2022-2023学年原创全国名校高中数学真题模拟专题训练- 导数与极限.pdf

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1、2022-2023学年届全国名校真题模拟专题训练12导数与极限三、解答题（第一部分）1、（广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考）设函数f(x)=1n x-px+1(I)求函数f(x)的极值点；(II)当pO时，若对任意的xO,恒有f(x)oI求p的取值范围，（田）证明.1n 2 2.1n 3 2.1n n 2 2n 2-n-1.+22+32 O,f(x)在(0,+oo)上无极值点X X 当pO时，令f(x)=0,下表：X(0/_)p f(x)+f(x)/1.x=E(0，立），f(x)、f(x)随x的变化清况如p 1 1(,+?)p p。_ 极大值 从上表可以看出：当pO

2、时，f(x)有唯一的极大值点x=上p(II)当pO时在x=！处取得极大值f(l_)=ln丿，此极大值也是p p 最大值，要使f(x辽0恒成立，只需f(_)=In上？0I:.p3 I p p.p的取值范围为1I+00)（田）令p=l,由（II)知，lnx X区O,:.ln立x 1,:n E N,n;:,:2:.In n2:;n2-1,2 2.In n-n-l l 三l-.2 2 2 n n n.ln22 1n32 1nn2 l l l +(1-)+(1-)+(1-)22.32忙2232 n2 1 1 1=(n-1)-（一+-=:;-)22.32.n2 1 1 1 (n-1)-O)解：（1)a=-

3、3,b=2;(2)当23时，f(x)的最大值为f(t)=t3-3t2+2;当x=2时，f(x)的最小值为f(2)=-2。5、（江苏省启东中学高三综合测试四）已知f(x)=x3 1+mx2-2m2x-4 2(m为常数，且mO)有极大值,2(I)求m的值；(II)求曲线y=J(x)的斜率为2的切线方程解：(I)f(x)=3x2叩2m2=(x+m)(3x2m)=0 则x=m,x=;m 3 由列表得：（女，m)2 X-m(-m,3 m)f(x)+。/,极大、f(x)值f(-m)=-mJ+旷2m3-4=-%,.m=l.2 2 m(m,+oo)3 3。+极小/,值(TI)由(I)知f(x)=x3十；x22

4、x-4/则f(x)=3x2+x-2=2:.x=或x=-由 八1)=9 4 76-,J(-)=-2 3 27.所以切线方程为：y+9=2(xl)即4x-2y-13=0;76 或y+=2(x+）即54x-27y-4=0 27 4、（安徽省皖南八校2022-2023学年届高三第次联考）已知函数1 f(x)=3 a 2 3 2 x3-;x2+2x+1且xI,x是f(x)的两个极值点，0 x,1 X2 3 I(1)求a的取值范围，(2)若口X2栏m2-2bm-2,对bE-1,1恒成立。求实数m的取值范围；解：（1）f1(x)x2-ax+2，由题知：卢1)=1-a+2 0-11.3a 0 3(2)由（1)

5、知：凡X2|五言l，了2bm-2,;I对bE-1,1恒成立，所以：矿2m-3-1:;:;m:;:;1 m2-2m-3:;:;0 5、（江西省五校2022-2023学年届高三开学联考）已知函数3 f(x)=ln(2+3x)-x2.2(I)求心x)在O,1上的极值；(II)若对任意X E占，不等式Ia-In x I+lnf(x)+3x 0成立，求实数a6 3 的取值范围；(III)若关于X的方程f(x)2x+b在0,1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围解：(I)f(x)=-3x=,3,.,-3(x+1)(3x-1)2+3x 3x+2 令f(x)=0得x或X=-1（舍去）.当o:;x 0 3,

6、f(x)单调递增；当!X:;1时，x)0 3 f(x)0得3 3 alnx-In或ah(x)或a 0,3x(2+3x)2 x(2+3x)h(x)=3 1-:-(2+6x)=2+6x 0 I 2x+3x 3 2x+3x2 l 1.g(x)与h(x)都在一，上单增，要使不等式成立，6 3 当且仅当ah(！)或aln或a 0，千是(f)(X)石在0,-上递增；3 石J当xE，l时，rp(x)rp(O),rp()rp(l),3.3 3,1上递减.f(x)=-2x+b即(JJ(X)=0在(0,1恰有两个不同实根等价千叭0)=1n 2-b 0 石由7 25 叭)ln(2石）-bO 3 6 6 l 叭1)=

7、1n 5+-bO,2 1 7 25.1n5+豆b0)为奇函数，且甘(X)lmin=22,数列时与bnx+c 满足如下关系：a1=2,a,1+l=f(a,1)-a,l,b/1=a,-l 2 a,1+l.(1)求f(x)的解析表达式；(2)证明：当nEN甘寸，有b咚(L)”.3 解：（1）由f(X)是奇函数，得b=c=O，由甘(X)mini=22，得a=2,故f(X)=2x2+l X 2a 2(2)a,1+1=.f(a,I)-a=;“+1a,1 立2 2 2a II a+l-l 2 b a-l 2a?,1+l n a;-2a,+1/a11-1 n+l=a,1+l+1=4+1+l=a,+2a:+1=

8、(;口=b;2a II.b,1=吐b,;-2=b尸，而bi=,江，I=（点2-当n=l时，bi=，命题成立，当n2时，了2n-l=(l+l)n-1=l+c,_,+CL1+C;i l+c比n3.(炉,-1占，即b咚().3 3 8、（四川省成都市新都一中高2022-2023学年级一诊适应性测试）q p 设f（劝px-2 lnx，且f(e)=qe-2(e为自然对数的底数）(1)求p与q的关系；(2)若f（劝在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；q 解：（I)由题意得f(e)=pe-2 lne=qe-2 p e e 1 1 P(p-q)(e+-:=)=0而e+-#0 e e:.p=q.4分p(II

9、)由（I)知f（劝px-2/nx X p 2 p炉2x+p f（劝p+-=x2 x x2 令h(x)=px2-2x+p,要使f(x)在其定义域(0,+)内为单调函数，只需h(x)在(O,+)内满足：h(x)以 0或h(x)O恒成立当p=O时，h（劝2x,了X0,:.h(劝0,.f（劝O时，h(劝px2-2x+p，其图象为开口向上的抛物线，1 1 对称轴为X=-=E(O,+)I:.h（劝成n=p-p.p 1 只需p之1,即pl时h(劝oI f（劝忒0p.f（劝在(O,+)内为单调递增，故pl适合题意当pO时，h(劝px2-2x+p,其图象为开口向下的抛物线，1 对称轴为x=-J(O,+)p 只需

10、h(O）oI即pO时h(劝o在（O,+)恒成立故p x x 1 1 x+-x+-X X。2 2 2 x+2.三1,且x=1时等号成立，故(-:-)max=1 x+-X 1:.pl.9分 1 2 由f/（劝.:;OUp(1+一2)三00p三x x 2x.2x 0p三（）X 2+1 x2+1 1111n,xO 而2x2x 灶1 0且x.0时，.0，故p:50 x 2+1 11 分综上可得，p习1或pO9、（四川省成都市诊）已知函数f(x)=In x,g(x)=:!.(a 0)，设F(x)=f(x)+g(x).(I)求函数F(x)的单调区间；(II)若以函数y=F(x)(x e(0,3）图像上任意点

11、P(x。,y。)为切点的切线的斜率肛恒成立，求实数a的最小值；（田）是否存在实数m使得函数y=g(芒j+m-1的图像与函数y=f(l+x2)的图像合有四个不同的交点？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。解：(I)F(x)=J(x)+g(x)=lnx+巴(xO),F(x)=-乌(xO)X x-五0，由F(x)OxE(a,+oo)，.F(x)在(a,+oo）上单调递增。由F(x)0 x E(0,a),.F(x)在(O,a)上单调递减。占F(x)的单调递减区间为(O,a)，单调递增区间为(a,+oo）。(II)F(x)=9(0心3),k=F(x。)气尸叶(00画出草图和验证G(2)=G

12、(-2)=ln5-2+l l l 2 2 可知当mE(2,In 2时，y=G(x)与y=m恰有四个不同的交点。当me(,1n2)时，y=g(*1)+m-l=；卢m-；的图象与y=J(I+x2)=In伬1）的图象恰有四个不同的交点。10、（四川省乐山市2022-2023学年届第次调研考试）已知函数1 f(x)=lnx,g(x)=-*ax2-bx,a-:t:-0 2 若函数p(x)=f(x)+g(x)在处取得极值2,试求a,b的值；若b=2时，函数O或laO;略，C在M的切线与c2b=3 在N的切线不可能平行。11、（四川省成都市新都中高2022-2023学年级12月月考）设函数f(x)=-cos

13、2 x-4tsin1cos1+4t3+t2-3t+4,xER,其中1肛1，将I(研的最小值记为g(f).(1)求g(f)的表达式；(2)对千区间-1,1中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g(f)4a 三成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存1千在，请说明理由解析：(1)f(x)=-cos2 x-4tsin cos王4t3+t2-3t+4 2 2=sin2 x-l-2tsin+4t2+t2-3t+4=sin2 x-2tsinx+t2+4t3-3t+3=(sin x-t)2+4t3-3t+3.由(sinx-t)泛0,It|1,故当sinx=t时，f(x)有最小值g(t)，即g(t)

14、=4t3-3t+3.(2)我们有g(t)=l2t2-3=3(2t+1)(2t-1),-ltO6.3 成立，求实数a的取值范围；(3定关千X的方程f（劝2x+b在0,1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围33(x+1)(3x-l),解：（1)f(x)=-3x=2+3x 3x+2 令f(x)=0得x或x=-1(舍去）当O x 0 3(x)O,f(x)单调递增；当 x 1时，f(x)0得3 3 a Jn X+Jn-=-=-1 2+3x 2+3x 3 设h(X)=1n X-1n =1n,2x+3x 2+3x 3 3 g(x)=Jn X+Jn-=-=-=-=Jn-=-=-=-=-,3x 2+3x 2

15、+3x 皂上恒成立，依题意知a g(x)在XE6 3.g(x)=.2+3x 3(2+3x)-3x 3 2=0,3x(2+3x)2 x(2+3x)h(x)=3 1 一(2+6x)=2+6x 0 I 2x+3x2 3 2x+3x2 1 1:.g(x)与h(x)都值，上单增，要使不等式成立，6 3 当且仅当ag(l 5），即aIn-1 6.3 36 3.10分(3)由f(x)=-2x+bln(2+3x)-%x2+2x-b=0.7-9x2 令rp(x)=ln(2+3x)-x2+2x-b，则rp(x)=-3x+2=2 2+3x 2+3x 石5 当xE0,-时，cp(x)0，于是如）在0,上递增；3 3

16、当XE 石,1时，(J)(x)叭1)I 3 3,1上递减:.f(x)=-2x+b目肪(x)=0在0,1恰有两个不同实根等价于rp(O)=n2-bO 石72石叭）ln(2打）+bO3 6 3 1 rp(l)=In 5+-:-b 0 2 1 所以1n5+:;b O得2x-I的0I由f(x)0得x-2或lx0，故h(x)为1+x(l+x)2 区间l，e-l上增函数，所以h(x)=f(x)E-;-2e,2e乌，根据导数的几何意义可知tan 0 E -2e,2e匀，故oE 0，杠ctan(2e-)u冗arctan(2e-)，冗）9e e e e 分（田）方程f(x)=X气x+a，即xa+lln(l+x)

17、2=0 记g(x)=x-a+1-ln(l+x)2,x E(0,2，则g(x)=1-=.l+x x+l 由g(x)0得xI,由g(x)0得xlg(x)在0,1上递减在1,2递增11分为使f(x)=X气x+a在0,2上恰好有两个相异的实根，只须g(x)=0 在0,1)和(1,2上各有个实根，于是有l:：f)勹。解得2-ln2a年21n3.g(2)o 14、（北京市朝阳区2022-2023学年年高三数学一模）设函数f(x)=ln x+x2+ax.1(I)若x一时，f(x)取得极值，求a的值；2(II)若J(x)在其定义域内为增函数，求a的取值范围，（田）设g(x)=f(x)-x2+l,当a=-1时，

18、证明g(x辽0在其定义域内1n 22 ln32 1n n2 2n2-n-1 恒成立，并证明+L+22 32 n2 0,即a2五时，要使f(x)在定义域(0,+OO)内为增函数只需在(0,+oo)内有2x2+ax+lzO即可设h(x)=2x2+ax+1,h(O)=1 0,由a 0得aO,2x2 所以a25.由(1)(2)可知若f(x)在其定义域内为增函数，a的取值范围是22,+oo).9分（田）证明：g(x)=lnx+ax+l,当a=-1时，g(x)=lnx-x+1,其定义域是(O,+oo),值令g(x)=1-l=0,得x=1.则g(x)在x=1处取得极大值，也是最大X 而g(l)=0所以g(x

19、辽0在(0,+OO）上恒成立因此lnx?X 1.lnn n-1 1 因为n缩虹2I所以1nn2?n2 1.则?l-n一矿n2.所以巴二压：L巴:?(1上）（1-上）L(1-上）22 32忙2232 n2 1 1 _ 1=(n-1)-(+L+)22 32 n2 1 1 _ 1 O时，对任意X E(-1,0),f(x)0,:.a 0符合题意；2 当a 0,:.2-l _,:.-2幻a 0,g(x)=ax3+(3a-3)x2-6x,x E 0,2)g(x)=3矿2(3a-3)x-6=3ax2+2(a-l)x-2,.10分令g(x)=0，即ax2+2(al)x-2=0(），显然有=4a2+40.设方程

20、（）的两个根为X1,X2，由（）式得X1X2=3:0 I不妨设X1 0 X2.a 当0 x2O，所以aE(0,.16、（北京市东城区2022-2023学年年高三综合练习)已知函数f(x)=x3-x2+ax,x三l，在x1处连续In X,X I(I)求a的值；(II)求函数f(x)的单调减区间；(III)若不等式f(x)红c对一切XER恒成立，求c的取值范围解：（I）由f(x)在x=1处连续，可得1-l+a=lnl,故a=O.2分(II)由（I)得f(x)XX2,x三l,1n X,X 1.2 当xl时，J(x)=3x2-2x,令f(x)0，可得O l时，J(x)，故f(x)0 X 2 所以函数f

21、(x)的单调减区间为0,）7分3(III)设g(x)f(x)-x x3-x2-x,x:s;l,lnx-x,x 1.当x 0，可得xl，即x；令g(x)0，可得Xl时，g(x)=-1,故当xl时，g(x)0.可得(1,+oo)为函数g(x)的单调减区间又函数g(x)在X=1处连续千是函数g(x)的单调增区间为OO，一一），单调减区间为一，OO）所以函数g(x)的最大值为g(）-=1 1 5 3/27 9.3 27 要使不等为欢）x+c对一切XER恒成立，即g(x)c对一切XER恒成立，又g(x)2/求函数f(x)的单调区间(1)解：由f(x)矿(x2-ax+a)矿(2x-a),可得f(x)矿x2

22、-(a-2)x,所以f(O)=0.7分(2)解：当a2时，f(x)0，可得x a-2.令f(x)0，可得Oxa2.可知函数f(x)的单调增区间为(-oo,0),(a-2,+oo)，单调减区间为(0,a-2).18、（北京市丰台区2022-2023学年年4月高三统一练习一）设函数f(x)=(1+x)2-2ln(l+x).(I)求f(x)的单调区间；(TI)若当xE.!.-1,e-l时，不等式f(x)0 得XO由f(X)0 I得-1 x上2e2 e-：当店_!_1,e-1时，f（沺的最大值为卢2.e 故当me2-2时，不等式f(x)l或x-1(舍去）由旷(x)0，得-lxl.g(x)在0,1上递减

23、在1,2上递增为使方程j(x)=X江x+在区间0,2上恰好有两个相异的实根，g(O)0,只须g(x)=O在0,1和(I,2上各有一个实数根于是有lg(l)0,g(2)o.2-2ln23-21J13,实数a的取值范围是2-2ln2 0 I解得X _!_；令f(x)0 I解得OxI时，g(x)=I-a+Inxla;:-:O,故g(x)在(l,+oo)上为增函数，所以xl时g(x)g(l)=l-aO 即f(x)ax-1.10分若al,方程g(x)=0的根为x。=e1一l,此时，若XE(1,。)，则g(x)0 t故g(x)在该区间为减函数所以，XE(1,。)时，g(x)g(l)=1aO，即f(x)l时

24、，因为g(x)叶（三）0,故g(x)是(1,+oo)上的增函数，所以g(x)的最小值是g(l)=1,.12分从而a的取值范围是（女，1.20、（北京市西城区2022-2023学年年5月高三抽样测试）已知函数f(x):;e-X(e为自然对数的底数）(I)求f(x)的最小值，(II)设不等式f(x)a.x的解集为P,且xlO:c:;x:c:;2s;P,求实数a的取值范围，(m)设厂，证明：言(:尸士。（I)解：f(x)的导数f(x):;ex一1.令f(x)0,解得xO;令f(x)0,解得xax的觯梨为P,且xl0 x2f;P,所以对于任意xe O,2，不等式f(x)ax恒成立由f(x)ax，得（a

25、+1)x ex.当x=O时，上述不等式显然成立，故只需考虑XE(Q,2的情况ex 将(a+l)x e变形为 aO,角f得xI;令gtx)O,解得xl.从而g(x)在(0,1)内单调递减，在(1,2)内单调递增所以，当x=l时，g(x)取得最小值e-l,从而实数a的取值范围是(-X),e-1).（lI1）证明：由（I)得，对千任意XER，都有eX-x21，即l.+xs e.j 令x=-.(neN,i=l,2,n-1),n i-!.则01一en.n（气）尸）=e-;(i=I,2,.,n-1),即尸）ne一;(i=I,2,.,n-1)n.4分.5分.8分.9分:.氢订置卫）.+.+（气）n+仁）n

26、e-n-1)+e-(一2l+.+e一l+1.-(n-1),0-(n-2),_-1:e+e-v.-.,+e-+I=:.沪）上K.1 n e-I.-n 1-e 1 e=-l-e-1 1-e-1 e-1,.14分21、（北京市宣武区2022-2023学年年高三综合练习)已知函数f(x)=x3+ax2-x+2,(a E R)(1)若f(x)在(0,1)上是减函数，求a的最大值，(2)若f(x)的单调递减区间是（归），求函数y=f(x)图像过寺(1,1)的切线与两坐标轴围成图形的面积。解：（1）厂(x)=3x2+2ax-1,由题意可知，f(x)在(0/1)上恒有f1(x):o:;O则厂(0)三0且厂(l

27、）:5:0，得a:5:-1/所以a的最大值为1(2).f(x)的单调递减区间是(3,l),:.f 1(x)=3x2+2ax-l=0的两个根为和1,可求得a=-1,:.f(x)=x-x-x+2,若(1,1)不是切点，则设切线的切点为(x。,y。)，（X。红），则有逞兰3点2x。-lX。-lYo=3x-2x。-l，解得x。=1(舍），x。0/:.Y。=2I k=-1 若(1,1)是切点，则k=f1(l)0综上，切线方程为y=l,x+y-2=0这两条切线方程与两坐标轴围成的图形为直角梯形1 3 它的面积S=-(1+2)-2 2 22、（北京市宣武区2022-2023学年年高三综合练习二）已知函数J(

28、x)=a.x3+bx2(x ER)的图像过寺P(-1,2)，且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直。(1)求函数八x)的解析式；(2)若函数兀）在区间m,m+l上单调递增，求实数m的取值范围。解：(1):J(x)=3ax2+2bx,乙由题意有代1)a+b=2-11=3a-2b=-3 a=1.b=3:.f(x)=x3+3x2 6分(2)令J(x)=3x2+6xO,得x-2或xO,J(x)在区间(-oo,-2和o,+oo）上均是增函数，由题意，有m,m+l)(-oo,-2或m,m+l)O，女），:.rn+l全2或mO,.m E(-oo,-3u0,+oo)23、（山东省博兴二中高三第三次月考）已

29、知函数心x)=炉-3ax2+2bx 在点x=l处有极小值1，试确定a,b的值，并求出心x)的单调递增区间解：由已知，可得f(_l)=l-3a+2b=-1.CD 又f(x)=3x2-6a+2b,:.f(1)=3-6a+2b=O.-4分由可得a=1.1 l,b飞故函数的解析式为心）炉X2-X -8分由此得f（劝3x2-2x-1.当f（劝0时，X1。因此在心）的单调递增区间为区间(-00,-）和(1,+oo).24、（东北区三省四市2022-2023学年年第一次联合考试）已知函数J(x)=lnx,g(x)；卢a(a为常数），直线与函数瓜）、g(x)的图象都相切，且与函数t.（x)的图象的切点的横坐标

30、为I。(1)求直线的方程及a的值，(2)当kO时，试讨论方程内x2)g(x)=k的解的个数。本小题得用导数研究函数图象的切线研究函数的单调性及讨论议程根的清况解：（1)压），f(l)=l，故直线l的斜率为，切点为(1,f仰即(1,0),.L:y=x-1(D 又:g(x)=x,:.g(l)=l，切点71,+a)l:y-(+a)=x-1，即y=x-+a 比较和的系数得-+a=-1.:.a=-(2)由ll(l+X订g(x)=k，即1n(1司扛+=k归1n忙司丛2+,Y2=k2 2 yl=2x _ x(1-x Xx+l)-x=1+x2-1+x2 令yI=1，解得X=0,-1,1.X I(-OO,-l)

31、I-I(-1,O)1。|(0 1B 1/1)yl+。+Y1/极 牛i/大值小值ln2 1 2 由函数y在R上各区间上的增减及极值清况，可得(1)当Ok丿时有两个解；2.,.。极大值ln2(2)当K丿时有3个解，2(3)当丿kln2时无解。25、（东北三校2022-2023学年年高三第次联考）已知函数J(x)x=x1+In x+(a4)x在(1,+oo2）上是增函数(I)求实数a的取值范围；(II)设g(x)=e2x-2aex+a XE Q,ln 3，求函数g(x)的最小值解：(I)f(x)=x+a-4.2分:f(x)在(1,+oo）上是增函数1 1:.x+a-4刻在(1,+oo)上恒成立即a沪

32、 4-(x+）恒成立X X 1:x+-;:2（当且仅当r=l时，等号成立），X 1:.4-(x+-=-)O):Q X Jn 3,.1 t 3.7分(1)当2sas3时，g(t)最小值为a-a2;10分(2)当a3时，g(t)最小值为9-5a。26、（东北师大附中高2022-2023学年届第四次摸底考试）已知函数f(x)=-x2+ax+1-lnx.(I)若f(x)在(0，一）上是减函数，求a的取值范围，(II)函数f(x)是否既有极大值又有极小值？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由解1 f(x)=-2x+a-X,.,I).1 分.1:f(x)在(0,）上为减函数，XE1 1-（0,）时

33、2x+a-0恒成立2 2 x 3分即a 4,:.g(x)g(l?_2)=3 a 2迈.当a2五时，f(x)=0有两个不等的正根10分不妨设xl 1 X2，由f(x)=-!.(2x2 2-ax+l)=-!:.(x-xJ(x飞）知：X Oxx)时f(x)0,x1 x 0 1 X X2时J(x)2心时f(x)既有极大值f伈）又有极小值见）27、设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+l)，其中aO。(I)求f(x)的单调区间；(II)当xO时，证明不等式：二一ln(x+l)x;l+x（田）设氏）的最小值为g(a)，证明不等式：-_!_ g(a)0),x+l f(x)=0，解得x=上.2分a 当x变

34、化时，f(x),f(x)的变化清况如下表：X 1(-1,)l 1（一，OO）a a a f(x)。+极小f(x)/值由上表可知当XE(-1,！)时，f(x)O,函数f(x)在(!,+oo)内单调递增，4a a 分所以，函数f(x)的单调减区间是(l,!)函数f(x)的单调增区间是（丿，动。5分(II)设(fJ(x)=ln(x+1)-,x E 0,oo)。l+x 对cp(x)求导，得：叭x)l _ l 2=x x+l(l+x)(l+x)2 o7分当xO时，cp(x)0 t所以cp(x)在(0,心）内是增函数。所以cp(x)在O,心）上是增函数。8分当xO时，巩（x)cp(x)=0,即ln(x+1

35、)0,:.二一ln(x+1)。l+x l+x 同理可证ln(x+l)x，二ln(x+1)X。9分l+x（田）由(I)知，g(a)=f(_!_)=l-(a+l)ln(.!.+1),11分将x=代入二一ln(x+l)x,得 In(_!_+1)_!_ a l+x a+1 a a 即：1(a+l)ln(_!_+l)l已，13分-_!_ 1-(a+l)ln(_!_+1)0,即上g(a)O,如果过9(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：-ab j、(a).解：（1）求函数f(x)的导数；f(x)=3x2-l.曲线y=f(x)在点M(t,f(t)）处的切线方程为：y-f(t)=j(f)(X-f)/

36、即y=(3t2-l)x-2t3.(2)如果有条切线过点(a,b)，则存在t，使b=(3t2-l)a-2t3.千是，若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，则方程2t3-3at2+a+b=0 有三个相异的实数根记g(t)=2t3-3at2+a+b,则g(t)=6t2-6at=6t(t-a).当变化时，g(t),g(t)变化清况如下表：t(-oo,0)。(0,a)”(a,+oo)+g(t)g(t)+。g(t)/极大值 极小值/.,a+b b-f(a)由g(t)的单调性，当极大值a+bO时，方程g(t)=0最多有个实数根；当a+b=O时，解方程g(t)=0得t=o,t竺，即方程g(t)=0只

37、有两个相异的实数根，当b-f(a)=0时，解方程g(t)=0得t卫，t=a,即方程g(t)=0只有两个相异的实数根综上，如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线，即g(t)=0有三个相异的实数根，则a+bO,bf(a)0.即abO时，若对任意的xO,恒有f(x):;o,求p的取值范围(3)证明.ln22 ln32 lnn2 2n2-n-l.+.+22.32 0,f(x)在(0,+oo)上无极值点当pO时，令f(x)l x)=O,:.x=e(O,+oo),f(x)、j(x)随x的变化情况如下p 表：X(0，一1)1 1（一，卡）p p p f(x)+。f(x)递增极大值递减从上表可以看出，当

38、pO时，f(x)有唯的极大值寺x=丿p(2)解：当pO时，f(x）在X=_!-处取得极大值八上）1n上p p p 此极大值也是最大值。要使f(x)o恒成立，只需f(丿)lnOp p.p之l,.p的取值范围是l，知）(3)证明：令p=l，由（2)知lnx-x+1 O,.lnx x-1:n EN,n 2,:.In n2 n2-1 ln n 2 2.ln n,.,.n-1 _ 1 1 三1-n 2 n 2 n 2 ln 22 ln 32 ln n2 22.32+十:;(1-勹-)+(1-)+.+(l-)32 1 1=(n1)-(+)22.32 1 1-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6

39、a=O有两个相等的实数根，求兀）的解析式；(2)若函数g(x)=xf(x)无极值，求实数a的取值范围解：（1）设f(x)=ax2+bx+c(a-:1:-0)，？不等式f(x)2x的解集为(1,3).f(l)=a+b+c=-2.(D.f(3)=9a+3b+c=-6.又丁(x)+6a=ax2+bx+c+6a=0有两等根，.=b2-4a(c+6a)=0由解得a=一，或a=l.又f(x)-2x的解集为(1,3),.a 0 I：只需证:x,2XX+X _ 2 忒2平易 x2.1 1 2 1 4 2，即（x三）2:2:0 t 3.(x l-X2)2 0成立，.忒.x;:-:2(斗+2 x2)成立.（4分）

40、又（m-x1)E(0,m),(m-x2)E(0,m),3 3 由得:（mX1)3+（m入产2(m-x1+2m勹2-(m-:5了）,3 且2式2x：22厂了），上述两式相加得：f(xi)+f伈）2f(X,+X 2:2_f().2(6分）(II)m=3时显然成立，m3时，由(I)得：a1+2a2,a2+a4 2a3,a3+a5 2a4,a,_3+a,_1 2a,_2.各式相加得：a1+a,i-1之a2+am-2.(10分）说明：直接用比较法证明f(l)+f(m-1)习J(2)+f(m-2)的同样给分（田）f(x)=6x2-3(,n-x)2=3x2+6mx-3m2=3(x2+2mx-m2)(11分）

41、由f(x)0得x迈l)m或x（2-l)m,寸(x)在,m上为增函数，m 3 2m l7 3.f(x)min=f()=-m3,f(x)max=f()=m,2 8 3 27.3 3 3 3 3 3 17 -m+-m=-m 8 8 4 27 矿恒成立，；如(a)、f(b)、f(c)的值为长的三条线段定能构成三角形32、（甘肃省河西五市2022-2023学年年高三第一次联考）设函数j(x)矿bx+c(a丑0)为奇函数，其图象在点(1,f(1)）处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数j(x)的最小值为12.(I)求a,b,c的值；(II)求函数J(x)的单调递增区间，并求函数j(x)在-1,3上的最

42、大值和最小值解：（I)丁(x)为奇函数，寸(-x)=-f(x)即ax3-bx+c=矿bx-c.c=0.2分.f(x)=3ax2+b的最小值为12.b=-12又直线6x+y+7=0的斜率为6因此，f(l)=3a+b=-6.a=2,b=-12,c=O,.5分(II)由(I)知f(x)=2x3-l 2x.f(x)=6x2-12=6(x五）（x-五），列表如下：X(-OO,-5)-5（五，5)$(5,+OO)f(x)+。+f(x)/极大 极小/所以函数f(x)的单调增区间是（女，拉）和（五，OO）8分丁(-1)=10/f（五）8五，f(3)=18.f(x)在-1,3上的最大值是f(3)=18，最小值是

43、j.（丘）8533、（甘肃省兰州中2022-2023学年届高三上期期末考试）设曲线y=e飞立0)在点M(t,e一1)处的切线与x轴、y轴所围成的三角形面积为s(t).(I)求切线I的方程；(II)求s(t)的最大值解：（I)因为J(x)=-e-x，所以切线的斜率为e-,2分故切线的方程为y-e一I=-e一1(x-t)，即e一x+y-e一I(t+1)=05分(II)令y=O得X=t+1,又令x=O得y=e一I(f+1)7分所以S(t)=(t+1)e-1(t+1)=(t+1)2 e-19分从而S(t)=卢e一I(1t)(l+t).10分当tE(0,1)时，S(t)O,当XE(1，如）时，S(t)0

44、)的“上夹线的方程，并给出证明解(I)由/(x)=1-2cosx=1得cosx=O-1分当x=竺时，cosx=O,2 此时y亢冗=x+2=-+2,y2=x-2sinx=-+2,I 2 2 分-2 yl=y2，所以门，f+2)是直线l与曲线s的个切点-3分当x竺时，cosx=O,2 此时Yi=x+2竺2,y2=x-2sinx竺2,2 2-4 分Y,=Y 2 1所以（竺产2 2+2是直线l与曲线s的个切点-5分所以直线与曲线S相切且至少有两个切点；对任意XER,g(x)-F(x)=(x+2)(x-2sinx)=2+2sinx;:O,所以g(x);:F(x)-6分因此直线l:y=x+2是曲线S:y=

45、ax+bsinx的“上夹线.-7分(II)推测：y呕nsinx(nO)的“上夹线”的方程为y叩n-9分先检验直线y皿n与曲线y=n1X-nsinx相切，且至少有两个切点：、八1又F(x)x,=mx-nsrnx:F(x)=m-ncosx,令F(x)=m-ncosx=m，得：x=2k冗士亨(kiz)-10 分当x=2k冗匀讨，F(2k冗一工）m(2k冗 一工)+n2 2 2 故过曲线F(x)=m.x-nsinx上的点(2k冗二，m(2k冗一五n2 2.)）的切线方程为y-兀-m(2k兀）n=mx-(2k冗王2 2），化简得：y=mx+n.即直线y=mx+n与曲线y=m.xnsinx相切且有无数个切

46、点分-12 不妨设g(x)=m.x+n下面检验g(劝3尺劝:g(x)-Fi(x)=n(l+sinx)2:0(nO)直线y=m.x+n是曲线y=F(x)=mx-nsinx的“上夹线36、（广东省惠州市2022-2023学年届高三第三次调研考试）已知函数f(x)=x+!_(t 0)，过点P(l,O)作曲线y=f(x)的两条切线PM、PN,切点分别为M、N.(I)当t=2时，求函数f(x)的单调递增区间；(II)设IMl1=g(t)，试求函数g(t)的表达式；(III)在(II)的条件下，若对任意的正整数nI在区间2,n竺内，n 总存在m+l个数al,az,.,a111,am+l，使得不等式g(a1

47、)+g(a2)+g(a,)01分解得x丘或x一5.则函数f(x)有单调递增区间为(-co，一五），（五知）2分(II)设M、N两点的横坐标分别为X1、X2I t t:f(x)=1-切线PM的方程为：y-(X1+)=(1-j-)(x-x,).X2xi xl 又切线丙祝点P(l,O)，有Q-(X1+_!_)=(l-)(l-x1)x1-X 即X12+2tX1-t=Q,(1).4分同理，由切线PN也过点(1,0)，得xJ+2tx2-t=0.(2)由(1入(2)，可得X1,X2是方程x2+2tx-t=0的两根，.x1+X2=2t(*).6分X1 X2=-f.t t 2 t IMN|三/（X1飞）气(x1

48、+t-x2了）(x1矿1+(1言门(x1飞）2-4x1 x21+(1-于X1X2 把（）式代入，得MNI=,因此，函数g(t)的表达式为(t)=(tO)令.8分(III)易知g(t)在区间2,n+64 上为增函数，n.g(2):g(a;)(i=1,2,.,m+1).则mg(2):g(a1)+g(a2)+g(a111).,g(a)+g(a2)+.+g(a111)g(am+I)对一切正整数n成立，.不等为ng(2)g(n+64 了）对一切的正整数恒成立10分64 2 贰20 x22+20 x2,I20(n+)+20(n+),64 n n 1 64?64 即m 0,f(x)是增函数2 当XE(e1-

49、，动）时，j(x)0,f(x)是减函数.4分.f(x)在x=eI-“处取得极大值f(x)极大值f(el-a)=ea-I6 分（田）（i)当el-a-1时，由(I)知J(x)在(0,e1-）上是增函数，在(e1-,e2上是减函数J(x),cr=J(e1-0)=e”一.7分又当x=e-”时，j(x)=0，当X E(0,e一(旬（x)18分解得a1，又a-1,所以al.9分(ii)当el-“立即a今1时，f(x)在(0,e2上是增函数，寸(x)在(O,e2上的最大值为(e2)=2+a e 所以原问题等价于2+a之l，解得ae2-2.e 2 又:a-1 无解 11分38、（广东省汕头市澄海区2022-

50、2023学年年第学期期末考试）已知函数f(x)2ax+2x(a-:t:.0),g(x)=1n x,(1)若h(x)=f(x)-g(x)存在单调增区间，求a的取值范围；(2)是否存在实数aO,使得方程=f(x)-(2a+I)在区间(_!_,e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围？若不存在，请说明理由。解：（1)由已知，得h(x)=ax三2x-lnx且xO,则h,(x)=ax+2-_!_=ax2+2x-l I(2分）函数h(x)存在单调递增区间，.h（x)以0有解，即不等式ax红2x-12:0有xO的解(3分）0当aO的解，则方程ax红2x-1=0至少有一个不重复正根而方程ax