北京市西城区某中学2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷详解.pdf

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1、北京四中2022-2023学年九年级上学期开学数学试卷（含答案解析）一.选择题（每题2分，共1 6分）1.（2分）下列是最简二次根式的是（）2.（2分）下列三边能构成直角三角形的是（A.1,1,2 B.1,2,33.（2分）一次函数y=-2 x+l的图象经过（A.二、三象限C.一、三、四象限c.y D.712)C.I,2,A/2 D.1,1,V2)B.二、三、四象限D.一、二、四象限4.（2分）如图，矩形A B C 3的对角线交于点。，若N A DB=3 0 ,O C=3,则4 c等于（）A.4B.5C.6D.75.（2分）若关于x的一元二次方程7+6x-a=0有实数根，则a的取值范围是（）A

2、.a W-9B.a -9C.a-9D.a 2 96.（2分）为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了 2 0名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如表：编织数量/个23456人数/人36542请根据上表，判断下列说法正确的是（）A.平均数是3.8 B.样本为2 0名学生C.中位数是3 D.众数是67.（2分）已知点A（x i，y i）,B（X2，72）是一次函数ykx+2k（k 0）图象上不同的两点，若 f=（x i -%2）（y i-y 2），则（）A.t08.（2

3、 分）如图，在 RtAABC中，/ABC=90,点。是 AB的中点，延长C。至点E,使得N C A B=/B A E,过点E 作 EF_LAB于点F,G 为 CE的中点，给出结论：C D AB；BG=FG；四边形AEBG是平行四边形；NCAE+NBG尸=180.其中正确的所有选项是（）B匕A.B.C.D.二.填空题（每题2 分，共 16分）9.（2 分）函数丫=正互的自变量x 的 取 值 范 围 是.10.（2 分）比较二次根式的大小：2百 3近.11.（2 分）如图，为ABC 中，NACB=90,。是 48 的中点.若NA=35,则N8OC12.（2 分）若一次函数的图象过点（0,3）,请

4、写 出 一 个 符 合 条 件 的 函 数 解 析 式.13.（2 分）如图，在ABC中，点。，E,尸分别是8C,AC,A 8 的 中 点.若 A8=6,BC=8,则四边形BOEF的周长是.14.（2 分）如图，直线经过点A（2,2）,点、B（6,0）,直线y=x 过点A,则不等式尤丘+6 的解集为.15.（2分）如图，在菱形ABCD中，AB=2,NABC=120,点 是A边的中点，P是AC边上一动点，则PE+PO的最小值是16.（2分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没

5、有并列班级），第一名的班级记“分，第二名的班级记6分，第三名的班级记c分（a b c,小 从c均为正整数）；各班比赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和.该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21,6,9,4,则a+b+c ,a 的值为.三.解答题（17、22、25每 题5分，18、19、23、24每题6分，20、21每题4分，26、27、28每题7分，共68分）17.（5 分）计算：M x V 6|V3-2 I+V48-18.（6分）用适当的方法解方程：（1）？=7 x；（2）?+4x-5=0.19.（6分）已知关于x的方程加）?+（3 m+1）x+3=0.（1）求证：不论，

6、取何值，方程都有实数根；（2）若方程有两个整数根，求整数，的值.20.（4分）下面是小明设计的“作菱形A 8C ZT的尺规作图过程.求作：菱形ABCO.作法：作线段A C；作线段A C的垂直平分线/,交A C于点。；在直线/上取点8,以。为圆心，0 8长为半径画弧，交直线/于点。(点8与点。不重合)；连接 A B、B C、C D、DA.所以四边形A B C D为所求作的菱形.根据小明设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹，用2 8铅笔作图！)(2)完成下面的证明.证明：,：0 A=0C,O B=O D,.四边形A 8 C。是.(填推理的依据).：ACBD,.四边形A

7、 B C。为菱形 (填推理的依据).IBA O C2 1.(4分)直 线A B与x轴交于点A (1,0),与y轴交于点B (0,-2).(1)求直线A 8的解析式；(2)若直线4 8上一点C在第一象限，且以BOC=2,求点C坐标.2 2.(5分)今 年 第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台 风“烟花”中心沿东西方向A3由A向8移动，已知点C为一海港，在A处测得C港在北偏东45 方向上，在8处测得C港在北偏西6 0 方向上，且A B=(40 0+40 0 73)千米，以台风中心为圆心，周围6 0 0千米以内为受影响区域.(1)海 港C受台

8、风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为2 0千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？(结果保留整数，参考数据A/5*1.4 I,A/3 1.7 3,收 弋2.2 4)c23.（6 分）如图，菱形A B C D的对角线AC.B D交于点O,过点B作BE/AC,且 BE=yAC连接EC、ED.（1）求证：四边形BCO是矩形;(2)若 AC=2,NABC=60,求 的长.24.（6 分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务.市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各100名家长进行问卷调查.家长对延时服务的综合评分记为x,将所得数据分为5 组（“很满意：9

9、0WxW100；“满意”:80WxV90；“比较满意”：70WxV80；“不太满意”:60Wx70；“不满意：0W x0时，函数图象经过第一三象限，k 0 时，函数图象与y 轴正半轴相交，b -9 C.a 2-9 D.a29【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到 =62-4X1 X(-)2 0,然后求出不等式的公共部分即可.【解答】解：根据题意得4=6 2-4X1 X(-a)0,解得a 2-9.故选：C.【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程+云+C=0(aWO)的根与=廿-4 ac有如下关系：当A 0 时，方程有两个不相等的实数根；当=()时，方程有两个相等的实数根；当 ”）是一次

10、函数y=kx+2k C k0）图象上不同的两点，若 t=（xi -X2）（yi -J 2），则（）A.t0【分析】由%0,利用一次函数的性质可得出），随x 的增大而增大，结合点A （xi，力），B（切，”）是一次函数ykx+2k图象上不同的两点，可 得 出（xi -X 2）（yi -”）0,即 t0.【解答】解：.味 0,随 x 的增大而增大，又,点 A （xi，）】），B（X 2，2）是一次函数y=f c r+2 k 图象上不同的两点，（xi -%2）（yi -J 2）0,即 r 0.故选：D.【点评】本题考查了一次函数的性质，牢 记“k 0,y 随 x 的增大而增大；k0,y 随 x的增大

11、而减小”是解题的关键.8.（2分）如图，在 R tZ xA B C 中，/A 8 C=9 0 ,点。是 AB的中点，延长CD至点E,使得过点E作 E R L A B 于点尸，G为 CE的中点，给出结论：C D 卷 A B；B G=FG；四边形4 E B G 是平行四边形；/C 4 E+N 8 G F=1 8 0 .其中正确的所有选项是（）【分析】构造全等三角形，应用三角形中位线定理，即可求解.【解答】解：延长E F 交 AC于例，作 GNL4?于 N,BD=XB,D B1AB,2故不符合题意；。：EFNGBC,EG=CG,:.FN=NB,VG7V1AB,:.FG=GB,故符合题意；9：ZEAF

12、=ZMAFf AF=AFf NAFE=NAFM,I.AEFZ/kAM/，:.FE=FM,EG=GC,：.FG/AC,:/GFB=/CAB,：.NGBF=/EAB,：.EA/BG,:/EAD=NDBG,AD=BD,ZADE=ZBDG,：./XAED/XBGD(ASA),:.AE=BG,四边形4 G是平行四边形，故符合题意；V ZBFG4-ZFBG+ZFGB=180,NEAF=NMAF=NBFG=/GBF,A ZEAC+ZFGB=180,故符合题意，故选：D.【点评】本题考查三角形全等，三角形中位线定理，平行四边形的判定，关键是灵活应用这些知识点.二.填 空 题（每 题2分，共16分）9.（2分）

13、函数v=J 7方的自变量x的 取 值 范 围 是x2 3 .【分析】根据被开方数非负列式求解即可.【解答】解：根据题意得，x-3 2 0,解得x2 3.故答案为：x2 3.【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.1 0.（2分）比较二次根式的大小：2 M V【分析】把根号外的因式平方后移入根号内，根据此时被开方数的大小比较即可.【解答】解：，：2弧=寸 吩X 3&=正*2=我,；.2 代 ，E,尸分别是B C,AC,A B的中点，：.

14、D E=BF=1AB=1-X 6=3,2 2,:E、F分别为A C、A 8中点，：.E F=B D=LBC=L X8=4,2 2二四边形B D E F的周长为：2 X (3+4)=1 4,故答案为：1 4.【点评】本题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键.1 4.(2分)如 图，直线y=A x+6经过点A (2,2),点8 (6,0),直线y=x过点A,则不【分析】根据函数图象的上下解不等式.【解答】解：,.+儿二直线y=x在直线y=f c v+匕的下方，即在点A的左边的图象符合要求，：.x2.故答案为：x+NABC=180,V Z A B C=2 0a,：.Z B

15、A D=6 0Q,JABAD,.48。是等边三角形，：AE=DE,：.BEAD,.*.BE=ABsin60=禽，：.PE+PD、a，J.PE+PD的最小值为北，故答案为：Vs-【点评】本题考查菱形的性质，轴对称最短问题，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型.16.（2 分）某校七年级举办的趣味“体育节”共设计了五个比赛项目，每个项目都以班级为单位参赛，且每个班级都需要参加全部项目，规定：每项比赛中，只有排在前三名的班级记成绩（没有并列班级），第一名的班级记。分，第二名的班级记8 分，第三名的班级记c 分Cabc,a、b、c 均为正整数）；各班比

16、赛的总成绩为本班每项比赛的记分之和.该年级共有四个班，若这四个班在本次“体育节”的总成绩分别为21,6,9,4,则a+b+c=8,a 的值为 5.【分析】根据五个比赛项目设定前三名的记分总和=最后参加比赛的所有班级总成绩的和，得出a+6+C的值，再结合a Z c,a、b、c均为正整数的条件，列举出可能的值，再根据各班级的总成绩排除不符合题意的值.【解答】解：设本次“体育节”五个比赛项目的记分总和为?，则?=5 (a+6+c),；四个班在本次“体育节”的总成绩分别为2 1,6,9,4,m=21+6+9+4=40.A 5 (a+b+c)=40,.a+b+c8.：abc,a,b、c均为正整数，.当

17、c=l 时，h=2,则 a=5；当c=l时，b=3,则a=4,此时，第一名的班级五个比赛项目都是第一，总得分为2 0 a=5.【点评】本题考查有理数的运算，从整体上考虑这次“体育节”设定的记分总和=四个班总成绩的和，是解决本题的关键.三.解答题(17、22 25每题5 分，18、19、23、24每题6 分，20、21每题4 分，26、27、28每题7 分，共 68分)1 7.(5 分)计算：炳 xV6-|V3-2|W48-【分析】首先计算二次根式乘法、化简二次根式和去绝对值，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可.【解答】解：M xVe+爬-|V3-2|W48=4 3 X 6+百-2+-

18、42 X 3=3近+3近+M-2+473=6近+5如 -2.【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.在运算中每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看 作“多项式”.1 8.(6分)用适当的方法解方程：(1)，=7 x；(2)，+4x -5=0.【分析】(1)先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；(2)利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可.【解答】

19、解：，：？=7 x,二/-7 x=0,/.X(X-7)=0,贝!|x=0 或 x-7=0解得x i=0,m=7；(2).，/+4x-5=0,(x+5)(x -1)=0,贝 i x+5=0 或x-1=0,解得x i=-5,%2=1.【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.1 9.(6分)已知关于x的方程(3 m+1)x+3=0.(1)求证：不论“取何值，方程都有实数根；(2)若方程有两个整数根，求整数”的值.【分析】(1)分类讨论m=0和初#0两种情况下方程根的个数；(2)把 加+(3,+

20、1)x+3=0因式分解得到用=-工，X 2=-3,根据题意可知-工是整m m数，据此求出正整数机的值.【解答】(1)证明：当机=0时，原方程可化为x+3=0,方程有实根x=-3；当2/0时，w x2+(3?+1)x+3=0是关于x的一元二次方程.A =(3/n+l)2-4？X 3=9，m+6?+l -1 2 m=(3 m-1)2 0,.此方程总有两个实数根.综上所述，不论7取何值，方程都有实数根.（2）解：（mx+1）（x+3）=0,.1 。.x i=-,X2 -3.m；方程有两个整数根且m是整数，.m=-1 或 m=1.【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题要掌握一元二次方程根的情

21、况与判别式的关系：（1）（）时，方程有两个不相等的实数根；（2）A=0时，方程有两个相等的实数根；（3）。时、方程没有实数根.2 0.（4分）下面是小明设计的“作菱形A B CD”的尺规作图过程.求作：菱形A 8 CD作法：作线段A C；作线段A C的垂直平分线/,交A C于点。；在直线/上取点8,以。为圆心，O B长为半径画弧，交直线/于点。（点2与点。不重合）；连接 A B、B C、C D、DA.所以四边形A B C。为所求作的菱形.根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹，用2 8铅笔作图！）（2）完成下面的证明.证明：O A=OC,O B=O D,四边

22、形A B C D是平 行 四 边 形.对角线互相平分的四边形为平行四边形（填推理的依据）.JACLBD,二四边形A 8 C O为菱形 对角线互相垂直的平行四边形为菱形（填推理的依据）.BA O C【分析】（1）根据作图过程补全图形即可.（2）根据平行四边形和菱形的判定定理可得出答案.【解答】（1）解：补全图形如图.（2）证明：；OA=OC,O B=O D,四边形A B C D是平行四边形.（对角线互相平分的四边形为平行四边形）：ACVBD,四边形A B C D为菱形.（对角线互相垂直的平行四边形为菱形）故答案为：平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形；对角线互相垂直的平行四边形为菱形.

23、【点评】本题考查尺规作图、平行四边形和菱形的判定，熟练掌握平行四边形和菱形的判定定理是解答本题的关键.2 1.（4分）直线A 8与x轴交于点A （1,0）,与y轴交于点B （0,-2）.（1）求直线A B的解析式；（2）若直线A B上一点C在第一象限，且 5MOC=2,求点C坐标.【分析】（1）设 直 线 的 解 析 式 为y=H+4将点A （1,0）、点 B（0,-2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到A 8的解析式；（2）设点C的横坐标为x,根据三角形面积公式以及SMOC=2 求 出C的横坐标，再代入直线即可求出纵坐标的值，从而得到其坐标.【解答】解：(1)设直线AB的解析式为y=+b

24、(�),.,直线 AB 过点 A(1,0)、点、B(0,-2),.k+b=0,1 b=-2解得=2,I b=-2 直线A B的解析式为y=2x-2.(2)设点C 的横坐标为达 :SABOC=2,.,.A2M=2,2解得x=2,直线A B上一点C 在第一象限，.x=2,y=2 X 2-2=2,.点C 的坐标是(2,2).【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式.22.(5 分)今 年 第 6 号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力.如图，台 风“烟花”中心沿东西方向A 3 由A

25、 向 B 移动，已知点 C 为一海港,在A 处测得C 港在北偏东4 5 方向上，在 B 处测得C 港在北偏西60方向上，且 AB=(400+40073)千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域.(1)海 港 C 受台风影响吗？为什么？(2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？(结果保留整数，参考数据丁万七1.41,愿 41.73,752.24)【分析】(1)利用等腰直角三角形和含30度的直角三角形的性质得出CD的长，进而得出海港C 是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出EZ）以及E F 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间.【解答】解：（1）海

26、港C 受台风影响，理由：过 C 作 CO于 O,：.ZADC=ZBDC=90,：ZCAD=45,A ZACD=45a,：.AD=CD,；NDBC=30,:.BD=MCD,：A3=（400+400百）千米，.,.AB=AO+8O=C+代 C）=400+400F，8=4 0 0 千米，以台风中心为圆心，周围600千米以内为受影响区域，海 港 C 受台风影响；（2）当 EC=600h，FC=600切?时，正好影响C 港口，VED=5/CE2_C D2=200V5（km）,:.EF=4QQ 遥 km,/台风的速度为20千米/小时，.,.400强+20心45（小时）.答：台风影响该海港持续的时间大约为4

27、5小时.【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答.23.（6 分）如图，菱形ABC。的对角线AC、8。交于点O,过点8 作 8EA C,且 B E A G连接EC、ED.（1）求证：四边形B E C O是矩形；（2）若 AC=2,NABC=60,求 OE 的长.【分析】（1）由菱形的性质得NBOC=90,O C=1 A C,推出B E=O C,即可得出四边2形 8ECO是平行四边形，又由/8OC=90,即可得出结论；（2）由菱形的性质得AC_LB。，O B=X B D,O C=1 A C=,A B=B C,易证ABC是等2 2边三

28、角形，得出B C=A C=2,由勾股定理求出0 8=毒，则 8。=2代，由矩形的性质得出BE=OC=1,NDBE=90 ,再由勾股定理即可得出结果.【解答】（1）证明：四边形ABCQ是菱形，:.NBOC=90 ,OC=OA=1AC,2：BE=1AC,2：.BE=OC,:B E AC,四边形B E C O是平行四边形，；NBOC=90 ,四边形BECO是矩形；（2）解：.四边形A8CO是菱形，：.ACBD,OB=LBD,OC=4AC=1,AB=BC,2 2V Z A B C=6 0a,.ABC是等边三角形，：.BC=AC=2,在 RtBOC中，由勾股定理得：0 8 r B e 2_“2r 2 2

29、 _/=我,：.BD=2OB=2-/3,由（1）得：四边形BECO是矩形，：.BE=OC=,ZDBE=90 ,在 R t D B E 中，由勾股定理得：D E=VBE2+B D2 =V12+（2V3）2 =.【点评】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键.2 4.（6分）某市各中小学为落实教育部政策，全面开展课后延时服务.市教育局为了解该市中学延时服务情况，随机抽查甲、乙两所中学各1 0 0 名家长进行问卷调查.家长对延时服务的综合评分记为x,将所得数据分为5组（“很满意：9 0 4 W 1 0

30、 0；“满意”:8 0W x 9 0；“比较满意”：7 0 W x -2=4.当 y=1 时，W=1,；.x=1；当 y=4 时，/=4,.x=2；原方程有四个根：x i =l,X2 1，X 3=2,X 4=-2.请 你 用（2）中的方法求出方程（f+x）2-2 f-2 r=8的实数解.【分析】（1）根据 x2-x-1=0 求 出7=x+l,把/=x+l 代入 x4-3 x+2 0 2 0 =（x+1）2-3x+2020=?-x+2021,再把?=x+1代入，即可求出答案；(2)根据换元法即可求解.【解答】解：(1)V?-x-1=0,./=x+l,Ax4-3x+2020=(x+1)2-3x+2

31、020=7 -x+2021=x+l-x+2021=2022.故答案为：2022；(2)设/+x=y,那 么(/+x)2=/，于是原方程可变为夕-2y-8=0(1),解 得 yi=-2,j2=4.当 y=-2 时，/+x+2=0,-4X 1 X 2=-7 0,即-1 时，根据一次函数的性质得到x=3 时，y=9,然后把(3,9)代入yi=(Z+l)x-2k+3中求出 得到此时一次函数解析式；当+1 0,即 上 -1时，利用一次函数的性质得到x=-2 时，y=9,然后把(-2,9)代入力=(K 1)x-2k+3中求出发得到此时一次函数解析式；(3)先 整 理 得 到-/+6,再对一切实数x,y i

32、2在 y i的上方，所以k+l=，且-2k+30,即&-1 时，则 x=3 时.，)，=9,把(3,9)代入)”=()1+1)x-2k+3 得 3(斤+1)-24+3=9,解得&=3,此时一次函数解析式为yi=4x-3；当 我+1 0,即/-1 时，贝 U x=-2 时，y=9,把(-2,9)y i=(左+1)x-2A+3 得-2(A+1)-2%+3=9,解得女=-2,此时一次函数解析式为yi=-x+7；综上，y i的函数表达式为y i=4 x-3 或 y i=-x+7；(3)y?.=m(x-1)+f)=mx-m+6,对一切实数x,都成立，.Z+l=m 且-2k+3 -m+6,-2k+3-2.

33、【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数 的 值 大 于(或 小 于)0 的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 =履+匕在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.也考查了一次函数的性质.27.(7 分)在正方形ABC。中，点 P 是线段C8延长线上一点，连接4 P,将线段以绕点P 顺时针旋转90,得到线段P E,连 接 C E.过点E 作 EFLBC于 F.(1)在 图 1 中补全图形；(2)求证：E F=CF.猜测CE,C P,C三条线段的数量关系并证明；(3)若 将 线 段 出 绕 点 P 逆时针旋转90,其它条件不变，

34、直接写出CE,C P,CD三条线段的数量关系为 C E=6(C D -C P)或 CE=万(CD+CP).A,_ P A DP B C B C图1 备用图【分析】(1)据题意补全图形即可；(2)证明A A P B g(A 4 5),推出尸8=E F,A B=P F,可得结论；结论：CP-C D=也,利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质证明即可；2(3)当点P在线段BC上时，在 B A上截取则尸8M是等腰直角三角形，证明 P C E 丝 A M P (SA S),得 出C E=P M,即可得出结论；当点P在线段B C的延长线上时，在B A上截取B M=B P.则 是 等 腰 直 角 三 角

35、形，P M=B P.证明(SA S),得出C E=P M,即可得出结论.【解答】(1)解：补全图形如图1 所示：(2)证明：如 图 1 所示 线段P A绕点P顺时针旋转9 0 得到线段PE,：.PA=PE,NAPE=90,四边形A B C O 是正方形，./A B P=/A B C=9 0 ,ABBC,：E F L B C F,N P F E=9 0 =Z A B P,:.NEPF+/PEF=9Q ,ZAPB+ZEPF=90 ,N A P B=N P E F,即/A P B=N E,在 A P B 和 P E F 中,，Z A B P=Z P F E,N A P B=N P E F，P A=E

36、 P:.XAPBQXPEF(A 4 S),：.PB=EF,AB=PFf；AB=BC,：BC=PF,:,PB=CF,:.EF=CF；解：结论：CP-C D=2 _ C E.2理由：:CD=CB,：.CP-CD=CP-CB=PB=CF,;EF=CF,ZCFE=90,CF=Ji.CE,2 _：.CP-C D=-Z 2.C E；2(3)解:分两种情况:当点尸在线段3 c 上时：CE=yf2(CD-C P),理由如下:在氏4 上截取8 M=B P,连接P M.则 P B M 是等腰直角三角形，：.PM=y2PB,NBMP=NBPM=45,AB=BC,：.AM=PC,由旋转的性质得：PE=PA,N A P

37、 E=9 0 ,：.ZAPM+ZCPE=SO-9 0 -4 5 =4 5,又,/ZMAP+ZAPM=NBMP=45,：.4MAP=NCPE,在(7 ：和A M P 中，P C=A M=90,AD/BC,：.AM=PC,ZDAP=ZAPB,由旋转的性质得：PE=PA,ZAPE=90,.ZPAMZEPC,在和AMP 中，C=A M=工 上，且 Q (x,工)，4 4 4当点。在 x轴上方时，则 工=4；当点。在 x轴下方时，则-1=4,分别求出x的值4 4再求出点C的坐标即可;(3)设正方形T 的四个顶点分别为E、尸、G、H,则 E(3,机+1),G(5,m-1 ),再确定点B的等积点在直线y=2

38、x上，则点R的等积点4 在直线 =工 与 直 线 y=2x于第4一象限交成的锐角的内部或边上，画出图象，可知当点G(5,1)在直线y=工 上,4则tn的值最小；当点E(3,m+)在直线y=2 r上，则m的值最大，求出相应的m的值即得到加的取值范围.【解答】解：1X 2#4X 1,Qi(2,1)不是尸(1,4)的等积点；V1X(-4)=4X (-1),。2(-4,-1)是 尸(1,4)的等积点；71X 8=4X 2,。3(8,2)是 尸(1,4)的等积点，故答案为：Q2,Q3.(2)如 图 L设 Q(居 )，点。(x,y)是点尸(1,4)的等积点，y=-ix,4:.Q(x,-kx),4作轴于点O

39、,轴于点R 则 0 尸=4,PF=1,四边形O C Q P是平行四边形，：.PQ/OC,C Q/OP,C Q=OP,ZQ D C=ZO F P=9 0 ,/QCD=/O P F=/C OP,：./Q D C/OF P(AAS),QO=O尸=4,C D=P F=T,若点。在 x 轴上方，则 u=4,4 x=16,/.xc=16-1=15；若 点。在 x 轴下方，则-L=4,4 x-16,*.xc -16+1=-15,综上所述，点。的坐标为(15,0)或(-15,0).(3)设正方形T 的四个顶点分别为E、F、G、H,则 E(3,加+1),G(5,1),由(2)可知点P 的等积点在直线y=L 上，

40、4设 3(1,1)的 等 积 点 的 坐 标 为(-y),则 工=当，2 2.y=2x,可知点B 的等积点在直线y=2x.,.点R的等积点A 应在直线y=L 与直线y=2x于第一象限交成的锐角的内部或边上,4如图2,当点G(5,-1)在直线 =工 上，则 的值最小，4：tn-1=X 5,4；4如图3,当点E(3,m+1)在直线y=2x上，则机的值最大，.?+l=2X3,机=5,二?的取范围是2 w，W5.图3【点评】此题重点考查图形与坐标、一次函数的图象与性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、新定义问题的求解、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，属于考试压轴题.