线性代数A期末考试参考练习题(来自题库题及教务处发的同步练习)(注-仅供参考)(一).pdf

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1、第一章行列式二.填空题（1-6为逆序数的计算；）1.（1.2 易）排列4,1,2,3,7,6,5 的逆序数为答案：62.（1.2 易）排列6,3,1,4,2,5 的逆序数为.答案：83.（1.2 易）排列6,1,2,3,5,4 的逆序数为.答案：64.（1.2 易）排列5,3,1,4,2,6 的逆序数为.答案：75.（1.2 易）按自然数从小到大为标准顺序，排列4132 的逆序数为 答案：46.（1.2易）排列1,5,3,4,2的逆序数为 .答案：41 8 27.（1.5 易）0 5 0=001答案：5128.（1.5 较易）D=3（）4000答案：32119.（1.5 易）D（）010010

2、00答案：03110.（1.5 易）行列式 1 30 00 0-1 3-5 111 _1 -111 =_3答案：2 011.（1.5 较易）D=0Xy-X0z-y-z0答案：0 x y zx-1 y-l z 112.（1.5 易）若3 0 2=-2,则3 0 2=1 1 11 1 1答案：6答案：-2a ai2。13a a2。131.3（1.5 易）50.如果。=。21。22。23=3,则2a2i 2a22 2a23032 033。31。32。33答案：2 4Cl a2 132。a2%14.（1.5 易）如果。=。21。22。23=3,则a3。32。332%a32 033答案：6Q u a2

3、a32 a“4 2 4。315.（1.5 易）如果。=a2 a22 a23=3,贝U。31 32。332。3。32 4。33答案：1a a2 6 3cau ca12 cau16.（1.5较易）如果。=CIQ C l 2 p。23-a，则a2。22 023。31。32 433ba3l bai2 b%答案:abc1仇 00-1 l-h.b、017.（1.5 较易）D=二0-1-b2仇00-1 1一 打18.（1.6较易）已知四阶行列式。的第二行元素分别为3,1,T,2,他们对应的余子式分别为1,2,2,-1,则行列式。=答案：-119.（1.6 较易）已知四阶行列式D的第3 列元素分别为1,3,-

4、2,2,他们对应的余子式分别为3,-2,1,1,则行列式D=答案：52 5 62 0.（1.6易）行列式a 1 3 中元素。的代数余子式=4 1 2答案：一 401 0 1 L 000 2 L 02 1.(1.6 易)Dn=MMM O 0=00 0L n-n0 0L 0答案：(-l)n+1n!12 32 2.（1.6易）已知三阶行列式0=2 0-1,则 第 3 行 第 2列元素的代数余子式1 5 2%二-答案：72 1 -12 3.（1.6较易）33.设4=1 1 1 ,则人力+g+与=4-1 0答案：02 4.（1.6易）行列式A中元素他的代数余子式为与余子式之间的关系_答案：4 =（-1）

5、小 用 初答案：D-1-2 5-3.r.2 8 4 02 5.（1.6较易）已知 =1 3 9 02 1 0 6答案：一92 0 0 12 6.（1.6较易）行列式0 2 1 =，%二-0 1 2 01 0 0 2答案：9三.选择题L（L 5 易）如 果 什 1诩+29=0 仅 有 二2 玉 +（%1）=0A.k 丰 1,B.ZH1 或ZH3,C.答案：D。12。13 22.（1.5 易）如果生1 /2 a 2 3=2，贝 IJ 2,431.3 2 “33 21A.2 B.4 C.12 D.1（答案:Da a2 a3 3I3.（1.5 易）若 41”22 23=1 贝 U 2%031。32。3

6、3 3al iA.-5 B.-6 C.-1答案：B1 1 54.（1.5 较难）设/（x）=1 1 X2+47 X2-2 3A.1,1,3,3 B.-1,-1,3,3 1挈解，则（）.k=3,D.1 且 女=3.%2。2 2。3孙 2%2 2%3=（）33i 2 a32 2 a33“32。331 2 22 2 23 二（）3。1 2 3。”D.1，则方程/（%）=0 的根分别为（）3.-1,1,-3,-3 D.1,-1,3,_3A.-6d5.（1.5 易）已知 a2 l=（）。1 2 。1 33。3 1 3。3 2 3%3a22 2 3=d，则行列式a ai2 a3。32 。3 32 生 i+

7、3。i 2%2 +3q 2 2%3+3。1 3B.6d C.一 3d D.3 d答案：A6.（1.5 较易）3x瓦qa2b2C2AC3）A.3q a?a?3q 3 a2瓦 3 b2 byB.3 bl 3 b?A c2 3c 33c,3c 23a33b33c 3C.3q4q 3。-)瓦C2D.a伪q3。23b 23C2打C3答案:D7.（1.5 易）若A.5aa2a3B.a2 1 3Q|3 4/-2。2 2 。2 3=1,则 2 3 4a2 1 。32 。3 3。3 3 4 31 3 2-5 C.2 0D.-2 0）答案:A4。“2 即一3。1 28.（1.5 易）如果=1,则 4a2 1 2%

8、1-3a2 24。3|2。3 -3。32）A.8B.-12C.2 4D.-2 4答案：B9.（1.5 易）如果o=3 3即a2。1 33a3i 3%23 aa2a22。2 3二m,2 =3 a2 l3。2 23 a 3）。32。3 33%3 a23 a2 31 3那么(）.A.3m ；B.-3m ；C.9 m ；D.-2 7/1.答案：D10.（1.5 较易）ahacabh2beacbe2=（）A.abcB.1C.0D.a2 62 c 2答案:C11.（1.6 较易）已知4 阶方阵A,其第三列元素分别为1,3,-2,2,它们的余子式的值分别为3,-2,1,1则行列式|A|=（）A.5B.-5

9、C.-3 D.3答案:A12.（1.6 易）行列式。=-1-5132020-3中元素心的代数余子式为（）A.0B.-10C.10 D.3答案:B13.（1.6 易）行列式。=-20211032中元素&的代数余子式为（）1A.4B.-4C.0D.2答案:A14.（1.6 较易）行列式。=000-100020001000-300000000-2=（）A.-12B.12 C.D.6答案:A15.（1.6 较易）四阶行列式D的某行元素依次为-1,0,k,6,它们的代数余子式分别为3,4,-2,0,且。=一9,则&=（）A.0B.3 C.1D.-1答案:B16.（1.6较易）已知A为三阶矩阵,其第三行元

10、素分别为1,3,-2,它们的余子式分别为3,-2,1,则|A|=()A.5 B.-5C.7 D.-7答案:C0 1 00 2 217.(1.6 较易)行列式2=.、八3 3 00 4 05:的 值 为（8)A.-12B.-24 C.-36 D.-72答案：D三.解答题1.(1.5 较易)计算行列式。1234-501I3-31-1-1 23-11 5 3 31 -5 3-31 -5 3-3010-5 502-1 10 111解：D =5=(-5)016-10 1100-2 30 0-2 3021-9 1101 1 10 2-1 11 -5 3-31 -5 3-30 1 110 1 11=(-5)

11、0 0-23=(-5)0 0-23=55_110 0-3-10 0 02232.（1.5易）13.计算行列式。=51 4 1-1 2 12 3 20 6 2解:2 1 4 13-1 2 1D =1 2 3 25 0 6 25 03-17 05 062762142=01 2-1 23.（1.5易）计算行列式D=3 10 1 51-203-2-4 1 612-12解：D =310151-203-2-41612-121 2-1 20 4 4-10 4 4-1=2000-4 1 10 0 5 00 0-1 100 0 0 104.（1.5 易）计算行列式411001 2 42 0 25 2 01 1

12、7解:4110012512 4 10 2 _ 42 0 101 7 021510 22 42 010=101 7 42 0 21 21 1 7 0 152 01 2 4000 001179278545=0.5.（1.5易）计算行列式D =I10-53-521-13132-4-1-3解13-12D =1-53-4021-1-513-3213-1213-1213-120-84-6021-1021-1021-10 84 600-25016-27016-2700-10151 3-10 2 1-0 0-20 0 05=40.-102 2 2 21 3 3 36.（1.5较难）计算行列式：Dn=1 1 4

13、 41 1 1 1111-11 3 3 30 2 2 2解：Dn=2 1 1 4 4=20 0 3 3=2xlx2x-xn=2xn!:.:.1 1 1-n+10 0 0 0 01 1 111 1-x 1 17.（1.5较难）解方程D“=1 1 2-x 1=01 1 1(n-l)-x1 11 10-x0 0解：左 边 二0 0 1-x 00(n 2)x=一出1-x)D-口(1 1 -2)-x由 一 xEJl-X)口 口(11-2)-x=0得方程的n 个解为x=O,l,，-25 3 00-2 -18.（1.6易）写出四阶行列式。=1 0 41；中元素%3 =-1，。3 3 =4 的代数余子式，0

14、3 02并求其值.解：A2 3=(-1)2+3 x510-303172+(-5)010-3-340 73 2-3-343 2=-6+102 =9 6.5-3%=(-1)3+3 X0-20 310=(-2)x(-l)2+2212=(-2)x10=-20.。=0+。23 A 23+a33 A 33+0=一96+4 x(20)=一 176.解:5 3-1 2 01 7 2 5 29.（1.6较易）计算行列式0-2 3 1 00-4-1 4 00 2 3 5 0-13-135 3-1 2 05 31 7 2 5 20-20-2 3 1 0=(-1)2+5X20-40-4-1 4 00 20 2 3 5

15、 02145-2=-2x5-423-13145=-10 x(-2)x(-l)x5+(-4)x3xl+2 x 3 x 4-1X(-1)X2-(-2)X3X4-3X(-4)X5=-1080第二章矩阵及其运算一、填空题1.(2.2较易)已知A =(2 -2 4、答案：-1 23 6,。32.(2.2 易)矩阵A=4 1 3 4 3 5 8、答案：8 3 5、9 1 2 5,1 13.(2.2 易)矩阵8=2 1、3 43 2 6、答案：4 3 4、6 8 3,(2-1 Y0 03.(2.2 易)=1 3 -2)(0、答案：八1。1 J(2-1 Y 4.(2.2 较易)=_1 3 -2)2(答案：八(

16、0 1 J6.（2.2 较易）、3 2,答案：b-2）（1 2、7.（2.2 易）设 A =|，B =1-1 V答 案:（91 -111A）（5、8.（2.2易）设矩阵A =答一案:L（-6 1J4、1 2 0、9.（2.2 较易）设4=3 4 0C 2 1,，8 6、答案：A=18 6、3 10,2 0 0、10.（2.2 较易）设4=0 3 0、。0%4 0 0、答案：0 9 0、0 0 16,11.（2.2易）A为四阶方阵,|A|答案：，4Q-（J，则3A+2 5=_B =3 I,则 3A-8 =1-2 0j,8=（2 3-A ，则nl A*11-2 4 0 J,A?=_.=4,则-A

17、-_212.（2.3 易）A为三阶方阵,|4|=2,则-A2答案：；13.（2.2易）A为 5 阶方阵，且满足A T=_ A，则 同=答案：014.（2.2 易）4 为9阶方阵，且满足AT=-A,则|A|=答案：015.（2.2易）设A为 3 阶方阵，且|A|=2,则12 A l =答案：1616.（2.3 较易）设 n 阶矩阵A满足1+A=5 E,则箱答案：1（A+E）5-117.（2.3 较易）设矩阵A =1I。0-110、0,则（A +2 E）答案:01-1001、7918.（2.3 较易）方阵4=020301、0 的逆矩阵40答案:00101/301/200、19.（2.3 较难）设

18、5=5、34、2,2-314,且 5A C =E ,则 4 一 17答案:13 10-3-472 0.（2.3 较难）设 5=qJ2、8 2、,C=，J3.W ABC =E,则13 4j答案:7 10、1 2,3 0 0、2 1.（2.3 较易）设 4=1 4 0,则（4-2/尸=、。0 3,1 0 0、答案：-1-0、0 0 1,2 1.（2.3 较易）设 4、6 均为5 阶矩阵，|A|=2,网=6,贝 内 卜.答案：-32 2.（2.3较 难）设3阶 矩 阵 A的 行 列 式|A|=4,|A2+E|=8 ,则A+A-|=.答案：22 3.（2.4较难）设A为 4 阶方阵，|川=；,则|2

19、A*-3A =.答案：322 4.4 较难）设A为 4 阶方阵，|A|=g，贝”2 A T-5A=.答案：1/82 5.（2.4较 难）设 A 为3阶 方 阵，|A|=-1 ,A*是 A 的 伴 随 矩 阵，则|5A-+2A*|=.答案：-2 7（1 3、26.（2.4较易）设乂=，则X的伴随矩阵X*=.10 5）躲C i）27.（2.4较易）设A为四阶行列式，且=2,则1A*卜.答案：16二、选择题1.（2.2较易）若 则 下 列 一 定 正 确 的 是（）.A、A=O B、A=I C、4=0或4=1 D、以上均不成立答案：D2.（2.2较易）、设 为 阶 矩 阵，下列命题正确的是（）.A、

20、(A+B)2=A2+2AB+B2 B、(A+B)(A-B)=A2-B2C、A2-I=(A+I)(A-I)D、(AB)2=A2B2答案：C3.(2.2较 难)设A是方阵，若AB=A C,则必有().A、A/O 时 B=C 8、8。时4=0C、8=。时 同/0 D、|A|HO时B=C答案：D4.(2.2较易)设4 8 是阶方阵,A、A SHOQAHO且C、|4-=0 0同=0或 画=0答案：C5.(2.2较易)A,B均为阶方阵,A、4=0 或 6=0C、|A+B|=0则下列结论成立的是（）.B、A=0 A =OD、A=EA=且A6=0,则必有（）.B、.=0 或忸|=0D、A+B=O答案：B6.（

21、2.2易）设4,8 均为阶矩阵，满足48=0,则必有（).A、|A|+|B|=OC、4=0 或5=0答案：DB、R(A)=R(B)D,|川=0或宙|=07.（2.2易）设A,5均为阶矩阵，以下各式中正确的是（）.A、(A+B)2=A2+2AB+B2B、|AB|=|BA|C、(A+B)(A-B)=A2-B2 D、(AB)2=A2B2答案：B8.(2.2易)4、B 为同阶方阵，则下列式子成立的是().A、|A+B|=|A|+|B|B、AB=BAC、AB=BA D、(A+B)l=A+B-l答案：C9.(2.2 易)设 A,5 均为阶矩阵，K (A-B)2=A2-2AB+B2,则必有().A、A=EC

22、、A=B答案：D3 2 1、10.(2.2 较易)A=2-1 2,3 4 0,A、22 B、10答案：BB、B=ED、AB=BA 2 1 2、B=3 1 4,C=(Cy)=AB,则 C 23 =(、2 0 5)C、3 D、-1).11.(2.3较易)设阶矩阵A满足A+2E=O,则k=().A、A-2E B、g(A-E)C、2E-A D、g(E A)答案：D12.（2.3较难）A、B、C,E均为阶方阵，E为单位矩阵，若=则下列诸式中）是正确的.A、ACB=E B、BCA=EC、CBA=E D、BAC=E答案：B13.（2.3易）A,3 均为阶可逆矩阵,下列诸式（）是正确的.A、(AB)T=ArB

23、B、(A+B)T=AT+BTC,(AB)A B D、（4+5 尸=鼠+5T答案：B14.(2.3 较难)设 A 5=11010、0,且A 二 1 0 3、2 -1 1,则 B=(、。0LJ -2 b 1 0 3、H -1 3、A、1 -1-2B、2 -3 1 1 -2 1/1 -3 1/1 0 3、1 2、C、3-1 1D、2-1 13-2 1、1-2 1，7答案：A15.（2.3较易）A是阶可逆矩阵，则|A-”=（).).A、M FB、An-2C、D、答案：A-2 0 0、16.（2.3较易）设乂=0 0 1,则X 的伴随矩阵X*=（、0 1 0,).020002Toorzo1oOOIioo

24、c 77答案：（A）17.（2.3较易）A是阶可逆矩阵，A*是A 的伴随矩阵，则=（）.A、-B、ML&答案：（A）三、计算题 2 2 0、3.（2.3较易）求解矩阵方程AX=A+X,其中A=2 1 31 0,D、国答案：解：AX=A+X (A-E)X=A，X(A-EYA2分(A-E,A)=2W2 0 2 20 3 2 11-1 0 10、门3 00J 100 0-2 2 6、1 0 2 0-30 1 2-1 3,6分-2 2 6、X =2 0-3J-1 一3,.8分 2 24.(2.3 较易)设 4=2 23 -22、0 0-2,B=0 12)、1 01、0,求解矩阵方程AX=5+X.0答案

25、：解：由 AX=5+X,得 X=(A-E)T5.2 分(A-E,B)=2321-22-21001o n pi o-o0 0 M02 0 0-6 0 13 1 -11、-2712-32-9)1-32-9o-oo1-922121o1oo一-71-22o1-2OOI2-692-3Oloozrl(12 0_294959(1002929901 0.6 分_291 _92901 0_299290V0129_2929；0019_2929J(2 2 r所以 X=1 -2 1 29U-2 2 j.8 分 0 3 3、5.(2.3 较易)设 4=1 1 0L-l 2 3,AB=A+2B,求 5.答案：解：由 A

26、5=A +2 5,B=(A-2 EyA2 分-2 3(A-2 F,A)=1 -1、T 23 00 11 -13123A (1 -10-2 3V l-l 203110-11 0、3 32 3,1 -1 0 1-2 3 3 0、一 1 2 1 -11 0、(-13 3-0 12 3)10 10 1 1 0、3 2 5 31 0 3 3,1 -1 0 1、0 00 1 13 2 50 W 1 0 0 03-0 1 0-1-2 -2 -2 0；10 0 1 13 3、2 31 0,6 分 0 3 3、所以 B=-1 2 3J 18 分/1 0 1、6.(2.3 较易)设4=0 2 0J L且45+=1

27、 +3,求乩答案：解：由 A 5+E =a2 +5 得(A-E)6=(A E)(A +E).2 分 0而A-E=00 1、1 0,|4-E|=-1,所以 A-E 可逆0 0.5 分从而得5=A +E,故3=0,1030102、)7.（2.4 较易）解矩阵方程4、2,X1 0-2 121-1答案:解：令A =4、2,B=1 0-2 1C =201-11-142=6,1-201=1，A*211 产=120、1,4 分/.A1(26 1-411 B i1206 分X=1 f 2 -4Y2 11 0、61 1 )0-吹 2 1J8-31-3108.(2.4 较易)已知4=0,02102、22),A X

28、-A=E,求X.8 分答案：解：A圄22 20.0-4202-2110-21700、1-12 4 分.-.X=A-A+E)=10-21009.（2.3 较易）设矩阵4=、1-12 200220223、7200-220、1-132 8分2 1-1 2、E为二阶单位矩阵，矩阵3 满足区4 =3+2 E,求忸卜7答案：解：由A4 =6+2 E 可得:B =2(A 石尸.2 分因为(A E)=l I,所 以,_ 同=1 1=2 .4 分I 1 1 J 1 1因此 B=2(A-Ey=22A-E=4X|=2.7 分 1 0 0、1 0.(2.3 较难)攵取何值时，矩阵A=0 0 可逆？并求其逆矩阵.J T

29、 L答案：解：因为|A|=A,所以当Z/0 时，A 可逆.2 分(10 0 10 0、当左。0 时，由(A,E)=0 kJ T(10 0 10 0 1 0 0 0 1 0 0-0 0 1 0kt d 0 0 1(1 0 0所以 4 一 1=0-0k-1 -1 k)1 1.(2.3 较易)已知 B =T-5 A +3 E,答案：解:由 5 =A2 5 A+3 E 可得5(2 4 6)而 8*=忸|=-3 6 B =1-1 8 -6)1 1，0 0 1010 01 0 00-0 .5 分k-1 -1k)其中 4=(2 1 ,求 B-i.1-3 -3 Jf-6 6、c 八(1 8 2 4；_ 2 _

30、 P 彳.7 分1 12 6，四、综合题（每小题7 分）1.(2.3 较难)A,5是两个阶方阵，且A5 =A+5 ,证明：AB=BA.答案：证明：V AB=A+B =(A-E)B=A n (A-E)B-E=A-E:.(A-E)B-(A-E)=E=(A-E)(f i-)=(*).3 分由(*)式知A-E 与8-E 互为逆矩阵，故A-E 与8-E 可交换.5 分即有：(A_ E)(8 _ E)=(B _ E)(A_ E)A B-A-B+E =B A-B-A+E n AB=BA.7 分2.(2.3 较难)4为阶方阵，且有A?=A,证明：A+E 可逆.答案：证明：A2=A=(A+E)(A-2 E)=-

31、2 E.3 分A(A+E)(E-y)=E.5 分A因此A+E 可逆，且(A+E)T=E 1.7 分3.(2.3 较易)设A 为阶矩阵，且满足A2-3 A-2 E=O,证明：矩阵A 可逆并求答案：证明：A2-3A-2E=O A2-3A=IE.2 分即 A(A-3 E)=2 EA-(A-3 E)=E.5 分2所以矩阵A 可逆，且AT=g(A 3 E).7 分4.(2.2 较 易)设 A,B,C都是n 阶方阵，且 C可逆，C-1=(C-IB+：)A、证明：A可逆且 A-=(B +C)T.证明：等式。7=(。-1 8 +石)/J 两边同时乘以。有E=(B+C)AT在上式中去矩阵的转置有E=A(B7+C

32、r)由矩阵的逆的定义可知A 可逆且A-1 =(3 +C)T.5.(2.3 较 难)设 方 阵 A 满 足 A2_A_2E=0,证 明 A 及 A+2 E都可逆，并求A-1及(A+2/尸证明：首先由A?A 2E=0可知L&A-E)=E2则A可逆且4一|=；(AE).由 A?A 2E=0 可知一L(A-3E)(A+2E)=E4则A可逆且A-1=(4-3E).4第 三 章 矩阵的初等变换与线性方程组二、选择题1 0 P1.(3.2,较易)设 A 是 4X3 矩阵，且 R(A)=2,若 B=0 1 0,则 R(AB)为()J 0 2,(A)2(B)3(C)4(D)0答案：A2.(3.2,易)设A 为m

33、 xn矩阵，B=AC,若A 和B 的秩分别为R(A)和R(B),则()(A)R(A)R(B)(B)R(A)R(B)(B)R(A)R(B)(C)R(A)=R(B)(D)以上都不正确答案：C5.(3.2,易)设A 是n 阶矩阵，则下列不星A 可逆的充分必要条件的一项是()(A)R(A)=n(B)AwO(C)|A|0(D)A E答案：B6.3,易)齐次线性方程组Ax=0(A 为 m X n矩阵)仅有零解的充分必要条件是()(A)A 的列向量组线性相关(C)A 的行向量组线性相关答案：A7.(3.3,易)设A 是m X n 矩阵，(A)R(A)=R(A,b)=n(C)R(A)=R(A,b)答案：A1

34、1.(3.2,易)设n阶方阵A 不可逆,(A)R(A)n(C)A=0答案：A(B)A 的列向量组线性无关(D)A 的行向量组线性无关则方程组Ax=b 有唯一解的充要条件是()(B)R(A)=n(D)R(A)=R(A,b)nA 的秩为R(A),则必有()(B)R(A)=n-l(D)方程组Ax=0 只有零解三、计算题5.(3.3,易)求非齐次线性方程组X,+2 x,-x,+2 x,=11 Z J 42 x)4-4X2 4-X3+X4=5 的通解.X 2 x?2 x?+X4 =4 1解：增广矩阵(A,b)=22-1 2 14 1 1 5(一1 -2 -2 1 -4 J12-121、1 2 010 0

35、3-3300 1-1、00-33一 3,*0 0 02、显然，R(A)=R(A,b)=2,方程组有解,通解为x=2 -X4 +2X +2X2-5X3-3X4=1 16.(3.3,易)求非齐次线性方程组 5 X 1+6 X 2+3 X 3-X 4=-1的通解.2 X1 +2X2+4X3 4-x4=-61 2-5-3 1 T 1 2-5 -3 1 1解由(A,b)=5 63-1 -10 -42 8 1 4 -5 6、4=T 7X =-9【3 -4X4 1 7得同解方程组,79即72-7 X 32x4=1 4X)=7 x,+X+1 41 2 3 2 4故原方程组的通解为:R7.(3.3,易)求%)-

36、2X2 4-x3 4-x4=1X|-2%2+%3-工4=1百 _ 2*2 +*3+5%=5 的通解.1-2 11 11-21-1-1J -2 1 5 5解：由(A,b)=1 -2 1 1 10 0 0 -2 -2、0 0 0 4 41 0 0、0 1 10 0 0?1-211 r 1 -20 0 0 1 10 00 0 0 0,0 oX.-2 x?+x.=0 f x.=2得同解方 程 组 2 3，即 .X 4=1 I X4=1故原方程组的通解为:Xi，k2G R）Xj +x2+x3 4-x4=28.（3.3,易）求非齐次线性方程组2 X +3 X 2+X 3+X 4=1的通解.X+2X3+2X

37、4=5解；（A,b）=22、11-111-112-332-102-105、-311130112112100J07010得同解方程组x,+2X3+2X4=5X2-X3-X4=-3xiX2=-2X3 2X4+5=X3+X4-3，即4故原方程组的通解为:X=1，k2e R）2 xj +x2-x3+x4=19.（3.3,易）已知（4 X+2 X2-2 X3 +X 4=2,2 Xj +x2-x3-x4=1求该方程组的通解.2 1-1 1 1、r2 1 -1 1 r 2 1-10解：（A,b）=4 2-2 1 20 0 0 -1 00 0 0 1 +X3 +3X4=22 4-5X3-5X4=3 ,2+7X

38、3+x4=1(A,b)2101-30求该方程组的通解.24237573-51-2、31002-1-11333-1 1-1 1-2、77,31 10-2、-7,10,00107-30-1 91 101 2-70、7得同解方程组X +7X3-1 9X4=1 2x2 3X3+1 1X4=-7即4Xj =-7X3+1 9X4+1 2x2=3X3-1 1X4-7故原方程组的通解为:X1 9k2G R)1 1.X)-2X2+4X3=-5(3.3,较易)设有非齐次线性方程组2X,+3X2+X3=43 xl+8X2 2X3=a(1)当a取何值时，方程组有解?(2)在方程组有解时，求出方程组的通解.解：(A,b

39、)=n2,3-23841-2-5、4a)7-24-5、1-2 4-50 7-71 401-121 4-1 4 Q+1 5,、000 2-1 3于是：(1)当a =1 3时，R(A)=R(A,b)=2,方程组有解;(2)当a=13 时,(A,b)0-2 41 -10 0-5、2o0102-10-1、2得同解方程组Xj+2X2-5X3-3X4=1 112.(3.3,较易)设有非齐次线性方程组5X1+6x2+3x3 X4=12X(+2x,+4X3+X4=X(1)当入取何值时，方程组有解?(2)在方程组有解时，求出方程组的通解.1 2-5-3 1T1 2-5 -3 1 1、解：(1)由(A,b)=5

40、6 3-1-1 0-4 28 14-56(2 2 4 1 X)、0-2 14 7 入 一 22,-5-7-3_7-2011、149-74720-17、14矢 口 当 入=6 时,R(A)=R(A,b)=2,方程组有解.(2)当九=一6时，(A,b)1 00 19-74720-17141002100入+6,0 01001000A,+6,00 J得同解方程组x,+9X3+4X4=-17Xr 7，“2 7 X3 -X4=I4x =9x?4Xg 17r 7，x2=7X3+x4+14，即故原方程组的通解为:x=(kpkje R)x,+x2-X 3 -x4=213.(3.3,较易)设有非齐次线性方程组,2

41、XI+X2-X3+2X4=3,3Xj+4X2-4X3+kx4=8问k为何值时(1)方程组无解？（2）方程组有解？（3）当k=-6时，求出通解.解：（A,b）=12,3-1-1-4-1 2、2 3k 8,10.01-11-11-1-14k+32-12114、7 1 1 -10-1 1,0 0 0-14k+72、-1(1)当 k=-7 时,(A,b)10,01-10-110-1402、-1R(A)=2,R(A,b)=3所以无解(2)k H 7 时，R(A)=R(A,b)=3,方程组有解;(3)当 k=6 时，(A,b)-1-10-1-412、1L1 10 10 0100110-103、1000-1

42、0501-1001L1001-2、5L同解方程组为x 2x2=x3+5X4=1得通解为：x=kO11e+J 2、50(kw R)x,+x2+2X3+3X4=114.(3.3,较易)已知线性方程组 x,+3x2+6x3+x4=3Xj 5X2-10 x3+9X4=a（1）a为何值时方程组有解?（2）当方程组有解时求出它的全部解.1 1 2 3 r解：(1)由(A,b)=1 3 6 1 3J -5 -10 9 a.0、1a+5,1 1 2 3 1、1 0 0 40 2 4-220 1 2-10-6 -12 6 a-1.、0 0 0 0得当a=5 时，R(A)=R(A,b)=2,线性方程组有解（2）由

43、（1）知，当 a=5 时，（A,b）0 12-1 10 0J得同解方程组15.(3.3,线性方程组的通解为x卡x2+2x(0 0 04k2 e R)，问k取何值时，此方程组1（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无限多解？并在有无限多解时求出其通解.k 1解：(A,b)=1 kJ 1k-1 1-k0 2-k-k2k k-A(1 1k 1 3-0 k-11 1 0 J 10 1-kk-1 i(14-k =0 k-14-k2J10 0k1-k(k+2)(k-l)k k-1、1-k 4-k1-k2 k-k2,k-1、4-k(k+2)(k 2).1 0 p1 3-1k k-1)k1 k1 0 0 4 0

44、、0所以：（1）当k，l且k，-2时，R（A）=R（A,b）=3,方程组有唯一解;(2)当k=l时,(A,b)01 1 0、0 0 3R(A)=1,R(A,b)=2,方程组无解;0 0 0 0J 1 1-2-3、10-1(3)当 k=2 时，(A,b)0-33601 -1、0 o00,*0 0-P-2R(A)=R(A,b)=2,方程组有无限多解.同解方程组 XL X2 -X3 =-2即4Xl=X3-1x2=X3-2得通解为:x=k+-2(ke R).第四章向量组的线性相关性二、选择题(每小题3分，共5小题)1.(4.2,较 易)向 量 组 线 性 无 关，Pj =a,-a2,P2=a2-a3,

45、P3=X a3性无关，则九,|i满 足().(A)A,=j i (B)九。(C)%=p.=l(D)2 2M答案：B2.(4.2,较易)n维向量a-a?,，a、线性相关的充分必要条件是()(A)名，见，,鬼中有一个零向量；(B)a,a2,-,as中任意两个向量的分量成比例；(C),as中有一个向量是其余向量的线性组合；(D)%.a?，昧中任意一个向量是其余向量的线性组合答案：C3.(4.2,较难)向量组a i，a 2，a 3线性无关，国=%一0(2，P2=a2-a3,P3=X a3-ta,性相关，则兀t满 足().(A)X =t(B)入r t(C)X =t=1(D)2H 2r答案：A5.(4.2

46、,较难)下列各向量组线性无关的是()(A)(1,2,3,4),(4,3,2,1),(0,0,0,0)(B)(a,b,c),(d c,d),(c,d,e),(d,e,f);(C)(,1,b,0,0),(c,0,J,2,3),(e,4,f,5,6)(D)(a,1,2,3),(b,1,2,3),(c,4,2,3),(d,0,0,0).答案：C7.(4.3,较易)若向量组a，名的秩为r,则().(A)ra3=-af+2a2.（10 分）q3.（4.3较易）已知矩阵A =21 2 2 2、2 1 5-1c .，求列向量组的一个最大无关组，并把其余0 3-1 31 0 4 1,向量用最大无关组线性表示.a

47、t,a2,ay,a5为其一个最大无关组。1 1 2 2 20 2 1 5 -1答案：解：记 A 4 =(%,4,。3，。4，%)=2 0 3 -1 3 1 1 0 4 1/1 0 0 1 0、r0 1 0 3 0T0 0 1-1 0（0 0 0 0 1,可知矩阵A的秩为40并且=+3 a 2 -/+0%，门、3、，-2、24.(4.3 较易)给定向量组囚=239%=-12，。3 =21,31，%=J1一 4)a5;(1)求向量组区 的秩;(2)求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.答案：解：记人=(名，。2，/，。4，&5)=（3-1-22、q3-1-22-123110

48、-74 7-321 150-74 7-1-43 54;100100002 1 0、-1 2 00 0 10 0 0?211、0-1200100-10000-40（5 分）R(A)=3,该向量组的一个最大无关组为四,012,015,（7 分）并且&3=2%-。2，=ai+2a28.（4.（10 分）向量组的最大无关组，并把其余向量用最大无关组线性表示.1 2 0 13、1 2 0 1 3、2 4 3-130 0 3-3 -3答案：解：A=（a1,a2,a3,a4,a5）=1 0 2 130-2 2 0 0、2 1 3 26,、0-3 3 0 0,1 2 0 1 3、1 00 3 5、0 1-1

49、0 00 10-1-1（5 分）0 0 1-1 -10 01-1-1、0 0 0 0 0?、0 00 0 0,R(A)=3,该 向 量 组 的 一 个 最 大 无 关 组 为,（7 分）并 且=3%-a 2 一。3，a5=5a1-a2-a3（10 分）9(4.3 较易)给定向量组A：(1)求向量组A 的秩;(2)求向量组A 的一个最大无关组，并把其余向量用所求的最大无关组线性表示.答案：解:1 2 3 0由人=（%,。2,0 3，。4，。5）=2 1 1 2（1 3 4 04、41（2分）102-313-510204-40、710、021031-20 4、0 02 一 4,100101110

50、4、0 0-1 2,1、00100017（6分）得（1）向量组A 的RA=3;11-1（7分）向量组A 的一个最大无关组为（8分）a4=aj+a2-a3,a5=2al-2a2 +2a3（10 分）10.（4.3较易）给定矩阵A=33 3 2 0、10 8 9 19 3 13 3,（1）求矩阵A 的秩;（2）求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用所求的最大无关组线性表示.0、（1 3 32 0、（1 0 6答 案：解：1 3 3由 A=3 10 8、2 9 329131 0 1-13）10 3-33 1 0 1-19 3）（0 0 0-7-3、3 10 0,（4分）故矩阵A 的秩