考研高数_概率_线代公式下载.pdf

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1、高等数学部分公式导数公式:(tgx=sec2 x(ctgx)r=-esc2 x(secx)=secx 次x(cscx=-esc x-ctgx(/)=ax na(ogax)=-xlna(arcsin x)=1yjl-x2(/arccosx、，)=,1(/arctgx)、，=-1r1 +九(arcctgx)=-71 +x基本积分表：tgxdx=-ln|cos x|+Cctgxdx=ln|sin+C|sec xdx=ln|sec 无 +tgx+Cjcsc xdx=ln|csc x-ctgj+Cdx2，Q+Xdxx2-a,dx-2a-x,dx2-x2j =-arctg-+CInx-aaa2+CX+Q2

2、a+x-In-+Ca a-x x arcsin+Caf =fsec2 xdx-tgx+CJ COS%JJf d；-fcsc2 xdx-ctgx+Csin x Jjsec x-tgxdx=sec x+Cjcscx-ctgxdx=-esc x+Caxdx=-CJ lnshxdx=chx+Cchxdx=shx+C.=ln(x+x2 a2)+Cyjx1 a2n2“=jsin0兀2“xdx-Jcos“xdx=0ln-2n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _7x2+a2dx=-d x2+2 +ln(x+x2+(22)+CJ 2 2_

3、 _ 2 x2-a2dx-y-a2-1 nx+-a2+CEdx=4 三角函数的有理式积分：22/工 人x H-arcsinF C2 a.2u 1-w2 xsinx=-7，COSX=-7，U =tg-,1 +M2 1 +w2 2,2dudx=-rl+一些初等函数:两个重要极限:双曲正弦:shx=-2双曲余弦:Mx=+e 2双曲正切：儿 X=四=4chx e+earshx=ln(x+d +1)archx=ln(x+Vx2-1).sinx tlim-=1I。Xlim(l+与=e=2.718281828459045.工T 8 X三角函数公式:诱导公式：、数角 Asincostgctg-a-sinaco

4、sa-tg-ctga90-acosasinactgatga900+acosa-sina-ctga-tga180-asina-cosa-tga-ctga180+a-sina-cosatgactga270-a-cosa-sinactgatga270+a-cosasina-ctga-tga360-a-sinacosa-tga-ctga360+asinacosatgactga和差角公式：和差化积公式：sin(a /?)=sin a cos/?cos a sin 0sin a +sin 尸=2 sin c o s.n o a+夕.CL-Psin a-sin 廿=2 cos-sin-c c a+0 cc

5、Bcos a+cos p=2 cos-cos.-2 2cos(a/7)=cos a cos/?+sin a sin 0tg(a p)J g a 土 tg0+tga-tg/3,0、ctga ctg6+lctg(a/3)=6 c ctg/3ctgan c.a+p .a-Bcos a-cos p-2sin sin-倍角公式:sin 2a=2 sin a cos acos la -2cos2 6z-l=l-2 s in2 a =cos?a-sin?actg la -ctg 2a-12ctgasin 3a=3 sin a-4sin3 acos 3a=4cos3 a 3cosatg2a2，g a1 吆%3

6、 tg a-t a吆 1-3fg 2a半角公式:1-C0S6Z1 +cosa1 -C0S6Zsin asin a1 +cosaacos=2a ,1+cosa 1+cosa sin acig =i1/-=:-=-2 V l-cos6z sm a l-c o s aa ,火，=正弦定理：=一2=2Rsin A sinB sinC余弦定理：c2=a2+/-2abeosC反三角函数性质：arcsinx=-arccosx71aretgx=-arcctgx高阶导数公式莱布尼兹(L e i b n i z)公式:4=02!k中值定理与导数应用:拉 格 朗 日 中 值 定 理：/S)-/3)=/O S-a)柯

7、西中值定理:F(b)FTC)FC)当F(x)=尤时，柯 西 中 值 定 理 就 是 拉 格 朗 日 中 值 定 理。曲率:弧微分公式：ds=其中y =fga平均曲率禾=也 公。:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；A s：M M弧长。sM点的曲率：K =lim也a一。A s直线：K=0;da|yw|d s J(i+y )3半径为a的圆：K=.a定积分的近似计算:b i矩形法:J/(X)B(凡+M+y,i)a梯形法：j/(x)与产 g(先+尤)+M +X.-Jab i抛物线法：J 7(x)-(o+%)+2(y2+以+_ 2)+4(%+为 +%T)J 3定积分应用相关公式:功：W =F s水压力：

8、F=p,A引力：F=k 瞥,k 为引力系数r_ 1 b函数的平均值:y =-j/U W x均方根:出空间解析几何和向量代数:空间2点的距离：?=的 幽2|=4*2-七)2+(为 一%产+-ZI)2向量在轴上的投影:Pr，“Q=|雅 k os,展港与轴的夹角。Pr j“a+a2)=Pr ja+Pr ja2a b=a-b co s 0=axbx+a b+“一 4,是一个数量，两向量之间的夹角:cos e=-卡也-a；+a：+a；y b：+b：+b；i J kc=axb =ax ay%,同=|补问s in。.例：线速度:v=v v x r.b b h_x y caXay aZ向量的混合积:G 硒=(

9、M x B)1=abx/=,x 5 H M e os a,a 为锐角时,Cx Cy Cz代表平行六面体的体积。平面的方程：1、点法式：A(x-x0)+B(y-jo)+C(z-zo)=O,其中万=4,3,。,0(4，为0)2、一般方程：A x+B y+C z+D =03、截距世方程:+上+三=1a b c平面外任意一点到该平面的距离：4华+也+气+川VA2+B2+C2x =%+mt空间直线的方程:七也=匕 四=三&=/,其中”加,p;参数方程:y =y 0+/m n pz=z0+p t二次曲面：2 2 21、椭 球 面 +与+=1a b c2 22、抛物面:工+2L =z,(p,q同号)2p 2

10、q3、双曲面：2单叶双曲面:+a2 2双叶双曲面:三r2-%+=1（马鞍面）多元函数微分法及应用全微分：dz-dx+dy du=dx+dy +dzdx dy dx dy dz全微分的近似计算：A z*dz=(x,y)A x +fy(x,y)A y多元复合函数的求导法：dz _ Sz du+dz dvdt du dt dv dtz=/w(x,y),v(x,y)dx当 =w(x,y),v=v(x,y)时，dz du+&5 Vdu dx dv dx.du.du.du=ax-aydx dy隐函数的求导公式:小=包公+包办dx dy隐函数f(x,y)=O,空=-曳,dx Fy隐函数尸(x,y,z)=O,

11、7 =-dx F,隐函数方程组：尸j)=0G(x,y,w,v)=O1J1a(3a(3G)V)G)-v)a v&a vd2y _ S(Fx d F dy五 一瓦(一胃十区(方).区dz _ Fy力 认F,G)d(u,x)d(E G)9(,y)dF dFi认尸,G)J -du dvF U FVd(u,v)dG dGG U GVdu dv包及包ay1-J1-J-=微分法在几何上的应用:x=(p(t)空间曲线，y=”(f)在点A/(X o，y(),Z o)处的切线方程:z=(y(f)_ y-ya _ z-zad&)/g)(%)在点M处的法平面方程：)(x -X。)+/)(y-匕)+。&)(z-Z。)=

12、0若空间曲线方程为:Mt，则切向量、耳G,GG,4G,曲面尸(x,y,z)=0上一点Af(与，打人),则:1、过此点的法向量：n=Fv(x0,y(),z0),Fv(x0,y0,z0),F.(x(),y0,z0)2、过此点的切平面方程：&(X o，yo，Z o)(x-X o)+4(X o，yo，Z o)(y-yo)+(X o，yo，Z o)(z-Z o)=03、过此点的法线方程:一 =_一_=一工(X o，yo，Zo)工(X o，yo，Z o)E(x O,yo，Z o)方向导数与梯度:函数z=/(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向/的方向导数为:更=c o s +s indl dx dy其中e

13、 为x轴到方向/的转角。函数z=/(x,y)在一点p(x,y)的梯度：g r a c|/(x,y)=W7+雪jox dy它与方向导数的关系是:笠=g r a d/(x,y)I,其中。=c o s Q:+s in-J,为/方向上的dl单位向量。%是g r a(V(x,y)在/上的投影。dl多元函数的极值及其求法：毗(%，先)=力(/，%)=，令:九(X o，y)=A,fxy(x0,y0)=B,fyy(x0,y0)=CA C 1 0时“则:A C-1 。时,A C-8 2=0时,A0,(%,九)为极小值无极值不确定重积分及其应用：f(x,y)dxdy-(rcos0,rsin 3)rdrd0DD曲面

14、z=/(x,y)的面积A=Jdzdx+&_Ydxdyxp(x,y)dcy平面薄片的重心：元=4 =-,M J J p(x,y)d c rDM 卜夕富，)7y=-7-=-7 7-D平面薄片的转动惯量：对于X轴/*=J b 2p(x,y)d b,对于y轴/v=/卜夕3/),/D平面薄片(位于x o y平面)对z轴上质点M(0,0,4),(“0)的弓I力：F=Fx,Fy,Fz,其中:%=f卜%，工=f 0 39D(x2+y2+a2)2 D(x2+y2+a2y=_%JJ P(x,y)x dD(x2+y2+a2y柱面坐标和球面坐标:x=r co s O柱面坐标:y=r s in。，y,z)dxdydz=

15、z)r dr d6dz,c其中：尸(r,6,z)=f(r c o s 6,r s in6,z)x =r s inc o s 球面坐标，y=r s ins in,dv -r d(p-r s x(p-dO dr=r2 s in(p dr d(p cl 0z-r co s(p2 乃 乃 r(*，8)jjj/(x,y,z)dxdydz=m(p dr d(p dO=dO d(p、F(r,(p,e)产s in(p dr重心:无$/皿$/加转动惯量：/,=J J J(y2+z2)v,c0 0 0=川+Z 2)V,c其中M =Q:J J J(2+y2)p t/vQQQ曲线积分:第一类曲线积分（对弧长的曲线积分

16、）：设/X x,y）在L上连续，L的参数方程为:X =(p(t).,(a f川)，贝 I j：y=Q)B _7(x,y)d s=+/2 力(a p)特殊情况:(x,y)dx+Q(x,y)d y=J P*(f),”0)*(/)+。夕 ,)/)dtL a两类曲线积分之间的关系:J Pd x +Qd y=j(Pc o s a +Qc o s/3)ds,其中a和/?分别为L LL上积分起止点处切向量的方向角。格 林 公 式:y -)dxdy=jPdx+Qd y格林公式:(孚-)dxdy=，Pdx+Qdy当尸=-y,Q=x,即:名一丝=2时，得到。的面积：A -dxdy-J x J y-ydxf i x

17、小 林 2；平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(尤,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且G2=。注意奇点，如(0,0),应o x dy减去对此奇点的积分，注意方向相反！二元函数的全微分求积：在 孚=翌 时，Pd x +Qfy才是二元函数(x,y)的全微分，其中：o x dy(x.y)(x,y)=J p(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设%=%=0。(-,y0)曲面积分:对面积的曲面积分:J J/(x,y,z)d s =J/x,y,z(x,y)l +(x,y)+zj(x,y)dxdy对坐标的曲面积分:J JP(X,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzd

18、x+R(x,y,z)dxdy,其中：zJ jQ(x,y,z)d zd xJ JR(X,y,z)dxdy=+y,z(x,y)dxdy,取曲面的上侧时取正号;xDJ J p(x,y,z)dydz=J J Px(y,z),y,z dydz 取曲面的前侧时取正号;工 外=0 Qx,y(z,x),z dzdx,取曲面的右侧时取正号。D z x两类曲面积分之间的关系:J J P d y d z +Qdzdx+Rdxdy=J J(尸 c o s a +Q c o s +R c o s y)ds高斯公式:JJJ(F-+-)du=(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=g(Pcosa+Q cos+Rcosy)ds

19、高斯公式的物理意义通量与散度：散度：dE导 箓 詈 岫 单 检 体 积 内 所 产 生 的 流 体 质 量,若div。0,则为消失通量：,后 ds=JjA ds=Jj(P cos a+Q cos/?+7?cos y)ds,z z z因此，高斯公式又可写成:JJJdivZdv=#0斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系:!rt也月R 噎dQ曲、j废+(/d法P-在dR)dzdx+(-dx包)dxdy;二(Pdx+Qdy+Rdzrdydzdzdxdxdycos acos/?cos/上式左端又可写成:H1ddddx=ndaaSydzdx办dzPQRPQR空 间 曲线积分与路径无关的条件小等，崇啜旋kA

20、&RjAay。i3一去p-向量场区沿有向闭曲线 的环流量：gPdx+Qdy+Rdz=(Atdsr r常数项级数：等比数列:l+q+/+/i =匕 4i-q等差数列：1 +2+3+-+=妇 叨2调和级数:1+！+!+是发散的2 3 n级数审敛法:1、正项级数的审敛法根植审敛法(柯西判别法)：夕 1时，级数发散0=1时，不确定2、比值审敛法：a 1时，级数发散/t-x jcTJ 夕=1时，不确定3、定义法：s“=%+M,+“;l i m s“存在，则收敛；否则发散。“TOO交错级数%-“2 +3-4 +(或-%+M2-M3+,0)的审敛法-莱布尼兹定理:如果交错级数满足 屋“二那么级数收敛且其和其

21、余项项绝对值|力4，,用。绝对收敛与条件收敛：1+%H-Un+,其中为任意实数；同+向+同+叫+如果(2)收敛，则肯定收敛，且称为绝对收敛级数;如果(2)发散，而收敛，则称为条件收敛级数。调 和 级 数:发 散，而z呼 收 敛；级数:Z 5收敛；p级数：十P 1时收敛塞级数:2 3 时，收敛于一1 +X+X-+X+x+(I X 国21时，发散对于级数(3)&+%x+，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全/，R时发散，其中R称为收敛半径。忖=/?时不定P。时，R 求收敛半径的方法：设l i m-=夕，其中即，%是(3)的系数，则(2=0时，R=+su a p=+8 时，R=0函数展开成幕级数：函数

22、展开成泰勒级数：/(x)=/(xo)(x-xo)+(x-xo)2+-+/(，)(X o)(x-xor+-2!！余项：4=匕2。-%)用J(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR“=0(+1)!-8%=0时即为麦克劳林公式：/(x)=/(0)+r(0)x+x 2+-+e Mx +一2!n一些函数展开成幕级数:八 、m 1 m(m-l)2 团(小-1)(加一+1)n(1+x)=l+x+-X+-X+2!n/V5 产 -1sin x=x-+-+(-1尸-+(-0 0%+0 0)3!5!(2H-1)!(1 x 1)欧拉公式:e,x=cosx+zsinxcosx=或sinx=22三角级数:8/=4

23、+X A“sin(初 +(pn)rt=lJ x.-ixe+e8Z (“cos nx+hrl sin nx)n=其中，a0=aA0,an=An sin(pn,bn=An cos=0中 左 端 是 某 函 数 的 全 微 分 方 程，即：a adu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0,其中:=P(x,)片=Q(x,y)dx dy：.u(x,y)=C应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 通 解。二阶微分方程：d-y +Pn(.x)xdydx dx+Q(x)y =/O/(x)三0时为齐次/(x)学0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法:(*)y+p y+qy=0，其中p,g为常

24、数；求解步骤：1、写出特征方程：(A)/+pr +4=0,其中产，尸的系数及常数项恰好是(*)式中y,y，,y的系数;2、求出()式的两个根八，G3、根据外的不同情况，按下表写出(*)式的通解：二阶常系数非齐次线性微分方程八，的形式(*)式的通解两个不相等实根(p2 4q0)y=+c2eriX两个相等实根(p2-4q=0)y=(G+c2x)er,A一对共物复根(p2-4q -PG4A随机事件A加法6 +C减法8-C五大公式条件概率8/C1和乘法公式8 c 全概公式独立性2、重要公式和结论（1）排列组合公式P：二 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。加C：=-从m个人中挑出n个人进行组合的可能

25、数。n!（m-）!（2）加法和 乘 法 原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n种方法来完成。乘 法 原 理（两个步骤分别不能完成这件事）：mXn某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n种方法来完成，则这件事可由mXn种方法来完成。（3）些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）顺序问题（4）随机试 验 和 随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机

26、试验。试验的可能结果称为随机事件。（5）基本事件、样本空 间 和 事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用0来表示。基本事件的全体，称为试验的样本空间，用。表示。一个事件就是由。中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A,B,C,表示事件，它们是。的子集。为必然事件，0为不可能事件。不可能事件（0）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Q）的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事

27、件。（6）事件的 关 系 与运算关系：如果事件A的组成部分也是事件8的组成部分，（1发生必有事件8姓）：A u B如果同时有A u 3,B n A,则称事件力与事件8等价，或 称1等 于8：A=B。4 8中至少有一个发生的事件：4 U 8,或者公艮属于力而不属于6的部分所构成的事件，称为与8的差，记为4-6,也可表 示 为 或 者 人百，它表示4发生而6不发生的事件。A,6同时发生：A B,或者4 艮AHB=0,则表示A与 B 不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。C-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记 为 它 表 示 A不发生的事件。互斥未必对立。运

28、算：结合率：A(B C)=(A B)C A U (B U C)=(A U B)U C分配率：(A B)U C=(A U C)A (B U C)(A U B)nC=(A C)U (B C)8 0 0 _nA，=u4 _ _ _ _ _德摩根率：I =i AU 8=A n 8,A n B =AUB(7)概率的 公 理 化定义设。为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件：1 0 0,则称 段为事件A发生条件下，事尸件 B发生的条件概率，记为P(8/A)=曳 竺 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(C/B)=1=P(C/A)=l-P(B/

29、A)(1 3)乘法公式乘法公式：P(AB)=尸(4)P(B/A)更一般地,对事件A“口，A”,若 P(A也A Q 0,则有P(A A 2.A)=P(4)P(A 2 1 4)尸(4 1 AI4 2)P(4,1 A 4 .An-l)o(1 4)独立性两个事件的独立性设事件4、5 满足尸(A5)=P(A)P(B),则称事件4、8 是相互独立的。若事件4、5 相互独立，且 P(4),则有尸 A)=3=P 岂 B)=尸(A)P(A)若事件A、B 相互独立，则可得到N与 3、A 与豆、X 与后也都相互独立。必然事件。和不可能事件0 与任何事件都相互独立。0 与任何事件都互斥。多个事件的独立性设 ABC是三

30、个事件，如果满足两两独立的条件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同时满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互独立。对于n 个事件类似。(1 5)全概公式设事件外,&,8 满足1 81,正,8 两两互不相容，P(8)0(i=1,2,)，A u J 820 依,则有P(A)=P(Bi)P(A 1 Bi)+P(B2)P(A 1&)+P(Bn)P(A 1 Bn)(1 6)贝叶斯公式设事件8,B i,以 及 A 满足r B l,历,&两两互不相容，P(砌 0,i=i,2,，IIA u 历2。M,P(A)(),则P(吗)尸(

31、A/吗)j=l此公式即为贝叶斯公式。P(B),(，=1,2,n),通常叫先验概率。P 3 /A),(，=1,2,，)，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。（17）伯努利概型我们作了次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；“次试验是重复进行的，即4发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即卷次试验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。用表示每次试验A发生的概率，则 发 生 的 概 率 为 用 尸 伏）表示重伯努利试验中A出现乂 ）次的概率，p“（k）=c：p W j Z=0,1,

32、2,”，O第二节重点考核点事件的运算、概率的定义（古典概型和几何概型）、条件概率和乘法公式、全概和贝叶斯公式、独立性和伯努利概型第二章随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图基本事件力、.?随机变量X（a）.随机事件Aa X b4A)F 一F(a)分 布 函 数：F(x)=P(X-0-1分 布 二项分布离 散 型 泊 松 分 布 超儿何分布八大分布1 几何分布一 函 数 分 布 均匀分布连 续 型 指 数 分 布正态分布2、重要公式和结论(1)离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X 的可能取值为L(k=l,2,)且取各个值的概率，即事件(X=X J 的概率为P(X=xk)=P k,k=l

33、,2,，则 称 上 式为离散型随机变量x 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：X X ,X 2,-,X k,-P(X =X k)“2,。显然分布律应满足下列条件：00，p k =1(1)P kNO,k =l,2,(2)占 。(2)连续型随机变量的分布密度设尸(制是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数/()，对任意实数x,有尸(x)=j(x)d x则称X 为连续型随机变量。/(X)称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4 个性质：1。/u)oo2。x)d x =L(3)离散与连续型随机变量的关系P(X =x)P(x X x +dx)f(x)dx积分元f(x)

34、dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P(X =X k)=pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。(4)分布函数设 X 为随机变量，x是任意实数，则函数尸(x)=P(X x)称为随机变量X的分布函数，本质上是个累积函数。P(a X b)=F(b)-F(a)可以得到X落入区间(a,切 的概率。分布函数F(x)表 示 随 机 变 量 落 入 区 间(-8,x 内的概率。分布函数具有如下性质：1 0 F(x)1,-o o x +o o ；2 /(x)是单调不减的函数，即x i X 2 时，有 F(x i)F(X 2)；3 F(-o o)=l i m P(x)=0 ,F(+o o)=l i m F

35、(x)=1 ；X T-0 0 X T+o o4 E(x +O)=F(x),即尸(x)是右连续的；5 P(X =x)=P(x)尸(x-0)。对于离散型随机变量，/(x)=Z 外；X kKX对于连续型随机变量，F(x)=fM d x。-0 0(5)八大分布0 1 分布P(X=l)=p,P(X=O)=q二项分布在重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X,则 X可能取值为0,1,2,。p(X =k)=P”(k)=C：p、i,其 中q =1 -p,0 p 0,k=0,1,2 ，则称随机变量X 服从参数为几的泊松分布，记为X 万(团或者 P(C)。泊松分布为二项分布的极限

36、分布(n p=x ,n-W o超几何分布c t,C 7 w 人=o,L 2,/p(X =k)=归纥，C 工 /=m i n(M,n)随机变量X服从参数为n,N,M的超儿何分布，记为H(n,N,M)。儿何分布P(X =k)=q R p,k =,其中 p2 0,q=l_P o随机变量X 服从参数为p 的几何分布，记为G(p)。均匀分布设随机变量X 的值只落在 a,b 内，其密度函数/(X)在 a,b上为常数一 L,即b-a a 这 x W bf(x)=b-a n具他，则称随机变量X 在 a,b 上服从均匀分布，记为X U(a,b)o分布函数为0,x bo当 a W x K x z W b 时，X落

37、在区间(引“2)内的概率为P(尤 X 0,/(x)=1 nL 0,x ,则称随机变量X服从参数为之的指数分布。X的分布函数为指数分布“1-e W x0尸(x)=1 01 u,x0,记住积分公式：+O0 xnexdx=n0正态分布设随机变量X 的密度函数为“x)=e 2 二，-o o x +c o,后b其中、c r0为常数，则称随机变量X服从参数为、b的正态分布或高斯(G auss)分布，记为*N(Q2)。/(龙)具有如下性质：1 /(X)的图形是关于 对称的；2。当x =时，/()=丁:为 最 大 值；飞2兀o若 X N(,4),则 X 的分布函数为 X )2F(x)=e 202 dt127r

38、 o -O Q参数=、b =l 时的正态分布称为标准正态分布，记为X N(0,l),其密度函数记为 上 P M =i=e 27 2兀 ,-oo%)=a。(7)函数分布离散型已知X的分X布列为X I,X 2,，X n.P（X=刈y=g（x）（Y9p i,P?,P ，勺分布列(=g(巧)互不相等)如下：g(X l),g(X 2),，g(x Q,P(y=y)若有某些8(Ph P2,，P,X i)相等，则应将对应的化相加作为g(X i)的概率。连续型先利用X的概率密度fx(x)写 出Y的分布函数R(y)=P(g(X)Wy),再利用变上下限积分的求导公式求出fv(y)第二节重点考核点常见分布、函数分布第

39、三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图常见二维分布 均匀分布正态分布联合分布 离散型分布律.连续型分布密度g（x,y）f边缘分布条件分布独立性z =x+y函数分布 Z=ma x,X2,X)/分 布三大统计分布“f分 布 F分布2、重要公式和结论(1)联合分布离散型如果二维随机向量4(X,Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x,y),则 称 J为离散型随机量。设二=(X,Y)的所有可能取值为(七，力),/=1,2 一)，且事件 自=(X”力)的概率为P i J.,称P(X,Y)=(xi,y.)=p.(iJ=l,2,-)为 看=(X,Y)的分布律或称为X 和 Y的联合分布律。联合分

40、布有时也用下面的概率分布表来表示：XyiY2.yjX IPHP12 Pu X2P21P22 P2J X iR/Pij这里以，具有下面两个，(1)如 2 0 (i,j=l,2EE P 广Li j性质：);连续型对 于 二 维 随 机 向 量 g=(x,y),如 果 存 在 非 负 函 数/(x,y)(-o o x +o o,-o o y +o o),使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D,即 D=(X,Y)|a xb,c yd有P (X,Y)e D =x,y)dxdy,D则称g 为连续型随机向量；并 称f(x,y)为&=(X,Y)的分布密度或称为X 和 Y的联合分布密度。分布密度f(x,

41、y)具有下面两个性质：(1)f(x,y)N 0;(2)/f(x,y)dxdy-1.(2)二维随 机 变 量的本质J(x =x,y=y)=g(X=x ny =y)(3)联合分布函数设(X,Y)为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数F(x,y)=P X x,y y 称为二维随机向量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X 和 Y的联合分布函数。分 布 函 数 是 一 个 以 全 平 面 为 其 定 义 域，以 事 件(。1,)1-8 X (幼)4 x,-0 0 y(y2)y 的概率为函数值的一个实值函数。分布函数F(x,y)具有以下的基本性质：(1)0 F(x,y)yi 时，有 F(x,y?)

42、与F(x,y);(3)F(x,y)分别对x 和 y 是右连续的，即产(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0);(4)F(-0 0,-0 0)=F(-o o,y)=F(x,-o o)=0,F(+o o,+o o)=1.(5)对于X 芍，J i /(2，)一尸(2，口)一尸(七，y2)+F(xt,y()0.(4)离散型 与 连 续型的关系P(X =x,Y=y)x P(x X x+dx,y Y y+dy)x/(%,y)dxdy(5)边缘离散型X 的边缘分布为P P(X=Xj)=E pN，j=1,2,);jY的边缘分布为B j=p(y =)l)=Z p(i,j=l,2,)。分布连续

43、型X 的边缘分布密度为f x U)=/(x,y)dy；Y的边缘分布密度为4(y)=C f(x,y)dx.J-(6)条件分布离散型在已知=埼的条件下，Y 取值的条件分布为P(y=y I X)=Pi.在已知片力的条件下，X 取值的条件分布为P(X=xiY=yj)=-,P-i连续型在已知Y=y的条件下，X 的条件分布密度为/(xi y)=嘴?；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为fx(x)(7)独立性般型F(X,Y)=Fx(x)Fv(y)离散型Pij=Pt.P.j有零不独立连续型f(x,y)=fx(x)fv(y)直接判断，充要条件：可分离变量正概率密度区间为矩形二维正态分布/、1 2(l-p 2

44、)6b2 1 0 J/(X,y)=,-e J,2 m q?/一 p-p=0随机变量的函数若 X1,X2,X.,X”Xn 相 互 独 立,h,g为连续函数，则:h (X“X2,-X.)和 g(Xi,-X )相互独立。特例：若 X 与 Y独立，贝 i j：h (X)和 g(Y)独立。例 如:若 X 与 Y独 立,则:3X+1 和 5 Y-2 独立。(9)二维正态分布设随机向量(X,Y)的分布密度函数为)、2 /2,、1 2(i-p2)c n )6 6 l 内)f(x,y)=-e J,2 m、0，121 0,w 0.我们称随机变量W服从自由度为n的?分布，记为w2(“),其中r什0 0-1r x2

45、e-xdx.所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。了2分布满足可加性：设匕一力2 (%),则Z=W Z./(|+2+*)./=!设X,Y是两个相互独立的随机变量，且X 7V(O,l),r z2(n),可以证明函数t分布的概率密度为(-0 0 t )=+n220,y 协 方 差 相关系数协方差矩阵.2、重要公式和结论（1）一 维随 机变 量的 数字 特征离散型连续型期望期望就是平均值设X是 离 散 型 随 机 变 量，其分布律为P（X=Z ）=Pk，k=1,2,E（x）q&=i（要 求绝对收敛）设X是连续型随机变量，其概率 密 度 为 了（X）,E（X）=j x

46、 f（x）dX（要求绝对收敛）函数的期望（X）碓）=以（辰k=ly=g(x)E(Y)=g(x)/(xM x方差o(x)=X-(X)2,标准差b(x)=o(x),O(X)=Z 公-E(x)(p 4ko(x)=矩对于正整数后，称随机变量X的A次席的数学期望为X的左阶原点矩，记为乙，即vk =E（X，）=x；Pi,k 1,2,。对于正整数上，称随机变量X与E（X）差的火次幕的数学期望为X的左阶中心矩，记为即对于正整数左，称随机变量X的Z次事的数学期望为X的k阶原点矩，记为匕，即”巾）=xk fxdx,k-1,2，对于正整数左，称随机变量X与E（X）差的4次幕的数学期望为X的左阶中心矩，记为女，4=E

47、（X-E（X）*=z a -芯 丫 p,ik=1,2,o即4=E（X-E（X）K=（x-E（X）y/（x”x,k=1,2，。切比雪夫不等式设随机变量X具有数学期望E（x）=，方差O（x）=b 2,则对于任意正数,有下列切比雪夫不等式PX 一”）o o 1伯努利大数定律说明的频率与概率有较大判别l i m Pn o o 1这就以严格的数学形式描)中事件A发生的次数，p是事件A在则对于任意的正数e ,有 1-p 8X2,，Xn,二U,则对于彳-1“X j 一 刈、,=1是相互独立同分布的随机变量序列，且E壬意的正数有,=1.(2)中心极限定理一(T2X TNW，)n列维一林德伯格定理设随机变量X”

48、X2,相互独立，服从同一分布，且具有相 同 的数学 期望和 方差：E(X*)=,D(X*)=b 2 H O。=1,2,),则随机变量Y _ Vn C T的分布函数,(x)对任意的实数X,有 Xk _ 叩 上l i m Fn(X)=l i m P 尸-=f e 2 dt.e i Vn o-J 2万 此定理也称为独立同分布的中心极限定理。棣莫弗一拉普拉斯定理设随机变任意实数=l i m P-n oo量X为具有参gX,有-np =,e-dt.(3)二项定理若当N -8时，丝 p(,k不 变)，则N-c”(1-p)i (NT8).CN超几何分布的极限分布为二项分布。若 当 n 8吐 砂 A 0 ,贝l

49、j（4）泊松定理C n P（1 一）e（-00）.k 其中 k=0,1,2,n,。二项分布的极限分布为泊松分布。第二节重点考核点中心极限定理第六章数理统计的基本概念第 一 节 基 本 概 念1、概念网络图数理统计的基本概念 总体个体样本样本函数统计量-正态总体下的四大分布2、重要公式和结论（1）数理统 计 的 基本概念总体在数理统计中，常把被考察对象的某 一 个（或多个）指标的全体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随机 变 量（或随机向量）。个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。样本我 们 把 从 总 体 中 抽 取 的 部 分 样 品 称 为 样 本。样本中所含的样品数

50、称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任一次抽取的结果时，X 1,X 2,x“表示n个随机变量(样本)；在具体的一次抽取之后，玉，勺，,x”表示n个具体的数值(样本值)。我们称之为样本的两重性。样本函数和统计量设修，2,”为总体的一个样本，称(p=(p(xl,x2,-,xn)为样本函数，其中9为一个连续函数。如果弓中不包含任何未知参数，则称9(X,X2/-,X”)为一个统计量。常见统计量及其性质样本均值 X =V.样本方差s =之(七X).n-1/=1样本标准差 y(x,.-%)2.样 本k阶原点