粤湘鄂名校联盟2023届高三年级上册学期第一次联考数学试卷及答案.pdf

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1、粤湘鄂名校联盟2023届高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1.已知集合 4=-3,1,2,8=x eN|x2_x_6W 0,则 AU3=()A.1,2 B.-3,0,1,2)C.-3,1,2,3 D.3,0,1232.设=i，则 z 在复平面内对应的点位于()ZA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知数列4满足4(e V),且对任意 eN*都有一+0,若对任意xw ，+8 均 有/(%)(也,y )2a则实数。的取值范围为()*5.已知函数.f(x)=ax-e,V xe(l,),f(x)a n x+a-e x,则实数。的取值范围是()A.(-,1)B.(1C.(-8,

2、e)D.(-00,e6.在平面直角坐标系xOy中，点 A(l,0),8(9,6),动 点 C 在线段0B 上，轴，CELy轴,C F 1B D,垂足分别是D、E、F,OF与CE相交于点P.已知点。在点P 的轨迹上，且NOAQ=120。,则|匐=()4 2A.4 B.2 C.-D.；3 37.中，A8=夜，NACB=f,O 是A43C外接圆圆心，是 云.丽+西 丽 的 最大值为()4A.0 B.1 C.3 D.58.若数列%为等差数列，,为等比数列，且满足：4+.2。=27,4 也必=2,函数x)满足尤+2)=“X)且 x)=,x e 0,2 ,则/：+料=()A.e B.e2 C.e-1 D.

3、e9二、多选题9.已知0 x y sinyC.cosx+cos j?0 D.cosx+cos y 010.如图，棱长为2 的正方体A 8C D-A 8G。的内切球球心为O,尸分别是棱A8、C G 的中点,G 在棱BC上移动，则（）A.对于任意点G,OA/平面EFGB.存在点G,使平面EFGC.直线E F的被球。截得的弦长为GD.过直线E尸的平面截球0 所得截面圆面积的最小值为xex,x 111.已知函数大幻=ev，函数g（x尸切U）,下列选项正确 的 是（）A.点（0,0）是函数/（x）的零点B.3%1 e（0,l）,x2e （1,3）,使/（不）（巧）C.函数/（x）的值域为-e L y）2

4、 e2D.若关于x 的方程g（x）22ag（x）=o有两个不相等的实数根，则实数。的取值范围是（W，Je 8u（1，+=S.，s=s,g g 2）,则以下说法正确的是（）/=!A.,是等差数列 B.5n（3）=lZn+2_ 1c.s,（z）n A -1D-存在 使得s，(*=30 2 1三、填空题1 3 .已知直线/过点P(0,l),且与圆。：/+尸=3 相交于A,8 两点，设 无=函+。瓦若点C 在圆。上，则 直 线/的 倾 斜 角 为.1 4 .公比为4的等比数列。列满 足:%=l n 即 0 ,记Z,=a102a3an,则当q 最小时，使7；2 1成立的最小n值是1 5 .2 0 1 9

5、 年 1 月 3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日4点的轨道运行.4点是平衡点，位 于 地 月 连 线 的 延 长 线 上.设 地 球 质 量 为 月 球 质 量 为 地 月 距 离 为R,4点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：A/fQ z y _1_ z-y-+=(/?+r)-i.设a =,由于a的值很小，因此在近似计算中：“：”J。3-,(R+r)-r R R(1 +a)2则

6、 r的近似值为.四、双空题1 6 .将函数f(x)=cos x 图象上各点的横坐标变为原来的;倍，然后再向右平移3 个单位得到函数/12.2y =g(x)的图象，则g(x)的 解 析 式 为；若方程g(x)=g在的解为4、X ,则cos（X,-X2）.五、解答题1 7.已知在 A A B C 中，c=2 Z cos 3,C =-.求 B的大小；(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使A 4 B C 存在且唯一确定，并求出B C 边上的中线的长度.c=/为；周长为4 +2 /5；面积为又的=.1 8.已知数列包,S,是。“的前”项的和，且满足S,=2 a“-l(w N),数列也 是等差数列，b

7、2+b6=a4,a5-b4=2b6.(1)求 4,%的通项公式;(2)设数列 S,的前“项和为7；,设%=(-，与幺卢金，求%的前项的和。,.1 9.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 1 0 0位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这1 0 0位居民的网购消费金额均在区间 0,3 0 内,按 0,5,(5,1 0 ,(1 0,1 5,(1 5,2 0 ,(2 0,2 5,(2 5,3 0 分成 6 组，其频率分布直方图如图所示.(1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数;(2)将网购消费金额在2 0千元

8、以上者称为“网购迷”，补全下面的2 x 2列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”;男女合计网购迷2 0非网购迷4 5合计1 0 0(3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不.影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲8 04 01 62 4乙9 06 01 81 2将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为g,求4的数学期望.附：观测值公式:(a+b+c+dad-bcy(a+b)(c+d)(a +c)(b+d)临界值表:川八勺

9、)0.0 10.0 50.0 2 5 0.0 1 0 0.0 0 5 0.0 0 12.7 0 6 3.8 4 1 5.0 2 4 6.6 35 7.8 7 91 0.8 2 82 0.已知直三棱柱ABC-ABC中，侧面4 4 由3 为正方形，AB=B C =2,E,F分别为AC和Cg的中点，。为棱A上的点.(1)证明：B F D E；(2)当4。为何值时，面 B B C。与面OFE所成的二面角的正弦值最小?2 1.已知抛物线%2=2 冲(0)的焦点为尸，直线x=4 分别与x 轴交于点P,与抛物线E交于点Q,且|。日=(归。.(1)求抛物线E的方程；UUll num(2 汝n 图，设点4,B,

10、C 都在抛物线上，若“A B C 是以AC为斜边的等腰直角三角形，求 A B.A C 的最小值.2 2.已知函数/(x Q/ln x.(1)求函数y=/(x)-x的最小值；(2)若方程/(力=加(蚱2有两实数解占,三，求证：,+&匚 .(其中e=2.71828为自然对数的底数).参考答案：1.D先求出集合B的元素，进行并集运算即可.解：因为3=x eN|x 2-x-6 4 0 =xw N|(x-3)(x+2)40=x eN|-2 4 x 4 3 =0,l,2,3,所以 A u 8 =-3,0,1,2,3.故选：D.2.D先由已知条件求得z=4=1-1/，再确定z 在复平面内对应的点位于的象限即

11、可.1-1 2 2解：解：由题意知Z(l =gJz=i-i 2 2故 z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选D.【点睛】本题考查了复数的运算及复数在复平面内对应的点的位置，属基础题.3.D由什生%.”,=2病，得a/4 1=2 “，两式相除可得q=2 2 1 从而可得数列,为等 1 I 1 I比数列，首 项 为;，公 比 为:，进而可求出一+的值，可得答案24a1 a2 an解：数列 “满足 2a3%=2(N*),：.n=时,4=2；n2 时，q%=2(、，可 得 生:？?.击，数 列 为 等 比 数 列，首项为J,公 比 为!.4 2 a j 2 41 1 1 2 对 任 意 都 有 一+

12、-，则r 的取值范围为；，+8).4 4 。3故选：D.【点睛】此题考查等比数列的前项和公式的应用，考查由递推式求数列的通项，属于基础题4.A先通过特殊值法，由得0 4 克，再加以证明.当0 4 克 时，将 x)4 正 转 化 为2。4 4 2a4-2近 三-2 1 n x 2 0,再转化为开口向上且关于，=1 的一元二次函数g(f),因为g(。的对称轴a2 a c i为=6 1，定义域为 2 贬，x)，所以再转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行分类讨论.从而证明当0 。4变 时，叵-2 1n x 2 0恒成立，即可得到实数。的取值范围.4 a2 a解：由 1)4 不，0 a-v 7

13、2a 4当0 a 4 立 时，f(x)4 正 等 价 于 4-21 nx20.4 2a a2 a令1=一，则d2 0.a设 g(，)=t2y/x-+x-2 In x,r?2 0,则 g =f _ J l +L )-2 In .r.(i )当x e 义,+8即，i+-/)故X7加1(1收)p (x)0+P(x)单调递减极小值P 单调递增所以，p(x)/?(l)=o.因此，g(/)(2 V 2)=2/7(x)0.令夕(x)=2 /x l n x+(x+l),x?、l n x +2 i 八则 Q(x)=/=+1 0,故q(x)在 品 上单调递增,所以g(x)“由(i )得，2A/7 1-TPa 一

14、乎 =0.所以，?(x)0.因此g?各7%翳。.由(i)(i i )知对任意 xc ,+8)/12 /,+8)*(/)2 0,即任意工4，+8 均 有/。)(正.y J 2a综上所述，所求实数的取值范围为0,乎 故选：A.【点睛】思路点精：解决抽象函数含参数恒成立问题，但凭经验无法直接解题，该类型题的解题步骤如下：1.特殊化，在面对抽象或者难以理解的题目的时候，我们尝试用最极端最特殊的数字来代替变量，帮助我们理解题目.该方法常用于在选择题目中排除选项，在解大题的过程中也经常会用到特殊化的结论.例如本题由特殊值求。的取值范围，即/44,得0。4，再力口以证明.当0 4克v 7 2a 4 4时，/

15、(%)0 ,令e(x)=e -e +o(l n x+l x),求导，然 后 分 和。0来研究函数9(x)的取值大于零的情况.解：由已知alnx+o er ox e,W e ex+a(nx+1 -x)0,令9(x)=e-ex+a(ln x+l-x),x l则 d(x)=e-e+-1),可得 s(l)=0,d(1)=0,(1)当“VO时，(x)=e-e +a d-l)0,夕(犬)在(l,+9(l)=0,成立；(2)当a 0 时，令“(x)=e*-e+，d _ l),贝|，。)=一 3X X令=-。，则/(6 =1+?0,/(”)在(1,+0)上单调递增,二(%)u(l)=e-a当 a wz(l)=

16、e-a 0 w(x)在(1,4-00)上单调递增,u(x)w(l)=0 。在 上 单 调 递 增，.0(x)=。，成立；当a e 时，M,(l)=e-0,3xoe(l,J),u,(xo)=O,当xe(l,Xo),(x)O,；.(x)在 上 单 调 递 减，即0。)在(1,%)上单调递减,此时有“(x)(1)=0,p(x)在(l,x0)上单调递减，(p(x)，2.E(0,y),F(|y,6),OB:y=-x,3.C Q,xEP OE-:FC/y 轴，：.QPES AFPC,J 3PC FC 2yXy6 y,即 y=4x,，尸的轨迹方程为：y2=4x,O W 启9,故 A（l，0）为该抛物线的焦点

17、.设 Q（Xo,%）,则 Jo=4%=（%一 1,%）,AO=（-1,0）,.AO,AQ 1 xn 1 1 n.s AQ=同陶=福不如=*=-5,解 得 廿，二 陷 7+片3+.根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出I国 I的最大值即可计算作答.解：过点。作。O J_A C,O E_L8C,垂足分别为O,E,如图，因。是AABC外接圆圆心，则。，E分别为AC,BC的中点,在 而 心 一 耳 则 的 WM+MF E 咨即丽加丽+产-2CO-C4=|CO|C4|cosZ.OCA=|CD|.|C4=，同 理 说.丽=；l丽 F,因此，OC AB+CA CB=O C（CB-CA

18、）+CA CB=CO CA-CO CB+CA CB=g|两 2 T 函2+。1+；C B 2=|两2,由正弦定理得：=巢我=小 丁 =2sin B 4 2,当且仅当8=g 时取sin2所 以 反.通+5.丽 的最大值为3.故选：C【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.8.A首先根据等差数列和等比数列的定义，可得q.o+qou=27,%后 皿=2,即可求出:=9；又/(x+2)=-/(x),所 以 函 数 的 最 小 正 周 期 为 4,由此根据题意即可求出/(9),

19、进而求出结果.解：因为数列%为等差数列，且 4+%侬=2 7,所 以/。+叽=27；又 低 为等比数列，且仇，所 以%也“=2,所以鬻乎=4=9；又 小+2)=-/(江 所以 x+4)=-x+2)=/(x),所以函数f(x)的最小正周期为4,又=x e 0,2所以/(9)=/(2x4+l)=/(l)=e,即/X“1010+4 o i l _1 +4OIOIOII)故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，同时考查了函数的周期性，属于基础题.9.AC构 造 函 数/(司=詈，求导，计算出其单调性即可判断.解：构造函数”6 二 丁f(x)=cos x-sin x夜cos x+I 4

20、当x=?时，/(x)=0,0cx时，f(x)0,X7T 时，/(x)0,./(x)0 ,函数图像如下:vx y,er ey,.,.sinxsiny,A 正确；B 错误；0 x 0,|cos=y/1-sin2 y,cosx|cos y|,cosx+cosy0,C 正确，D 错误；故选：AC.10.BDA 选项，举出反例；B 选项，取G 为 8 c 的中点时，证 明 平 面 EFG；C 选项，求出球心到EF的距离，利用垂径定理求解;D 选项，结合C 选项中的求解得到球心O 到截面的距离d 4 OM=旦,2从而求出截面面积最小值.正方体内切球的球心。即正方体的中心，且球半径7?=1 ,当G 与 B重

21、合时，A e 平面EFB,O e 平面E F B,此时直线。4 与平面EFG相交，A 错误；当 G 为 BC 的中点时，E G 1 B D,B D o B B,=B,则 EGJ_ 平面 B 8 0 Q,因为8Qu 平面B B R D,所以E G L 8 Q；同理，FG工B Q,因为EGp|FG=G,所以8Q_L平面E F G,即。（，平面EFG,B 正确；取 E尸的中点加，由对称性可知，O E =OF,则O M LEF.因为。=夜，E M =-E F =-ylE C2+F C2=,W O OM=-J O E2-EM2=,2 2 2 2所 以 直 线 的 被 球。截得的弦长为2/F 石 庐=2,

22、1 J=夜，C 错误；设截面圆半径为，球心。到截面的距离为d,则/+屋=川=1.因为4 4 0例=立，则,=1-/2：,所以截面圆面积5 =兀/2 3,D正确，2 2 2故选：B D.1 1.B C利用函数的零点判断A,利用函数的单调性及最值判断选项B C；利用函数的单调性及函数的极值判断选项D.解：对于选项A,0是函数/(x)的零点，零点不是一个点，所以A错误；对于选项 B,当x l时，/(x)=(x+l)e*,则当 T 时，r(x)。，/(x)单调递减,当-时,r(0,7(x)单调递增，所以，当0 x l时，0 /(x)l时，/(力=591,则当l x 3时,/(x)3时，/(x)0,单调

23、递增，所以，当 1 c x 3时，f(x)e.综上可得，选 项B正确.对于选项c,/Wmi n=/(-0=-.选项c正确.结合函数X)的单调性及图像可得：函数“X)有且只有一个零点0,则g(x)=4(x)也有且只有一个零点0；所以对于选项D,关于x的方程 g (x)2-2ag(x)=0有两个不相等的实数根o关于x的方程g(x)g(x)-2 a =0有两个不相等的实数根=关于x的方程g(x)-2 a =0有一个非零的实数根。函数y =g(x)的图象与直线y =2 a有一个交点，且X MO,x2ex,xl,则 g(x)=(e，y,x N1 .当 X V 1 时，g (x)=e(x +2),当X变

24、化 时,g (x)，g(x)的变化情况如下:Xx 2-2-2 x 000%1g (x)+00+g(x)增极大值减极小值增极大值g(-2)=S，极小值g(0)=0；当x N l时，g，2),当x变化时，g (x),g(x)的变化情况如下:X1l x 2g (x)-e0+g(x)e减极小值增极小值g(2)=1.综上可得，v2a吟 或2 ，解得a的取值范围是 4,故D错误.故选：B C.1 2.B C利用退位相减法可得数列的通项及S“即可判断A选项,按照给出的定义求出S(3)即可判断B选项,数学归纳法和累加法即可判断C、D选项.解：当=1 时，4=S 1=g,当“2 2 时，由 S,+%=1,得 S

25、“T+4I=1,故 a“+a”-%T=。，即 4 0=；%，所以数列 4为等比数列，首项q=g,公 比 六;，故为=()”,A选项错误；LfiY-则 S,=2 1单所以即，2非)4邰)时+即+.+邯=14+1-02+.+_(3=_+(3s F)=g s f)=o +g +l+()+.+-1+()J O+；T”+_ =.；+2 _ 崇,B 选项正确；当=1时，即 一5丁=(=苧，假设当=加时，S T旬-5“网=铢=，；成立，当=加+1 时，由 S,*=S1(*T)+s j i)+.+S,I(I)+S,，T)=S“_*+S“(I)可得S 5+3)_ s (w+0 _ s (，+3)+s W+2)_

26、(S W)+S()=S W+3)_$+s W+2)_ S()r(m+3)_ s (/n+1)z,m+l rilil q(m+3)_ g(/n+1)_ (m+3)_(wt+1).m+l-I n-l 十 C/i+m-1，火【J J-l 一 n-l=%-2 M-2 十 n+m-2 W+3)_ s (m+1)_ s (i+3)_ s (w+,)+C+l L s、5+3)_ s.(j+1)_ s (m+3)_ (m+1)+C铲3）_ sji =s *3）-+c：,将上式相加可得-s,=s,(m+3)-E(M+)+c;：；+c：;：；+c：L+CM3,又 s f)=ST)=s f),则 s”)_ s+i)

27、=0,故 s=+3）_ 5丁川=c 篙+：;+c：；L+c：z=c：；+c：；+c：L+c：A，+2 A ”）”=/：；+&：；+C：；L+C：T=c=京西=而；翁,即&=机+1 时也成立，故s f-5 产=冬、,C选项正确；D选项，当=1 时，由，（*）=，（1）=，0）=（上;知不成立，2 2 0 2 2!当22 时，由 c选 项 知:sf*2r=部尸:L=c：;3,则SF*）-SJ*T）=C：；L,s,）_ s“g）=c；L=c：；L，L ,5.一 s“=c*尸 c：；：,s,f）_ 邑。）=c：=c：-2,上式相加得s f*2）+铲）=s“（2）+s f）+c,+c：；:+C：；L+a

28、；3，又由上知，s f）+5 。）=_ i+（3+1-6 J=，贝！I 针 2）+$尸=+C 7+C 著+CA L+Ca=C：-.+C：-2+C：-2+.C：-2 _2+C：-2 _I=C；：+c：；+.yL+G；L=c：3 可 得 产）+严）=*2 c=2 0 2 0惠2 0 ”，又由 S*=S_,w+s f f 0 可得 S,*S,g）,S12 0 2 2）+S（2 0 2 l）=（葭+2 0 2 0惠2。（+2 0 2 0）5+2 0 “产 =A!,D 选项错误；2x2021!2x2021!2022x2021!2022!故选：B C.【点睛】本题关键在于C、D选项的判断，C选项通过数学归

29、纳法和累加法以及组合数的性质即可求解；D选项借助C选项的结论，通过累加法以及组合数的性质进行判断即可.1 3.3 0。或 1 5 0 由田仪+O E 可以判断四边形。AC 8为菱形，点C在圆。上，则 阿=早=日，转化成。点到直线y =+i的距离为正，即可求出答案.2解：OC=O A+O B,|Q A|=|O B|,则四边形 O AC B 为菱形，所以 O C L A B.设。为垂足，因为点c在圆。上，则|0 4=早=小.设直线/的方程为y =H+l,由7 =当，得 公=2，即=且，所以直线/的倾斜角为3 0。V F+1 2 3 3或 150.故答案为：30。或 150.14.17根据题意，求出

30、q,写出通项公式即可.解：(是 等 比 数 列,=Inal0 0,a9 0,al0 1 ,又；为=lnq0=ln(a).q)=lna9+lnq,In=a9-In av,设函数 x)=x Inx,f x)=,当xl 时，/(x)0 ,0 x l 时，/(x)l,qe,由题意即 q=e,%=1,=e-8,a=e-8en-1=e1MT7)Tn=ata2a3 -an=e-8?b.e-9=I2，r t-17，的最小值是17.故答案为：17.rM由。=立推导出上工=R M3a +3a4+a5(1+)23a进而可得r=aR=j M R.VMi解：由 a =5，r =aR,R由得r r21+2,-H-TR R

31、2M+冬 2=(1 +0 陷将a =f 代入，得 1 十二，%=(1+。)必,R(1+a)a士 忆 1 (l+a)3-l a(a?+3a+3)有一 =(l+a)-7M,=-一一 陷=-弓,a2(1+a)2 1(1+a)2 1(1+a)2 1“M 3a3+3a4+a5所 以 一=-；M,(1+43 ,则检.所以 r=aR=dMk R.3 M故答案为:1 6.g(x)=c o s2 x-J -利用三角函数图象变换可求得函数y =g(x)的解析式为g(x)=c o s(2 x-J 由g(x j =g(w)=|计算得出c o s(2 x 2 x j 的值，并求出玉-占的取值范围，由此可求得c o s(

32、%-七)的值.解：将函数/(X)=8 S X 图象上各点的横坐标变为原来的g倍，然后再向右平移合个单位得到函数y =g(x)的图象，贝 I j g(x)=c o s2(x-|=c o s(2 x-?),当x e(O,乃)时，-2 x-/i,由余弦定理可得B C 边上的中线的长度为：J（2百+l2-2x 2/3x l x c os =V 7；若选择：由（1）可得A =J,即“=则s皿=1 a A i n C =1/x且=述，6。踞 2 2 2 4解得二百，则由余弦定理可得B C 边上的中线的长度为:T9-2x哨x c o s*后短j海 卫=号.1 8.(1)an=2,bn=n,(2)Z),=-2

33、+(-1)-.n+2(1)由S“=2a”-1,当“2 2 时，S,i=2a“T-l,两式相减得到 工=2,又由”=1 时求得q=l,an-求得数列%的通项公式，在 由&+4 =4,%-4 =2 4，列出方程组，求 得%d,即可求得数列他 的通项公式.(,+1)+2、(2)由(1)可得S,=2-l,则7；=2向-2,求得q,=(-1)-+-,结合裂项法，即可1 n+2 J求解.解：(1)由数列%中，满足S“=2a“-1,当“2 2 时，两式相减，可得,=2a,i，即 与 =2,an-l当=1 时E=2 q-1,解得q=1,所以数列 q 是等比数列，所以数列的通项公式为%=2-.又由他 是等差数列

34、，设等差数列低 的公差为d,因为4+4=4，“5-=2%,可得纯+6 d =81 6-(仿+3d)=2 3+5)解得a=l,d=l,所以数列也,的通项公式为优=.(2)由(1)可得S“=2-l,则 )_ =2*i _ _ 2,所以”卢=(1)(3+4)2向(+1)(+2)2m=(-1/+i+l +2Q2 Q3 o4,3 ,5 QH+I,+2,“+2则&=一万一才十5+厂 号 一 二+(7)(而+神)=一 2+()百即2 =-2+(-1)三 +2【点睛】关于数列的裂项法求和的基本策略：1、基本步骤：裂项：观察数列的通项，将通项拆成两项之差的形式;累加：将数列裂项后的各项相加；消项：将中间可以消去

35、的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前“项和.2、消项的规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.71 9.(1)中位数估计为1 7.5千元.(2)见解析；(3)y(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2)由直方图知，网购消费金额在20 千元以上的频数为0.35x 1 0 0 =3 5,得“网购迷 共有35 人，列出列联表计算K?即可得出结论；(3)设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X,Y,据 题 意 得*8(2,|,丫 8(2,|),计算E(X),(Y),由4=*+丫，即可求解解：(1)在直方图中，从左至右前3 个小矩形的面积之和为(0.0

36、1 +0.0 2+0.0 4)x 5=0.35,后 2 个小矩形的面积之和为(0.0 4+0.0 3)x 5=0.35,所以中位数位于区间(1 5,20 内.设直方图的面积平分线为1 5+x,贝 l j0.0 6x =0.5 0.35=0.1 5,得 x =2.5,所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为1 7.5 千元.(2)由直方图知，网购消费金额在2 0 千元以上的频数为0.3 5 x 1 0 0 =3 5,所以“网购迷共有3 5 人，由列联表知，其中女性有2 0 人，则男性有1 5 人.所以补全的列联表如下：男女合计网购迷1 5 2 0 3 5非网购迷4 52 0 6 5合计6 0 4

37、 01 0 0因为 片 _ 1 0 0(4 5 x 2 0-1 5 x 2 0)2 =6 0 06 0 x 4 0 x 3 5 x 6 59 1 6.5 9 3 5,0 2 4,查表得尸(K2 5.0 2 4)=0.0 2 5 ,所以有9 7.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.I 7(3)由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X,y,据题意，丫 8 1 2,|12 4所以 E(X)=2 x =l,E(r)=2 x-=-.77因为J =x +y,则 E C）=E（x）+E（y）=g,所以J的数学期望为1.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立

38、性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题2 0.（1）证明见解析；（2）=l（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；解：（1）方法一:几何法因为所以又因为A B J L B 瓦，B Fc B B i，所 以 平 面 B C C g .又因为TW=8C=2,构造正方体4BC G-ABC G，如图所示,过 E 作 A8的平行线分别与A G,BC 交 于 其 中 点 连 接 4 眼,用N,因为E,尸分别为AC 和CC,的中点，所以

39、N是 8C 的中点，易证 R t 4BC F =R t AS B N,则 N C B F =N BB、N .又因为 N B B 1 N +N B|N B =9（）,所以 N C B F +N B|N B =9 0 ,B F1 BN .又因为3F 1A耳再N n Aq=所以B 尸_ L 平面A M N B、.又因为u 平面A M N A ,所以8 尸_ L E.方法二【最优解】：向量法因为三棱柱4 8。-486是直三棱柱，881底面4 8。，8 修1 7 1 8B F I A ,.-.BF L AB,又 8 与 c 8 尸=B ,二 至，平面 B CC班.所以 q 两两垂直.以B为坐标原点，分别

40、以B48C,B片所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图.-.5(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),耳(0,0,2),A(2,0,2),G(0,2,2),E(l,l,0),F(0,2,1).由题设。(a,0,2)(0 a S于点G.,a s i CG i由 拓 二丁 而 得GG=(2T)B.D B,T _I_ =_ 3r又 方=方，即 杷-)2-，所以s=；7TB.H B.T B,H s 0口又 讲 二方即丁飞+(25 所 以 B D=则 s i n NO 4=R所以 D H=J g 2 +8 Q2 =t+59+-2l +(2-s)所以，当f =；时，(sinZD/B,)

41、mii=-方法三:投影法如图，联结F B“F N,所 在 平 面 叫 G C 的投影为遇NF,记 面 叫 G C 与面8 E所成的二面角的平面角为巴 则c os”q.“DEF设 8Q =f（0 S”2）,在R S Q B/中，D F =BxD1+BiF1=4 5.在 R S Eb中，EFZECFC?=6,过。作 MN的平行线交E 7 V 于点Q.在 Rt ZiO E。中，D E =j Q D、E Q2=5+（1-讨.在4 D E F中，由余弦定理得c os N D F E =+产-”1=驾,2 D F E F 3（厂+5）/八 门 心 12广-2 1+14 1 1 I；-3sinZD F E=

42、1 +,S D re=-D F-E F sin Z D F E=-2-2/+14 ,S NF=-,c os”又一丁3 _ s i n i-r 7,S.DFE J2 产-2 r+14 V 2（/-f +7）当f =；,即=面 83C C 与面Q F E 所成的二面角的正弦值最小，最小值为日.【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平

43、面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面88C C 与面O F E 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面O F E 在面8 4C。上的投影三角形的面积与 /话面积之比即为面B B C。与面O F E所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维.2 1.（l）x2=4 y（2）3 22 7%=16（1）设。（4,%）,列方程组 p 5，求出P =2,即可得到抛物线E的方程；y0+2=4y 设 点 彳 得 ，小2 用,国（玉马毛），利用AABC是以A C 为斜边的等腰直角三角2（/一。u

44、uu uum l6（k2+_ _ _ _形，表示出,/，用坐标表示出ABgAC=g 利用基本不等式求出A B.AC的最小左 仕+1）k2（k +值.（1）2 p%=16 ,0设点Q（4,%）,由已知 p 5，则一+彳=，即p2=4.y+2 4y P 2 P因为。0,则 P =2,所以抛物线E 的方程是V=4 y.(2)/2 /2 (2 设点 A X 1,R,8 X2,-,C(x,x2 x,),直线 A8 的斜率为 M%0),因为A B _ L 8 C,则直线B C 的斜率为K因为|明=忸。|,则 2 x J.J l+T=叫 _/.）+*,得/一 毛（玉一七），&_ _ 寇因为女_ 4 4 _

45、X +/，则$+=4k ,即内=4k x2,x-x2 4Y2 X2工一二 4 4因 为 1=4 4 二工2+工3,则工2+七=-1，即工3=一 工2-/k x2-x3 4 k k将代入，得2+：-%（4%-2）=0,即仅+1虎一2左2二 一空 二）=0,则%=普 二：），kv 7 2 k k 女（2+1）所 以 通.蔗=|祢“双卜0$45=|而=（七 尤 2）2（1 +公）=（4%_ 2）2（1 +公）=4 k-4(A:3-1)k(k +l)16(公+1丫公仅+1)2因为公+1 2 2 4,则(公+1)2 2 4/，又&2+1 2 1,则(r +1)32 2 0 +1)2,从 而伙 十):22

46、,&2(&+)2当且仅当左=1时取等号，所 以 而.而 的最小值为32.22.(1)-1证明见解析(1)直接令g(x)=/(x)-x,求导，再把导数构造成新函数，再次求导，确定g(x)单调性，进而确定g(x)单调性，即可求得最小值；(2)先求导确定“X)单调性，结合图像得0 再 1,帆 0,设直线丫=机与直线旷=一;犬、y =x-l交点的横坐标分别为、x；,再结合函数放缩得|3-司卜；-,最后构造函数夕(%)=卜x一生证得？一：0,g(x)=f(x)-x =x2l nx-x,则8。)=2田11工+工一1,令(x)=2x ln x +x-l,则(x)=21n x+3,令(x)0解得 令(x)0解

47、得丫、，g(x)在(。述 上单调递减，在(一,+/上单调人/C 人、C递增，又：0 x l时，2 x l n x 0,x-l 0,g(x)0,.(x)=x(21n x +l),当x e 0,e 时，f x)时，f x)0,7 /./*)在0,e 2上单调递减，在(e 2,+c o上单调递增，又T O cvl时，/(x)=x2ln x 0,/(1)=O,画出草图如图所示:不妨设占三，0X x,1,mx-l,当且仅当X =1时取等号，令 x)=x ln x,f(x)=ln x+l,显然 r(x)在(0,g)单减，(,+8)单增，t(x)Z(1)=,即x ln x-,f(x)-x,当且仅当才=，时取

48、等号，设直线y =m与直线y =-1 x、y =x-l交点的横坐标分别e e e由图可知 1%-x2|x/一 /=/%+l+e An =(e+l)m+l,e+11Txi-I 0，又夕=0,可得当x l 时，9(x)0,即h i x-生 a 0,x (x +1)x(x +l)x+1令 x=2 ,b a 09 则 ln，ay()a n n i i 2(b a)14n b c i b +a _ M-,BP nb-naB P-,又 0 当 ，b +a nh-na 2a则 X j2 X?-X 2I n x j -I n x j222m,/.彦+“7_ _ _ 1综合可得,1 e+1-1-X；X；1-|-x2 【点睛】本题关键点在于先由单调性结合图像得1 x e x2 l,m0 9 由 /(x)x -以及结合函数图象得卜-为|,：-，最后构造函数9。）=比X一 答0证得，一:殍 即 可 得 证.nb-na 2