2022年八年级数学下《变量与函数（知识讲解）》专项练习题-带解析.pdf

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1、八年级数学下-专题：19.1变量与函数(知识讲解)【学习目标】1 .理解变量、常量的基本概念，并能识别函数中的常量和变量；2 .能初步理解函数的概念;掌握一些简单的函数中的变量取值范围，给出自变量的一个值，会求出相应的函数值；3 .初步理解函数的三种表示法-解析法、列表法、图象法；【要点梳理】要点一、变量、常量在一个会化过程中，数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量.要点二、函数的概念函数的定义:一般的,在一个变化过程中，如果有两个变量x与 y,并且对于x的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是 x的函数.概念特征:唯一性、确定性要点三、函数中自

2、变量取值范围的常见求法：(D 用整式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数；(2)用分式表示的函数，自变量的取值范围是使分母不为0的一切实数；(3)用奇次根式表示的函数，自变量的取值范围是全体实数；用偶次根式表示的函数，自变量的取值范围是使被开方数为非负数的一切实数；(4)若解析式由上述几种形式综合而成,须先求出各部分的取值范围,然后再求其公共范围，即为自变量的取值范围；(5)对于与实际问题有关系的，自变量的取值范围应使实际问题有意义.【典型例题】类型一、函数概念IF 1,下 歹 i j 等式(1)尸 2 x +l；(2)-；(3)|y|=3 x；(4)V=5 x _ 8；(5)y =士.其中

3、夕是x的 函 数 有()A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4 个【答案】B【分析】函数的定义:设在某变化过程中有两个变量刈儿 如果对于x 在某一范围内的每一个确定值，夕都有唯一确定的值与它对应，那么就称少是x的函数.(1)、(2)满足对于x 在某一范围内的每一个确定值，y都有唯一确定的值与它对应，符合函数的定义；(3)|y|=3 x,当x =1 时，y有两个值与之对应,所以了不是x的函数；(4)产=5 X-8,当*=2 时，N有两个值与之对应，所以V不是x的函数；(5)夕=五，当x =l 时，了有两个值与之对应，所以y不是x的函数；故选:B.【点拨】本题主要考查函数的定义,知晓函数的定义并

4、且准确的判断出结论是解决本题的关键.举一反三：1第 1页 共 1 3 页【变 式 1】下列图象中，表示，是 X的函数的是（)【答案】B【分析】函数就是在一个变化过程中有两个变量x 和 匕当给 一个值时,y有唯一的值与其对应,就说y是 x的函数,x 是自变量.解:根据函数的定义可知,每给定自变量x -个值,都有唯一的函数值y与之相对应，所以A、C、D不合题意.故选:B.【点拨】本题主要考查了函数的概念.函数的意义反映在图象上简单的判断方法是:作垂直x 轴的直线,在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.【变式2】变量x,y有如下关系:V =3 x 2；V=8x.其中F是x的函数的是.（填序号）

5、【答案】【分析】设在一个变化过程中有两个变量X 与%对于X的每一个确定的值,y都有唯一的值与其对应,那么就说y是 x的函数,x 是自变量.根据函数的定义判断即可.解:尸3成 对 于 x的每一个确定的值，尸都有唯一的值与其对应,符合函数的定义,符合题意；产 8 x,任意给一个正数x,y都有两个值与x 对应,不符合函数的定义,不符合题意；故答案为:.【点拨】本题考查了函数的概念,关键是对于函数概念的理解:有两个变量;一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化;对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应,即一 一 对 应.类型二、函数解析式C2.如图,长为32 米,宽为2 0

6、米的长方形地面上,修筑宽度均为加米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作耕地,如果将两条小路铺上地砖,选用地砖的价格是6 0 元/米2.（1）写出买地砖需要的钱数以元）与 M米）的函数关系式.（2）计算当加=3 时,地砖的费用.2第 2页 共 1 3 页【答案】(1)夕=3120加-6 0/；8820元【分析】(1)利用地砖的钱数=阴影部分的面积X 60,即可列出钱数八元)与以(米)的函数关系式;(2)把加=3直接代入(1)中的函数关系式求值即可.解:根据题意得，、=(2桁+32机一川卜60 =3120/7?-60,772.故答案为：歹=3120加-6 0/；当帆=3 时，31 2

7、0/M-6 0W2=3120 x3-60 x32-8820(元)，二当加=3时,地砖的费用为8820元.【点拨】本题考查了列函数关系式及求函数值,根据题意正确列出函数关系式是解题的关键.举一反三：【变 式1】在直角坐标系中，已知点力(8,0),动点户(局4)在第一象限,且万+7=1 0,4烟 的 面 积 为S.求：(1)S关于x的函数表达式,并求x的取值范围.(2)当S=28时，点。的坐标.【答案】(1)S =4 O-4X(O X0 且 y0,3第3页 共1 3页AA-0 且 1 0-x 0,的取值范围是O C x V I O;(3)V 贷2 8,2 8=4 0-4%,解得产3,.1 0-3=

8、7,:,当令2 8 时，点尸的坐标是(3,7).【点拨】此题考查了列函数表达式，以及三角形的面积,解题时一定要注意自变量的取值范围.【变式2】为了加强公民的节水意识,合理利用水资源,某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6 立方米时,水费按a 元/立方米收费;每户每月用水量超过6 立方米时,不超过的部分每立方米仍按a 元收费,超过的部分按。元/立方米收费,该市某用户今年3、4 月份的用水量和水费如下表所示：求 a、c 的值；月份用水量x(源收费y(元)357.54927(2)写出每月用水量x 不超过6立方米和超过6立方米时，水费y与用水量x 之间的关系式；(3)已知某户5 月份的用水

9、量为8立方米,求该用户5月份的水费.【答案】5,(2)0 3 4 6 时，6 时，卜=6 x-27 ；该用户5月份的水费为21元.【分析】(1)根据题意列出方程组,解出即可求解；(2)分 x 4 6 时和当x 6 时，歹出函数关系式，即可求解；(3)根据8 6,将x =8 代入N=6 x-27 ,即可求解.解：(1)根据题意得：5。=7.5 6 时，N=L5 x 6 +6(x-6)=6 x-27 .：8 6 ,该用户5月份的水费6 x 8-27 =21(元).【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，列函数关系式,求函数值,明确题意，准确得到等量关系是解题的关键.类型三、函数自变量的取值范围

10、W 3.已知三角形的周长为ycni),三边长分别为9cm,5cm,x(.c/n).(1)求 尸关于x的函数表达式及其自变量x的取值范围.(2)当产6时，求 y的值.(3)当户19.5 时，求 x的值.【答案】片 14+x(4 京14);(2)y =20;产 5.5【分析】(1)根据三角形的周长公式,可得函数关系式,根据三角形三边的关系,可得自变量的取值范围;(2)根据自变量的值，代入函数关系式,可得函数值；(3)根据函数值，代入函数关系式,可得自变量的值.解：(1)由三角形的周长公式，得：尸 9+5+x,即尸 14+x由三角形得三边的关系，得：9-5 K 9+5,即 4 1 或 2.【分析】根

11、据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0 且分母不为0,即可得出自变量的取值范围.5第 5页 共 1 3 页y解:要使函数有意义,0 J2x-1 0 或1 x-l 1,1X 4 一解不等式组得 2二自变量取值是X 1 或 2.【点拨】本题考查函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，必须满足分母不为0,若函数表达式中有二次根式,则也要满足被开方数大于等于0.【变式2】求出下列函数中自变量x的取值范围ro 3x +2 一工+1；“x-2；y =j2x-3+j3-2x、2 3X X 【答案】。且-I;3 且衣 2；2【分析】(1)根据分式有意义的条件和零指数基底数不为。进行求解即可；(2

12、)根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件进行求解即可；(3)根据二次根式有意义的条件进行求解即可.解：要 使 一 有意义，需I x +1H 0,解得X H 0 且X X-1;j3x +2 3x +2 0 7(2)要使 产一4有意义，需 一 2 二 ,解得-3 且 2；12x-3 0 3 要 使 =疾 三+百 而 有意义，需I?。，解得-J【点拨】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数塞底数不为 0,解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.类型四、求函数自变量的值或函数值4.当=-2 和x =3时，分别求出下列函数的函数值：5 x +7(1)-2 j=x-x-2_

13、3【答案】(1)当、=-2时，y=2；当x =3 时,y=u6第6页 共1 3页当 X=-2 时,y=4;当 X =3 时,y=4【分析】5 x +7y=-分别把x =和x =3代入 2计算即可；分别把=-2和x =3代入y =/r-2 计算即可；5 x +7 -10+7 3y-.解：（1）当 x =-2 时，2=2=2；5 x +7 15 +7y=-当x =3 时，2 _ 2=H；当 x =-2 时,y =x?-x-2=4+2-2=4;当 x =3 时，y=x2-X-2【点拨】本题考查了求函数值,熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键.举一反三：【变 式 1】函数y =-x 2+4,当函数

14、值为一4 时，自变量x的取值为，当函数值为 4 时，自变量x的取值为.【答案】+2 2 o（分析】分别将函数值代入函数关系式,然后解方程即可求出自变量x的值.解:函数值为-4时,七2+4=-4,x2=8,x 二 2收;函数值为4 时,-X2+4=4,x2=0,x=0.故答案为2/;0.【点拨】本题比较容易，考查求函数值.（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个.【变式2】根据如图所示的计算程序计算变量，的对应值,若输入变量”的值为-则输出的结果为7第7页 共1 3页【答案】-1.5解：-2 2 3 0 0 时,y 0,进行解答即可；(2

15、)由表中数据可知，当乘坐人数为3 0 0 人时,利润为0元,每增加5 0 人,利润就增加10 0 元,然后列出关系式即可解答；(3)把 尸 10 0 0 代入(2)中的关系式进行计算即可解答.解：(1)观察表中数据可知，当乘客量达到3 0 0 人以上时，该公交车才不会亏损，故答案为：3 0 0;(2)由题意得：x-3 0 0产=0+5 0 X 10 0 =2 尸6 0 0,.公交车每天利润y(元)与每天乘车人数x(人)的关系式:y=2 6 0 0,故答案为：2 k6 0 0;(3)把 y=10 0 0 代 入 尸 2 k 6 0 0 中可得：2 -6 0 0=10 0 0,解得:x=8 0 0

16、,8第 8页 共 1 3 页答:当乘车人数为800人时,利润为1000元.【点拨】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键.举一反三：【变 式 1】为了提高天然气使用效率，保障居民的用气需求,某市推进阶梯式气价改革,若一户居民的年用气量不超过300m3,价格为2.5 元/nP,若年用气量超过300m3,超出部分的价格为3 元儿3,(1)根据题意，填写表：(2)设一户居民的年用气量为加3,付款金额为y 元,求y 关于x 的解析式,并写出自变量的取值范围；(3)若某户居民一年使用天然气所付的金额为870元,求该户居民的年用气量.J2.5x(x 300).(3)340

17、ni3.一户居民的年用气量150250350付款金额/元625 【分析】(1)根据两种收费标准进行求解即可；分两种情况:当痣300时，当 300时,根据题目所给收费标准求解即可；先根据870 300 x 2.5=750,得到x 300,然后把尸870代入片3x 150中进行求解即可.解：由题意得：当一户居民的年用气量为150m 的时候，付款金额为150 x2.5=375元，当一户居民的年用气量为350m 的时候,付款金额为3 0 0*2-5+S O -300)x3=900元，故答案为：375,900;(2)分两种情况：当 5300 时，y=2.5x;当%300 时，片2.5 X 30013 X

18、(-300)=3-150.j2.5x(x300 x2.5=750,:.x 300.将产870代入产3150,得 870=3x-150,解得尸340.该户居民的年用气量为340m3.9第 9 页 共 1 3 页【点拨】本题主要考查了根据表格求函数关系式,解题的关键在于能够准确读懂题意.类型六、解析法表示函数关系CG.甲、乙两家水果商店,平时以同样的价格出售品质相同的樱 桃.春节期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，甲商店的樱桃价格为60元/kg；乙商店的樱桃价格为65元/k g.若一次购买2kg以上,超过2kg部分的樱桃价格打8 折.(1)设购买樱桃x k g,加，股(单位:元)分别表示顾客到甲、乙两

19、家商店购买樱桃的付款金额，求 小，%关 于 x 的函数解析式；(2)春节期间,如何选择甲、乙两家商店购买樱桃更省钱？_ 65x(x 2)【答案】即=60 x,152x+26(x2)；见解析【分析】(1)根据两个商店的樱桃价格列出对应的关系式即可；(2)根据(1)所求函数关系式,列出不等式或方程求解即可.解：由题意可得：悔=60 x,当 x,2 时，及_=65x,当 x 2 时 f 乙=65 x 2+65 x 0.8(X 2)=52x+2665x(x 2),%52x+26(x2).13x 当 6(k 当60 x52x+2 6,即 4 时,到乙商店购买樱桃更省钱.【点拨】本题主要考查了列函数关系式

20、,一元次方程的应用，一元一次不等式的应用,正确列出函数关系式是解题的关键.举一反三：【变 式 1 如图所示,在一个边长为lcm 的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形,当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化.(1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？(2)如果小正方形的边长为xcm,图中阴影部分的面积y c m;请写出了与入的关系式；(3)当小正方形的边长由1cm变化到2.5cm时,阴影部分的面积发生了怎样的变化？10第 1 0 页 共 1 3 页【答案】(1)自变量是小正方形的边长,因变量为阴影部分的面积(2)y=100-4%-；(3)由 96cm2

21、 变为 75cm2【分析】(1)根据题意可知阴影部分面积随着小正方形的边长变化而变化,故自变量是小正方形的边长,因变量为阴影部分的面积；(2)根据阴影部分面积=大正方形面积一4个小正方形面积,列出关系式即可；(3)分别计算出小正方形边长为1cm,和2.5cm时阴影部分面积,即可知阴影部分的面积发生的变化.解：(1)自变量是小正方形的边长，因变量为阴影部分的面积；(2)y与x的关系式为：二 咂 一 收；当 x=l 时，7=100-4=96,当x=2.5时，y =100-4x2.5-=75当小正方形的边长由k m变化到2.5cm时，阴影部分的面积由96cm2变为75cm2.【点拨】本题考察列函数解

22、析式解决几何问题，以及数形结合结合思想,能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键.类型七、图象法表示函数关系C7.小 明早上步行去车站，然后坐车去学 校.如图象中，能近似的刻画小明离学校的距离随时间变化关系的图象是_ _ _ _.(填 序号)【答案】【分析】根据题意小明是在上学的路上,可得离学校的距离越来越近，根据开始是步行,可得距离变化慢,后来是坐车,可得距离变化快,根据速度和距离的变化情况即可解题.距离越来越远,选项错误；1 1第1 1页 共1 3页距离越来越近，但是速度前后变化快慢一样,选项错误；距离越来越远，选项错误；距离越来越近,且速度是先变化慢,后变化快,选项正确；故答案为:.【点

23、拨】本题考查了函数图象,观察距离随时间的变化是解题关键.举一反三：【变 式1】某次大型活动，组委会启用无人机航拍活动过程，在操控无人机时应根据现场状况调节高度，已知无人机在上升和下降过程中速度相同,设无人机的飞行高度尔米)与操控无人机的时间公分钟)之间的关系如图中的实线所示,根据图象回答下列问题：(1)图中的自变量是 因变量是.；(2)无人机在75米高的上空停留的时间是 分钟；(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为 米/分；(4)图中a表示的数是 为表示的数是;(5)图中点/表示.【答案】操控无人机的时间，；无人机的飞行高度；5:25;2;15;在第6分钟时，无人机的飞行高度为50米.【分析

24、】(1)根据图象信息得出自变量和因变量即可；(2)根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留时间为12-7=5分钟即可；(3)根 据“速度=路程+时间”计算即可;(4)根据速速、时间与路程的关系式,列式计算求解即可；(5)根据点的实际意义解答即可.解：(1)横轴代表的是无人机被操控的时间，纵轴是无人机飞行的高度，所以自变量是操控无人机的时间，；因变量是无人机的飞行高度；(2)无人机在75米高的上空停留时间为12-7=5分钟；=25在上升或下降过程中,无人机的速度为：7-6 米/分；50 r75=2 12+=15 图 中。表示的数为：25 分钟；图中b表示的数为 25 分钟;12第1 2页 共1 3页132022年八年级数学下 变量与函数(知识讲解)专项练习题(5)图中点A表示,在第6分钟时,无人机的飞行高度为50米.【点拨】本题考查变量之间的关系在实际中的应用，根据图象学会分析是解题重点.第1 3页 共1 3页