直线与方程历届高考试题择.pdf

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1、直线与方程历届高考试题精选一，知识点识记(1)直线的倾斜角定义：X 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与X 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0 度。因此，倾斜角的取值范围是|o Wa 0；当a e(9 0 ,1 8 0)时，k bx w b2；1_L 4 =kk2=注意：却用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。(7)两条直线的交点/:Ax+By+C=0 12:A2X+B2y +C2=0 相交交点坐标即方程组A +B f +C=的一组解。A2x+B2y+C2=0方程组无解O/2 ；方程组有无数解O /1与4重合(8)I两宫间距离公式|：设月区,凹)，

2、凶”2)是平面直角坐标系中的两个点，则|A 8|=)(一百)2+(2 必)2(9)I点到直线距离公司:-点P&，方)到直线/：4 X+B y +C =0的距离A x。+B y。+耳(1 0)I两平行直线距 离 获已知两条平行线直线/1和12的一般式方程为/1：A x+B y +C=0,Z2：A x+B y +C2=0,则乙与I?的距离为d=亨二，例题讲解1.(2009 宜昌调研)若实数x,y满足等式(x-2)=y2=3,那么上的最大值为()XA.-B.C.D.2 3 2答 案 D2.求经过点A(-5,2)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2 倍的直线方程；解 当直线I在 x、y 轴上的截

3、距都为零时，设所求的直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中，得 k=-(,此时，直线方程为y=-(x,即2x+5y=0.当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为二+上=1,将(-5,2)代入所设方程，解得a=-L,2a a2此时，直线方程为x+2y+l=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+l=0或 2x+5y=0.3.直线I经过点P(3,2)且与x,y 轴的正半轴分别交于A、B 两点，ZM)AB的面积为12,求直线I的方程.解 方法一 设直线I的方程为土+；=1(a0,b0),a bA A(a,0),B(0,b),ab=24,A-3 2 解得I =1.a b4=6,b=4.所求

4、的直线方程为人+工=1,即 2x+3yT2=0.6 4方法二 设直线I的方程为y-2=k(x-3),令 y=0,得直线I在 x 轴上的截距a=3-p 令 x=0,得直线I在y 轴上的截距b=2-3k./.fs-I(2-3k)=24.解得 k=-2.所求直线方程为 y-2=-(x-3).即 2x+3yT2=0.V k)3 34.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线I：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m 的取值范围.解 方法一 直线x+m y+m=O 恒过A (0,-1)点.7 1J W W m W 上且 m WO.XVm=0 时直线 x+m y+nF。3 27与线段

5、PQ有交点，所求m的取值范围是7-1 I 4方法二 过 P、Q 两点的直线方程为y T=二 三 6+1),即丫=上*+土代入*+皿丫+0=0,2 +1 3 3整理，得 x=-2L.由已知-1W-3-42,解得in+3 m +3 3 25.已知直线 h:ax+2 y+6=0 和直线 k:x+(a 1)y+a-1=0,(1)试判断八 与 L 是否平行；(2)I 山 z 时,求 a 的值.解(1)方法一 当a解时，l1:x+2 y+6=0,L:x=O,I 不平行于12；当 a=0 时，k y=-3,L:x-y T=O,L 不平行于 12;当 a W l 且 a W O 时，两直线可化为li：y=-x

6、-3,l2：y=x-(a+1),2 -aa _ 1h/l2-2 l-a.解得 a=T,一 3 工-(a+1)综上可知，a=T 时，liL,否则L 与 L 不平行.方法二 由 A B A B=O,得 a(a-1)-1 X2=0,由 A C-A C W 0,得 a X 6#0,fa(a-l)-lx2=0(a2-a-2=0,.A I./7 I2,=a=-l,故当 a=-1 时，L L,否则 li与 I?不平行.a(az-1)-1 x 6 0 a(a2-1)6(2)方法一 当 a=l时,li：x+2 y+6=0,L:x=O,li与 I?不垂直，故 a=l不成立.当 aWl 时，h:y 二 一 区 x-

7、3,L:y 二 一!一x-3+1),由(一-l=a=.2 -a I 2 J a 32方法.由 A A+B 1 B?=0,得 a+2 (a-1)=0 =a 36.(1 2 分)已知直线I 过点P(3,1)且被两平行线L：x+y+l=0,x+y+6=0 截得的线段长为5,求直线I 的方程.解 方 法 一 若 直 线 I 的斜率不存在，则直线I 的方程为x=3,此时与L,L 的交点分别是A (3,-4),B (3,-9),截得的线段长I A B=|-4+9|=5,符合题意.若直线I 的斜率存在时，则设直线I 的方程为y=k(x-3)+l,分别与直线一 毛的方程联立,由3k-2-4k8 分由=小：3)

8、+1,解得Bx +y +6 =03k-7 1-9&k+k+由两点间的距离公式，得(3k-2 3%-7丫1 1-4 1-9丫E-TTFJ+GFF=25,解得k=0,即所求直线方程为y=l.综上可知，直线I的方程为x=3或y=l.方法二 设直线 I 与 I1，L分别相交于 A(xi,y),B(X2,yz),则 i+yi+1=0,X2+y?+6=0,两式相减，得(xX2)+(yy2)=5 6分X (x-x2)2+(y-y2)2=25 2 r 3 I%-x2=5 a -X2=0 八联 立 可 得1 2八 或1 2.10分y 一 =o y-)2=5由上可知，直线I的倾斜角分别为0 和90,故所求的直线方

9、程为X=3或y=l.7.求直线l1：y=2x+3关于直线l:y=x+l对称的直线7的方程.解 方 法 一 由(V=2X+3知直线h与|的交点坐标为(-2,-1),y=x+l，设直线 的方程为 y+l=k(x+2),即 kx-y+2k-l=0.在直线I上任取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线h、L的距离相等，由点到直线的距离公式得k-2+2k-|2-2+3|712+k2 正+/解得k=l(k=2舍去)，.直线L的方程为x-2y=0.2方法二 设所求直线上一点P(x,y),则在直线h上必存在一点P(x,y)与点P关于直线I对称.由题设：直线PPi与直线I垂直，且线段PPi的中点/、悔 口

10、1 =T f,也,2 1也 在 直 线I上.卜。7，变 形 得 卜 7 ,I 2 2)y+为 二，+-0 lo=x +1,2-2代入直线L:y=2x+3,得x+l=2X(y-l)+3,整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.三，高考题赏析2 0 0 9 年考题1.(2 0 0 9 安徽高考)直线1 过 点(-1,2)且与直线2 x-3)，+4=0 垂直，贝状的方程是A.3 r-b 2 y-l=0 B.3 x+2 y+7=0C.2 x-3 y 4-5=0 D.2 x-3 y+8=03 3【解析】选 A.可得/斜率为2 =(x +l)即3 x +2 y l=0,选 A。2.(2 0 0

11、 9 上海高 考)已知直线4 :(%3)x +(4 A)y +l =0,与，2：2(A 3)x 2 y +3 =0,平行，则 K 得值是()(A)1 或 3(B)l 或 5(C)3 或 5(D)l 或 2、一 k【解析】选 C。当 k=3 时，两直线平行，当 1#3时，由两直线平行，斜率相等，得：土=k-3,4-k解得：k=5.3.(2009广东高考)若直线乙J (，为参数)与直线(s 为参数)垂直，则y=2+kt.y=-2s.k=.【解析】-g x(-2)=-l,得k=-l.答案：-14.(2009广东高考)若直线 (t 为参数)与直线4 8+h=1 垂直，则常数火=y=2+3tx=l 2f

12、 3 7 3【解析】将 化为普通方程为=x+，斜率仁=，当kx O 时，直线4x+4y=l的斜率，y=2+3f 2 2 2k,由2 k3 4k.k.=-1 得=-6;当斤=0时，1 2 2 k3 7直线y=-乙+,与 直 线 4x=l不 垂 直，综 上，k=-62 2答案：-65.(2009江西高考)设直线系M:xcose+(y-2)s in e =l(0 w e 2 幻对于下列四个命题：A.M中所有直线均经过一个定点B .存在定点P 不在M 中的任一条直线上C.对于任意整数(“N 3),存在正边形，其所有边均在M 中的直线上D.M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是(写出

13、所有真命题的代号).【解析】因为xcos6+(y 2)sin6=l 所以点P(0,2)到“中每条直线的距离1=)-=1Vcos2 O+sin2 0即M 为圆C:d +(y-2)2=1的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以A 错误又因为(0,2)点不存在任何直线上，所 以 B 正确对任意 2 3,存在正边形使其内切圆为圆C,故。正确M中边能组成两个大小不同的正三角形A BC和A EF，故 D 错误，故命题中正确的代号是B,C答案：3,C6.(2 0 0 9江西高 考)设 直线系M :xc o s 6+(y-2)s i n 6=l(0 w e 4 2万),对于下列四个命题:A.存在一

14、个圆与所有直线相交B.存在一个圆与所有直线不相交C.存在一个圆与所有直线相切D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).【解析】因为xc o s 6+(y-2)s i n 6=l所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d=Vc o s2 6 +s i n2 0即M为圆C:/+(y-2)2 =1的全体切线组成的集合，所以存在圆心在(0,2),半径大于1的圆与V中所有直线相交，也存在圆心在(0,2),半径小于1的圆与M中所有直线均不相交，也存在圆心在(0,2),半径等于1的圆与M中所有直线相切，故A B C正确，又因M中的边能组成两类大小不同的正三角形，故D

15、错误，故命题中正确的代号是AB C答案:AB C7.(2 0 0 9全 国I)若直线机被两平行线4：x-y +l =0与/2：x-y+3 =0所截得的线段的长为2行，则相的倾斜角可以是：1 5 3 0 4 5 60 75 其 中 正 确 答 案 的 序 号 是.(写 出 所 有 正 确 答 案 的 序 号)【解析】两平行线间的距离为4=在廿=,由图知直线加与乙的夹角为3 0 ,4的倾斜角为4 5 ,A/1+1所以直线m的倾斜角等于3 0 +4 5 =75 或4 5 -3 0 =1 5。故填写答案:8.(2 0 0 9天津高考)设直线4的参数方程为 (t为参数)，直线/,的方程为y=3 x+4则

16、乙与/，的y=1 +3/距离为【解析】由题意知直线4的普通方程为3x-y-2=0,故它与/,的 距 离 为 里-V10 5答案:平2 0 0 8年考题1、（2 0 0 8全 国 I）若直线2+）=1 通过点M（c o s a,s i n a）,则a bA.a2+h2 1 B.a2+b2 C.3 +a2 b2【解析】D.（两种方法均为狗选渚）（方法一）：（利用坐标原点到直线的年宵与圆的半彳至的关系）1 1丁庐21/、L、皿，.,.、，11、一工工人 cos a s i n a ,（万法二）：设向量机二（c o s a,s i n a）,=（一,一）,由题意知-+-=1a b a b.NI c o

17、 s a s i n c r由根 W in 可得I=-+-2、（2 0 0 8全国II）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2 =0与 x-7 y-4 =0,原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A.3 B.2 C.D.-3 2【解析】选 A./:x+y-2 =0，尤=一 1,4 ：%-7 y-4 =0,女 2 =；，设底边为4-y=kxk k k k i,-4-1 7 k 由题意，/3到L 所成的角等于乙到A 所成的角于是有=一=1 +k、k 1 +k,k k 1 7+左再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A.3、（2 0 0 8全国II）原点到直线x+2 y-5 =0

18、的距离为（）A.1 B.73 C.2|-5|厂【解析】选 D.d=V?.D.V54、（2 0 0 8广东高考）经过圆x2+2 x+y2=Q的圆心C ,且与直线x+y=0 垂直的直线方程是【解析】易知点C为（-1,0）,而直线与x+y=0垂直，我们设待求的直线的方程为y=x+b,将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为8=1,故待求的直线方程为x-y+1=0。答案:x-y+1 =0.5、(2008江苏高考)在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为A(0,a),B3,0),C(c,0),点P(0,p)在线段OA上(异于端点)，设a,。,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别交AC,A8于点

19、E,(1 (1 1)F,一 同 学 已 正 确 算 出 的 方 程：x+-y=0,请你求OF的方b c)(p a)程：o【解析】本小题考查直线方程的求法。画草图，由对称性可猜想(1-L)x +(-)y=0 c b p a事实上，由截距式可得直线4 8:+工=1,直线。：2 +上=1,两式相减得(-)x+(L-L)y =0,a b c p c b p a显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程。答案：(-)x+(-)_y=0.c h p a2007年考题1、(2007浙江高考)直线x-2)，+l=0关于直线x=l对称的直线方程是()A.x+2 y-l=

20、0 B.2x+y-1=0C.2x+j-3 =0 D.x+2y-3=0【解析】选D.方法一(利用相关点法)设所求直线上任一点为(x,y),则它关于x=1对称点为Q-x,y),在直线x-2 y +l=0上,2-x-2 y +l=0化简得x+2 y-3=0故选答案 D.方法二:根据直线x-2 y +1 =0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=l上，故选答案D.2、(2007四川高考)如图，4、。是同一平面内的三条平行直线，4与4间的距离是1,乙与4间的距离是2,正三角形A3C的 三 顶 点 分 别 在4、4上，则ABC的边 长 是()(A)2Gg 亚43(

21、D)也3【解析】选 D.过点C作 A的垂线乙，以4、%为 工轴、y轴建立平面直角坐标系.设A(a,l)、B(b,O)、C(0,-2),由 A 8 =8 C =AC 知伍一与2 +1 =/+4=。2+9=边长 2,检验 A：3 2(a-b)2+=b2+4 =a2+9 =l 2,无解；检验 B：(a-b)2+l=b2+4=a2+9 =,无解；检验 D：(a-b)2+l =b2+4 =a2+9 =,正确.3、(2007上海高考)已知4 :2 x +，町+1=0 与：y =3 x-l,若两直线平行，则用的值为2 m 1 2 解 析 =-W =？=-3 -1 -1 3答案:-4234、(07年上海高考)

22、直线4 x +y -1 =0的倾斜角6 =.冗【解析】t a n 6 =-4,.。(5，万)=。=兀一 a r c t a n 4.答案：兀 一 a r c t a n 4四，巩固练习1 .两条直线3 x +2 y=0 和(m 2 +l)x-3 y+2-3/?=0 的位置关系是()A.平行 B.相交 C.重合 D.与“有关后2 .到直线2 1+产4=0 的 距 离 为 5 的点的集合是()A.直线2 x+y-2=0 B.直线2 x+y=0C.直线2 x+y=0 或直线2 x+y -2=0 D.直线2 x+y=0 或直线2 x+2 y+2=03 直线x-2 y +b=0与两坐标轴所围成的三角形的

23、面积不大于1 ,那么b 的取值范围是()A.2,2 B.(o o,2 u 2,+8)C .-2,0)u(0,2 D.(-c o,+o o)4.若直线/与两直线y=l,x-y-7 =0 分别交于M,N两点，且 M N 的中点是尸(1,-1 ),则直线/的斜率 是()2A/1 3 c+25.两平行线3 片-2/-1 =0,6 x+a y+c=0 之间的距离为一 ,则-的值是（）13 aA .1 B.1 C.-1 D .26 .点 尸 到 点 A，（1,0）和直线x=-1 的距离相等，且尸到直线y=x的距离等于等一，这样的点尸共有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个7.若 y=a I

24、x I 的图象与直线y=x+a （a 0 ）有两个不同交点，则 a的取值范围是（）A.0 a 1C.a 0 且 a l D.a =18 .在直线x +3 y =0上求一点，使它到原点的距离和到直线x +3 y-2 =0的距离相等，则此点的坐标为.9.若方程x 2-x y-2 y 1 x+y =0 表示的图形是。1 0 .已知实数X,y满足2 x+y=8,当 2 4 x 4 3 时，求的最值.1 1 .已知点产（2,-1）.（1 ）求 过P点与原点、距离为2的直线/的方程；（2）求过严点与原点距离最大的直线/的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P 点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若

25、不存在，请说明理由.1 2 .有一个附近有进出水管的容器，每单位时间进出的水量是一定的，设从某时刻开始1 0 分钟内只进水，不出水，在随后的3 0 分钟内既进水又出水，得到时间了（分）与水量y （升）之间的关系如图所示，若 40 分钟后只放水不进水，求了与1的函数关系.答案与提示一.选择题B D C A A C B提示：32+1 .第一条直线的斜率为k 尸-p第二条直线的斜率为kz 0 所以k iRk?.V52 .设此点坐标为（x,y）,则I 2一产尸;1=1-=c5 ,整理即得。22+123 .令 x=0,得 yf,令 y=0,x=-b,所以所求三角形面积为:|g|I b|=1 b；且 b x 0,1,所以b2 4 0 时，由题意知，直线的斜率就是相应放水的速度，设进水的速度为Pi,放水的速度为Vi.在力段时是进水过程，所 以 办=2,在四段是既进水又放水的过程，由物理知识可知，此时的速度为小1+力=3，-2 +Vi=-y ,所以当 x40 时,5k =3又过点4(40,3 0 ),所以此时的方程为y=-2 9 0令 y=0,x=5 8,此时到。(5 8,0)放水完毕.综合上述：y=lx13 *+(0 1 0)5、35 0T2 9 0(1 0 x1 0)x+(40 x45 8)