北京市2021年数学中考真题（含答案解析）.pdf

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1、2021年北京市初中学业水平考试数 学 试 卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1.（2021北京中考，1,2 分，）如图是某几何体的展开图，该几何体是（）2.3.A.长方体B.圆柱D.三棱柱（2021北京中考，2,2 分，）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务.2014-2018年,中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元，将 169 200 000 000用科学记数法表示应为（）A.0.1692X1012B.1.692x10,2C.1.692x10D.16.92x100（2021北

2、京中考，3,2 分，）如图，点 O 在直线AB上，O CL O D.若/AOC=120。，则N8OD4.（2021北京中考，4,2 分，）下列多边形中，内角和最大的是（）A.B.C.D.5.（2021北京中考，5,2 分，）实数”，6 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是()I I j I d.-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5A.a -2B.a bC.a+b QD,b-a 06.（2 0 2 1北京中考，6,2 分，)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（)1A.4132D，31C.-27.（2 0 2 1北京中考，7,2 分，)已

3、知 4 3 2=18 4 9 ,4 4 2=19 3 6 ,4 52=2 0 2 5 ,4 62=2 116.若为整数且n V 2 0 2 1 和 S都随X的变化而变化，则 y与X,S与无满足的函数关系分别是（A.一次函数关系，二次函数关系B.反比例函数关系，二次函数关系C.一次函数关系，反比例函数关系D.反比例函数关系，次函数关系二、填空题（共 16分，每题2 分）9.（2 0 2 1北京中考，9,2分，）若 在 实 数 范 围 内 有 意 义，则实数X的取值范围是10.（2 0 2 1 北京中考，10,2 分，分解因式：5 X2-5/=.2 111.（2 0 2 1北京中考，11,2分，）

4、方程=的解为.x+3 x12.（2 0 2 1北京中考，12,2分，）在平面直角坐标系x O y 中，若反比例函数y=（厚0）的图象经X过点A （1,2）和点8 （-I,相），则根的值为13.（2 0 2 1北京中考，13,2 分，）如图，PA,P B 是。的切线，A,B是切点.若N P=5 0。，则NA O B=.14.（2 0 2 1北京中考，14,2分，）如图，在矩形A 8 C Z）中，点 E,尸分别在B C,A D上，A F E C.只需添加一个条件即可证明四边形A E C F 是菱形，这个条件可以是（写出一个即可）.15.（2021北京中考，15,2 分，有甲、乙两组数据，如下表所示

5、:甲1112131415乙1212131414甲、乙两组数据的方差分别为S f,S；,则 S 手 Si（填“”，V”或16.（2021北京中考，16,2 分，某企业有A,B 两条加工相同原材料的生产线.在一天内，A 生产线共加工a吨原材料，加工时间为（4 a+l）小时；在一天内，B 生产线共加工匕吨原材料，加工时间为（26+3）小时.第一天，该企业将5吨原材料分配到A,8 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到8 生 产 线 的 吨 数 的 比 为.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了 5吨原材料后，又给A 生产线分配了?吨原材料，

6、给 B 生产线分配了 吨原材料.若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则一n的值为.三、解 答 题（共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.（2021 北京中考，17,5 分，）计算：2s i n 6（T+屈+|-5|-（兀+夜）18.（2021北京中考，18,X 4 x _ 5 x +L5分，)解不等式组：i 3 x-4I-是C 4的中点，：.CALDB（）（填推理的依据）.,/直线D B表示的方向为东西方向，直

7、线C A表示的方向为南北方向.21.（2021北京中考，21,6分，）已知关于x的一元二次方程7-4加v+3 m 2=0.（I）求证：该方程总有两个实数根；（2）若?0,且该方程的两个实数根的差为2,求相的值.22.（2021北京中考，22,6分，如图，在四边形A 8 C 3中，N AC B=N C A O=9 0。，点E在8 C上,AE/DC,E F L A B,垂足为 F.（1）求证：四边形A E C Q是平行四边形；4（2）若 4 E 平分N BAC,BE=5,cosB=-,求 BF 和 A3 的长.23.（2021北京中考，23,5分，）在平面直角坐标系x Oy中，一次函数（后0）的图

8、象由函1数y=的图象向下平移1个单位长度得到.2（1）求这个一次函数的解析式；（2）当x -2时，对于x的每一个值，函数），=3（加0）的值大于一次函数丫=履+匕的值，直接写出，的取值范围.24.（2021北京中考，24,6分，）如图，。是AAB C的外接圆，A 是。的直径，A CBC于点E.（1）求证：Z B A D Z C A D；（2）连接B O并延长，交A C于点凡 交。于点G,连接G C.若。的半径为5,O E=3,求G C和O F的长.25.（2021北京中考，25,5分，）为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了 25家邮政企业，获得

9、了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组：6 8,8 1 0,1 0 412,12Wx 0）上.（1）若?=3,=1 5,求该抛物线的对称轴；（2）已知点（-1,川），（2,”），（4,3）在该抛物线上.若加“0,比较y i，加y 3的大小，并说明理由.27.（2021北京中考，27,7分，）如图，在A4 B C中，AB=AC,ZB AC=a,M为B C的中点，点。在M C上，以点4为中心，将 线 段 顺 时 针 旋 转a得到线段A E,连接B E,D E.（1）比较N B A

10、 E与N C A C的大小；用等式表示线段B E,B M,M D之间的数量关系，并证明；（2）过点M作A B的垂线，交O E于点N,用等式表示线段N E与M）的数量关系，并证明.28.(2021北京中考，28,7 分，)在平面直角坐标系xOy中，。的半径为1.对于点A 和线段BC,给出如下定义：若将线段8 c 绕点A 旋转可以得到。的弦9 C (夕，C 分别是8,C 的对应点)，则称线段BC 是(DO的以点A 为中心的“关联线段”.(1)如图，点 A,B,Ci，Bi，C2,B3,C3的横、纵坐标都是整数.在线段BiC”B2c2,83c3中，。的以点A 为中心的“关联线段 是:(2)AABC是边

11、长为1 的等边三角形，点 A(0,f),其中a).若 BC是。的以点A 为中心的“关联线段”，求 1的值；(3)在AABC中，AB=1,A C=2.若 BC是。的以点4 为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的8 c 长.2021年北京市初中学业水平考试数学试题答案全解全析1.答案：B解析：圆柱的展开图为两个圆和一个长方形，.展开图可得此几何体为圆柱.故选B.考查内容：几何体的展开图.命题意图：本题主要考查学生对常见儿何体的展开图的了解与直观想象能力，难度较小.2.答案：C解析：1 6 9 2 0 0 0 0 0 0 0 0 的整数位数有1 2 位，所以将1 6 9 2

12、0 0 0 0 0 0 0 0 用科学记数法表示应为1.6 9 2 x1 0”.故选C.考查内容：科学记数法.命题意图：本题主要考查学生用科学记数法表示较大的数，难度很小.归纳总结:把一个数表示成4 X 1 伊的形式（其 中 1 W 时 V1 0,a为整数），这种记数的方法叫做科学记数法.（1）当原数的绝对值大于1 0 时，用科学记数法可写成“X 1 0 的形式，其中等于原数的整数位数减 1,也就是小数点向左移动的位数.（2）当原数的绝对值小于1 时，用科学记数法可写成a xl O 的形式，其 中 1W 时 1 0,”是负数，它的绝对值等于原数第一个不是0的数前面。的个数，也就是小数点向右移动

13、的位数.3.答案：A解析：V Z A O C+Z B O C=180,Z A O C=120,A Z B O C=1 8 0 -1 2 0 =6 0.又；OCJ_。，A Z CO D=9 0 ,:.Z B O D=A C O D-Z BO C=9 0 -6 0 =3 0.故选 A.考查内容：垂直的定义；邻补角的定义.命题意图：本题主要考查学生对邻补角的定义和垂线的定义运用，难度很小.4.答案：D解析：A项，三角形的内角和为1 8 0。；B项，四边形的内角和为3 6 0。；C 项，五边形的内角和为（5-2）xl 8 0=5 4 0o：D项，六边形的内角和为（6-2）x 1 8 0 =7 2 0.

14、故选D.考查内容：多边形内角和.命题意图：本题主要考查学生对多边形内角和定理的掌握程度，难度很小.5.答案：B解析：A项，由图可得数a表示的点在-2 左侧，.b,故 8 正确；C 项，.,8,a 0,：.a+b0,故。错 误.故 选 B.考查内容：绝对值；实数与数轴.命题意图：本题主要考查学生对用数轴表示数，实数的运算法则的掌握，难度较小.6.答案：C解析：画树状图如下：开始正 反 A正 反 正 反由树状图可知共4 种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2 种结果，.一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的的概率为2 上=1上.故选C.4 2考查内容：列表法与树状图法.命题意图：本

15、题主要考查学生对概率公式的理解，对列举法求概率的掌握，数学建模能力、数学运算能力的应用，难度较小.7.答案：B解析：V 19362021 n=l x2,解得加=-2,X即m的值为-2.考查内容：反比例函数图象上点的坐标特征.命题意图：本题主要考查学生对用待定系数法求反比例函数的解析式的掌握与数学运算能力，难度较小.13.答案：1 3 0解析：PA,P B 是。的切线，A,B 是 切 点,：.OAAP,OB IB P,：.O A P=ZOB P=90.,：Z O A P+ZAOB+ZOB P+ZP=360,：.ZAOB=360-9 0 -9 0 -5 0=1 3 0 .考查内容：切线的性质；多边

16、形的内角和.命题意图：本题主要考查学生对切线的性质、四边形的内角和的掌握与逻辑推理能力，难度较小.14.答案：AEAF(答案不唯一)解析：可添加 A E=A F,.四边形 A B C D 是矩形，：.AD/B C,BP AF/C E.：AF=EC,四边形A E C F 是平行四边形，.D A E C F 是菱形.考查内容：平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质.命题意图：本题主要考查学生对矩形的性质、菱形的判定的理解和运用与逻辑推理能力，难度较小.15.答案：1 1解析：福=x(1 1+1 2+1 3+1 4+1 5)=1 3,=-1 (1 1-1 3)2+(1 2 -1 3)2+(1

17、 3 -1 3)2+(1 4-1 3)一 1 12+(15-1 3)2 =2,%乙=1x (1 2+1 2+1 3+1 4+1 4)=1 3,S j =-(1 2 -1 3)2+(1 2 -1 3)2+(1 3 -1 3)2+(1 4-1 3)2+(1 4-1 3)2=0.8,V 2 0,8,二 S,.考查内容：平均数；方差.命题意图：本题主要考查学生对方差的计算公式的掌握与数据分析能力，难度中等.11 6.答案：2：3 解析：设分配到A生产线的吨数为x 吨，则分配到8生产线的吨数为(5-x)吨，根据题意，可得4 x+l =2 (5 -x)+3,解得x=2,分配到8生产线的吨数为5-2=3 (

18、吨)，分配到4生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为2：3；.第二天开工时，给A生产线分配了(2+/)吨原材料，给B生产线分配了,1 m 1(3+n)吨原材料，；加工时间相同，；.4 (2+m)+1 =2 (3+n)+3,解得朋=n,一=.2 n 2考查内容：一元一次方程的应用；二元一次方程的应用；比例的性质.命题意图：本题主要考查学生对一元一次方程、二元一次方程的应用及比例的基本性质的掌握及数学建模素养，数学运算素养.核心素养：创设了加工相同原材料的生产线的现实情境，考查学生对用文字和符号描述的数学条件的阅读理解能力、对题目中的信息进行提取、加工和处理能力，建立合适的数学模型，鼓励学生用多

19、样化的方法、不同的数学模型来分析、解决现实问题，考查模型思想与应用意识.1 7 .解析：原式=2 x巫+2 6+5 -12=6+2 后+5 -1=3 6+4.易错警示：本题中计算零次基时，易出现(乃+&)=0的错误，理解零次幕的意义，避免类似的错误.考查内容：实数的运算；零指数基；特殊角的三角函数值.命题意图：本题主要考查学生对实数的运算的掌握与数学运算能力，难度较小.1 8 .解析：解不等式4 x-5 x+l,得x 2.解 不 等 式 士 二 得 4.2则不等式组的解集为2 x2-4ac=(-4m)2-4xlx3m2=4m2.无论，取何值时，由户。，即()，原方程总有两个实数根.(2),.x

20、2-4mx+3m2=0,即(x-m)(x-3w)=0,X2=3/n.且该方程的两个实数根的差为2,3m-m2,m=1.考查内容：解一元二次方程-因式分解法；根的判别式.命题意图：本题主要考查学生对一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法的理解掌握与数学运算能力，难度较小.2 2.解析：(1)证明：./AC8=NC4=90。，.,.AD/CE,.AE/DC,.四边形AECQ是平行四边形.(2)CEFA.AB,NBFE=90,4 BF.cosB -,B E5,5 BE4 4：.B F=B E=x5=4,5 5Z.EF=ylB E2-B F2=J 5 2-4 2 =3.A E 平分N 8 4 C,

21、EFLAB,N A CE=9 0,：.EC=EF=3,由（1）得四边形A E C。是平行四边形，：.AD=EC=3.考查内容：角平分线的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；解直角三角形.命题意图：本题考查了学生对平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义、角平分线的性质以及勾股定理等知识的掌握及逻辑推理素养、数学运算素养的培养.2 3.解析：（1）函 数 的 图 象 向 下 平 移1个 单 位 长 度 得 到1,2 2 一次函数（原0）的图象由函数y=g x的图象向下平移1个单位长度得到，这 个 一 次 函 数 的 表 达 式 为1.（2）,Wm W 1.2解析：把x=-2代入1,求得y=-

22、2,；函数（加#）与一次函数1的交点为（-2,-2）.2把 点（-2,-2）代入求得机=1,.当x -2时，对于x的每一个值，函 数 尸m x（0）的值大于一次函数y=；x-1的值，W/nW 1.2考查内容：一次函数图象与系数的关系；一次函数图象与几何变换.命题意图：本题主要考查学生对一次函数的图象平移规律的理解、一次函数图象与性质的理解掌握与逻辑推理素养，数学建模素养的培养，难度中等.2 4.解析：（1）证明：是。的直径，AD 1.B C,RD=mD,：.ZBAD=ZCAD.(2)在 RA80E 中，08=5,0E=3,：.BE=y)0B2-0 E2=4.是。的直径，ADLBC,:.BC=2

23、BE=8.是。的直径，：.ZBCG=90,：.GC=ylBG2-BC2=6.JADLBC,ZBCG=90,：.AE/GC,：./AFOCFG,.0A _ OF pn _ OFGC FG 6 5-OF解得0F=.考查内容：勾股定理；垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质.命题意图：本题主要考查学生对垂径定理的灵活运用、相似三角形的判定与性质的灵活运用与逻辑推理能力、数学运算能力，难度中等.2 5.解析：（1）将甲城市抽取的2 5家邮政企业4月份的营业额从小到大排列，处在中间位置的一个数是10.1,因此中位数是10.1,即m=10.L（2）由题意得pi=5+3+4=12

24、（家），由于乙城市抽取的25家邮政企业4月份的营业额的平均数是11.0,中位数是11.5,因此所抽取的25家邮政企业4月份营业额在11.5及以上有13家，也就是P 2的值要大于1 3,p0),抛物线开口向上且经过原点.当。=0时，抛物线顶点为原点，x 0时)，随x增大而增大，胆0不满足题意,当6 0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，不满足题意，：.b 0,抛物线对称轴在y轴右侧，x=l时机0,x=3时即两个抛物线和x轴的2个交点，一 个 为(0,0),另外一个在1和3之间，3 1抛物线对称轴在直线x=-与直线x=-之间，2 2Bn1 b,32 2a 2.点(2,”)与对称轴距离工2 -(-)-

25、,2 2a 25点(-1,y i)与对称轴距离二-(-1)-,2 2a 25点(4,K)与对称轴距离士 4 -(b).y2_yiy3.考查内容：待定系数法求二次函数的解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征.命题意图：本题考查学生对待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质的掌握及数学建模素养、数学运算素养的培养.【核心素养】立足于二次函数的概念、图象和基本性质这些学科主干知识的考查，引导学生结合二次函数图象的对称性，利用数形结合的方法进行推理，重点考查学生利用在初中学段的学习中所积累的主干知识和学习经验进行思考和说理.2 7.解析：(1)V ZDAE ZBAC=a,：.ZDAE-

26、NBAD=ZBAC-ZBAD,即 NBAE=NCAQ.在 ABE和 AC。中，AB AC,ZBAE=ZCAD,AE=AD,：.ABEACD(SAS),：.BE=CD.为BC的中点，:.BE+MD=BM.(2)EN=DN.证明：如图，作EHLAB交BC于H,交A8于凡由(1)XABE乌X A C D,得NA8E=NACD,/ZACD=ZABC,：.ZABE=ZABD.在 BEP和ABHF中，ZEBF=ZHBF,N 中，/Y E N =/N D M,/E N Y =/D N M,EY=DM,：.4E YN沿4DM N(A 4 5),:.EN=DN.解法 3：(2)EN=DN.证明：如图，延长M N

27、,B E,交于点X,作 y B E,交NM的延长线于点K由(1)得A 8 E四A C。，NABE=NABC,由对称性可得，BX=BM,/BXM=NBMX.：DY/BE,：.NDYM=NBXM.又：NBMX=NDMY,：.ZDMY=ZDYM,：.DM=DY.在和 O YN 中，EXN =ZDYN,/ENX=NDNY,EX=DY,:.丛EXNQ/XDYN(4 4 S),证明：如图，延长M N,B E,交于点X,作。G _ L M M 交NM的延长线于点G,作E H _ L M N 于H.由(1)得A A B E 会A C。，ZABE=ZABC,由对称性可得，BX=BM=CM,NBXM=/BMX,：

28、.EX=DM,NEXH=/DMG.在 E X H 和 DWG 中，/EXN=NDMG,GN 中,/EH N=/DGG,E相交于点F.AB=AC,M是B C的中点,aJ.AMVBC,N 4 M C=N 4 M B=9 0 ,ZBAM=ZCAM=.2a：.ZC=9 0 .2由（1）得”丝 ZV I C。,：.ZBAE=ZCAD,AE=AD,：.ZDAE=ZCAB=a,a：.ZADE=90a.2:MN LAB,a：.ZAMN=90 ZBAM=90.2a./A M N=/A DE=9 0 .2又,：/MFN=ZAFD,:.NMFsXADF,.NF MFAF=DF又:ZAFN=ZDFM,:A N F A

29、 s X M F D,:.NANF=NFMD=90 .：AE=AD,【核心素养】考查学生识别、分析和提炼问题情境中的基本几何图形及其性质，利用自身的学习经验，以及所学过的常用图形变换，通过画图、观察和分析图形运动变化的全过程，猜想、探究蕴含其中的几何图形数量之间的关系和规律，从而考查学生的几何直观、对基本图形中的常用辅助线的认知，考查探究问题的通用方法的掌握情况和逻辑推理能力.2 8.解析：(1)8 2 c2.解析：由旋转的性质，可知A B=4 B，AC=AC,ZB AB ZC AC,由图可知，点 A到圆上一点的距离d 的范围为0 -l W d 0 6 +l，：AC i=3 d,点cr不可能在

30、圆上，.8 1。不是。O的以A为中心的“关联线段”，；A C 2=1,A B 2=不，：.C2(0,1),B l(1,0),.B 2c2是。的以A为中心的 关联线段”，：A C 3=2,A B 3=石，当 明 在圆上时,由 (1，0)或(0，-1),由图可知此时C 3 不在圆上，.8 3 C 3 不是。O的以A为中心的“关联线段”.(2)如图所示，:A B C 是边长为1 的等边三角形，根据旋转的性质可知 A Q C 也是边长为1 的等边三角形.V A (0,I),轴，且 8 C =1,40为 6 c 边上的高的2 倍，且此高的长为且,2二.f=G 或-6 .(3)0 A的最小值为1时，此时8

31、 c 的长为6，0 A 的最大值为2,此时8 c 的长为远.2理由：由旋转的性质和“关联线段 的定义,可知A B=A B=08=0C=l,A C =A C=2,如图 1,利用四边形的不稳定性可知,当 A,O,C 在同一直线上时，最小，最小值为1,如图2,此时 0A=O B=O C,ZABC=90,：.BC=VciA2-B A2=J22 T 2 =6 .当4,B,。在同一直线上时，0A 最大，如图3,此时。4=2,过点A 作 AE1.0C于 E,过点C作 CF_L04于尸.：A0=AC=2,AEVOC,1OE=EC=2：.AE=y l 0 -0 E2=22-(1)2=半1 1,/SA4or=-A

32、OCF=OCAE,3 F =0 9-。尸=二，4BC=Vi r Tc F=J（-）2+（）2=.V 4 4 2综上OA的最小值为1时，此时BC的长为OA的最大值为2,此时BC的长为乎.考查内容：圆的综合题.命题意图：此题属于圆综合题，主要考查学生对旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点的掌握运用及数学建模素养，逻辑推理素养的培养.【核心素养】以学生学习的重点知识之一的旋转作为主要背景，定义了“关联线段”，以实践操作、探索发现、证明猜想为活动主线，让学生经历学习、研究新知识的一般过程，从特殊情况入手，继而研究一类“关联线段”的特征，探究和解决问题，在现场学习的活动经验的积累过程中提升逻辑推理素养，数学运算素养等数学素养.