第六章 常微分方程本章常微分方程部分的结构简单，陈文灯复习指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法对应的表格。历年真题中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是

11、以小题出现的，也经常以大题的形式出现，一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出；从历年考察情况和大纲要求来看，高阶部分不太可能考大题，而且考察到的类型一般都不是很复杂。对于本章的题目，第一步应该是辨明类型，实践证明这是必须放在第一位的：分清类型以后按照对应的求解方法按部就班求解即可。这是因为其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型，所以出题的灵活度有限，很难将不同的知识点紧密结合或是灵活转换。这样的知识点特点就决定了我们可以采取相对机械的“辨明类型套用对应方法求解”的 套 路，而且各种类型的求解方法正好也都是格式化的，便于以这样的方式使用。先讨论

12、一下一阶方程部分。这一部分结构清晰，对于各种方程的通式必须牢记，还要能够对易混淆的题目做出准确判断。各种类型都有自己对应的格式化解题方法，这些方法死记硬背并不容易，但有规律可循这些方法最后的目的都是统一的，就是把以各种形式出现的方程 都 化 为f（x）dx=f（y）d y这 样 的 形 式，再 积 分 得 到 答 案。对 于 可 分 离 变 量 型 方 程/G）心.g （y）力。）心仆小+人 电（），心=0,就是变形为小X）=一加，再积分求解；对于齐次方程 =/）则VduJ f=；-L_/4-r做变量替换 x，则化为dx,原方程就可化为关于“祗的可分离变量方程，变形积分即可解；对于一阶线性方程

13、y+p（x）y=q（x）第一步先求y+p a）y=的通解，然后将变 形 得 到 的?积 分，第二步将通解中的c变为c（x）代入原方程+p*）y=必不解出c（x）后代入即可得解；对于贝努利方程y+p（x）y=g（x）先 做 变 量 代 换 代 入可得到关于Z、x的一阶线性方程，求解以后将z 还原即可：全微分方程M(x,y)d x+N(x,y)d y比 较 特 殊，因 为 其 有 条 件 鬻,而 且 解 题 时 直 接 套 用 通 解 公 式%r M(x,y0)dx+r N(x,y )dy=C所以，对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背步骤和最后结果公式。对于求解可降阶的高阶方程也有类似的规律

14、。对于)型方程，就是先把产“当作未知函数Z,则=N 原方程就化为dz=f(x)dx的一阶方程形式，积分即得；再对I ,产 依次做上述处理即可求解；y =/(x,y )叫 不 显 含 y 的二阶方程,解法是通过变量替换y-iy =p 为 x的函数)将原方程化为一阶方程；y“二 /(乂 了)叫不显含x的二阶方程，变量替换也是令，=。(但此中的P为 y的函数)，则 =Z =P =PP,也可化为一阶形式。所以就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替换？=，求解贝努利方程就用变量替换z =i”一样，在这里也要记住“求解不显含y的二阶方程就用变量替换y =p、y =p 、“求解不显含x的二阶方程

15、就用变量替换 =、V=P P ”。大纲对于高阶方程部分的要求不高，只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分方程解的结构定理与线性代数中线性方程组解的结构定理非常相似，可以对比记忆：若为(%)、为()是齐次方程V+()+*二的两个线性无关的特解，则 该 齐 次 方 程 的 通 解 为0(%)=,%(%)+c 2 y 2 (%)若齐次方程组Ax=O 的基础解系有(n-r)个线性无关的 解 向 量，则 齐 次 方 程 组 的 通 解 为%=占 必 +攵 2 y 2 +&-._ 非 齐 次 方 程/+()/+久)y =/(%)的通解为 y 二。%(%)+为()+%*(%),其中 为(%)是 非 齐 次

16、 方 程 的 一 个 特 解，%(%)+，2 y 2(%)是 对 应 齐 次 方 程+(%)+式 冗 =的通解非齐次方程组Ax=b 的一个通解等于Ax=b 的一个特解与其导出组齐次方程Ax=O 的通解之和若非齐次方程有两个特解%（%）%（%）,则 对 应 齐 若6、弓 是 方 程 组A x=b的 两 个 特 解，则次方程的一个解为丁（X）一%（幻 力（光）_ _ _ _ _ _ _ _（s 一马）是其对应齐次方程组AX=O的解由以上的讨论可以看到，本章并不应该成为高数部分中比较难办的章节，因为这一章如果有难点的话也仅在于“如何准确无误地记忆各种方程类型及对应解法”，也可以说本章难就难在记忆量大

17、上。高数第七章 一元微积分的应用本章包括导数应用与定积分应用两部分，其中导数应用在大题中出现较少，而且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题的大题中经常出现，常与常微分方程结合。典型的构题方式是利用变区间上的面积、体积或弧长引出积分方程，一般需要把积分方程中的变上限积分上 单独分离到方程的一端形成“山”的形式，在两边求导得到微分方程后套用相关方程的对应解法求解。对于导数应用，有以下一些小知识点：利用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或求导判断，判定极、最值时则须注意以下两点：A.极值的定义是：对于玉）的 邻 域 内 异 于 的 任 一点都有龙）或/注意是

18、 或 而不是2或W；B.极值点 包 括 图 1、图 2 两 种 可 能，所 以 只 有 在/（*）在处可导且在“处取极值时才有于（*）二。以上两点都是实际做题中经常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。（结论部分为人）一）；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到很好的作用，尤其是对于讨论方程根个数的题目，结合函数图象会比较容易判断。理解区分函数图形的凸凹性和极大极小值的不同判定条件：A.若函数在区间I上的/（）,则/（%）在I上是凸的；若/（*）在I上的/（）,则“）在I上是凹的；B.若/（%）在 点 处 有 九）=。且/（%。），则当时/（%0）为极大值，当/（%。）时/（%0）为极小值

19、。其中，A 是判断函数凸凹性的充要条件，根据导数定义，于（*）是/（*）的变化率，于（X）是/（“）的 变 化 率。,可 以 说 明 函 数 是 增 函 数，典型图像是y=-2x、丫，I y=2x；/（%）可以说明函数/的变化率在区间i上是递减的，包括以下两种可能：八y-Aa.此 时/（）为正，且随了变大而变小（大小关系可参考图3）；八y-b.此 时/（X）为负，随 X变大而变小（大小关系可参考图3）；同样，f（）也只有两种对应图像：此 时/（%）为正，随着工变大而变大;是凸的;当相比之下，判断函数极大极小值的充分条件比判断函数凸凹性的充要条件多了 （X）0的情况吗。满 足f ,判断级 数 乙

20、a-+l的敛-J L 1散性。关键步骤是：由 册+1 a+i 得到/i y mi V ax V anxn“n=-=求得哥级数=的 和 函 数I J以后代入极限式即可。其中的关键步骤是选择适当的X：一般情况下如果、（2 -1）这样的项在分子中，则应该先用逐项积分再用逐项求导，此 忖 的 应 为X 的形式，如X 、!1 n（）%,以方便先积分；若题目有（2 T）、（3 +1）这样的项，则X应为 的形(2n-l)(3n+l)式，如工、,便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。本章最后的知识点是付立叶级数，很少考到，属于比较偏的知识点，但其思想并不复杂，花时间掌握还是比较划算的。函数的付立叶级

21、数的物理意义就是谐波分析，即把一个复杂周期运动看作是若干个正余弦运动的叠加。首先需记住付立叶展开式和收敛定理，在具体展开时有以下两种情况：题目给出的函数至少有个完整的周期，如图则直接套用公式即可，不存在奇开拓和偶开拓的问题。对于形状类似上图的函数，展开以后级数中既有正弦级数也有余弦级数：若为奇函数如则展开后只有正弦级数；若为偶函数则展开后只有余弦函数；题目给出函数后没有说明周期，则需要根据题目要求进行奇开拓或偶开拓。如图若要求进行奇开拓就是展开成奇函数，此时得到的级数中只有正弦级数，图像为若要求进行/M IH-1 _ 0 I-偶 开 拓 就 是 要 展 开 成 偶 函 数，此 时 得 到 的

22、展 开 式 中 只 有 余 弦 级 数，图像为高数第九章 矢量代数与空间解析几何本章并不算很难，但其中有大量的公式需要记忆，故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题。抓住本章前后知识点的联系来复习是一种有效的策略，因为这样做既可以避免重复记忆、减少记忆量，又可以保证记忆的准确性。同时，知识点前后联系密切也正是本章的突出特点之-以下列出本章中前后联系的知识点：矢量间关系在讨论线线关系、线面关系中的应用。这个联系很明显，举例来说，平面与直线平行时，平面的法矢量与直线的方向矢量相互垂直，而由矢量X T 0 _ _关系性质知此时二矢量的数积为0,若 直 线 方 程 为 一 加 一 ，平面方程为A

23、*+By+Cz+=,则有A l +B m +C n =0 o同理可对线面、线线、面面关系进行判定。数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系。数积定义式 COS e a b为。Z?=1 a II I cos。，故有 a b 这个式子是所有线线、线面、面面夹/.x 一 司 二）一 力 二Z Z 1角 公 式 的 源 公 式。举 例 来 说，设 直 线1 4 g 1 ,直线_ )一 乃_ Z-QQ _ 2+叫+为2则二直线夹角 v 1 1 V2 2 2_.4 babf-其中、方分别是两条直线的方向矢量。对于线面、面面夹角同样适用，只需注意一点就是 线 面 夹 角 公 式 中 不 是cos=而 是s

24、in 0=，因 为 如 右 图 所 示由于直线的方向矢量与直线的走向平行，而平面的法矢量却与平面垂直，所以线面夹角是两矢量夹角e 的余角，即 夕+=9 0,故求夹角公式的左端是s i n 。对于线线夹角和面面夹角则无此问题。平面方程各形式间的相互联系。平面方程的一般式、点法式、三 点 式、截 距 式 中，点 法 式 和 截 距 式 都 可 以 化 为 一 般 式。点 法 式A（%70）+8（y-y）+C（z-Z 0）=0（点 OW ,Z。）为平面上己知点,人 民。为法矢量）可变形为-+为+C z -。+%+%）=0,符 合 般式A*+B y +C z +。=的形式：截距式十+三+7 =1（”，

25、c为平面在二个坐标轴上的截距）可变形为c*a c y+蹴-a b c=0，也符合一般式的形式。这样的转化不仅仅是为了更好地记公式，更主要是因为在考试中可能需要将这些式子相互转化以方便答题（这种情况在历年真题中曾经出现过）。同样,直线方程各形式之间也有类似联系，直线方程的参数形式和标准式之间可以相互转化。%=%+y =yQ+m t直线方程的参数形式 一是平面上已知点，九 为 n n,标准式x-x。二广二。=z-Z o x一/=），-=z 二=（/一？_“若 变 形 为/_，_“一则也可以转化为参数形式。这个转化在历年真题中应用过不止一次。空间曲面投影方程、柱面方程、柱面准线方程之间的区别与联系。

26、关于这些方程的基础性知识包括：（“A Z）二 表示的是一个空间曲面；由于空尸i（%,y,Z）=O1尸2（%,y,z）=0间曲线可视为由两个空间曲面相交而得到的，故空间曲面方程为i 2；柱2 2X-12 2 2-J L面 方 程 如 圆 柱 面“+=R、椭 圆 柱 面 白？b?可视为是二元函数/(%,)二 在三维坐标系中的形式。口(羽)=0在这些基础上分析，柱面方程的准线方程如I z =0可视为是由空间曲面柱面 与 特 殊 的 空 间 曲 面 坐 标 平 面Z=相 交 形 成 的 空 间 曲 线，即右图中的曲线2；而空间曲线的投影方程与柱面准线方程其实是一回事，如上图中曲线1的投影是由过曲线1的

27、投影柱面与坐标平面相交得到的，所以也1 K(%，y，z)=o|F7(X,y,z)=0就是图中的柱面准线。在由空间曲线方程i 2 7 求投影方程时，需要先从方程组中消去z得到一个母线平行于z轴的柱面方程；再与z 二 联立即可得投影方程|7(x,y,Z)=0z =0高数第十章 多元函数微分学复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数对应部分作对比，这样做即可以将相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来促进对二元函数某些地方的理解。本章主要内容可以整理成一个大表格：二元函数的定义（略）相似一元函数的定义（略）二元函数的连续性及极限：二元 函 数 的 极 限 要 求 点 以 任

28、何 方 向、任何路径趋向 ,）时 均 有/（儿-A-为）。如果沿不同路径的l i m f（x,y）l i m/（x,y）x x0 x-x0y.y。不相等，则可断定y-）。不存在。不同一元函数的连续性及极限：一元函数的极限与路径无关，由等价式l i m 于（x）=Axo0 （%）=/+（/）=A 即 可 判断。二元 函 数z =/（%，y）在 点 尸（/，%）处连续性 判 断 条 件 为：）1%存 在 且 等 于/O Wo）相似一元 函 数y=/（*）在 点 处 连 续 性l i m/（%）X-XQ判断条件为 且等于/（0）二元函数的偏导数定义二 元 函 数z =/（x，y）的 偏 导 数 定

29、义H m =l i m /（%。+故，氏）一/（%。，%）Ax -AA分段函数在分界点处求偏导数要用偏导数的定义相似一元函数的导数定义一 元 函 数 =于a）的 导 数 定 义：.Ay/（x0+Ax）-/U0）hm =hm-加T Ax Ax分段函数在分界点处求导数需要用导数定义二元函数的全微分：简化定义为：对于函数“=/（*），若其在点P（%o，M）处的增量A z可 表 示 为相似一元函数的全微分：简化定义为：若 函 数）=/（*）在点X处的增量可表示为Az=A Ar+B 闪 +o(p)，其中 o(p)为夕 的 高 阶 无 穷 小，则 函 数/(*)在P(%o，y。)处可微，全微分为“+，-d

30、 z=id x +id yAy=AAx+d，其u.中,J 是 日Ax的身阶 无 穷 小，则 函 数 在 该 点 可 微，即dy=AAx,一般有dy=f(x)dx二元函数可微、可导、连续三角关系图连续 可导可R/不同二元函数可微、可导、连续三角关系图连续 导可敬 多元函数的全导数、/设 z=/,匕 w)=gQ),v=/z(0vv二卜 且 都 可 导，则z对，的 全 导 数dz df du df dv df dw 1 1dt du dt dv dt dw dt不同一元函数没叭全导数/我 个 概念，但是左边多元函数的金导数的扁 以 从“元复合函数”的角度理解。一元复合函数是指y=/()u=g(x)时

31、 有dy _ dy dudx du dx。与左边的多元函数全导数公式比较就可以将二式统一起来。/(%,%)或f(x,y)/)或小=/(X)的 极 小/大 值，方 程于(X)二 的解称为函数的驻点。取极值的充分条件函 数z =/(%,y)在 点 尸(%。0)的邻域内有连 续 二 阶 偏 导，且 满 足 力(/孔)=、/、(%(),%)=、1仪。，汽)-/；(与,%)/；(x0，打)o相似取极值的充分条件函数y =/()在点“的邻域内可导，且满足/=、/3 0 ,则若/(%)。，则%0)为极小值;若/(X),则/(%。)为极小值,若 一：（%0，孔）。或/：（%。，）则（。，%）为极小值点；若 （

32、%0，孔）0 或/；（%。，九）则p（/，y。）为极大值点。大纲对于多元函数条件极值的要求为“会用拉格朗日乘数法求条件极值”，是一种比较简单而且程式化的方法。一元函数则无对应的内容。高数第十章 重积分大纲对于本章的要求只有两句：1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。2.掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。这一部分在历年真题中直接考到的情况很少，但却经常涉及，尤其是在关于曲线、曲面积分的题中，一般都需要将曲线、曲面积分转化为重积分来计算结果。关于二重积分的性质，可以结合二重积分的几何意义和定积分的对应性质来理解，因为理解几何意义有利于解应用性问题，而且定积分和二重积分的性质定理几乎是-一对应的，对比起来很直观。在做二重积分的题时常用的是更换积分次序的方法与几个变换技巧,这点在后面评题时会有针对性的讨论。