2022年河南省许昌市、济源市、平顶山市高考数学第三次质检试卷（理科）（附答案详解）.pdf

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1、2022年河南省许昌市、济源市、平顶山市高考数学第三次质检试卷(理科)一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合4=x|/W 2,Z为整数集，则集合4 n z子集的个数是()A.3 B.6 C.7 D.82.已知点4(2,-1),8(1,2),。(0,0),复数21，22在复平面内对应的向量分别是雨,而，则复数ZZ2=()A.3i B.3+4i C.4+3i D.4-3i3.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为177.5c m,抽出的女运动员平均身高为168.4c m,估计该田径队运动员的平均身高

2、是()A.172.9 5c m B.173.6c m C.172.3c m D.176c m4.在 A BC中，“南.尼 0”是“A BC是钝角三角形”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.若实数a,b,c满足a =/。吗4,川=7,Inc=则()A.a b c B.b c a C.a c b D.b a 0,0 0 0）的左、右焦点记为小 F2,直线/过户2且与该双曲线的一条渐近线平行，记I与双曲线的交点为P,若 所 得 的 内 切 圆 半 径 恰 为 去则此双曲线的离心率为（）A.2 B.1 C.V 3 D.每3 212.已知正四棱柱A BC

3、D-a/i Ci Di，AB=2,A&=a，点M为CC1点的中点，点P为上 底 面 上 的 动 点，下列四个结论中正确的个数为（）当a =遍且点P位于上底面的中心时，四棱柱P -4 B C D外接球的表面积为等;当a =2时，存在点P满足P 4 +P M=4；当a =2时，存在唯一的点P满足4 A p M=9 0。：当a =2时，满足B P 1 4 M的点P的轨迹长度为应.A.1 B.2 C.3 D.4二、填 空 题（本大题共4小题，共20.0分）y x13 .若变量x,y满足约束条件x+y 114 .已知（丁+专产的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为%则展开式中 二 项 式 系

4、数 最 大 的 项 的 系 数 为.15.神舟十三号三位航天英雄在太空出差18 0余天后，顺利返回地面.如图，返回舱达到一定高度时，近似垂直落地，在下落过程中的某时刻处于点C,预计垂直落在地面点。处，在地面同一水平线上的4 B两个观测点，分别观测到点C的仰角为15。,4 5。,若|4 8|=2 4千米，则点C距离地面的高度|C D|约为 千米（参考数据:百。1.7）.第2页，共20页16.已知函数/(x)=minx 2炉 4 e-2 0),若f(x)在口,+8)上有零点,则实数m的 取 值 范 围 为.三、解 答 题(本大题共7 小题，共 82.0分)17.已知等差数列 即 的前 项和为5,%

5、=-3,S6=1 2,数列&的前n项和为%=2n+1-2.(1)求数列 斯 和%的通项公式；(2)设=an-bn,求数列 7 的前n项和18.在2022年北京冬奥会上，甲、乙、丙三名滑雪运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为p,乙、丙晋级的概率均为q,且三人是否晋级相互独立.(1)若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人中有且仅有一人晋级的概率也相等，求p和q；(2)若p=方记三个人中晋级的人数为X,若X=。时的概率和X=3时的概率相等，求X的数学期望和方差.如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，4 E 为底面直径，4 E =4。，A B C 是底面的内接正三角形，且。=

6、6,P 是线段D O 上一点.(1)若P 4 _ L平面P B C,求P。；(2)当P。为何值时，直线E P 与平面P B C 所成角的正弦值最大？D2 0.已知椭圆C：捺+=l(a b 0)的左、右焦点分别为&,尸 2，离心率为右 长轴长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线I的过定点E,0),若椭圆C 上存在两点4,B 关于直线2 对称，求直线，斜率k 的取值范围.2 1 .已知函数/(%)=a x +?+a/n x(a e R).(1)当a =0时，求y =/(x)的图像在点(1,f(1)处的切线方程;第 4 页，共 20页(2)若对任意的x 0,/(x)2022 2 0恒成立

7、，求实数a 的取值范围.2 2.在平面直角坐标系xOy中，圆q 的 参 数 方 程 为 Z 为参数)，以原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin(e+=3722(1)求圆G 的极坐标方程及曲线C2的直角坐标方程；(2)设 射 线=a(0 a 1的解集；(2)若a 0,/(I)E,5(1)2.答案和解析1 .【答案】D【解析】解：；A =x|%2 w 2 =x|或 W x W 四,Z 为整数集，二 AnZ=-l,O,l ,则集合A n Z 子集的个数是2 3=8.故选：D.求解一元二次不等式化简4,再由交集运算求得4 CZ,再由子集概念得答案.本题考查交集及

8、其运算，考查子集的概念，是基础题.2 .【答案】C【解析】解：点4(2,-1),5(1,2),0(0,0),复数Z i，Z 2 在复平面内对应的向量分别是O A，丽，Z j =2 i,z2=1 +21,Z j z2=(2 -i)(l +2 i)=2 +4i-i +2 =4+3i.故选：C.根据已知条件，先求出Z i，Z 2,再结合复数的运算法则，即可求解.本题主要考查复数的运算法则，属于基础题.3.【答案】B【解析】解：由题意可得，田径队男，女队员的比例为48：36 =4：3,用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7 的样本，男生占4人，女生占3人，抽出的男运动员平均身高为1 7 7.5

9、 c m,抽出的女运动员平均身高为1 6 8.4c m,.估计该田径队运动员的平均身高是1岁“；168丝=1 7 36故选：B.根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数公式，即可求解.本题主要考查分层抽样的定义，以及平均数公式，属于基础题.第6页，共20页4.【答案】A【解析】解：由题意可知若“四 旅 0”则必有角4 为钝角，可 得“4B C 是钝角三角形”，而“A B C 是钝角三角形”不一定角4 为钝角，可能角8 或C 为钝角，故推不出角A 为钝角，故可得“南 就 0”是“A B C 是钝角三角形”的充分不必要条件，故选A由 荏 就 0”可 得“4B C 是钝角三角形”，而“A B C

10、 是钝角三角形”推不出角4为钝角，由充要条件的定义可得答案.本题考查充要条件的判断，涉及三角形形状的判断和向量的数量积问题，属基础题.5 .【答案】A【解析】解：根据题意，设/(x)=，n x-：,易得函数f(%)在(0,+8)为增函数，又由Inc =|,则/(X)的零点就是c,而/(2)=2-2 2,又由a =1。g4,则a 0,3而力 3 =7,即13 Vb3 23 =8,则l 2,由a =，o 曳4 和=7,分析a、b 的取值范围，即可得答案.3本题考查零点的判断，涉及对数的大小比较，属于中档题.6 .【答案】B【解析】解：根据题意，二次函数/0)=。/+2%+式6/?)的值域为 0,+

11、8),必 有?n 变形可得a =0，=4 -4ac=0 c则工+=a +2 2 a x =4,当且仅当a =2时等号成立，c a a y j a则工+士的最小值为4；c a故选：B.根据题意，由二次函数的性质可得：_ 4 a c =0 变形可得如 c 的关系，结合基本不等式的性质分析可得答案.本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及二次函数的性质，属于基础题.7.【答案】A【解析】解:抛物线*=16%的准线方程为x =H-7(A-4,设%),B(x2,y2),/过点4 作准线的垂线4H,由抛物线的定义可知，/AF=AH=12,/二X i +4 =12,%i =8,y 1=1 6 x 8,不妨%=

12、/设直线4 8 的方程为=m y +2,由 (x=m y+2 y2=1 6%，X.得y 2 16 m y -3 2=0,为 均=-3 2,y2=-2V 2,四边形0 4 F B的面积S=i|OF|-|y1-y2|=i x 4 x IOA/2=20V L故选：A.求出抛物线的准线方程为 =-4,设4(%,力)，B(x2,y2),过点4 作准线的垂线力”，由抛物线的定义可知，|A F|=AH=12,求出A 的坐标，设直线力B 的方程为x =m y +2,由厂=7 1+2,求解B的坐标，然后求解四边形O 4 F B的面积.本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查数形结合以及转化思

13、想的应用，是中档题.8.【答案】C第8页，共20页【解析】解:函数f(x)=2sin(a)x+(p)(a)0,0 zr),将f(%)图像上所有点向右平移卷个单位长度得到函数g(x)=2s讥3%3)的图像,若g(%)是奇函数，则一*+0=桁1,k E Z,，(p=*/Q)=2s讥(3%+勺在(0)上单调递增，则 等+三 工 三 3工2,O O 0 0 4则3的最大值为2,故选：C.由题意，利用函数y=4s讥(3X+9)的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得3的最大值.本题主要考查函数旷=45出(3%+9)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题.9.【答案】A【解析】解：设线段MN中点D

14、,圆C：M+y2-2x-4y=0的圆心为(1,2),半径为遥，C到直线MN的距离为=1.所以CD=1,故C的轨迹是以C为圆以，1为半径的圆，设。的轨迹为圆D,圆。上的点到直线2：x-y+3=0的最短距离为t=比 滑-1 =V2-1.所以|丽 +丽|=2|PD|=2V2-2.故选：A.先求得线段MN中点。的轨迹，结合向量的横，圆与直线的位置关系可得|丽+丽|的最小值.本题考查点的轨迹，考查圆上的点到线的最小距离问题，属中档题.10.【答案】B【解析】解：令/(x)=e*T-e1r 一=0,得ex-i-eir=-,x-1 x-1g(%)=图象关于(1,0)对称，在X1(一 8,1),(1,+8)上

15、递减./i(x)=eT r,令H(x)=h(x+1)=ex-ex,/(%)=ex ex=HQ)所以H。)是奇函数，图象关于原点对称，所以h(%)图象关于(1,0)对称，ft(l)=0,九(%)=e*T-卷在R上递增，所以九(%)与9(%)有两个交点，两个交点关于(L0)对称，所以函数f (乃=eT -e】r -看的的所有零点之和为2.故选：B.结合函数的对称性求得正确答案.本题考查了函数的零点、中档题.11.【答案】A【解析】解：由题意可知 Fi(c,0),F2(C,0),设双曲线一条渐近线方程y=gx,则直线PF2的方程y=沁 _c),联立方程组转化思想、数形结合思想，作出图象是解答本题的关

16、键，属于y./。/Fz xy=沁 一。)/“川，/(我一声一 1/消去y可得2cx=a2+c2.解得x=乎，2c-b3，y =2ac,.点p的 坐 标 为 庠 者,设|P&|=m,PF2=n,由三角形的面积可得三x-x (m+n+2c)=2 3A0 2C cx 五b3，第 10页，共 20页化简可得m +n=-2 c,又m n=2 a,，由解得n=差a c）设直线P F 2 的倾斜角为。，过点P 作轴，垂足为4则t t mO =3，sind=p庐整理可得2 a 2 +a c-c2 =0,即 e?e 2 =0 解得e =2,e =-l（舍去）.故选：A.先求出直线P F 2 的方程y=：（x-c

17、）,与双曲线方程联立，求出点P 的坐标，根据三角形的面积和双曲线的定义表示出I P F 2 I，根据解三角形整理可得2 a 2 +a c-c2 =0,解得即可.本题考查了双曲线的方程，双曲线的性质，渐近线方程，离心率，解三角形，三角形的面积，属于中档题.12.【答案】C【解析】解：对于，如图，在4 B C D 中找到面的中心点”，。为球心，。在P H 线段上，因为四边形4 B C D 为正方形，所以8 H =&，且P H =a =g，则设外接球半径为R,则O P =O B=R,则在R t A B O H 中,可得/?2 一（次一 R）2=2,解得R 2 =所以四棱柱尸-4 BC D 外接球的表

18、面积为4 兀/?2 =等，正确;由于4=2,如图，建系可得，4(0,0,2),M(2,2,l),B(2,0,2),P为上底面41B1G5上的动点，可设P(m,n,0)且0 W mW 2,0 n 2,对于，因为0W m W 2,0 n 2,AP=(m,n,-2).MP=(m-2,n-2,-1).PA+PM=AP+MP,且(|而|+|而|)2=|存产+|M P|2+2XP-|MP|=m2+n2+4+(m-2)2+(n-2)2+1+m(m-2)+n(n 2)+2=3(m l)2+3(n I)2+9,因为 0 m 2,0 n|4P|+|MP|3.得P4+PM 3,V15.所以，必有存在点P满足PA+P

19、M =4是错误的，所以，错误；对于，则 存=(m,n,-2)MP=(m-2,TI 2,-1),因 为 万 MP=m2-2m+n2-2n+2=(m l)2+(n 1)2,明显可见，m-1,n=1时，AP 1 MP,此时乙4PM=90,所以当a=2时，存在唯一的点P满足，APM=9 0 ,正确；对于，BP=(m-2,n,-2).AM=(2,2,-1),若BP 1 A M,则有BP-AM=2 m-4 +2n+2=2m+2 n-2 =0 化简得 nt+n=1,又因为OWn 4 2,所以点P的轨迹长度为UM+12=企,正确.故正确的有：故选：C.根据外接球的概念，作图计算出外接球半径R,然后求解，可判断

20、；然后建空间直角坐标系，得到4(0,0,2),M(2,2,l),8(2,0,2),P为上底面4 8 停1。1上的动点，可设P(m,n,0),且0 m 2,0 n O(e,+8)上g，Q)v 0,所以g(x)在 l,e)上递增，在(e,+8)上递减,故g(%)4g(e)=?；令九(%)=2x2-4 ex 且 1,则(x)=4 x -4 e 0,故 l,e)上九(%)0,所以无(%)在 l,e)上 递 减,在(e,+8)上递增，故九(%)N/i(e)=-2；要使/(%)在 L +8)上有零点，只需,m 2e2,可得0 m JOC2+OP2=PC,所以三角形PAC是等腰直角三角形，所以P4=PC=6

21、 x 立=3鱼，2所以po=J(3V 2)2-(2V3)2=V6-(2)由(1)得AE 1 B C,设AEnBC=F,CF=BF=3,0 F=l(2V3)2-32=V3-设P(0,0,t),0 t 6,贝 廊=(0,-2V 3,t),Pfi=(3,V3,-t),fiC=(-6,0,0)，设平面PBC的法向量为五=(%,y,z),则 伊.西=3x+岛-tz=。，故可设记=国In-FC=-6 x =0设直线EP与平面PBC所成角为。,第16页，共20页.八 .n-EP,y/3t y/3则 sn。=I js iW i1=乃+/百 2+产=小 二*15,由于 2+1 5 2 2 M+1 5 =2 7,

22、当且仅当t2=秒,t=n 时等号成立,t2 t2 一所以s仇e E =3yj27 3即当P。=n 时，直线EP与平面PBC所成角的正弦值最大.【解析】(1)通过勾股定理列方程，化简求得P0.(2)建立空间直角坐标系，利用利用向量法求得直线EP与平面PBC所成角的正弦值，结合基本不等式求得。=通 时，此正弦值最大.本题考查空间角，考查学生的运算能力，属于中档题.=三 (a=22 0.【答案】解：(1)依题意，,0；4，解得力=百，0得，k2m2-3k2 一 4 0，由 +2=得/+x2=k m-kyr+k m-ky2=M(诉,诉)，由点M在直线I上可知，不 学=k(匕誓一三)，则3/+4=4km

23、，由得/2 4,解得一2 k AB中点是M,联立椭圆及直线AB方程后，由4 0得k2m2 一 3/一 4 0，利用韦达定理可得y1+y2=黑，进而得到点M的坐标，进一步可得3/+4=4km，由可得k 的范围.本题考查椭圆标准方程的求法，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.21.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=E，所以f(l)=e,所以(1)=0,所以y=的图像在点(1 处的切线方程为y=e.(2)记t=g(x)=x-I n x,则g(久)=1 一=号，所以当0 v x l 时，g(x)1 时，gr(x)0；所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增

24、，所以g(x)g(l)=1,即t l,+oo).因为对任意的 0,f(x)2022 NO恒成立，即对任意的 0,exln x a(x Inx)2022 0恒成立,即e，-at-2022 0对任意t 1恒成立，即a w 可/对 任 意 t 1恒成立，令降1,则=七,令m(t)=te e*+2022,t 1,则m(t)=tec 0,所以m(t)在口,+8)上单调递增，所以m(t)zn(l)=2022 0,所以(t)0,所以h(t)在1,+8)上单调递增，所以 h(t)2/i(l)=e-2 0 2 2,所以a W e-2022,即实数a 的取值范围为(-8,e-2022,【解析】(1)首先求出函数解

25、析式，即可得出/(I),再求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，进而得出切线的方程；(2)记t=g(x)=x-)x,利用导数判断其单调性，即可得出g(x)1,即t 6 1,+co),于是将已知问题转化为e，-at-2022 0对任意t 1恒成立，即a W 子 空 对 任 意 t 2 1恒成立，构 造 函 数 九=t Nl,利用导数第18页，共20页求出其最小值，即可求出参数a 的取值范围.本题考查利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题.2 2 .【答案】解：(1)圆G的普通方程为(x-2)2+y 2 =%所以圆G的极坐标方程为p =4cos6.由p s

26、 in(。+：)=乎，p(-sind+-cosd)=所以曲线的只直角坐标方程为x +y =3.(2)因为SA O Q M=O G|O M|s in a,1SA O Q N=-OC1ONsina,|SA0G M _ OM-=-SOCN|ON|且|O M|=P i=4c o s a,0N=p2=3sina+cosa所以SACI.M=-cosa(sina+cosa)-V 2 s in(2 a +-)+11,SAO Q N P2 3 3 4当且仅当a =泄，0c l M 与4 OGN面积之比的最大值是|(或 +1).【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2

27、)利用三角形的面积公式和三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果.本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.2 3 .【答案】解：(1)由题，当a =l 时，f(x)-g(x)2-l =|x +l|2 -2 x|N-l,或 俨？仇 或+4 20，1-1 x 1,解得0%/(I)+g(l)=|a2+1|+|2 -|(a2+1)-(2 -)|=a2+1-1|(当且仅当2-|4 0 时，即0 13 3 a 2 x：x：l|=2（当且仅当a?=即寸，即a =1时等号成立）.【解析】（1）对目标不等式分段分类求解即可；（2）利用绝对值三角不等式以及基本不等式即可容易证明.本题考查解不等式，考查学生的运算能力，属于中档题.第20页，共20页