函数的奇偶性、周期性与对称性（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（新高考地区专用）（原卷版）.pdf

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1、考向0 8函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国I卷】(多选题)己知函数/(x)及其导函数/(X)的定义域均为R,记 g(x)=/(x),若g(2+x)均为偶函数，则()A./(0)=0 B.g(-|=C./(-D=/(4)D.g(l)=g(2)【答案】BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为g(2+x)均为偶函数，所以 f(|-2x)=f|+2x)即=f(g+x)，g(2+x)=g(2-x),所以 3r)=x),g(4-x)=g(x),则以-l)=/(4),故 C 正确;函数f(x),g(x)的图象

2、分别关于直线X=*X=2对称，又g(x)=r(x),且函数/(x)可导，所以 g)=0，g(3-x)=-g(x),所以 g(4x)=g(x)=-g(3-x),所以 g(x+2)=-g(x+1)=g(x),所以 g(-|=g(|)=0，g(l)=g 6 =g ，故 B 正确，D 错误；若函数/(x)满足题设条件，则函数”x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定.f(x)的函数值，故A 错误.故选：B C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系,准确把握函数的性质(必要时结合图象)即可得解.【2 0 2 2 年新高考全国II卷】

3、已知函数/(x)的定义域为R,E/U+y)+fx-y)=f(x)f(y),/(I)=1,则22于 伏)=(k=A.3【答案】A)B.-2 C.0 D.1【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数/(X)的一个周期为6,求 出 函 数 一 个 周 期 中 的，(6)的值,即可解出.【详解】因为/(x+y)+/(x _ y)=/(x)/(y),令x =i,y=O 可得，2/(1)=/(1)/(0),所以/(0)=2,令x =O 可得,f(y)+/(-y)=2 f(y),B P/(y)=/(-j),所以函数f(x)为偶函数，令 y=i 得,/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有 x

4、+2)+/(x)=/(x+l),从而可知f(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故 x+2)=x 4),即 x)(x+6),所以函数f(x)的一个周期为6.因为 2)=1)0)=1-2=1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1 =-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所以一个周期内的7 +2)+/(6)=0.由于2 2 除以6余 4,22所以%)=/+/(2)+/(3)+/(4)=1-1 -2-1 =-3.*=|故选：A.1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图

5、象特征.函数f(x)是偶函数o 函数/(x)的图象关于y 轴对称；函数/*)是奇函数o 函数/(x)的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数y=/(x)在x =0 处有意义，则有/(0)=0；偶函数y=fx)必满足/(x)=/(|x I).(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数/(x)的定义域关于原点对称，则函数f(x)能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g(x)=g /(x)+/(-x)(x)-/(-x)，则/(x)=g(x)+(x).(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过

6、加、减、乘、除四则运算所得的函数，如 f(x)+g(x)J(x)-g(x)J(x)x g(x)J(x)+g(x).对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶士偶=偶；奇士偶=非奇非偶；奇乂(十)奇=偶；奇乂(十)偶=奇；偶乂(十)偶=偶.(7)复合函数y=/g(x)的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.(8)常见奇偶性函数模型奇函数：函数 f(x)=+1)(x H 0)或函数 f (x)=m-).a-1 a+1函数/。户土一广).函数/(x)=l o g 匕 3=l o g(l +3L)或函数 f(x)=l o g,小二色=l o g“(1 -)x m x m x+m x +函数/(x)=l o g”(

7、&+x)或函数/(x)=l o g.(Vx2+1 -x).注意：关于式，可以写成函数/0)=7 +2 -(工 工 0)或函数/。)=7 也R).a x-i i 7 +1偶函数：函数/(x)=(优+)函数/(X)=l o g”(+1)-.函数“I)类型的一切函数.常数函数2.周期性技巧函数式满足关系(xeR)周期/(x+T)=/(x)Tf(x+T)=-f(x)2Tf(.x+T)=-f(x+T)=f(x)f(x)2Tf(x+T)=f(x-T)2Tf(x+T)=-f(x-T)4Tf/(a+x)=/(a-x)f(b+x)=f(h-x)2(b-a)f(a+x)=f(a-x)f (x)为偶函数2af(a+

8、x)=-/(a -x)f(b+x)=-f(b-x)2(b-a)/(a+x)=-/(a-x)/(x)为奇函数2af(a+x)=f(a-x)f(b+x)=-f(b-x)4(b-a)/(a+x)=/(a-x)1/(x)为奇函数4a1f(a+x)=-f(a-x)/(x)为偶函数4a3.函数的的对称性与周期性的关系(1)若函数y=/(%)有两条对称轴x=a,x=b(a b),则函数/(x)是周期函数，且7=2(万 一 白)；(2)若函数y=f 0)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(av力,则 函 数y=/(乃是周期函数,且T=2(b-a)；(3)若函数y=/(x)有一条对称轴x=和一个对称中心

9、(6,0)(。0).(2)若 f(x +a)=-,则 T =2 a(a0).f M(3)若 f(x +a)=-，贝 ijT =2“(a0).f(x)4 .对称性的三个常用结论(I)若函数y =f(x +a)是偶函数，则函数y =/(x)的图象关于直线x =a 对称.(2)若对于R上的任意x 都有f(2a-x)=/(x)或f(-x)=f(2 a+x),则y=/(x)的图象关于直线x =a 对若函数y =/(x +6)是奇函数，则函数y =/(x)的图象关于点S,0)中心对称.5 .两个奇偶函数四则运算的性质(1)两个奇函数的和仍为奇函数；(2)两个偶函数的和仍为偶函数；(3)两个奇函数的积是偶函

10、数；(4)两个偶函数的积是偶函数；(5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。1.函数的奇偶性函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点判断f(-x)与/(x)的关系时，也可以使用如下结论：如果f(-x)-f(x)=O 或 在 =l(/(x)*O),则函/W偶函数如果对于函数/(X)的定义域内任意一个X,都有/(-X)=fx),那么函数/(X)就叫做偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数“X)的定义域内任意一个X,都有/(X)=-/(X),那么函数/(X)就叫做奇函数关于原点对称数/(X)为偶函数；如果f(-x)+f(x)=O 或 匕*=-1(f(x)H O),则函数/(x)为奇函数./(X)

11、注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个X,-X也在定义域内(即定义域关于原点对称).2.函数的对称性(1)若函数y =f(叶。)为偶函数，则函数y =/(x)关于x =a 对称.(2)若函数y =f(x+a)为奇函数，则函数y =/(x)关于点(a,0)对称.(3)若f(x)=/(2 a-x),则函数/(x)关于x =a 对称.(4)若/(x)+/(2 a-x)=2 Z,则函数/(x)关于点(。，A)对称.3.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y =(x),如果存在一个非零常数T,使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x +T)=/(x),那么

12、就称函数y =/(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(%)的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做/(A-)的最小正周期.基施函1.(2 0 2 2 全国模拟预测(理)若某函数/(x)=x(aeR)满足(a+l)/(x)=/(ex),则 下 列 关 于 函 数 的 说法正确的是()/(X)不是周期函数 /5)是单调函数/(X)关于原点对称 X)关于点(0,1)对称A.0 时，/。)=一(r +=，则满足了(2 a-3)4 0 的根的取值范围是()2 x+1-3 1 r 31A.-1,2 B.1,2 C.(,-1U-,2 D.1,-U12,+

13、8)4.(2022全国模拟预测)已知定义在R 上 的 函 数 满 足 x+2)=/(x+4),且 x+l)是奇函数，则()A.f(x)是偶函数 B.“X)的图象关于直线x 对称C./(x)是奇函数 D.“X)的 图 象 关 于 点 对 称5.(2022 贵州贵阳一中模拟预测(文)已知函数x-l)(x w R)是偶函数,且函数/(力 的图象关于点(1,0)对称，当x e 1,1时，/(x)=x l,贝 U/(2022)=()A.-2 B.-1 C.0 D.26.(2022 湖 南 雅礼中学二模)函数f(x)的定义域为R,若/(x+1)是奇函数，f(x-l)是偶函数，则()A.“X)是奇函数 B.

14、x+3)是偶函数C.3)=0 D./(x)=/(x+3)7.(2022重庆八中模拟预测)定义域为R 的偶函数/(x),满足 0)=-1.设 g(x)=d)/(x),若 g(x+D 是偶 函 数,则g(2022)=()A.-2022 B.-2021 C.2021 D.20228.(2022重 庆市涪陵高级中学校模拟预 测)定义在R 上的奇函数/(x)满足/(x)=f(4-3，当xw0,4时,f(x)=x2-4 x,则“2022)=()A.4 B.6 C.8 D.109.(2022.海南海口.二模)已知函数 x)是定义在R 上的奇函数，函数g(x)=|x-2|/(x)的图象关于直线x=2对称，若/

15、(T)=T,则8 =()A.5 B.1 C.-1 D.-510.(2022河南省兰考县第一高级中学模拟预测(理)已知定义在R 上的函数/(x)在-1,田)上单调递增,若 2)=0,且函数/(x 1)为偶函数，则不等式灯.(力 0 的解集为()A.(2,+oo)B.(T,l)u(0,+oo)C.(-4,-KO)D.(T O)U(2,同11.(2022 辽宁 抚顺市第二中学三模)函数尸/(2乂-1)是/?上的奇函数，函数尸/(另图像与函数尸爪引关于 y=T 对称，贝 ljg(x)+g(x)=()A.0 B.-1 C.2 D.112.(2022.广西.南宁三中二模(文)若函数/。)=(1-巧(丁+衣

16、+6),“力e R 的图象关于直线x=2对称，则 4+。=.13.(2022 山东胜利一中模拟预测)已知函数/(x)满足/(x+3)=/(l-x)+9/(2)对任意x e R 恒成立，又函数 x+9)的图象关于点(-9,0)对称，且/=2 0 2 2,则/(45)=.14.(2022江苏 南京市天印高级中学模拟预测)已知一 )是定义在R 上的函数，若对任意x e R,都有/(x +8)=/(x)+/(4),且函数/(x-2)的图像关于直线x=2对称，/=3,则/(2 0 2 2)=.15.(2022 湖南 邵阳市第二中学模拟预测)已知函数“工 人 篙，若不等式1-6)+/卜 2”2 对”0,一

17、)恒成立，则实数。的取值范围_ _ _ _ _ _.16.(2022全国哈师大附中模拟预测(文)已 知 函 数 力=1(其中e是自然对数的底数)，若在平面直角坐标系xOy中，所有满足修)0 的点(。力)都不在直线/上，则直线/的方程可以是(写出满足条件一个直线的方程即可).17.(2022.全国高三专题练习)对于三次函数/(力=加+凉+廿+1(0),给出定义：设广 是函数y=/(x)的导数，/(X)是r(x)的导数，若方程_r(x)=O有实数解X。，则称点(/5)为函数y=/(x)的“拐点”，同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，若

18、小)=#-9+3工+卷，请你根据这一发现，求：函 数 f(x)的对称中心为 计 算 加2021)2022；真21.(2022全国高考真题)已知函数/J)的定义域为R,且/(x +y)+f(x -y)=/(x)/(y),/(l)=l,则22 f(k)=()*=|A.-3 B.-2 C.0 D.12.(2022.全国.高考真题(理)已知函数/O),g(x)的定义域均为R,且f(x)+(2-x)=5,g(x)-/(x -4)=7.若丁=8。)的图像关于直线 x=2 对称，g =4,则 /(%)=()*=iA.-21 B.-22 C.-23 D.-243.（2021.全国高考真题）已知函数力 的定义域

19、为R,x+2）为偶函数，f（2x+l）为奇函数，则（）A.=0 B./(-1)=0 C.2)=0 D.4)=04.（2021.全国高考真题（理）设 函 数 的 定 义 域 为 R,x+l）为奇函数，x+2）为偶函数，当xel,2时，f M =ax2+b.若 0)+3)=6,则/仁)=()A.13 7 5B.C.-D.一2 4 25.（2021 全国 高考真题（文）设%）是定义域为区的奇函数,且1 +）=/（一.若/|=；,则/()1 x6.（2021全国高考真题（理）设函数/（幻=二 上，则下列函数中为奇函数的是（）1+XA.1）-1 B./（x-1）+1 C./（x+1）-1 D./（x+l

20、）+l7.（2020海南高考真题）若定义在R的奇函数外）在（-8,0）单调递减，且2）=0,则满足犷（x-l）NO的x的取值范围是（）A.-l,lU3,+）B.-3,-1UfO,Uc.-l,0 o l,-w)D.-1,0 5 1,3 8.(2 0 2 0 全国高考真题(文)已知函数危尸s i n x+一,则()s i n xA._/(x)的最小值为2 B.犬 x)的图象关于)，轴对称C./)的图象关于直线X”对称 D.於(的 图 象 关 于 直 线 对 称9.(多选题)(2 02 2 全国高考真题)已知函数f(x)及其导函数/(X)的定义域均为R,记g(x)=f(x),若/6一 2 工)，g(

21、2 +x)均为偶函数，则()A./(0)=()B.g-|=C./(-D=/(4)D.g(l)=g(2)10.(2 02 1全国高考真题)写出一个同时具有下列性质的函数/(x):.“将 户/(毛)；当x e(0,+oo)时，fx)0；f(x)是奇函数.11.(2 02 1 全国高考真题)已知函数/(司=丁(a 2-2-，)是偶函数，则。=.12.(2 02 0 全国高考真题(理)关于函数f(x)=s i n x +一有如下四个命题：sinxay(X)的图象关于y 轴对称.(S y(X)的图象关于原点对称.的 图 象 关 于 直 线 对 称.(x)的最小值为2.其 中 所 有 真 命 题 的 序

22、号 是.13.(2 02 2 全国高考真题(文)若/(x)=l n a +人是奇函数，则。=_ _ _ _,b=_.-x考基础练1.【答案】C【解析】(a+l)f(x)=/(ex),即(a +l)x=(ex),则e-a-l =0构建g(x)=e*-x-l,则 gx)=e-l令g x)0,则x0g(x)在(y,0)上单调递减，在(O,M)上单调递增则g(x)2 g(0)=0当且仅当X=0时等号成立.4=0,则/(x)=X=1(X H 0),若/(X)是周期函数，则存在非零实数T，使得/(x+T)=/(x)对任意的 0总成立，但x=-7时，/(x+7)无意义，/(-n =i,故两者不相等，故/(*

23、)不是周期函数，正确；x)不是单调函数，错误；=,/(X)不是奇函数，错误；/(X)关于点(0,1)对称，正确；故选：C.2.【答案】D【解析】由f(x)=4-x)可得，函数“X)关于x=2对称，函数y=x+l)为奇函数，所以-/(-x +l)=f(x +l),所 以 函 数 关 于(1,0)对称，则有f(4-x)=-/(x 2),即/(x)=/(x-2),又v/(x-2)=-/(x-4),.-./(%)=/(%-4),/(x)的周期为 4./(2022)=/(4x500+2)=/(2)=l-log23.故选：D.3.【答案】A【解析】令 g(x)=f(x)-2=x2 ln(y/x2+l+x)

24、g(-x)=(-x)2 ln(7(-%)2+l-x)=x2 ln(/L-)=-x2 ln(&+l+力=-g(x),r.g(x)是 R 上的奇函数，+1+xg(-a)+g(a)=0,即 f(-a)-2 +/(a)-2 =0,又/3)=9,所以f(-a)=-5.故选：A.4 .【答案】B【解析】解:由 x+3)=x 1),得 x+4)=x),.函数/(x)是周期函数，且 4是它的一个周期,又当x e-2,0时，力=3-*+1,/(2 02 2)=/(4 x 5 06 -2)(-2)-9+1 =10；故选：B.5 .【答案】A【解析】依题意得。-4+2 a-2 =0,解得。=2,由/(0)=。+2

25、=0,得占=-2,所以=2)+/(-2)=0.故选：A.6 .【答案】1【解析】由题意，-即陶(。-卜-陶(-橙广 2a-4-ax x +2所以-=-:-2-x 2a-4+ax化简得卜烈：解得4 =1 .故答案为：17.【答案】/(X)=CO S 7U【解析】由知/(X)的图象关于直线X =1对称，由知f(x)为偶函数，所以/(%)=-x)=f(x-2),故f(x)为周期为2的周期函数，符合该条件的函数可以为，(X)=CO S 7CX.故答案为：/(X)=CO S 7U(答案不唯一，只要符合条件即可)提升练1.【答案】C【解析】设f(x)=g(x)+(x),m j/(x)=g(x)+(幻=l

26、og2(2x+1)f(-x)=g(-x)+h(-x)=l og2(2-x+1)因为g(x)为奇函数，(x)为偶函数，化简得：(x)+/z(x)=l og2(2 +1),2r+l ，解得：-g(x)+h(x)=l og,(-)=l og2(2r+l)-xXg(x)=QY/?(%)=l og,(2A+1)-故选：C.2 .【答案】D 解析】f(x)=-/(4-x)即 f(x)+(4-x)=0,在中将 x 变换为 x+2,则/(x+2)+f 4-(x+2)=0,则 f(x+2)+2 x)=0,又因为x)=/(2-x),所以 f(x+2)+/(X)=0,所以 x)=-/(x+2)，在将x 变换为x+2

27、,所以 x+2)=/(x+4)=x),所以/(x)=x+4),所以x)的周期为4.因为x)=/(4-x)=/4-(x+4)=/(x),所以/(-x)=-x),所以f(x)为奇函数.故选：D.3.【答案】D【解析】因为函数y =-=y=T +:在(0,+8)上均为减函数，2 x+1 x+1/(X)=+=在(0,+8)上为减函数.又，=-13+4=0,且=/(X)是R上的奇函数，2 x+1 2 1+1/(0)=0J(x)在(8,0)卜.为减函数.3又/(-1)=0,f(2m-3)0,得一1W 2 加一3 W 0 或2 m 一 3 2 1,解得 或加2 2.31.所 以 实 数 机 的 取 值 范

28、围 是 U 2,+8).故选：D.4 .【答案】C【解析】由 x+2)=/(x+4)可得2是函数/(x)的周期，因为/(x+1)是奇函数，所以函数/(x)的图象关于点(L 0)对称,所以f(x)=-J(2-x),/(x)=-/(-%),所以f(x)是奇函数，故选：C.5 .【答案】B【解析】根据题意，函数 x-l)(x w R)是偶函数，则函数“X)的对称轴为x=-l，则有了(力=-2-力,又由函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称，则/(x)=-/(2-x),则有 -2-X)=-2-X),UP/(x+4)=-/(x),变形可得/(x+8)=/(x),则函数是周期为8的周期函数，/(2

29、02 2)=-2 +2 5 3x 8)=/(-2)=/(0)=-1,故选：B.6 .【答案】B【解析】因为/(x+1)是奇函数，./(x+l)=-/(-x+l),/(X 1)是偶函数，./(x-l)=/(-x-l),即 X+1)=/(T 3),二-/(-X+l)=/(-x-3)=/(x)+x+4)=。,贝 i J/(x+8)=/(x+4)=/(x),即周期为 8；另一方面 x+5)=-/(x+l)=f(-x+l),.-./(x+3)=/(-x+3),即 x+3)是偶函数.故选：B.7.【答案】C【解析】：g(x)=(x-l)f(x),g(x+l)=V(x+l)，又g(x+l)为偶函数，二 W(

30、-x+D=q Xx+1),即-y(-x+i)=f(x+i),/(X+2)=-/(-%)，又 是 定 义 域 为R偶函数,/(x+2)=-/(x)J(x+4)=-/(x+2)=/(x),周期为 4,又/(0)=-1,/(2022)=/(2)=-/(0)=1,/.(2022)=2021/(2022)=2021.故选：C.8.【答案】A【解析】因为/(力寸(4-x),且f(x)为奇函数，所以/(x)=-/(4),所以 f(x+8)=-/(x+8-4)=-f(x+4)=f(x),故x)为周期为8的周期函数，所以 f (2022)=/(6)=/(-2)=一，又当xw0,4时,/(X)=X2-4X,所以2

31、)=22-4x2=-4,所以“2022)=4,故选：A9.【答案】B【解析】因为g(x)的图象关于x=2对称，则g(x+2)=k|x+2)是偶函数，g(2-x)=|-M2-x)=W/(2-x),且g(x+2)=|x|/(x+2),所以，国2-%)=国/(2+刈对任意的工11恒 成 立,所以，/(2-x)=/(2+x),因为1)=T 且f(x)为奇函数，所以，/(3)=/(2+1)=/(2-1)=-/(-1)=1，因此，g(3)=|3-2|/(3)=/(l)=l.故选：B.10.【答案】D【解析】因 为 函 数 1)为偶函数，则x-=1),故函数“力 的图象关于直线x=-l 对称,因为函数f(x

32、)在T，y)上单调递增，故函数f(x)在 上 单 调 递 减，因为/(2)=0,则 f(T)=0,所以，由/(x)。可得-4 x 0 可得x 2,.、x0解不等式刀(x)0,可得 0，解得-4 x 2,故不等式4(力 0 的解集为(T 0)5 2，E).故选：D.11.【答案】C【解析】函数y=/(2 x-l)是 R 上的奇函数，则一l)=2 x-l)设2 x-1=t,则/(0=-/(-2-0，则函数y=f(x)的图像关于点(T O)对称函数y=x)图像与函数y=g(x)关于y=-x 对称，所以函数y=g(X)的图像关于(0,1)对称，所以g(x)+g H)=2故选：c12.【答案】7【解析】

33、由题意/(2 +x)=/(2-x),即解析=/(4 x),所以/(0)=/(4)/(1)=/(3)匕 =-15(16+44+8)0=-8(9+3a+力.解得此时/(x)=(l-x2)(x2-8x+15)=-x4+8x3-14x2-8x+15,f(4-x)=-(4-x)4+8(4-x)3-14(4-8(4-x)+15=-(X4-16X3+96X2-256X+256)+8(64-48%+12X2-X3)-14(16-8X+%2)-32+8X+15=-x4+8/一 I4 f _ 8x+15=f M,满足题意.所以a =-8,6 =1 5,a+h=1.故答案为：7.1 3 .【答案】-2 0 2 2【

34、解析】因为函数Ax)满足f(x+3)=/(I -x)+9/(2)对任意x e R 恒成立，所以令x =1,即/(2)=/(2)+9/(2),解得八2)=0,所以/(x +3)=/(l-x)对任意xe R 恒成立，又函数 x+9)的图象关于点(-9,0)对称，将函数 x+9)向右平移9个单位得到/，所以/(x)关于点(0,0),即/&)为R 上的奇函数，所以/(x)=r),又/(x+3)=/(l-x)对任意xe R 恒成立，令x =x 3,得/X-x)=/(x+4),即-f(x)=f(x+4),再令x=x+4,得-/(x+4)=/(x+8),分析得/(x)=f(x+8),所以函数f(x)的周期为

35、8,因为/=2 0 2 2,所以在/(X+3)=/0T)中,令x =0,得/(3)=1)=2 0 2 2,所以45)=f(6 x 8-3)=/(-3)=-/(3)=-2 0 2 2.故答案为：-2 0 2 2.1 4.【答案】3【解析】因为函数f(x-2)的图像关于直线x=2 对称，所以函数/(x)的图像关于直线x =0 对称，即函数 x)是偶函数，则有 x)=r)；因为对任意x e R ,都有f(x+8)=/(x)+f(4),令X=T,得/(U+8)=/(-4)+/(4)n f(T)=/(4)=0,所以对任意xe R，都有/(x+8)=/(x)+/(4)=/(x),即 函 数 的 周 期 为

36、 8,贝 1J/(2022)=/(252X8+6)=/=6-8)=/(-2)=/(2)=3,故答案为：3.1 5.【答案】(f,2【解析】/(6 =三=2(丁?-2=2 _ 二,l+e 1+e 1+e因为y =l +e在R 上为增函数，所以 x)=2-言在R 上为增函数，2?H /(x)+/(-x)=2-+2-=2,所以/(1 一如)+/(丁)2 2 可化为/(1 一 6)2 2/卜 2)=/(-V),因为/（X）在R上为增函数,所以1-o r N对安 0,田）恒成立，所以a 4 x +1对V xe（0,+co）恒成立，因为x 0,所以+1 2 2、口=2,当且仅当=,，即x=l时取等号,X

37、X X所以。4 2,即实数。的取值范围（3,2,故答案为：（F,2 16.【答案】x+y-2=0（不唯一）2x _ 2【解析】/（6 =上 二、=8-6 2 7在区上单调递增，ev.2-x）=e2-，-e，.-./（x）+/（2-x）=0,曲线y=x）关于点（1,0）中心对称,二/+6)0 o/(a)-/(6)o/(a)/(2-b)o a 2-6 o a+6 2,在平面直角坐标系X。中，所有满足 0即a+b 2的点（。都不在直线I上.所以，直线/上的点都满足x+y 2,即直线/在x+y 4 2表示的半平面内,故直线/斜率为-1,纵截距小于等于2,如x+y2=0,x+y l=0,x+y=0,等.

38、故答案为：x+y-2=0（不唯一）17.【答案】222316【解析】（1）r（x）=f x+3,r w=2 x-i,令I r（x）=o,解得x=；,1 1 1 3 5 11x-x|-1-=8 2 4 2 12 6J函数/（x）的对称中心为(M)(2022)-，(2022 卜，(2022202120222021xy 22231,2-6故答案为：已外(2)等.2 6；6真题练1.【答案】A【解析】因为/(+)+/(万一月=/。)/(力，令=1,、=0可得，2/(1)=1)”0),所以0)=2,令x=0可 得,/()+-)=2/()，)，即y)=f(-y),所以函数尤)为偶函数，令y=l得，/(x+

39、l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即有/(x+2)+/(x)=/(x+l),从而可知/(x+2)=_/(x_l),/(x-1)/(x-4),故x+2)=/(x 4),即 x)=f(x+6),所以函数/(X)的一个周期为6.因为2)=1)一 0)=1 -2 =-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1)/(6)=/(0)=2,所以一个周期内的/。)+/(2)+/(6)=0.由于22除以6余4,所以幻=71+/(2)+f +4)=1-1-2-1=-3.%=1故选：A.2.【答案】D【解析】因为y=g(x

40、)的图像关于直线x=2对称，所以 g(2-x)=g(x+2),因为 g(x)-/(x 4)=7,所以 g(x+2)-/(x-2)=7,即 g(x+2)=7+/(x-2),因为 f (x)+g(2-x)=5,所以/(x)+g(x+2)=5,代入得f(x)+7+/(x-2)=5,即f(x)+/(x-2)=-2,所以 3)+5)+.+/(21)=(-2)x5=T 0,/(4)+/(6)+.+/(22)=(-2)x5=-10.因为f(x)+g(2 x)=5,所以f(0)+g=5,BP/(O)=l,所以/(2)=-2 /(0)=-3.因为g(x)-/(x 4)=7,所以g(x+4)f(x)=7,乂因为/

41、(x)+g(2 x)=5,联 立 得,g(2 x)+g(x+4)=1 2,所以y =g(x)的图像关于点(3,6)中心对称，因为函数g(x)的定义域为R,所以g(3)=6因为x)+g(x+2)=5,所以1)=5 g =T.所以 /(%)=.”1)+2)+3)+5)+.+/(2 1)+/(4)+6)+.+/(2 2)=-1-3-1 0-1 0 =-2 4.故选：D3.【答案】B【解析】因为函数“X+2)为偶函数，则2 +x)=2 _x),可得x+3)=/(l-x),因为函数/(2 x+l)为奇函数，则/。-2 x)=4 2 x+l),所以，/(l-x)=-/(x+l),所以，4 x+3)=/(x

42、+l)(x l),B|J/(x)=/(x+4),故函数/(x)是以4为周期的周期函数，因为函数尸(x)=/(2 x+l)为奇函数，则F(O)=1)=O,故/(-1)=一/(1)=0,其它三个选项未知.故选：B.4.【答案】D【解析】因为/(X+1)是奇函数，所以/(x+l)=/(x+l)；因为“X+2)是偶函数，所以f(x+2)=f(T+2).令 x =l,由得：F(0)=-2)=-(4 a+b),由得：f(3)=f(i)=a+b,因为“0)+/=6,所以-(4a+6)+a+b =6 =a =-2,令x =0,由得：/(l)=-/(l)=/(l)=0=f e=2,所以/(犬)=_2/+2.思路

43、一：从定义入手.思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数“X)的周期7=4.所以“)=吗)(|)=|.故选：D.5.【答案】C6.【答案】B【解析】由题意可得 制=1 一 Y=-1+2片，1+x +x0对于A,7(1 一1)一 1 二 一一2不是奇函数；x2对于B,7(-1)+1 =一是奇函数；x对于C,，(犬+1、)-1 =旨2-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数;对于D,f(x +D +l=*，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B7.【答案】D【解析】因为定义在R 上的奇函数x)在(7,0)上单调递减，R./(2)=0,所以/(x)在(0,+8)上也是单调递减，且/(-2)=0,

44、/(0)=0,所以当x e(ro,-2)u(0,2)时，/(x)0,当x e(-2,O)U(2,+s)时，/(x)0,所以由4(x-l)*0 可得：x -2 x-l 01，0 x-l 0 时有/(x)0,满足，尸(x)=4/的定义域为R,又r(T)=Y d=-_ f(x),故/(x)是奇函数,满足.故答案为：x)=x4 (答案不唯一，/(x)=/(e N*)均满足)1 1 .【答案】1【解析】因为/(了卜丁一？-，)，故/(-司=-3.2 2、)，因为 x)为偶函数，故T)=X)，时/(a 2*-2-x)=-x3(a 2 T -2 ),整理得到(a-1 乂2 +2-,)=0 ,故。=1 ,故答案为：11 2 .【答案】【解析】对于命题，/图=；+2 =|,=则d所以，函数/(x)的图象不关于y 轴对称，命题错误；对于命题，函数;(x)的定义域为x|x*A应无eZ ,定义域关于原点对称，/(-x)=sin(-x)+-=-sinx-l-所以，函数/(x)的图象关于原点对称，命题正确;1 1 1对于命题，2 )(2 J f co sx,(2 )所以，函数/(x)的图象关于直线x=对称，命题正确；对于命题，当一乃 x 0 时，sinx0,则x)=sinx+!0 =ln2.在定义域2 1 x 1 x内满足一力=一力，符合题意.故答案为：-g;l n2.