2022年中考数学复习之挑战压轴题——四边形（填空题）.pdf

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1、2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：四边形（10题）一.填 空 题（共10小题）I.（2 0 2 1安徽三模）如图，在三角形A B C中，AB=3,B C=3我.A C=6,点。是A C上一个动点，过点。作。F_ L B C于点凡 过点尸作在A C,交A B于点、E.（1）当四边形AQ FE为菱形时，则N AE。.（2）当）尸为直角三角形时，则C）=.2.（2 0 2 1 锦江区校级模拟）正方形4 B C。的边长为4,b是4。上的动点，将人?沿着C尸折叠，当尸是等腰三角形（E F是腰），DF=.3.（2 0 2 1 郸都区模拟）如图，平行四边形AB C。，ABAD,A D=4,乙4

2、0 8=6 0 ,点E、尸为对角线8。上的动点，D E=2 B F,连接AE、C F,则AE+2 c尸的最小值为.4.（2 0 2 1沂源县一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形4 O 8 C是矩形，点O （0,0）,点4 （5,0）,点8（0,3）.以点A为中心，顺时针旋转矩形A O 8 C得到矩形AO E凡 点O,B,C的对应点分别为,E,F.记K为矩形A O B C对角线的交点，则 K O E的最大面积为.5.（2 0 2 2 龙岗区一模）如图，在正方形A B C O 中，M 是对角线8 0上一点，连接4W,将A M绕点A 逆时针旋转90 得 A N,连接MN交 A。于 E点，连接。N.

3、则下列结论中：N D 上 BD；N M A E=Z D N E；用M=2 ED A D ；当 A O =MD 时，则C-1=2-72-其 中 正 确 结 论 的 序 号 是.SAM E D6.（2 0 2 2 济南一模）如图，已知正方形AB C。，延长A B至点E使 B E=A B,连 接 C E、DE,D E 与 B C 交于点N,取 CE的中点F,连接B R AF,A F 交 B C 于点M,交。E于点O,则下列结论：D N=E N；O A=O E；C N：M N：B Af=3：1：2；t a n Z C E）=A；S 四 边 彩 BEFM3=2S&CMF.其 中 正 确 的 是.（只填序

4、号）7.（2 0 2 1 安徽二模）如 图（1）,四边形AB C。是正方形，点 E是边A O上的点，将 C O E沿着直线CE折叠，使得点。落在A C上，对应点为E（1）f=（2）如 图（2）,点 G是 BC上的点，将 A8G 沿着直线A G折叠，使得点8 落在A C上,对应点为H,连接FG,E H,则二正方形二=S四边形E FG H图8.（2 0 2 1 沈河区一模）如图,在正方形AB C。中，A 8=4 五,A C与 BO交于点O,点 P,Q分别在线段AO,B C 上,且满足8 Q=&A P,以PQ为斜边作等腰直角三角形尸Q M,使点M与 8 位于P Q的两侧，当点P从点A 运动到点。时，

5、点M的运动路径长是9.（2 0 2 0 岳麓区校级二模）如图，已知正方形AB C。的边长为4,E为 CD上一点，且 Q E=1,F 为 B C 边上一动点,过点 E作 E G L 4 尸于点P,交直线48 于点G.则下列结论中：A F=E G；若/氏4 5=N P C F,则尸C=P E；当N C P 尸=4 5 时，8尸=1；PC的最小值为2 代-2.其中正1 0.（2 0 2 0 青羊区模拟）如图，在。AB C。中，对角线AC 1 8C,Z B AC=3 0 ,8 c=2 我,在AB边的下方作射线A G,使得/B4G=30,E为线段OC上一个动点，在射线4G上取一点P,连接B P,使得NE

6、BP=60,连接EP交A C于点F,在点E的运动过程中，当 N8PE=60 时，则 AF=.2022年中考数学复习之挑战压轴题（填空题）：四边形（10题）参考答案与试题解析填 空 题（共10小题）1.（2 0 2 1 安徽三模）如图，在三角形A B C 中，AB=3,B C=3 次.A C=6,点。是 A C上一个动点，过点。作。F LBC于点尸，过点尸作所 A C,交.AB于点E.（1）当四边形A Q F E 为菱形时，则N A E C 6 0 .（2）当 为 直 角 三 角 形 时，则C D=3 或 4.8.【考点】四边形综合题.【专题】推理填空题；矩 形 菱 形 正 方 形；运算能力；推

7、理能力.【分析】（1）根据勾股定理逆定理可得/A8C=90 ,利用菱形的性质即可得出答案；（2）利用分类讨论结合当/。尸 E=90 时.当 N尸 E=90 时，当N O E 尸=90 时，分别分析得出符合题意的答案.【解答】解：（1）：A8=3,B C=3G AC=6,.*.32+（3 亚 2=3 6=6 2,：.AB2+BC2=A C2,./AB C=90 ,：.ZC=3 0 ,Z A=6 0 ,.四边形4 O F E 为菱形，/.Z AE F=1 80 -6 0 =1 2 0 ,A ZA=AZ/AEF=60O.故答案为：6 0 ；（2）讨论：当/）FE=90。时.JFE/AC,Z C=3

8、0 ,A Z F B=ZC=3 0 ,：.ZDFE=80-90-30=60 90,这种情况不存在，当/FD E=90时，如图2,：.ZDFC=ZB=90,J.DF/AB,JEF/AC,：.四边形AEFD为平行四边形，：.AE=DF=CD,2：ZDFC=ZFDE=90,J.DE/BC,；./AZ)E=NC=30,ZAED=ZB=90,在 RtZ4OE 中，NAED=90,/A)E=30,：.AE=XAD=1.(6-CD),2 2即(6-CD),2 2解得：CD=3,：.ZEFB=ZC=3O,V ZDFC=90,:.NDFE=60,V ZDEF=90,；.NFDE=30,V ZB=90,；.NFE

9、B=60,V ZDEF=90,A ZAED=30,A ZADE=90,ZAED=ZFDE=30,：.FD/AE,四边形AEFO为平行四边形，：.AE=DF=1.CD,2在 RtZXAOE 中，ZADE=90Q,NAEQ=30,:.AD=1AE92即 6-C0=LX1C。，2 2解得：f=4.8.综上所述，当 ：是直角三角形时，f的值为3或4.8.故答案为：3或4.8.【点评】此题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质、菱形的判定等知识，根 据 题 意 结 合 分 类 讨 论 得 出 当 是 直 角 三 角 形 时 求 出C。的值是解题关键.2.（2021 锦江区校级模

10、拟）正方形ABCO的边长为4,尸是A。上的动点，将FCO沿着CF折叠，当AEF是等腰三角形（EF是腰），DF=2或4万-4.【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；两点间的距离公式；等腰三角形的性质；勾股定理.【专题】矩 形 菱 形 正 方 形；运算能力；推理能力.【分析】对等腰A EF分两种情况，利用正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义即可求解出D F的长度.【解答】解：当AEF是等腰三角形（E尸是腰）时，此题有两种情况：如图1,当AF=E尸时，由折叠得：EF=DF,：.AF=DF,又V 正方形A B C D的边长为4,：.D F=l A D

11、=2 i2如图2,当点E 在 AC上时，过点作。于 何，交 8 c 于点M：.AM=FM,N A E M=N F E M.四边形A8C。为正方形,；./D 4C=45,V ZAEF=90,是等腰直角三角形,：.AM=EM,AE=EF,设 D F=a,则 F M=A M=E M=L (4-a),2由折叠得EF=D F=a,在 R t Z i E F M中，由勾股定理得：EF2=E M2+F M2,.耳）2 q）2=,2 2解得：m=-4&-4（不符题意，舍去），2=4&-4,:D F=4近-4；综上所述，。尸=2或 4&-4，故答案为：2或 4&-4.【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）、正方

12、形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，解答本题的关键是对 A E F 哪两条边相等进行分类讨论.3.（2 0 2 1 郸都区模拟）如图，平行四边形A 8 C ,ABAD,AD=4,/ADB=60 ,点E、产为对角线8。上的动点，D E=2 B F,连接A E、C F,则 A E+2 c 尸的最小值为 4历.【考点】平行四边形的性质；胡不归问题.【专题】多边形与平行四边形；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力；应用意识.【分析】如图，在直线。8的上方作NB T=6 0 ,且使得。T=2 8 C.过 点 T作交 的 延 长 线 于H.首先利用相似三角形的性质证明D T=

13、2 C F,解直角三角形求出AT,根据A E+2 c F=A E+E T,推出A E+2 C F 4 j 7，即可解决问题.【解答】解：如图，在直线OB的上方作NB O T=6 0 ,且使得 T=2 B C.过点T作 T”L A D交A D的延长线于H.V四边形A B C D是平行四边形,：.BC/AD,A D=B C=4,：.Z A D B Z D B C 6 0a,：.NCBF=NTDE,.B C=_ B F=14D T D E T.,.CBFsLTDE,C F _ B C _ 1E T D T 2：.ET=2CF,VZTO/7=18O-60-60=60,NH=90,DT=2BC=8,，O

14、”=OTcos60=4,H T=M D H=4,：.AH=AD+DH=S,*-7=/AH2+HT2=VS2+(4V3)2=4V7：AE+2CF=AE+ET,AE+ETAT,：.A E+2 C F,：,AE+2CF的最小值为477.故答案为：477.【点评】本题考查平行四边形的性质，胡不归问题，解直角三角形等知识解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.4.(2021 沂源县一模)如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC是矩形，点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3).以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为。

15、，E,F.记K为矩形AOBC对角线的交点，则的最大 面 积 为30+3点.【考点】矩形的性质；坐标与图形变化-旋转.【专题】推理填空题；矩 形 菱 形 正 方 形；运算能力；推理能力.【分析】当点。在线段BK上时，OEK的面积最小，当点。在BA的延长线上时，D E K的面积最大，求出面积的最小值以及最大值即可解决问题.【解答】解：(5,0),B(0,3),：.OA=5,OB=3,.四边形AOBC是矩形,：.AC=OB=3,O A=B C=5,/O 8C=/C=90,-AB-0 A2+0 B2=HK=AK=XAB=L,2 2,/矩形A D E F是由矩形A O B C旋转得到,：.AD=AO=5

16、,如图，当点。在线段B K上时，DEK的面积最小,最大面积=乂。，E XKD=1 _ X 3 X（5+2/3 4 _）=3 0+3 7 3 4.2 2 2 4故答案为：3 0+3点4【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识,解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.5.（2022龙岗区一模）如图，在正方形A8CZ）中，M是对角线3。上一点，连接4 W,将A M绕点A逆时针旋转90得A N,连接M N交A O于E点，连接。M则下列结论中：N D 工 BD；N M A E =N D N E ；MN?=2ED A D ；当 A D =M D 时，则s也蟠=2

17、”历 其中正确结论的序号是 .SAMEDANC【考点】四边形综合题.【专题】图形的全等；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力.【分析】由“SAS”可证之D 4 N,可得NA8W=NAQN=45,可证故正确；通过证明点A,点M,点。，点N四点共圆，可得NMAE=ND N E,故正确；通过证明 A ENS/X A N Q,可得M吕=2AD,AE,故错误；通过证明A N E s4M DE,可 得 也 迎_=2-&,故正确，即可求解.SA M E D【解答】解：.四边形A8CO是正方形，：.AB=AD,NBAD=90,ZABD=ZADB=45,/将AM绕点A逆时针旋转9 0 得AN,

18、：.AM=AN,ZMAN=90=NBAD,：.NBAM=NDAN,.ABM丝ZMN(SAS),：.ZABM=ZADN=45,Z BDN=ZADB+4ADN=90 ,:.D N LBD,故正确；:NMAN=NMDN=90,.点A,点M,点。，点N四点共圆，:./MAE=ND NE,故正确；：AM=AN,NMAN=90,A MN2=AM2+AN2=2AN2,NANM=45。，：ZDAN=ZNAE,ZANM=ZADN=45,：./AENAND,A N A EA D A N：.AN2=ADAE,：.MN2=2AD-AE,故错误：设 A 8=A O=a,则AD=MD=a,:.BM=（5/2-1）a=DN

19、,：.MN2=DN2+MD2=2AN2,:.A a=（2-V 2）a2,点A,点M,点。，点N四点共圆，NDAN=ZDMN,NANM=ZADM,XANEs XMDE,JAAEN=（幽）2=2-&,故正确，AMED 皿故答案为：.【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.6.（2022济南一模）如图，己知正方形ABCD,延长AB至点E使连接CE、DE,DE与8C交于点N,取CE的中点F,连接8凡AF,A尸交BC于点例，交DE于点。,则下列结论：DN=EN；OA=OE；CN：MN：B

20、M=3：1：2；tanZCED=A；S 四 边 形 BEFM32sAeMF.其中正确的是 .（只填序号）【考点】四边形综合题.【专题】等腰三角形与直角三角形；矩 形 菱 形 正 方 形；图形的相似；推理能力.【分析】证明NCZJsNBE,根据相似三角形的性质列出比例式，得 到 D N=E N,故正确；由直角三角形的性质可得A N=N E,即可得A O O E,故错误；通过证明ABFSA E C D,可得N C E D=N F B G,作 FG LA E于 G,根据等腰直角三角形的性质，正切的定义求出tanZ M G,可求tanZ C E D=1,故正确；根据三角形的面积公式计算,3可判断，设

21、BM=2x,M C=4x,可求 MN=x,C N=3x,可得 CM MN：BM=3：1：2,故正确；即可求解.【解答】解：四边形ABCC为正方形，AB=BE,：.AB=CD=BE,AB/CD,:.A N C D sN B E,D N C D =C N =1)而 N B，:.CN=BN,D N=E N,故正确；如图，连接AN,:DN=NE,ZDAE=90,：.AN=NE,：AOAN,NEOE,：.A O O E,故错误；V ZCfiE=90,BC=BE,F 是 CE 的中点，.,ZBCE=45,B F=LCE=B E,FB=FE,BFLEC,2 2：.ZBC E=90Q+45=135,NFBE=

22、45,/.ZABF=135,NABF=NECD,.D C 二 加 二BE C EABFsAECD,：.ZCED=ZFBG,如图，作 FG_LAE 于 G,则 FG=BG=GE,FG=1,AG 3tanZM G=-=A,AG 3lanZCED=,故正确；3V tan ZM G=A,31-312-B-A1BMS/,FBMSFCM 2是 CE的中点,SAFBC-S&FBE，*S四 边 形BEFM=2SACMF，故正确；.BM 1M C 2.设 BM=2x,MC=4x,BC=6x,：.CN=BN=3x,：.MN=x,；.CN：MN：BM=3：1：2,故正确;故答案为：.【点评】本题是四边形综合题，考查

23、的是相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，三角形的面积等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.7.(2021 安徽二模)如图(1),四边形ABCD是正方形，点 E 是边AO上的点，将 沿着直线CE折叠，使得点。落在4 c 上，对应点为尸.（1）型=V 2 l_；EF _（2）如 图（2）,点 G 是 BC上的点，将ABG沿着直线AG折叠，使得点B 落在AC上,对应点为H,连接FG,E H,则:正方形=_ 4+3 a _.S四边形EFG H 2【考点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）.【专题】矩 形 菱 形 正 方 形；推理能力.【分析】（1）由正方形

24、的性质得到NCOA=90,再由翻折的性质得到COE义CFE,NCFE=90,进而证明AFE为等腰直角三角形，设 A F=E F=x,解得正方形的边长为（&+1）x,继而求解；（2）由折叠的性质可得（；）：丝CFEgZVIBG会4 H G,设 A F=E F=H G=H C=x,由（1）可知，AB=（A/2+D x,继而证明四边形EFGH是平行四边形，分别解得S正 方 形ABC。，S四 边 形EFGH的值即可解题.【解答】解：（1）.四边形A8CD是正方形，AC是对角线，/CD4=90,/D 4 c=90,由折叠的的性质得：CDEQ4CFE,/CFE=90,.APE为等腰直角三角形，EF=AF,

25、设 A F=E F=x,则 A E=&x,DE=EF=x,：.CD=AD=AE+DE（&+1）x,.型=（&+l）x=&+l；EF x故答案为：V +i；（2）由折叠的的性质得：ACDEACFE,/ABGAHG,NDCE=/ECF,NGAB=ZGAC,.,NOCA=NC48=45,：.ZDCE=ZGAB=22.5,VAZ?=CD,ZEDC=ZGBA=90,CDE/XAHG CFE,:,EF=HG,9：ZEFA=ZGHC=90,/EAF=NG CH,：./E A F/G C H （44S）,且E4/7和GCH都为等腰直角三角形，:EF=AF=HC=HG,设 EF=AF=H C=H G=x,由（1

26、）可知，A B=（加+1）元，:A C=A B=（2+V2）X,:.F H=A C-2A F=x,?AHGWXCFE,：.ZEFC=ZG H Af:EFHG,:EF=HG,四边形EFGH是平行四边形，S四 边 形EFGH=FHHG=2,S 正 方 步ABCD=（V2+D x2=（&+1）2x2,.s正方形ABCD 一（2+1）2 x 2=4+3圾 S四边形 EFGH 7 2 x2 一 故答案为：生2【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，翻折等知识，解题的关键是根据折叠的性质得到CDE四C/E安 AABG 冬 AHG.8.（2021沈河

27、区一模）如图，在正方形A8C。中，A B=4&,A C与BD交于点O,点P,。分别在线段AO,BC上，且满足8 0=&A P,以尸。为斜边作等腰直角三角形PQM,使 点 M 与 8 位 于 P Q 的两侧，当 点 P 从 点 4 运动到点。时，点 M 的运动路径长是2 7 2 _.【考点】正方形的性质；等腰直角三角形.【专题】矩 形 菱 形 正 方 形；推理能力.【分析】根据正方形的性质可得AB、AC的长，根 据“点 P、。分别在线段A。、8 c 上”可分三种情况进行讨论：当P i在 A 点时，A P=O,当尸2在 0 点时，AP3=4=AO,当P2在A 0中点时，AP2=2,当M 2点在P3

28、M3中点处，且 尸 2M20=90,连接P30，根据相似三角形的判定与性质及勾股定理可得问题的答案.【解答】解：在正方形ABC。中，48=4加,:.A B=B C=4 近,，C=VAB2+BC2=7(472)2+(4A/2 )2=8,当P i在 A 点时，AP=0,，B Q=&A P=0,，Q 点在 8 点处，此时，/84O=/A 8O=45,ZAOB=90 ,即 M i点在O 点处；当尸3在 O 点时，AP3=4=A。，:.BQ=AP=AM，点在 C 点处，此时，/AC=/CP3M3=45,/P 3M3c=90,即 论 点在。C 的中点处；当P2在 A。中点时，AP2=2,.B Q=&A P

29、=2&，Q 2 点在8c中点处，M 2 点在P 3 M 3 中点处，证明如下:当 点 在 p 3 M 3 中点处，且尸2 M 2 Q 2 =9 0 ,连接2 3。2,.尸 3、Q 为中点，0 Q1 LBC,：.四边形0。2。3 M 3 是正方形，：。2=L B=2&=。仞3,2 例 2=的=&，/0。2%=向昌=7 公耳砺宠 行，过点P 2 作尸2 G _ LBC,此时P 2 为 A。的中点，且尸2 G AB,即在 ABC 中,C P2 P 2 GAC-=AB,：CP2=AC-AP2=6,即 立 耳8 472:.P2 G=3 近,同理可得，CG=3&,G Q 2=近,放0=加 网 2+*22r

30、（3 点产+（病2=技,；2 2.2=恒何瓦=板,故 M 2 点在0 M 3 是中点处，即 M 点在0 此 上运动，0M3=4C=2&.2【点评】此题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识,考虑问题要全面，通过分析情况讨论所有发问进行分析得到最终结论.9.（2 0 2 0 岳麓区校级二模）如图，已知正方形4 B C C 的边长为4,E为 C 上一点，且。E=1,F 为 B C 边上一动点,过点 E作 EGL A F于点P,交直线A B 于点G.则下列结论中：A F=E G；若N 8 A F=N P C F,则 P C=P E；当/。尸产=45 时，B F=1；PC的最

31、小值为2 遥-2.其中正确 的 有 .【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理.【专题】矩 形 菱 形 正 方 形；运算能力.【分析】连接4 E,过 E 作于则E=8 C,根据全等三角形的判定和性质定理即可得到A F=E G,故正确；根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质即可得至|JPE=PC；故正确；连接E F,推出点E、P、F、C 四点共圆，根据圆周角定理得到NFEC=NFPC=45 ,于是得到B F=D E=1,同理当斤运动到C 点右侧时，此时NFPC=45,且 E尸 C尸四点共圆，E C=F C=3,故此时B尸=BC+C户=4+3=7.因 此 8

32、5=1或 7,故错误；取 A E 的中点0,连接尸。，C 0,根据直角三角形的性质得到A 0=P0推出点P 在以0 为圆心，AE为直径的圆上，当 0 C 最小时，C P的值最小，根2据三角形的三边关系得到P O O C-O P,根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：如图所示：连接A E,过 E 作 EH_LAB于 H,则 EH=BC,：AB=BC,：.EH=AB,：EGAF,：.Z B A F+Z A G P Z B A F+Z A F B 9 0a,：,/EGH=/AFB,；NB=NEHG=90,:AHEG义AABF CAAS),：.AF=EG,故正确；,:ABCD,：./AGE=/CEG,

33、V ZBAF+ZAGP=90,ZPCF+ZPCE=90Q,:NBAF=NPCF,：./AGE=/PCE,：./PEC=NPCE,:PE=PC,故正确；连接ER：/EPF=NFCE=94,点E、P、F、。四点共圆，；NFEC=NFPC=45,:.EC=FC,BF=DE=1,同理当尸运动到。点右侧时，此时NFPC=45,且E、尸、C、尸四点共圆，EC=FC=3,故 止 匕 时BF=8C+C尸=4+3=7.因此;8尸=1或7,故错误；取A E的中点0,连接P0,CO,:.AO=PO=1AE,2V ZAPE=90,.点P在以。为圆心，AE为直径的圆上，.当0 C最小时，C P的值最小，:PCN0C-0

34、P,：.PC 的最小值=o c -OP=OC-IAE,2十+尹二唔在 RtZAZ）E 中，A E=4、+2=7 7 7,：.P C 的 最 小 值 为 运-叵，故错误.2 2故答案为：.【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题.10.（2020青羊区模拟）如图，在DABCD 中，对角线 ACL8C,N84C=30,BC=243,在 AB边的下方作射线A G,使得/BAG=30,E 为线段。C 上一个动点，在射线AG上取一点尸，连接B P,使得NE8P=60,连接E P交 AC于

35、点F,在点E 的运动过程中，当 NBPE=60 时，贝 尸=_三 _.【考点】平行四边形的性质；勾股定理.【专题】多边形与平行四边形；解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】如图，连接PC 交 A 8于 T,作 PNJ_AB于 N,CM_LPC交 PE 的延长线于例.首先证明/A PC=90,解直角三角形求出AC,P A,利用相似三角形的性质求出C M,由C M/P A,推出3 2=空=5,由此即可解决问题.F C C M 3【解答】解：如图，连接尸C 交 AB于 T,作 PN_LA8于 M CMJ_PC交 P E 的延长线于M.：ACBC,/.ZACB=90,:B C=2M，Z BAC=3

36、0 ,.A8=2 BC=4愿，AC=V 3 BC=6,Z A B C=60 ,：NEPB=NEBP=60 ,.E P B是等边三角形，：.ZPEB=6O,：四边形AB C D是平行四边形，C.AB/CD,.Z BC =1 80 -/A B C=1 2 0 ,:.NEPB+NBCE=1 8 0 ,：.P,B,C,E四点共圆，:.NPCB=NPEB=6Q ,NMPC=NEBC,:NTCB=NCBT=60.7C B是等边三角形，/.Z BC T=60 ,Z AC r=3 0 ,BT=BC=AT=2 jj,：ZBAG=ZBAC=3 0 ,A Z AP C=9 0 ,，B4=AT c o s 3 0 =

37、3,A N=fiV co s 3 0 =M 1.,/W=A 4=旦，PC=MPA=3M，_ 2 2 2:.BN=A B-AN=M 2:N P B E=N C B T=60 ,NPBN=NCBE=ZCPM,:NPCM=NPNB=90，:.丛 PCMs 丛 BNP,CM=PC,市 BN.C M _ 3A/3 1 T 5V3)2-2.CM=9,5：PA PC,CM1,PC,：.CM/PA,.AF=PA=J_=5FC CM 1 T5.AF=&C=.8 4故答案为 互.4【点评】本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，

38、构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.考点卡片1.两点间的距离公式两点间的距离公式：设有两点A （x i，y i）,8（x 2，”），则这两点间的距离为AB=J（X-X 2）2+（y _了2）2 .说明：求直角坐标系内任意两点间的距离可直接套用此公式.2.全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形.3.等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）等腰三角形的

39、性质等腰三角形的两腰相等等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】（3）在等腰；底边上的高；底边上的中线；顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论.4.直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形.该定理可以用来判定直角三角形.5.勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于

40、斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+川=。2.（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.（3）勾股定理公式J+/）2=c 2 的变形有：a=d 2-6 2,6=式 二 及 C=石 可 商.（4）由于所以c a,同 理c b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.6 .等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形.（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即：两个锐角都是4 5 ,斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的

41、半径R,而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为4 5 ,高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=l,则外接圆的半径R=y%+1,所 以 r：R=：V 2+1.7 .平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2）平行四边形的性质：边：平行四边形的对边相等.角：平行四边形的对角相等.对角线：平行四边形的对角线互相平分.（3）平行线间的距离处处相等.（4）平行四边形的面积：平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.同 底（等底）同 高（等高）的平行四边形面积相等.8 .矩形

42、的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点.（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.9.正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有

43、四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴.10.四边形综合题四边形综合题.11.翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换.2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系.首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件.解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择

44、适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数.12.胡不归问题著名的几何最值问题13.坐标与图形变化-旋转(1)关于原点对称的点的坐标P(x,y)=尸(-X,-y)(2)旋转图形的坐标图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：3 0 ,4 5 ,6 0 ,9 0 ,1 8 0 .1 4.锐角三角函数的定义在 R t Z A B C 中，/C=9 0 .(1)正弦：我们把锐角A的对边。与斜边c的比叫做/A的正弦，记作s i n A.即 s i n A =ZA的对边除以斜边=包.c(2)余弦：锐角A的邻边与斜边c 的比叫做NA的余弦，记作c o s 4.即cosAZ A的邻边除以斜边=上.C(3)正切：锐角A的对边。与邻边6的比叫做NA的正切，记作t a n A.即lanA Z A的对边除以/A的邻边=包.b(4)三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做/A的锐角三角函数.