高考模拟专题---解析几何.pdf

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1、解析几何解析几何一直是作为高考的一个难题，这块主要是围绕求曲线方程或已知曲线方程研究曲线方程的性质来出考题，主 要 分 为“曲线的方程”、“参数方程”、“定点定值问题”、“最值,取值范围问题”、“存在性问题”下面我们主要通过近两年高考和模拟题一起来看看这些问题的解题方法例题解析专题一、曲线的方程曲线与方程是解析几何最基础的问题，高考中除了部分直接考求轨迹方程的解答题，还有考求曲线方程的，或者在知道曲线类型的情况下，求其他的基本量（a,c,p,k）.在解题过程中要注意基本量思想的运用，即根据条件设出几个变量（基本量），相应的根据条件列出几个方程，解出相关变量，达到解题目的。例1、（2 0 1 6

2、 t :题 满 分1 4分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双 曲 线/一3=1（。0）的左、右焦点分别为、F2,直线/过鸟且与双曲线交于A、B两点。兀（1）若/的倾斜角为一，曲43是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；2（2）设8=6,若/的斜率存在，且（不+而）而=0,求/的斜率.思路点拨：（1）根据条件求出6即可（2）要求直线/的斜率%,就需要得到关于我的方程，只要设出直线方程带入双曲线方程,再把已知条件坐标化即可，由（品+币）而=0可求左解析：由题知a=l,c =b2+l,仅2+1）-，=1,解 得 坊2F,所以口片43的边长为2，又耳A3是等边三角形，则2 c =

3、口2代入。2=/+112解得/=2,所以双曲线的渐近线方程为y =J I x（2）由已知，F j-2,0）,F2（2,0）.设A（x”y J,B（x2,y2）,直线/:y =Z（x-2）.显然攵W O.彳2 _ J1由 3 ,得依2一3卜2一4 h+4%2+3 =0.、y =Z（x-2）因为/与双曲线交于两点，所以二一3/0,且 =3 6（l +r）0.设AB的中点为M（XM，W）由（和+即）入豆=0即 而.丽=0,知F|MLAB,故原M/=-LVM=左（尤乂_2）=k _ 3krM 2 k 3所以T k=7,得2 =3,故/的斜率为士2/一3 5 5例2、2 0 5虹口二模文2 2理2 2】

4、已知圆耳：（x +以+丁=8 ,点八（1,0）,点。在圆片上运动，。鸟的垂直平分线交。于点P.（1）求动点P的轨迹的方程C；（2）设M,N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若（第22题图）思 路 点 拨：（1）根据题设找出动点P（x,y）的代数关系，从而确定曲线轨迹来求方程（2）要 求 斜 率，就需要得到M（q，4）,N（a 2也）的点坐标，只要设出两点坐标代入丽+2丽=2西，且两点又在椭圆上曲线上得到四个等式，从而求出四个未知数，得出斜率（3）作为存在性问题，先肯定结论，再进行演绎推理，如果推理出现矛盾，则不存在；如果推出合理结果（推证无矛盾），则说明存在解 析：

5、因 为。鸟的垂直平分线交Q6于点P.所以|P段=|P Q|,从而|局+|尸 尸2 =尸用+|尸0=恒0=2&忻 声|=2,所以，动点P的轨迹。是以点、工为焦点的椭圆.2 2设椭圆的方程为 +为=1，则2 a =2正,2。=2 ,故动点尸的轨迹。的方程为 江+y 2 =l2（2 ）设 M（q，a）,N（4也）（q 0,4 0,%0也 j+7/fK+引+病+|计 是（1 8/行一1 8）炉+（9病+6加 一 1 5）9(2 +1)=(2+i)砧-z g+m3_ _ _ _ _ _ 1 8 疗-1 8 =0由假设得对于任意的e R,方 晨 丽=0恒成立，即J n，解得m=l.因此，在y轴上存在点，点

6、。的坐标为（0,1）课后巩固：（2017崇明二模18）尤2 V2设百、分别为椭圆C:r+Z=l（a 0）的左、右焦点，点力为椭圆。的左顶点，a b点6为椭圆C的上顶点，且|AB|=V L 为直角三角形.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线y =kx +2与椭圆交于只。两点，且O P J.O Q,求实数4的值.解析：（1）|AB|=J/=百,所以/+/=3因 为 町鸟 为 直 角 三 角 形，所 以b =c.3分又b2+c2=a24 分所 以a V2,b 所 以 椭 圆 方 程为26 分（2）由2 4-y=12y=kx+2得(1+2公)*2+8 +6=08 分由 =(8%)2-4(1+2公).6

7、0得k2设3 29分P(x1,yJ,Q(x2,y2)则有=一8k610分因为0 P _LOQ所 以 O P O Q=玉 /+M%=(1+攵2)%+2k(%+%)+4=1 +4=01 4 K12分2=5所满以足k23 213分所以14分专题二、参数方程这里说的参数方程不仅指直线和圆锥曲线的参数方程，还包括解题过程中要根据具体情况自行选取的参数。例1、(2016上海理第12题)在平面直角坐标系中，已知A(l,0),B(O,-1),户是曲线y =J l-x1上一个动点,则BP BA的 取 值 范 围 是.思 路 点 拨：要 求 丽 丽，就要把P的坐标表示出来，注意到曲线是半圆，想到圆的参数方程，转化

8、为三角函数最值问题；另P的坐标也可以用(x,y)表示，最终可转化为x代数式求最值问题。下面主要用参数来求解解 析：设尸(c o s。,sin6),3 e,则氏4=(1,1),BP=(c o s6,sine +I),从而有丽 丽=c o s6+sine +l =&sine +2 +1,又X 6 +工 区，所以 4)4 4 4乎0,y 0),由点P 在椭圆r：j+y2=l上且|OP|=/X可得 了+y=1H+y2=2,解得*2=*丁=1,则 P坐).8 3(2)设 M(xo，0),A(0,1),P(亍 5).T RQ 2 c 3若NP=90。，则PAP M=o,即(-,g)(xo-，-g)=0,8

9、、64 6八皿白 29 (-5)xo+行-行=0，解得xo=.f f 8 3若N M=90,则即(-xo，1),-xo，5)=0,/.xo2qxo春 0,解得 x0=l 或 x0=1.若NA=90。，则 M 点在x 轴负半轴，不合题意.VA5=2AE,A(0,1),AQ(4cosa,2sina-1).又设 P(2cosp,sinp),M(xo,0),V|MA|=|MP|,/.x02+l=(2cosp-x0)2+(sin。)2,整理得x0=|cosp.VP=(4cosa-2cosp,2sina-sinp-1),PM=(-cosp,-sin。)，P5=4PM,/.4cosa-2cosp=-5cos

10、仇 2sina-sinp-1=-4sinp./.c o sP=-g c o sa,sin04(1 -2sina).以上两式平方相加,整理得3 (s i n a)2+s i n a -2=0,2，s i n a q 或 s i n a=-1 (舍 去).此时，直线AC的斜率k A c 毒鬻负值已舍去），如图.NC U bU 1V课 后 巩 固：（2 0 17 嘉定二模19）如图，已知椭圆C：号+=1（。6 0）过 点 两 个 焦 点 为 耳（一1,0）和工（1,0）.圆。的方程为。+/2=。2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过耳且斜率为左（40）的动直线/与椭圆C交于A、B 两点,与圆。交于尸

11、、。两 点（点 A、尸在无轴上方），当|8 Q|,|A B|成等差数列时，求弦PQ 的长.X【参考答案】（1 ）由题意，C =1 ,.（1分）设椭圆c的方程为=1,将点代入，a1 a2-2；1 O 1r+5 =1,解得/=4（相=上 舍 去），.（3分）a2 4（/-1）42 2所以，椭圆C的方程为+二=1.（4分）4 3（2）由椭圆定义,AFX+AF2=4,BF+BF2=4,两式相加，得 AB +AF2+BF21=8,因为 巴|A B|成等差数列,所以Q AB +AF2 =2 BF2,于是 3|6 6 1=8,即|8 6|=；.（3分）设 5（%，%），由，(X0-l)2+=y(4解得83（

12、5分）片+乂 _ 1(或 设 8(2 c o s 6,V i s i n e),则(2 c o s。一 +B s i n?。=的，解得 c o s 9 =-|,.A 料 s e n J 4 V 1 5 s i n 6=-,所以3 ,-).3 3 3 7所以，k=岳,直线/的方程为旷=JT?（x+l）,即J B x y+JT?=O,（6分）圆。的方程为Y+y 2=4,圆心。到直线/的距离 =.（7分）4此时，弦尸。的长|尸。|=2 14 2解析:(1)由题意设椭圆的标准方程为L 万=lab0).2 x ya+c=3,a c=1,a=2,c=,b=3-F-=1.4 3y=kx+m(2)设 A(玉，

13、乂),8(，)，由 ,尤2 丫2 得(3 +4左2)尤2+8加七:+4(w?-3)=0 ,+=1 4 3A =6 4 m22-1 6(3 +4 A:2)(m2-3)0 ,3+4k2-m20.=X+x28 mk _4（加2 一 3）3 +软2，不%-3 +4 F 必 =（依 +z）,（依2 +）=k*2XX +mkx+x2）+mz I I I z _ +4=U,3 +4/3 +4/3 +4公2k7疗+1 6加:+4&2=0,解 得 叫=-2女,丐二一 万，且满足3 +4公 一 小。当人=一2 4时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾；2k 2 2当2 =一 半 时，/：y =

14、j t(X-),直线过定点0 0).2综上可知，直线/过定点，定点坐标为廿,0).例2、【2 0 1 5闵 行 二 模 文2 2 已 知 两 动 圆F；:(x +V 3)2+/=r2和/:(x-V 3)2+y2=(4-r)2(0 r 恒 用).由椭圆的定义可知Q3（加2-4二）3 +4公.以A B为直径的圆过椭圆的右顶点0(2,0),原。-怎0=-1,-*=1,百 一 2 /一 2(最好是用向量点乘来)y%+玉工2 -2(须+)+4 =0 ,3(/-4/)4(，-3)1 6 2 k的轨迹为椭圆，a =2,c=B 所以曲线C的方程是：+/=1.4 -1（2）由条件=知 道 如 七8=一1，氏一2

15、,0）.%=/,kMli=-2,得直线 M B :y=-2 x+1,4 2解方程组，4 ,可得8（，-）,c,1 7 1 7y =-2 x +1kAB=一 记3 ，直线 A B :y =-3 x-31,所以交点 W,-3）.（3）证法一:由题意可知：M（0,l）,设A（%，x）,B（x2,y2）,-3当AB的斜率不存在时，易知满足条件M 4-M B =0的直线AB为：x =0过定点N（0,-）当AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx+m,联立方程组:元2 24+)，=1 ，把代入有：(1 +4 2)x2+Sla m+4 m2-4 =0y=A x 4-7 7 7 -Skm-4 m2-41 2 1

16、+4公 1 2 1+4/因为=所以有n尤2+（云1+机-1）（依2+-1）=0,(1 +k2)x,-x2+k(m-l)(x,+)+(m I)?=0，把代入整理:(l +h)-+左(加-l)f+(m一1)2 =o,(有公因式小1)继续化简得:1 +4 2 2 1 +4 公（加一 1）（5加-3）=0 ,m=一 或机=1 （舍），3综合斜率不存在的情况，直 线 恒 过 定 点N（0,-）.证法二：（先猜后证）由题意可知：M（0,l）,设A（%,y J,8*2,%），如果直线AB恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y轴上，设为取特殊直线MA:y=x+1 ,则直线MB的方程为y=-x+1,.尤2

17、解方程组彳4)_|_ v2 _得 1点 S43一 去1),同理得S点33。,6,y=x+3此时直线A B恒经过y轴上的点2V(0,-)下边证明点N(O，T 满足条 件 就 丽=0当A 8的斜率不存在时，直线A 8方程为：x=0,点 4 B的坐标为(0,1),满 足 条 件 必 砺=0；3当AB的斜率存在时，设直线AB：y=kx一一，联立方程组:5%2 2 了+=1,3V=KX 5 242 64，把代入得：（1 +4二）%2.x =05 2 524 kX.+X.=-5（1 +4 公）-64，x-%,=-,-25（1+4公）所以 A/A-M B=%+（X-1）（%一 1）=%4 +（H 令=（1

18、+G）X|X2 一 号（玉 +）+|（1 +公）.-64 8 k 24 k6 4八）1H-=025（1+4公）5 5（1+4公）25y y2 I例3、【2014年崇明二模文理2 3 已知椭圆G：；+/=l(人 。)经过点”(1,；)，且其右焦点与抛物线C2:V=4.r的焦点F重合，过点尸且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P,Q两点.(1)求椭圆G的方程;(2)设。为坐标原点，线段。尸上是否存在点N(,0),使 得 行 初=而屈？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；(3)过点4(4,0)且不垂直于x轴的直线与椭圆交于AB两点，点8关于x轴的对称点为E,试证明：直线A E过定点.【解析】：(

19、1)由题意，得：尸(1,0)91 4 I。？=4 犬 2 V2所以4方+含=i ,解，得4 ,.所以椭圆的方程为：一+乙=1 ；a b =3 4 3(2)设直线P。的方程为：y =Z(x 1),(攵H0),代入2+-=1,得:(3 +4公*一 8入 +8 F 1 2 =0A =(-8川)2 -4(3 +4公)(8公 _ 1 2)0 恒成立.设pa，%)。9,%)，线段PQ的中点为火(演，为)，则无3=五 产=4 k23+4公，玉-1)=-白由 QP N P =P Q N Q 得：P Q (N Q+N P)=P Q Q N R)=Q,所以直线NR为直线P。的垂直平分线，1 4 A-2直线NR的方

20、程为：y+-=-（x一一”丁），-3 +4 公 k 3 +4L2 1令y =0得：N点的横坐标=3 +4 公 乂+4k23因为公w(0,+8),所以r +4 e(4,+8),所以ek所以线段O F上存在点N(,0)使得 而=所 而，其中ex2 v2(3)证明：设直线AB的方程为：y =A(x-4),(�),代 入 一+乙=1,得:4 3（3 +4公）f-3 2入 +6 4 4 2 -1 2 =0,由 A=（-32公 产-4（3+4/）（6 4/-1 2）0,得：ke，设4天，3），8（%4，%），七（4，一乂）,则32k2 64k2-12L 加2与百，则直线AE的方程为丁一为=匕5（一七）

21、,七一乙令）,=0得：x=/一:=七次（/4）+5无（七 4）3%+%+（X3+X4-8）26 4 -1 2 _4 _ 3 2=2玉 乜-4（刍+匕）_ 3+4公 3+4二=,Jr,+x4 8 32K 0-7 a3+4公所以直线A E过定点（1,0）.课后巩固：（2017黄浦二模20）设椭圆M:W+=l（a80）的左顶点为A、中心为。，a b若椭圆M过点且AP，P。.2 2（1）求椭圆M的方程；（2）若?!尸0的顶点0也在椭圆 上，试求4面积的最大值；武（3）过点A作两条斜率分别为附&2的直线交椭圆材于R E两点，且匕&=1，求证：直线OE恒过一个定点./I【参考答案】（1）由A PLO P,

22、可知心p勺p=l,II 1又A点坐标为(4,0),故Ty =-l-可得a=l，.2分因为椭圆材过P点，故1+=1,可得=1,4 4b 3v2所以椭圆的方程为炉+亭=1.4分3(2)/。的方程为干9 =斗，即x-y +l =O,由于Q是椭圆材上的点，故可设。(cos&虫 sin。)，.6分所以SpQ=1 V2x x2 2心 百 q 7cos 夕-s m，+l37T8 分1 2G s 兀、=-cos(e+)+1 14 3 6TT jr当。+=2 攵 乃(Z w Z),即6 =2%)一一(ZwZ)时，S PQ取最大值.6 6故SM P。的最大值为噂+；.1 0 分法二：由图形可知，若 5A A股取得

23、最大值，则椭圆在点。处的切线/必平行于AP,且在直线AP 的下方.6分设/方程为y=x +0),代入椭圆材方程可得4x2+6 及+3 f2 1 =0 ,由A =0,可得f=迪，又/方程为y=(x +l),代入犬+39=1,可得(3 尢 2 +1)/+6 M X +3 1 =0 ,x 过定点（一 2,0）.1 6 分（法二）若 DE垂直于y 轴，则乙=-x。,%=%,此时左 他=与题设矛盾.+1 /+1 1 3yD 3若。石不垂直于y 轴，可设O E的方程为x =(y+s,将其代入f+3 产=1,可得d+3)2+2 砌，+$2-1 =0,可得为+九=冷，.1 2 分又kk,-y yE-%=i,1

24、 2 xD+1 x+1 (tyn+5 +l)(y+5 +1)可得(-i)yDy+t(s+1)(D+)+(s+1)2=0,.1 4 分故(/_l)R+r(s+l)3;+(s+l)2=0，r2+3 r+3可得s=-2 或-1,又 O E不过A点，即s H-l,故s=-2.所以。E的方程为x =)2,故直线 E 过定点(一 2,0).1 6 分定值：常见类型及解题策略 田承代坂及%兔福二祓巅落陵,柞 菊屈石布痂及蓼薮看笑的尊氐;不彰漱三花 商 由 二可得出定值；（2）求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；（3）求某线段长度为定值.利用长度公式求

25、得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.例 1、【2 0 1 2 年闵行区二模文理第2 2 题】已知椭圆彳+=1 的两焦点分别为、F2,P是椭圆在第一象限内的一点，并 满 足 西 配=1,过 P作倾斜角互补的两条直线PA P B分别交椭圆于A、B 两点.（1）求 P点坐标“；（2）当直线PA经过点（1,应）时，求直线AB的方程；（3）求证直线AB的斜率为定值.解析：（1）由题可得耳（五,0）,月 诋 0），设品（乙,凡）（%0,为 0）则 P 4=（一 0 一/,一儿），PF2=（V 2 -x0,-0）,A PFt PF2=V +y0-2=1,2 2.点P（x。,%）在曲线上，则、

26、+二=1,解得点尸的坐标为（五,1）.4 2（2）当直线PA经过点（1,应）时，则尸A的斜率为-1,因两条直线P A、PB的倾斜角互补，故尸B的斜率为1,y -1 =x+V 2 /5,4由=3如一4（&+1）*+2 +4=0 得，=&,无 2 =、4+2 =1即修=4,故%=等 二1,同 理 得 修=绐4,%=弩1，直线AB的方程为y2-3-&2(3)依题意，直线P4 的斜率必存在，不妨设3P的方程为：y-1 =k(x-4 2)丁-1 =依 一 仅 0).由/卡 得lT+T=1(2k2+l)x2-4k g k-1)%+4%2 4-2 =0,7 L 4k k l)1 4 1 k2-A k-4 1

27、设 B 区,%)则=2：+i%=亦曾一2y2k2+4 k-y/2X=-.2k2+1则当一/同理%一%=_艘乙+4_2后）=/号所以：AB的斜率38=上，-”=为5定 值.九一七 2例 2、（2 0 1 6 年普陀文理2 2）已知椭圆：工+”=1的中心为。，一个方向向量为5 4*=（1,幻的直线/与只有一个公共点M（1）若左=1且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过。的直线/|与/垂直，求证：点M 到直线4的距离dW石一 2；（3）若点N、P在椭圆上，记直线O N的斜率为匕，且 2为直线。尸的一个法向量，且1=4k 5求|ON+|O P 的值.【解】（1）设直线/：y=x+m,根据题意

28、可得：1 分y=X+/7 7 x2 y2，消去 y 并整理得9 x?+1 0/?x+5（M-4）=0.2 分T+T-二 （1 0。2-4 x 9 x 5 0 2 -4）=0 ,解得相2=9,因 为 M 在 第 二 象 限，故7/1 =3,.3 分代入得9/+30X+25=0,解得x=-g,进而y =g,故加（一,：）4分（2）根据题意可得，直 线 点x+ky=05分设直线2：y=kx+m(m 0 ),则 y=+mx2 y2+=1I 5 45 分消去y得（4 +5 公卜2 +0 攵如+5（加2 -4）=06分 =（1 0 4 机）2-2 0（4 +5 公）.（m 2 4）=0 ,解 得 5k2-

29、m2+4 =0 ,即m2=5k2+4.7 分且工=-5 km5/+4A m5 A 2+4故例-5 km 4 m），y=5&2+4 5 k 2+4 J8分-5km 4 km km点M到直线/,的距离d=5Z：/5kl=+4 =一.J l +/J/,(1 +.2)(4 +5 攵 2)当 人=0时，d=0 ；.9分 当 左。0时，d=,1 45-2,当且仅当人=J d 时等号成立.综上 可得，点M 到直线/1 距离dW正 一 2.1 0 分(3)根据条件可得直线O P的斜率&=一一，1 1 分kA 4由于1=?,则直线O N的斜率的匕=人k 5 1 51 2 分于是直线O N的方程为y夫,由 2 =

30、1相切，求证：O P _ L。；（3）设椭圆G：4 N+y 2=,若M、N分别是G、G上的动点，且。求证：O到直线M N的距离是定值.,2、解析：（1）双曲线G：4-y 2=l,左顶点A-y-,0 ,渐近线方程：y=+y/2x.127不 妨 取 过 点A与 渐 近 线y =JL c平 行 的 直 线 方 程 为y =x+一2J,即y=V 2 x +1.解 方 程 组 一/，得 -b 2.0 ,故OP_L OQ.（3）当直线O N垂直于x轴时，|ON|=1,|O M|=，则0到直线M N的距离为等当直线O N不垂直于x轴时,设直线O N的方程为y =（显然|幻 三V2、7,则直线O M的方程为y

31、 =-：x.2Xy=kx,2，得.4 x+y2X2由14+f所以|0 N=上 与.同 理|0 M|2 =*L.K i K ZK 14 +公 设O到直线M N的距离为d,因为(|O M+1 ON 1 2 M2 =|O M|2|O N|2,c r.,1 1 1 3 女2+3 6所以一可-H-7 =;-=3 ,即 d =.d2 1 0 Ml 2 1 0 7 V|2 k2+1 3综上，。到直线M N的距离是定值.课 后 巩 固：【2 0 1 5年杨浦文2 3理2 3】己知抛物线C:y 2=4 x的焦点尸，线段P。为抛物线C的一条弦.(1)若弦尸。过焦点尸，求证：-+一为定值；F P F Q(2)求证：

32、x轴的正半轴上存在定点M,对过点M的任意弦PQ,都有+而 为定值:(3)对 于(2)中的点M及 弦P Q,设 两=4而，点N在x轴的负半轴上，且满足N M 1(NP-ANQ),求N点坐标.【解析】：证明：尸(右0),设d：x =m y+与 尸。，M),。(马,当)；丁=2 p x y -2pmy-p=Q,x=my+万111 1 1 1-1-=-H-=-1-F P F Q P P my+p my2+p%1 2 2 2=?(y +%)+2 =2 画+1)=2 _/口必+2)+/r(/2+1)p(2)加(凡0)(。0),设。:x=my+a,P(x,y1),Q(x2,y2)；y2=2px 2*.22(

33、町 F+y；(my2)2+y221 (1 +J _)=1 (y+%-2%=J _.P21n2 +pa加？+i 才 yi/+i(Mf r P2(/+i)1-7 H-7 为定值MP2 MQ2当2 =0时，一1 d 1当？=1时，MP2 MQ2 p1 a1 1MP2 MQ2 1/0,若点。在 上，且|P D|的最大值为3,求?的值；（3）设。为坐标原点，若 m =B 直线/的一个法向量为3 =（1,刈，求AAOB面积的最大值.I【参考答案】【解】|P C|=J+3=2,解得加=1.1 分，所以点M 1,0）.2分由于 c =yja2 b =1,.3 分故的焦点为仕1,0）,所以P在的焦点上.4分./

34、2（2）设 D（x,y）,则 丁=3 1 -.5 分=（九一加I +y2 =；%2 -2m x+?2+3 （其中一2x S2）.7分对称轴x=4 机 0,所以当x=2时，|P D|取到最大值3,.8分故m2+4 m +4 =9,即加N+4 m 5 =0,解得加二-5 或加=1.9分因为m 0,所以m=1.1 0 分（3）/:%一 百+6=0,.1 1 分,将直线方程与椭圆方程联立分x-也+ky=Gx2 y2 ,消去X得，（3 2 2+4卜2一6百母一3 二 0-1-=11 4 3其中A0恒成立。设A（Xi，yJ,B（x2,y2）,贝I-66ki=素 3%=一罚1 3分 百 _ _ _ _ _

35、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _SMOB=5X百x M-%|=彳 +%）2 -4必%=6.在2 .1设 =3/+1,令/=十:，则/=9/+2 4 6+1 6U1 2分3 4 2+19/+2 4 +1 611/2+60+9“+2 +6U01 0）有相同的焦点耳、K，它们在y轴右侧有两个交点A、B,满足豆+可=0.将直线A8左侧的椭圆部分（含A,8两点）记为曲线叫，直线A8右侧的双曲线部分（不含A,8两点）记为曲线也.以耳为端点作一条射线，分别交叱于点Pg,%），交 吗 于 点M（XM,yM）（点M在第一象限），设此时F】M=m FP.（1）求吗的方程；（2）证明：x 0=-L 并探索

36、直线M F,与P 8斜率之间的关系；m（3）设直线加工交 叫 于 点 N,求AV用 N 的面积S 的取值范围.【参考答案】.（1）由条件，得 巴（1,0）,根 据 可+月 豆=。知，庄、/、6 三点共线,且由椭圆与双曲线的对称性知，从 8 关于x 轴对称，故 所 在 直 线 为 产 1,从而得4（1,半），8（1,一学）.-2分所以，4 一白 =葭 又因为鸟为双曲线的焦点，所以从=1，解 得 a2=b2=-2-3 分2 2因此，区 的 方 程 为 十 一十=1 （尤 1）.-4 分2 2 由 （岛%）、M（心 加，得 尸二（斯+1,%）,6 M =（照+1,为），由条件，得 几+1 =皿 X”

37、+D xi V f=加L +m-lP,即 ，-5.%=myP%=myP由（痂,为）、（其就分别在曲 线 叱 和 区 上，有X；2 F y =1,2%，消 去 加 得2（优 +机-1）?-2（m yp）2=13 m2xf+4 m(m -l)xp+1 -4 m=0 (*)-7 分1 1 1 4/7?将一代入方程（*）,成立，因此（*）有一根x 结合韦达定理得另一根为Xp=，m m 3 m1 4/27因为 2 1,所以舍去.P 3 m所以，x=-.-8 分m/_ 1一 11 A/?从而P点坐标为（一,-）,m m所 以直 线 P%的 斜率所以，直线M居的斜率上M F1 0 分因此，M6 与 Pg斜率

38、之和为零.1 1 分(3)由知直线尸鸟与叫关 于 x轴对称，结合椭圆的对称性知点/与点A，关 于 x轴对因为S在(I,)上单调递增，-1 5 分所 以，S 的 取 值 范 围 是(0,+oo).-1 6 分课后巩固：(2 0 1 6 浦东文2 2)教材曾有介绍：圆f+y 2=7 2 上的点(%,%)处的切线2 2方程为修8+/)；=，。我们将其结论推广：椭 圆 事+与=1 (。力0)上的点(尤 0，%)a b 处的切线方程为岑+岑=1,在解本题时可以直接应用。已知，直线x-y +JJ=0与a-b 2椭圆E：+y 2=l(a 1)有且只有一个公共点。a(1)求。的值；(2)设。为坐标原点，过椭圆

39、E 上的两点A、8分 别 作 该 椭 圆 的 两 条 切 线 且I、与4交于点o设加WO,直线A3、O M的斜率分别为人、k2,求证：占 2 2 为定值。设加/?,求 AO 43面积的最大值。解：（1）联立vy x+V 3 X2,整理得（3 +1）9+26+2=0+/=1 。矿依题意 =（）即（2 后）2-4-（1+1）-2 =0 =。=正.C I（4分）（2）设 A（x”y）、仇马，必）于 是 直 线 4、4的 方 程 分 别 为 当+y y =i、竽+2 y =1将 M（2,加）代入4、12的方程得x+m y -1 =0且+次%-1 =0所以直线A3的方程为冗+g 一1 =0.（7分）|n

40、i Ikx=-,k2=-9 所以为定值.（1 0 分）m 2 2x+m y-1 =0依题意联立x2 2=（租2+2）-2 my 1 =0+y =12，显然 （）,由如必是该方程的两个实根，,.2 m 1 /.有,必=-.（1 2 Jm +2 m+2 Q 4 B 面积 S=，2X弘*2%的绝对值，即5=3及1 一%1 （1 4 分）即 S 2 =+炉-4%归=4（m+2）h 0）Y根据题意得力=c =l 所以/=+c 2 =2 所以椭圆方程 为 万+y（2）根据题意得直线方程为l-.y=x-x2 2_ _ 一解方程组 昼+一1得 P,Q 坐标为（0,-1）,（一,一）y=x-1 3 3计算|尸

41、口 =孚 点。到直线PQ的 距 离 为 宫 所以，SA 0 P G=|（3）假设在线段。F 上存在点”（相,0）（0加 1）,使得以MRMQ为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与X 轴不垂直，所以设直线？的方程为），=Hx 1）a*0）.P,Q 坐标为区，凹）,但，必）由F +25，得，（i +2k2）x2-4 k2x+2 k2-2 =0y =Z(x-l)2k2-2-,西尤2 =-1 +2 炉 1 2 i+2k计算得：M P =-m,yt),MQ=(x2-m,y2),其中 X|-x2 H 0由于以M P,M Q为邻边的平行四边形是菱形，所以|而 卜|通 计算得加=西 +&即7 7 2 =%+%=

42、-,（%W 0）所以0m=5+加(且?。1).X2/-1-=1,联立方程组(4 3 得/+皿+疗-3 =0.又交点为A(x,，x)、8 3,为)，y=-x+m.I 24-x2=-m,/.xxx2=m2-3,.A 0 =2 /?2.?_ 3?_ 3.k+k _中 2+(?_ 2)(&+)_ 2?+3 0P A P B X,-1 X2-1 X.%2-(JC,+x2)+l(3)答：一定存在满足题意的定圆N.理由：.动圆M 与定圆N 相内切，两圆的圆心之间距离|MN|与其中一个圆的半径之和或差必为定值.又 0(1,0)恰好是曲线(椭圆)C 的右焦点，且M 是曲线C 上的动点，记曲线C 的左焦点为F(1

43、,0),联想椭圆轨迹定义，有|+|MD|=4,若定圆的圆心N 与点尸重合，定圆的半径为4时，则定圆N 满足题意.定圆N 的方程为：(X+1)2+/=1 6.课后巩固：（2016徐汇二模22题）（本题满分16分；第（1）小 题3分，第（2）小 题6分，第（3）小题7分）r2 v23已知椭圆C:亍+方=1（4 方 0）的右焦点为F（l,0）,且点P（l,1）在椭圆C.（1）求椭圆C的标准方程；r2 v24（2）过椭圆G:=+二=1上异于其顶点的任意一点Q作圆。：/+2 =的两条切2 33线，切点分别为M,N（M,N不在坐标轴上）,若直线MN在x轴，y轴上的截距分别为加证明：-r-H-为定值；3 m

44、2 n22 a 2（3）若4，R是椭圆C,：=+%=1上不同的两点，4 6 _ L x轴，圆E过片，且椭圆a b。2上任意一点都不在圆E内，则称圆E为该椭圆的一个内切圆.试问：椭圆G是否存在过左焦点耳的内切圆？若存在，求出圆心 的坐标；若不存在，请说明理由.【解答】（1）由题意得，c =l.所以/=从+1,又点p（l,3在椭圆。上，所以3+二=1,解得=4,=3,2 a 4。-所以椭圆。的标准方程为x一2+2v-2=1.-3分4 3x2 3 y2（2）由（1）知,C|：/+才=1,设点。（X ，X）,M（X 2，2），N（X 3，%），4 4 则直线QM的方程为工2%+%=，直线QN的方程为毛

45、%+3 y=：，把点。的坐标代入得4龙2玉+%弘=4所 以 直 线 的 方 程 为 玉x +y y =：尤3%+为X=54 4令y =0,得 加=，令x =0,得=,3玉 3 y4 4所以玉=乂=:，又点Q在椭圆G上,3m 3n所以(二4 ),2+3(43),2=4,即 1 y +1 =23,为定值.-9 分3 m 3”3 加2/4(3)由椭圆的对称性，不妨设6(加,),鸟(2,-),由题意知，点 E在 x轴上，设点 E(t,0),则圆 E 的方程为(x-/+/=(m-/)2+n2.-1 1 分由椭圆的内切圆的定义知，椭圆上的点到点E的距离的最小值是由目，设点 M(x,y)是椭圆 G 上任意一点，则=(x-/)2+j2=-x2-2tx+t2+1,、_ Of Af当工=机时，|阳 最小，所以？=.2假设椭圆G 存在过左焦点门的内切圆，则(石 7)2=(加厅+2.又点6 在椭圆G 上，所以1=1 一 彳.-1 4 分A由得t=或t=-73,2当t=一百 时，?=曳=送 8 2,不合题意，舍去，且经验证，/=一也符合题意。3 3 2综上，椭圆G 存在过左焦点尸的内切圆，圆心后的坐标是(三,0).-1 6分