浙大四版概率论前8章习题答案(考研用).pdf

《浙大四版概率论前8章习题答案(考研用).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙大四版概率论前8章习题答案(考研用).pdf（72页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第一章 概率论的基本概念1.1-1写出下列随机试验的样本空间(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(充以百分制记分)(I一|1)S=q,，W X 1 0 01,表小班人数 n n n J(3)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。(|-|2)S=10,11,12,.,n,.(4)对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。|-|(3)5=0(),10(),()10(),0101,1010,0

2、11(),1100,0111,1011,1101,1110,1111,2.二 设4 B,C为三事件，用力，B,C的运算关系表示下列事件。(1)4发生，8与C不发生。表示为：，豆 或4 一(48+4。或/一(S U。(2)A,5都发生，而C不发生。表示为：A B C AB-A B C .A B-C(3)A,B,。中至少有一个发生 表示为：A+B+C(4)A,B,C都发生，表示为：ABC(5)A,B,C都不发生，表示为：工 阮或5一(N+5+O或4 U B u C(6)4,B,C中不多于一个发生，即4,B,C中至少有两个同时不发生相当于4 8,8 C,/C中至少有一个发生。故 表示为：A B +B

3、 C +A C.(7)A,B,C中不多于二个发生。相当于：彳，瓦仁中至少有一个发生。故 表示为：A+B+C A B C(8)A,B,C中至少有二个发生。相当于：AB,BC,4 C中至少有一个发生。故 表 示 为：AB+BC+AC6.三 设4 5是两事件且P(4)=0.6,P(S)=0.7.问(1)在什么条件下P(X5)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P”5）取到最小值，最小值是多少？解：由P(X)=0.6,P(5)=0.7即知4 8#。，(否贝lj/1 5=。依互斥事件加法定理，(X)+P(B)=O.6+O.7=1.31 与 P(4U8)W 1 矛 盾).从而由加法定理得P(45)

4、=P(A)+P(B)-P (A U B)(*)(1)从0/P“8)W P(/)知，当4 8=4,即4 n 8时P 8 5)取到最大值，最大值为P(AB)=P(A)=0.6,(2)从(*)式知，当/U 5 a时，P(/8)取最小值，最小值为P(/1B)=O.6+O.7-1=O3.7.|四|设4 8,C是三事件，且 P(/)=P(B)=P(C)=P(/B)=P(S C)=O,P(A C)=J.4 o求4,B,C至少有一个发生的概率。解：P(4 B,C 至少有一个发生尸P(N+B+0=P(4)+P(5)+P(C)-PC48)-P(BC)-P(XC)+P(H5C)=P(4UB)=P8.五在一标准英语字

5、典中具有55个由二个不相同的字母新组成的单词，若从26个英语字母中任取两个字母予以排列，问能排成上述单词的概率是多少？记4表“能排成上述单词”；从26个任选两个来排列，排 法 有 种。每种排法等可能。字典中的二个不同字母组成的单词：55个 尸 二 岩 奇9.在电话号码簿中任取一个电话号码，求后面四个数全不相同的概率。（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0,1.29）记4表“后四个数全不同”后四个数的排法有10,种，每种排法等可能。后四个数全不同的择法有4尸(/)=驾=0.50410.|六I在房间里有10人。分别佩代着从1号到10号的纪念章,任意选3 人记录其纪念章的号码。(1)求最小的

6、号码为5 的概率。记“三人纪念章的最小号码为5”为事件/:10人中任选3 人为一组：选 法 有 种，且每种选法等可能。又事件4 相当于：有一人号码为5,其余2 人号码大于5。这种组合的种数有1 x(1)(2)求最大的号码为5 的概率。记“三人中最大的号码为5”为事件B,同上10人中任选3 人，选 法 有 种，且每种选法等可能，又事件B相当于：有一人号码为5,其余2 人号码小于5,选法有IX；4P(5)=10111七I某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4 桶，红漆3 桶。在搬运中所标笺脱落,交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4 桶白漆，3 桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得

7、到定货的概率是多少？记所求事件为在 17桶中任取9 桶 的 取 法 有 种，且每种取法等可能。取得4 白3 黑 2 红的取法有G%XC：XC；故p(_ C：)x Q x C；_ 2 5 2()一 3 2 4 3 112.|八|在 1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。（1）求恰有90个次品的概率。记“恰有90个次品”为事件力V 在 1500个产品中任取200个，取法有为，）种，每种取法等可能.200个产品恰有90个次品，取法有(4 0 0 Y110 0 AI 9 0 A 110 J种尸(4)=19 0人1口f l 5 0 0)(2 0 0)（2）至少有2 个次品的概率

8、。记：A 表“至少有2 个次品”5。表“不含有次品”，表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法有m 种，200个产品含一个次品，取法有4（）（）蜉）种/=&）+8 且 8 ,互不相容。P(A)=1 -P(A)=1 -P(B0)+P(B )=1-(110 0)(4 0 0丫110 0、I 2 0 0 J J 1 A 19 9 J-I-C北 C：3）X10种P(4)=C；X C：7 X C 2 X 6 X 1 OC：O X C：7 X.X C，3119 6 0=0.0 0 0 5 1法二：用古典概率作把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件引完.（钟钉要

9、计先后次序）对E：钟法有蜀）种，每种钾法等可能对4三支次钉必须锦在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上，或“28,29,30”位置上。这种钾法有 义 解+A；义+.+/：；=10 x X；x 种尸(4)=1 0 x 4：x/：；119 6 0=0.0 0 0 5 117.十 三 已 知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5,求尸(B 14 u 耳)。解一:P(A)=1-P(A)=0.7,P(B)=1-P(B)=0.6,A=AS=A(B05=07-P(B I A)尸(耳 14)=3 =P(B I/)=2 故 P(4B)=P(4)P(B I4)=L0.7 7 7 51 5 =

10、P(A)+PP(BBA)-)P(A B)0.7+05.6 0.5=0.2518.|十四|P(4)=,P(5 M)=1,P(4 I B)=；,求P(/u 8).解：由P(8)定 义.常/嵋黑 由已知条件 JrD)Z rD o由乘法公式，得 P(/8)=P(/)P(8 l/)=5由加法公式，得 P(A u B)=P(A)+P(B)-P(/5)=!4 6 12 319.|十五1掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7,求其中有一颗为1点的概率(用两种方法)。解：(方法一)(在缩小的样本空间SB中求P(A|B),即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率)。掷两颗骰子的试验结果为一有序数组(x,j，)(x

11、,1,2,3,4,5,6)并且满足x,+y=7,则样本空间为S=(x,y)|(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)每种结果(x,y)等可能。2 1A=掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。故(/)=：=方法二：(用公式P(/IB)=号需S=(x,j)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6 每种结果均可能A=掷 两 颗 骰 子，x,y中 有 一 个 为“1 点”，B=掷 两 颗 骰 子，x,+尸 7”.则尸(8)=提=!，尸(/8)=义，6-6 6-2故相=鬻=?626320.十六 据以往资料表明，某一 3 口之家，患某种传染病的概率有以下规

12、律：尸(4 尸P 孩子得病=0.6,P(8|/Q=P 母亲得病|孩子得病=05尸 尸 父亲得病|母亲及孩子得病=0.4。求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。解:所求概率为0(4?不)(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P(3|45)P(48)=P(/4)=P(5H)=0.6x0.5=0.3,P(C AB)-P(C AB)=-0.4=0.6.从而(4 5 不)=P(AB)-P(C 38)=0.3x0.6=0.18.21.|十七I已知10只晶体管中有2 只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回抽样，求下列事件的概率。(1)二只都是正品(记为事件A)法一：用组合做

13、在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。p(m =0.6245法二：用排列做在io 只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。/2(4)=号4。4528法三：用事件的运算和概率计算法则来作。记 4,4 分别表第一、二次取得正品。Q 7 2 gp（z）=P（4 4）=P（Z）P（4 1 4）=而=而（2）二只都是次品（记为事件B）法一:C；10（）=斌=而法 二p哼T力10 J法三:-2 1 1P（B）=P（4 4）=尸（4）尸（4 1 4）=岳 x 卜=/（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）法一:C xC P（C）=8 2c；o1 64

14、 5法二:P（C）=（C；x C；）x曷 _ 1 64 5法三:尸（C）=P（44+4/2）月4彳2与 互 斥=p（4）p（414）+P（4）P（414）=鲁 x 看+2 8 =1 6T 0-9 -4 5（4）第二次取出的是次品（记为事件。）法一：因为要注意第一、第二次的顺序。不能用组合作,法二:4 o 3法 三，P（D）=P（AtA2+4彳2）且4不与不力2互斥=P（A,）P（A2IA,）+P（Al）P（A2IAl）=-x j +x j =j22.|十八 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是

15、多少？记 H 表拨号不超过三次而能接通。4 表第，次拨号能接通。注意：第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。H =Ai+AlA2+4 A2 A3三种情况互斥P（H）=尸（4）+p（4）p（4 1 4）+尸（4）尸（.1 4）尸（414 彳2）1 9 1 9 8 1 3=-1-X 1 X-X-=1 0 1 0 9 1 0 9 8 1 0如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B 已发生的条件下，求“再发生的概率。P（H B）=PAB+AXA2 1 5 +AtA2A31B）=尸（4 1 8）+P（4 I B）P（A2 B A）+P（4 I B）P（A21B AX）P（4 I B At

16、A2）_ 1 +4 *1 +4 3 1 _ 3-5+?X4+?X4X3-524.|十九I设有甲、乙二袋，甲袋中装有 只白球，只红球，乙袋中装有N 只白球必只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？（此为第三版19题（1）记 4,4 分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”再记5 表“再从乙袋中取得白球”。,:B=AJB+A2B S.Ai，4 互斥.P（B）=P（4）P（B|4）+P（A2）P（B A2）_ n *N+1 +m *Nn +m N +M +n +m N +M +十九1（2）第一只盒子装有5 只红球，4 只白球；第二只盒子装有

17、4 只红球，5 只白球。先从第一盒子中任取2 只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。记 G 为“从第一盒子中取得2 只红球”。Q 为“从第一盒子中取得2 只白球”。C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，。为“从第二盒子中取得白球”，显然c2,C3两两互斥，GUCzUG=s，由全概率公式，有p（D）=P（G）P（9 G）+P（G）P（D G）+P（G）P（D G）Cf 5 C：7 C-C 6 5 3-+-+-=-C：11 C；11 C；1 1 9 926.1 二十一 已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一

18、人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：4=男人,4=女人，B=色盲,显然 N U/2=，4 4=。由已知条件知 P（4）=）=；。P（B 14）=5%,尸（川 4）=0.25%由贝叶斯公式，有_ 5_P（A二 P（4B）尸（4）P 4）一而 二2 0P（B）P（4）P（B I4）+P（4）P（B I/2）1 5,1 2 5 2 12 1 0 0 2 1 0 0 0 0 二十二 一学生接连参加同一课程的两次考试。第一次及格的概率为p,若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为。（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。（2）若已知他

19、第二次已经及格，求他第一次及格的概率。解:4=他第i 次及格，i=l,2已知 P（4）=P（4 I 4）=P，P（&I Z）=%（1）5=至少有一次及格所以月=两次均不及格 =4不P（B）=I-P（B）=1-p（4 A2）=I-P（4）P（4 1 4）p 3 i=)(1)=尸 尸22 2 2)咨关署由乘法公式，有尸(4 4尸P(4)P(4 I 4)=P2由全概率公式，有 P(A2)=P(4 )P(4 I4)+P(A)P(A2 I A,)p=P P+(1-P)yp2 p=-2 2将以上两个结果代入(*)得尸p2 2P(4 1 4)=Y=/rP 2 P P+i-1-2 228.|二十五|某 人 下

20、 午5:00下班，他所积累的资料表明：某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。到家时间5:35395:40-5:445:45 5:495:50 5:54迟于5:54乘地铁到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽车到家的概率0.300.350.200.100.05解：设力=乘地铁，8=“乘汽车，C=5:455:49到家”，由题意T5=4SU5=S已知：P(=0.5,P(Q4)=0.45,P(C|B)=0.2,P(5)=0.5由贝叶斯公式有P(A C)=P(C M)P(/)P(C)_65 x()45_=些=2=0,6923P(C M)y

21、 +P(C IS)y 06 5 1329.|二十四I有两箱同种类型的零件。第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。试求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。解：设民表示“第 i 次取到一等品 i=l,2均表示 第j 箱产品 j=l,2,显然 1 8 2(1)P(BJ=-1-=0.4(6=48+45 由全概率公式解)。2 50 2 30 51 10 9 1 18 17尸田)=尸(8应)=5而而济磅=048572 1 P(BJ 25

22、（先用条件概率定义，再求P（8 Iz）时，由全概率公式解）32.二十六（2）1 如 图 1,2,3,4,5 表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p,且设各继电器闭合与否相互独立，求 Z 和 R 是通路的概率。记 4 表第，个接点接通记/表从Z 到 R是构成通路的。:A=AA-四种情况不互斥P)=P(44)+P(44M s)+尸(4/5)+尸(4/办)一户(4/7/5)+P(4 4 3 5)+p(4 4 4 4)+p(N14 3 s)+P(AAi P(Ai A A4Af)+P(A1A2A3 AA)+P(4 4 4 4 力5)+(AlA2A3A4A5)+P(AlA2A3A4As)-P(A

23、lA1A3A4A5)又由于4，4“X”4，4 互相独立。故 P(A)=p2+p+p2+plp4+p4+p4+p4+p+p4|+1 p5+P5+P5+p5|-p5=2 p2+3/_ 5p4+2 psI二十六(1)|设有4 个独立工作的元件1,2,3,4.它们的可靠性分别为P1,P2,P3,P4,将它们按图(1)的方式联接，求系统的可靠性.记 4 表示第，个元件正常工作，1=1，2,3,4,_aE Z Z J-i 3-A表示系统正常。1；I ,:/=/2 4 3+)M 4两种情况不互斥4:.(4)=P(AXA2A P (AIA4)-P(A,A2A3 A4)(加法公式)=P(AX)P(A2)P(4

24、3)+尸 S1)尸(4 4)一0(4 1)尸(4 2)尸(4 3)尸(力4)=P1P2P3十 尸1尸4 P 1尸2P3P4(4,力2,4 3,4 独立)3 4.三十一 袋中装有?只正品硬币，只次品硬币，(次品硬币的两面均印有国徽)。在袋中任取一只，将它投掷，次，已知每次都得到国徽。问这只硬币是正品的概率为多少？解：设“出现，次国徽面”=B 1 任取一只是正品”=A由全概率公式，有？1 HP(厚)=P(A)P(BrA)+P(A)P(Br I A)=-(一)+-x lrm+n 2 m+n)尸 M)=，上r P(B,.)加(1厂 m+n-Tm+n 2 m+n(条件概率定义与乘法公式)3 5.甲、乙、

25、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概率为0.6,若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。解：高；表示飞机被，人击中，i=l,2,3。B p B2,%分别表示甲、乙、丙击中飞机%叫 今 当+8出2冬+8 1 8 2 8 3,三种情况互斥。H2=4B2瓦+B 瓦 玛+及B2/三种情况互斥%=B2 B2 B 3又5|,B2,独立。P(H,)=P(B,)P(B2)P(瓦)+P(瓦)PCS?)P(瓦)+P(瓦)P(瓦)尸(鸟)=0.4 x 0.5 x 0.3+0.6x 0.5 x 0.3+0.6 x

26、0.5 x 0.7 =0.36P(H2)=P(耳)产3 2 )P(瓦)+P(Bi)P(瓦)P(B3)+P(瓦)P(B2)P(B3)=0.4 x 0,5 x 0.3+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41P(%)=尸(&)P(B2)P(83)=0.4x0.5x0.7=0.14又因：A=HyA+A+HyA 三种情况互斥故由全概率公式，有P(4尸尸阳)P(M1)+P(HOP(AH2)+P(H)P(AH)=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.45836.三十三 设由以往记录的数据分析。某船只运输某种物品损坏2%(这一事件记为4),10%(事件 4),90%(事件4,

27、)的概率分别为P(4)=0.8,P(4)=0.15,P(4)=0.05,现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的(这一事件记为5),试分别求P(4|5)P(4|B),P(4|B)(这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地)8 表取得三件好物品。B=AiB+A2B+AiB 三种情况互斥由全概率公式，有.P(B)=P(4)P(5M)+P(4)P(5|4)+P(4)P(5 4)=0.8X(0.98)3+0.15X(0.9)3+0.05X(0.1)3=0.8624P(4)P(8 I4)0.8x(0 98)3-P(B)-0.8624 S87 31P

28、(A2)P(BIA2)().15 x(0.9)3=P=0.8624=268=必幽&=四叱=0 0 0 0 1P(B)0.862437 三十四I将 4 B,C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a,而输出为其它一字母的概率都是(l-a )/2。今将字母串X4N4 BBBB,CCCC之一输入信道，AAAA,BBBB,CCCC的概率分别为PI，P2，P3SI+PZ+P3=1)，已知输出为 C4 间输入的是/L444的概率是多少？(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。)解：设。表示输出信号为4 8 c 4,Bi、Bz、/分别表示输入信号为4444,BBBB,CCCC,贝 口 国、B、/为一完

29、备事件组，且 P(B,.尸 P i=l,2,3。再设X 发、4 收分别表示发出、接收字母4其余类推，依题意有P(Nd a)=P(5a|8 发 尸 P(Ctk|Ca)=a,1 aP(/U|B发尸尸(4枚|C发尸/发尸产(8枚 I C发尸产(C枚|力发尸P(Gk|8发户一 y-X P(ABCAAAAA)=P(DBP(A|A)P(8枚|力 发)P(C枚|力 发)尸(力 司 力 发)=。2(子尸，1 n R同样可得 P(0 8 =P(0 8 k a-(-)于是由全概率公式，得3P(D)=p(B J P(D B i)/=!2/1 。、2 /F).Q 3=Pa(-2-)+(8+鸟)a(-2 )由Bayes

30、公式，得P(AAAAABCA)=P(BXD)=P(Bi)P(DBJP(5)2 a P、=2 a p i +(1 a)(5+巴)二十九I设第一只盒子装有3 只蓝球，2 只绿球，2 只白球；第二只盒子装有2 只蓝球，3 只绿球,4 只白球。独立地分别从两只盒子各取一只球。(1)求至少有一只蓝球的概率，(2)求有一只蓝球一只白球的概率，(3)已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。解：记 小、4、4 分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，&、/、/分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。(1)记。=至少有一只蓝球C=4 5+4/+A2Bi+A)Blt 5 种情况互斥由概

31、率有限可加性，得P（C）=P（AiBl）+P（AtB2）+尸（4曷）+尸（4名）+尸（4片）P（4）+尸 尸（斗）+尸 尸（鸟）+尸 尸（男）+P（4）尸 区）_ 3 2 3 3 3 4 2 2 2 2 _57 9 7 9 7 9 7 9 7 9 9（2）记。=有一只蓝球，一只白球,而且知。=4/+4 4 两种情况互斥P（D）=P（AtB3+P（AiBl）=尸（4 ）P（/）+P（4）P（B1）3 4 2 2 16=-1-=-7 9 7 9 63（3）尸 c）=号导=胃肾=累（注 意 到 CD=01 y y 1 y J J J 三十|A,B,C 三人在同一办公室工作，房间有三部电话，据统计知，

32、打给4 B,C 的电话的2 2 11 1 1概率分别为W，4，!。他们三人常因工作外出，4 5,C三人外出的概率分别为:，；4,5 5 5 2 4 4设三人的行动相互独立，求（1）无人接电话的概率；（2）被呼叫人在办公室的概率；若某一时间断打进了 3 个电话，求（3）这 3 个电话打给同一人的概率：（4）这 3 个电话打给不同人的概率；（5）这 3 个电话都打给B,而 5却都不在的概率。解：记 G、C?、G 分别表示打给4 B,C 的电话5、4、外分别表示4 B,C外出注意到 G、2、G 独立，且P（G）=0）=、2,P（G）=g1P（A）=J,P（0 2）=尸（。3）=:（1）P（无人接电话

33、）=尸（5 0 2。3）=尸（）尸。2）尸（。3）1 1、，1 1=7X7X7=32（2）记 6=“被呼叫人在办公室，6 =。仄+。2万Z+C3可 三 种情况互斥，由有限可加性与乘法公式P(G)=P(G 3)+P(C2D2)+P(C3 D3)由于某人外出与=P(G )P(2 1 G)+p g)P(02 1 C 2)+pg)p(2 I C3)否和来电话无关=x+x+x=(故P(A I C Q =P(4(3)为“这3个电话打给同一个人”2 2 2 2 2 2 1 1 1 17(4)R为“这3个电话打给不同的人”R由六种互斥情况组成，每种情况为打给A,B,C的三个电话，每种情况的概率为于是P=6义

34、言4 二2含4(5)由于是知道每次打电话都给5,其概率是1,所以每一次打给8电话而B不在的概率为且各次情况相互独立于 是P(3个电话都打给5,8都不在的概率)=(1)3=第二章 随机变量及其分布!.-一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3,4、5,在其中同时取三只，以X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3,4,5,分布律为P（x=3）=P（一球为3号,两球为1,2 号）=等t =-tC；1 0P（x=4）=P（一球为4号，再在1,2,3中任取两球）=笔 岂=/C；1。P（X=5）=尸（一球为5号,再在1,2,3,4中任取两球）=上 与=息C：1 0也可列为下表X：

35、3,4,5n 1 3 6P：WlOW3.1=1 设在15只同类型零件中有2 只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求 X 的分布律，（2）画出分布律的图形。解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0,1,2 个。巴_ 2 2“一 ）一 直 一 行p/y-n-C2x C13 _ 1 2（）-0 一 35C；x 1小=2）=/广再列为下表X：0,L 2 2 2 1 2 1p,35 35 354.|四|进行重复独立实验，设每次成功的概率为广，失败的概率为4=1-p（Op3)=Cs x(0.1)3 x(0.9)2+C；x(0.1)4 x(0.9)+C：x(

36、0.1)5=0.00856(3)至多有3 个设备被使用的概率是多少？P(X W 3)=C；(0.9)5+*0 x(0.9)4+C；x(0.1)2 x(0.9)3+C5 x(O.l)3 x(0.9)2=0.99954(4)至少有一个设备被使用的概率是多少？P(X 1)=1-P(X=0)=1 -0.59()49=0.40951 五I 一房间有3 扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间,它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，鸟飞向各扇窗子是随机的。(1)以X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求 X 的分布律。(2)户主声称，他养

37、的一只鸟，是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以 F表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数，如户主所说是确实的，试求丫的分布律。(3)求试飞次数x 小于y 的概率；求试飞次数Y小于x 的概率。解：(1)X 的可能取值为1,2,3,，PX=P 前”一1次飞向了另2 扇窗子，第 次飞了出去=铲，”=1，2,(2)y 的可能取值为1,2,3py=i=p 第1次飞了出去=(PF=2=P 第1次飞向另2 扇窗子中的一扇，第 2 次飞了出去2 1 _ 1尸 y=3=尸 第1,2次飞向了另2扇窗子，第3次飞了出去2!_ 13 PX Y=P Y =kPX YY=kk=3=P Y =kPXYY=kk=2

38、3=YJPY=kPXkk=2_ 1 X 1 +1 +2 1 _ 8/-3X3+3XL 3 T 3 j-/7全概率公式并注意到、尸 xyiy=i=o注意到X,y独立即P X Y Y =k=PX k3同上，PX=Y=P Y =kPX=YY=k攵=14P 小=眉=卜.4+q吟=号故尸 y x =i P x F)=P(X=I,Y=O)+P(X=2,y=o)+p(x=2,y=i)+P(X=3)p(F=0)+P(X=3)P(y=l)+P(X=3)P(y=2)=p(x=i)p(r=o)+P(X=2,r=o)+P(X=2,y=i)+p(x=3)P(r=o)+P(x=3)P(y=i)+p(x=3)P(Y=I)=

39、C；x 0.6 x(0.4)2 x(0.3)3 x(0.6)2、0.4 x(0.3)8 +x(0.6)2 xO.4 x C j x 0.7 x(0.3)2 +(0.6)3x(0.3)3 +(0 6尸 x C；x 0.7 x(0.3)2 +(0.6)3x C/x(O.7)2xO.3 =0.24 39.|+|有甲、乙两种味道和颜色极为相似的名酒各4 杯。如果从中挑4 杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。(1)某人随机地去猜，问他试验成功一次的概率是多少？(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3 次。试问他是猜对的，还是他确有区分的能力(设各次试验是相互独立的。)解：(

40、1)P(一次成功)=段70(2)P(连续试验10次，成功3 次 尸 G示/)3(品 尸=焉行.此概率太小，按实际推断原理，就认为他确有区分能力。I九I有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2 拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5 件中无次品时接受这批产品，若产品的次品率为10%,求(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率(2)需作第二次检验的概率(3)这批产品按第2 次检验的标准被接受的概率(4)这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率(5)这批产品被接受的概率解：X 表示10件中次品的个数，表示5

41、件中次品的个数，由于产品总数很大，故 XB(10,0.1),F-B(5,0.D(近似服从)(1)P X=0=0.9100.349(2)PX2=pX=2+PX=l=CO.120.98+C100.10.99=0.581(3)PF=0=0.9 5=0.590(4)尸0XW2,F=0(0X2与 F=2独立)=P0XW2PF=0=0.581x0.590=0.343(5)PX=0+P0l(0=P(X 11)=0.002840(查表计算)I+-(2)|每分钟呼唤次数大于3 的概率。PX 3 =PX 2 4 =0.566530 十六I以x表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间(以分计)，x的分布

42、函数是 叫求下述概率：(1)P 至多3 分钟;(2)P 至少4 分钟;(3)P 3 分钟至4 分钟之间;(4)P 至多3 分钟或至少4 分钟卜(5)P 恰好2.5分钟解：(1)P 至多 3 分钟=P XW3=Ev(3)=l-e T 2(2)P 侄少 4 分钟 P(X 3 4)=1 -&=-6(3)P3 分钟至 4 分钟之间=P 3XW4=Fx(4)-Fx(3)=e-1-2-e-16(4)P 至多3 分钟或至少4 分钟=P 至多3 分钟+P 至少4 分钟1 1.2.1.6=l-e+e(5)尸 恰好2.5分钟=P(X=2.5)=00,xl,18.十七 设随机变量X 的分布函数为Fx(x)=In x

43、,l x e.求(1)P(X2),P 0X3,P2X%)；(2)求概率密度&(x).解：(1)尸(XW2)=Fx(2)=ln2,P(0X3)=Fx(3)FX(0)=1,P(2 X|=Fx(1)-Fx(2)=ln1-ln2=ln1 /(x)=/x)=.0,其它20.十 八(2)|设随机变量X的概率密度/(x)为0 其 它x 0 x l(2)f(x)=2-x l x l x2d x+L a J-l 7 T故分布函数为：xy ll-x2+y a r c s i n xJ b t/r =1故分布函数为0 _ _ _ _ _F(x)=-xy ll-x2+a r c s i n x+7 1 i t1解：(

44、2)F M =P(X x)=r /d tJ-o o当X V 0时，尸(x)=o山=0当0 W x l时，b(x)=f 0力+t d t =-J-O O 4)当 1 X 2时，F(x)=Od t+/t d t +当2 x时，F(x)=O d f+j f c/f+jx -14-i x i2 x2rp 2-r)t/=2 x-l(2 /)d t +/0 d t =10工2F(x)=2 22x 00 x ll x 22 15 00)=1-P(X 00,其它某顾客在窗口等待服务，若超过io 分钟他就离开。他一个月要到银行5 次。以 y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出y 的分布律。并求P(F

45、至1).解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为P(X 10)=(x)d x=y e 5 d x=-e 51 =e 2因此 y 8(5,e-).即 P(y =%)=(1 _ e-2 亡*，%=1,2,3,4,5p(y i)=i-p(y i)=i-p(y=o)=i-(i-e _2)5=i-(i-45：r)5=1-(1-0.13 5 3 3 6 3)57.3 8 9=1-0.8 6 7 7 5 =1-0.4 8 3 3 =0.5 16 7.24.|二十二 设 K在（0,5）上服从均匀分布，求方程4 x2+4 xK +K +2=0有实根的概率K的分布密度为：=5-000 K 2)=+2,尸(X3

46、)若 XN(U,o2),则 P(XW(J)=。-4 尸(22)=1-P(|X|2)=1-P(-2P3)=1 一尸(XW3)=1-。3-32=l-0.5=0.5(2)决定C使得P(X C尸P(X这。:P(XC)=-P(XW。尸。(XW C)得 P(XWC 尸;=0.5又 P(XWC)=6=0.5,查 表 可 得|=0 A C=326.|二十四|某地区18岁的女青年的血压(收缩区，以 mm-Hg计)服 从(110,122)在该地区任选一 18岁女青年，测量她的血压X.求(1)0(X4105),/(100Xx)0 0.05.解:(1)P(X 4105)=0(1 0 51 1 0)=(-0.4 16

47、7)=1-0(0.4 16 7)=1-0.6 6 16 =0.3 3 8 4尸(100 x)=1 P(X x)=1 -百;1)0.05 n.巴广)2 0.9 5.查表得 三詈21.6 4 5.n x 2 1 1 0 +19.7 4 =129.7 4.故最小的X=129.7 4.27.二十五|由某机器生产的螺栓长度(0 )服从参数为N=10.05,。=0.06的正态分布。规定长度在范围10.()50.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？设螺栓长度为XPX 不属于(10.05-0.12,10.05+0.12)=l-P(10.05-0.12X(2)-4(-2)=1 一 0.97720.02

48、28=0.045628.|二十六1 一工厂生产的电子管的寿命X(以小时计)服从参数为N =160,。(未知)的正态分布,若要求P(120 (_/卜0,80又对标准正态分布有4 (x)=l (x)上式变为中 0.8 0解出中?)便得：I4 0 0.9再查表，得.“2 81屋需=3 1.2530.二十七 设随机变量X 的分布律为:X:-2,-1,0,b 31 15?_!JL 115，5 9 3 0求 y=x2的分布律v y=x2：(一2/P i I(一 1)2(0)2(I)2(3)2j _ i _ _ L H _6 5 T 5 3 0再把义2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数y 的分布律

49、为:/.Y t 0 1 4 9_ L j _ X 1 _H_：I 6-15 I 3 031.二十八 设随机变量X 在(0,1)上服从均匀分布(D 求 y=F的分布密度X 的分布密度为：/(幻=；髯豌y=g(x)=是单调增函数又 X=h (Y)=ln Yt反函数存在且 a=min g(0),4(1)=旭加(1,e)=lP max g(0),g(l)=mar(l,e)=e.V 触A而亦应力 1=1 l y e.y 的分布密度为：y/y)=y0 y 为其他(2)求 y=-2/x 的概率密度。V y=g(X)=-2ln X 是单调减函数_Y_又 X =h(Y)=e 反函数存在。且 a=r n in g

50、(0),g(1)|=/7(+,0)=0p=max g(0),g(1)=Z MX(+8,0 尸+F的分布密度为：w(y)=1 Vf h y h y)=-2e200 歹 +8y 为其他32.二十九 设 X N(0,1)(1)求丫=，的概率密度V X 的概率密度是/(x)=-2,-o o x +o oy=g(x尸，是单调增函数又 X=h(Y)=I n Y 反函数存在且 a=nting(0),g(+)|=/M/W(O,+0 0)=0p=maxg(-8),g(+oo)|=/Wav(0,4-0)=+0y 的分布密度为：M y)=/6 3)11(回 1=套。2 ,0 ”+80y 为其他(2)求 F=2X2+