2021-2022学年湖南省株洲市高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

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1、2021-2022学年湖南省株洲市高一下学期期末数学试题一、单选题1 .已知集合=T0，2,8 =X|XY1,贝|j/n8=（）A TO B 0,1 c-U D 0,1,2 A【分析】先计算集合8里的不等式，将8所代表的区间计算出来，再根据交集的定义计算即可.详解不等式x 2 ,即-1 4 x 4 1 ,2 =,4 =-1,0,1,2,5 =x|-l x 0”是“。60”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件A【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.【详解】：“。，0，可推出“0 6 0，0，不能推出，”0,6 0，例如 =-2,6 =-3时，ab

2、 0,.“a 0 ,b 0 是“0 ”的充分不必要条件.故选：A3,设加 e（/），若a =l g？，b=lgm2,c =（l gm）：则（）A.a b c B.b c a Q c a b p c b aC【分析】利用对数函数的性质即得.【详解】:（o），.a =l gm 0,b=gm2=2gm 0：.c a b故选：C.4.在 B C中，。为 C的中点，E为8c上靠近。点的三等分点，则 洗=（）衣11-水2-3B.一心7-6+在2-3A.1 7 1 1 AB+-AC -A B+-A CC.6 6 D.3 6D【分析】利用向量加减法的三角形法则，转 化 为 刀 和%即 可.【详解】DE=DA+

3、AB+BE=-AC+AB+-JC =-AC+A B+-（A C-A B=-A B+-A C23 2 3、1 3 6.故选：D.1 3 I =15.若x 。，y ,且*y,则以+y 的最小值为（）A.6 B.12 C.14 D.16B【分析】根据基本不等式“1”的用法求解即可.1 3 I =1【详解】解：因为x ,夕,且x歹，3x+y=（3x+y P +m=6+把 26+2,代=12所以 刃 x y y当且仅当V=3x=6 时等号成立，所以，3+夕的最小值为12.故选：B6.某班有位同学，统计一次数学测验的平均分与方差.在第一次计算时漏过了一位同学的成绩，算得-1 位同学的平均分和方差分别为X、

4、S；,所以只好再算第二次，算得位同学的平均分和方差分别为需、S；,若己知该漏过了的同学的得分恰好为1,则（）C【分析】依据平均数和方差的定义分别计算出、s；、E、s;再进行大小比较即可.【详解】设这个班位同学的成绩分别是4,%,，”3，久,第一次漏过了第，.位同学的成绩，第一次计算时总分是（T）国 ,s：方差是xij+一石+一 司 j +一司)第二次计算时,_(n-l)x,+x,-兀 2 “1n方差+屋f j+GfJ+_“J卜 卓 父2 2故 M s2,故选：C.7.饕 餐（taotie）纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期，最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人

5、将饕餐纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1,有一点户从A点出发每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后恰好是沿着饕餐纹的路线到达点8的概率为（）B【分析】本题首先可根据题意列出3次跳动的所有基本事件，然后找出沿着饕餐纹的路线到达点8的事件，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.【详解】点尸从A点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，3次跳动的所有基本事件有：（右，右，右）、（右，右，下）、（右，下，右）、（下，右，右）、（右，下，下）、（下，右，下）、（下，下，右）、（下，下，下），沿着饕餐纹的路线到达点B的事件有：（下，下，右），

6、P=-故到达点B的概率 8,故选：B.8.在棱长为1的正方体4 8 c A中，点屈，N分别是棱5C,CG的中点，动点P在正方形8彳（包括边界）内 运 动.若 平面AMN,则P 4的最小值是正 35/2 V1A.1 B.4 C.4 D.2C【分析】取8 的中点E,8 4的中点f，连结4E,4尸，E F,取E尸中点,连结 推 导 出 平 面/M N/平面4所，从而点尸的轨迹是线段E F,由此能求出的长度范围，即可求出其最小值.【详解】解：取4G的中点E,8 4的中点尸，连结4 ,4/，EF,取E尸中点,；点 ，N分别是棱长为2的正方体 8 8-4 4 G 2中棱8C,CG的中点,:AM IIAE,

7、MNHEF,AMcMN=M,%EcEF=E平面NMN/平面4 尸,V动点P在正方形BCGBI（包括边界）内运动，且/面AMN,二点P的轨迹是线段口，AtE=AtF=-2-,EF=2 ,A C)工 EFFP,4 0 二.当p与。重合时，尸4的长度取最小值，为1AtE2-EF25 1 3 72 -4 8 4A E=A F=亚当尸与父或尸）重合时，0 儿的长度取最大值，为 2故选：c.二、多选题9.已知i 为虚数单位，复数z 满足z（2-i）f,则下列说法正确的是（在A.复数z 的 模 为 52 1 .-1-1B.复数z 的共扰复数为 5 5C.复数z 的虚部为一9D.复数z 在复平面内对应的点在第

8、三象限A B D=_2_ L【分析】化简出复数二=一三一9，即可判断出答案./.2 7 0 1 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _z =j=-2-i=上=二|=居 +（%=更【详解】2-i （2-i）（2 +i）5 5 5,1 也）（5）5正确，2 1 .-1 1复数z 的共蒯复数为 5 5 ,故 B正确；复数z 的 虚 部 为 5,故 c 错；复数z 在复平面内对应的点为I 5 5 人 在第三象限，故 D正确.故选：A B D.1 0.已知万，5是单位向量，且&+5 =（L T）,则（）A.B.。与*垂直7 TC.万与之一B的夹角为4 D.m一加=1B C，故 A【分析】单位向量为模长为

9、1 的向量，结合坐标法求模长及G+b）b 可判断 A,B选项:由|”司=而 F可判断口,再根据数量积求夹角判断C.【详解】解：因为&+B=（I，T）,所以 卜#+(7)2=应,片=同 2=,P=p|2=l（a+h=a2+h2+2a h=2 所以也肛 所 以 万 力，故 B 正确，A 错误；a-b=J 伍 一 斤=y/a2-2a-b+b2=V F+P-=6_ r a-（a-b）1 y/2一 、一 cos =-=因为展（a-b）=,2 一 万”=i,所以 团 地”|历 2,71所以G与a-彼的夹角为7,故 C 正确，D 错误.故选：BC11.下面叙述正确的是（）A.垂直于同一直线的两条直线相互平行

10、；B.正三角形的平面直观图一定不是等腰三角形C.圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与圆柱的体积之比为2：3.D.若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直BCD【分析】举出反例即可判断A；根据斜二测画法即可判断B；分别求出圆柱和球的体积，即可判断C；根据面面垂直的性质即可判断D.【详解】解：正方体同一顶点的三条棱两两垂直，则垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故 A 错误；正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成4 5 ,不为等腰三角形，选 项B正确;圆柱的底面直径和高都等于球的直径2 R,则 球 的 体 积 为 了 与 圆 柱 的 体 积 为 21川f球与

11、圆柱的体积之比为2 3,选项C 正确；若两个平面a,4 垂直，假设平面。内与它们的交线/不垂直的直线4 与平面尸垂直，因为乙1夕,且 平 面 尸 的 交 线，u，所以可得4,/,这与条件/与4不垂直相互矛盾，所以假设不成立，原命题成立，故 D 正确.故选：BCD.1 2.下列表述正确的有（）A.在平行四边形ABC。中，AB+AD=AC,B.在中，若 万 祝 0,则A/B C 是钝角三角形.B=-B CC.在“8 C 中，4,BC边上的高等于3,贝 ijcosZ叵lo-D.函数N=si/x +cos2x,(x e R)的最小正周期为兀ABC【分析】A 选项，利用向量加法的平行四边形法则可得；B

12、选项，利用向量的数量积AB=-c AC=c的运算法则得到cos”0,A 为钝角；C 选项，求出：3,3,利用c o s/回 y=lcos4x+Z余弦定理得到 10;D 选项，利用半角公式化简得到 8 8,从而求出最小正周期.【详解】由向量加法的平行四边形法则可知：AB+AD=AC,A 正确;在A/8 C 中，A8 C 0,即网|即，0,所以COS/）倍（纵坐标不变），得到函数，=/（、）的图象，若 函 数 在 区 间（”）上有且仅有一个零点，则0的取值范围为【分析】先根据图象的变换原则得到/G）的解析式为f(x)=s i n 妙 +一再由在区间（0，万）上有且仅有一个零点,_ 7T TC 7T

13、/-16 9-0 +=乃+(),2万根据 3 3 可判断 3 ，即可求解.y=s in x 4【详解】解：将函数y =s in x 的图象向左平移3 个单位长度，可得 I 3 J 的图象；0）再将图象上每个点的横坐标变为原来的。倍（纵坐标不变），得到函数y =/（x）=s in（3x +g I 3J 的图象，若函数y=/(x)在区间)上有且仅有一个零点,所以 3 ，即2 53 32 53 3四、双空题1 6.已知一个球与一个正三棱柱8C-44G 的三个侧面和两个底面都相切，且这个32-7T球的体积为3,那 么 这 个 三 棱 柱 的 侧 面 积 为,二面角/-4G-4的正弦值为.4 8 V 3

14、 1 3 1 3【分析】由球的体积可求出球的半径，即可得出正三棱柱的高与底面正三角形的边长,即可求出三棱柱的侧面积与二面角4 G -4的正弦值.4 3 32 itr=7 1【详解】设球的半径为r,则 3 3，解得,.=2,所以正三棱柱的高为2,-=4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，=r t a n 6 0设底面正三角形的边长为，则 2,解得二所以正三棱柱的侧面积S1 M=3 X 4 X 46=4 8 ,Bi取用G 中点为0,连接4 0.因为4G，4。、用。，44、4。八44=4、4。(平面4 4 1。、平面“4。所以g平面4 4 Q,Qu平面”4。所以8 c o所 以 二

15、面 角-4的平面角为乙以5%.在 RTAADG 中.4。=4 6 s in 6 0。=6在 RT-4。中：A D =7 42+62=2/1 3AA 4 2y/l3所以二面角-8-4的正弦值为“0 2V 1 3 1 32折故4 8 6；TT.五、解答题1 7.已知在某次招考测试中，甲、乙两人各自能否通过测试相互独立，且甲、乙能够通3 2过 测 试 的 概 率 分 别 为 求：（1）恰 有 1 人通过测试的概率；（2）至少有1 人通过测试的概率.5（1）1 21 1 1 2【分析】（1）设事件/=甲通过测试“，事件8 =乙通过测试”，利用互斥事件和相互独立事件的概率公式即可求解.（2）利用对立事件

16、及相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】设事件加=恰有1 人通过测试“，则 屈=通+油，由于事件4月，48均相互独立，P（A/）=P（J S +J S）=P（J S）+P（）=-x-+-x-=因此4 3 4 3 1 2（2）设事件N =，至少有1 人通过测试，则事件N的对立事件为：2 人都没有通过测试,P（W）=l-PpS）=l-X-=因此 v 7 4 3 1 2.1 8.在“8 C 中，角 4 8,C 所对的边分别为。，b,ct?=（s in/,s in 8-s in C）,二（a-b,b +c）,且加 j_ .（1）求角C的值；1 +V3(2)若A/8 C 为锐角三角形，且c=l7T 求

17、2 的取值范围.fl-V 32,1【分析】(1)利用三工方等价于而工=，化简后利用余弦定理即可求出角C 的值;1 +百&5(2)利用正弦定理用角A 表示出F-,根据角A 的取值范围，即可求出1 +&卜F T0一的取值范围.【详解】(D因为机=(sin4sin8-sinC),n=(a-h,b+c ；且三1.所以 sin 力(Q b)+(sin B-sin C)(b+c)=0利用正弦定理化简得：a(a-b)+S-c)S+c)=即L+/-c?=ab,a1+62-c2 1cos C=-=由余弦定理可得 2ab 2,又因为C e(0，万)，所 以 一 弓；A+B=B=-A 由 得 3,即 3,八 2乃，

18、乃0 -A,3 20 A J 又因为三角形/8 C 为锐角三角形，所 以 I 2 解得：6 2,a _ b _ c _ 1 _ 2sin 力 sin 5 sinC sin 四 百因为c=l,由正弦定理得：彳2 2a=7=rsin A b=B所以 6,所以+a b=l+x-s in 4-s in 3 =H.a sin 4-sin(M+l =sin4-cos4=5/sin(A-2 2 百 百 百 G (3 J I 471.71 71 71.71 7t A -A-一因为6 2,所 以 6 4 4 4,-41 sin(4-)1,+-a-b所 以 2 4 则2 的取值范围为1 9.如图，在四棱锥一 CD

19、中，底面4 8 8 是矩形，P D,平 面4BCD,AD=PD=2,/B =5,点。是 p c 的中点.p求证：P4/平面BDQ.（2）在线段48上是否存在点R 使直线尸产与平面尸/。所成的角为6 0?若存在，求出NF的长，若不存在，请说明理由？证明见解析（2）存 在;A F =2在【分析】（1）在平面8 0。内找到一条直线与直线4 平行即可：（2）根据直线与平面夹角的定义，找到这个夹角，运用三角函数即可求解.【详解】（1）连接/C,设 NC交 8。于 O,连接O。，因为底面Z 8 C O 是矩形，则。是 AC中点，又点。是尸C的中点，故。是三角形C/M 的中位线，则0/尸/，又尸4N平面8

20、D 0,0 u平面5。,故4 平面.（2）因为尸。，平面N B C。，48U平面则又底面N 8 C Z）是矩形，则又 PD,。/3 _ o/r c则 AP,故 的=2 j6 5，故当 尸=2 指 时，在线段48上是存在点F,使 直 线 小 与 平 面 所 成 的 角 为 6 0 综上，存在尸点，使直线尸尸与平面尸4。所成的角为6 0。，A F =2娓.2 0.如图，三棱锥 P-C 中，P Z J 平面C,尸 4 =1,AB=,8 c=6,Z5C=60(1)求 三 棱 锥 的 体 积；M C 一 台(2)点 M在线段PC上，且 满 足 产 川，求证：B M L A C立6(2)证明见解析【分析】

21、(1)三 棱 锥 的 体 积 为 三 棱 锥 P-48C的体积，先求得A48C的面积,再结合尸/，平面/8 C,即以 为底面4 8 C 的高，根据三棱锥的体积公式即可求解；(2)过 点 作 N P/交工。于N,连接8 N,B M,由尸/J 平面/8C易得M C 一3即 WZ C,再结合尸川 与平行关系可求得/N,利用勾股定理证得4 C工BN,进而求证.【详解】因为/8 =1,8 c =6,=6 0。，BC AB.1-=-sin C=所以在A/8 C 中，由sin/sinC 可得 2 ,又 A B B C,所以 C 0,下面研究关于f 的方程(“-2)2+2 1-1 =何时仅有一个正根t_ 当。=2 时，一 a，符合题意；当 2时，则A n,S +ZXa-l),aa 1当a=时，h=J=?-a-=l 0符号人合，当Q=_2 时，t.=t7=2-a-=2 0(舍)-1 0当”-2 2 时，0,方程有异号的两个实根，符合题意；综上所述，实数”的 取 值 范 围 为 或 a=l.