2022年辽宁省营口市中考数学真题卷（含答案与解析）.pdf

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1、2022年辽宁省营口市初中学业水平考试数 学注意事项：1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号是否与本人的相符合。2.答客观题必须用2B铅笔将答题卡上对应题目的正确选项涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选其他答案。答案不能答在试题卷上。3.答主观题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。第一部分选择题一、选

2、择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3 分，共 30分）1 .在日 0,-1,2这四个实数中，最大的数是（）A.0 B.-1 C.2 D.7 22.如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）3.下列计算正确的是()A.a -a1=a3 B.(/)=/c.3a3-a3=3 D.a2+4a2=5 a44.如图，直线D E|E G,用AABC的顶点8,C分别在D E,EG上，若N B C F =2 5,则Z 4 8 E的大小为()A.55 B.25 C.65 D.755.关 于x 一元二次方程/+4 x 机=。有两个实数根，则实数?的取值范围为（）A.m-4 C.

3、m 3 26.分式方程三=的 解 是（）x x-2A.x=2 B.x 6 C.x=6 D.x=27.我国元朝朱世杰所著的 算学启蒙一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，弩马日行一百五十里，鸳马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A.240 x+150 x=150 xl2 B.240 x-150 x=240 xl2C.240 x+150 x=240 x12 D.240 x-150 x=150 x128.如图，点 A,B,C,。在

4、OO 上，AC 1 BC,AC=4,ZADC=3 0 ,则 8C 的 长 为（）A.473 B.8 C.472 D.49.如图，在ABC中，AB=AC,NA=36。，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点 ,则以下推断错误 的 是（）A.BD=BC B.AD=BD C.ZADB=108 D.CD=-A D210.如图，在矩形ABC。中，点M在A 8边上，把ABCM沿直线CM折叠，使点8落在AO边上的点E处，连接E C,过点B作垂足为F,若C=1,CF=2,则线段A E的 长 为（）A.5 2 B.百一 1 C.-D.第二部分非选择题二、填空题（每小题3分，共18分）1 1 .-2的相反数是.2

5、 x+4 61 2.不 等 式 组 八 ,的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.9-x l1 3.甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”，两人5 次成绩的平均数都是9 5 分，方差分别是s*=2.5,s?=3,则两人成绩比较稳定的是_ _（填“甲”或“乙）1 4.如图，将AABC沿着6c方向平移得到 厂,只需添加一个条件即可证明四边形A B E。菱形,这个条件可以是.（写出一个即可）1 5.如图，在正六边形ABCDEb中，连接AC,Cf,则 N ACF=度.1 6.如 图 1,在四边形A 8 C。中，BC/AD,Z =9 0,ZA=45,动点尸，。同时从点A出发，点尸以J 5

6、c m/s 的速度沿A8向点8运 动（运动到8点即停止），点。以2 c m/s 的速度沿折线A Z）f O C向终点 C运动，设点。的运动时间为x（s）,AAPQ的面积为y（c m 2）,若 y 与 x 之间的函数关系的图像如图2一 7所不，当工=（s）时，则 y2c m2.图1图2三、解答题(17小题10分，18小题10分，共 20分)17.先化简，再求值：+矿+加+4,其中a=+|_ 2|j 2 118.为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵 小说之趣”“戏剧之雅”四组(依次记为A,B,C,。).小雨和莉莉两名同学参加比赛

7、.其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组.(1)小雨抽到A 组题目 概率是；(2)请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率.四、解答题(19小题10分，20小题10分，共 20分)19.某校为了了解疫情期间学生居家锻炼时长的情况，随机抽取了部分学生，就居家一周的锻炼时长进行了统计调查，根据调查结果，将居家锻炼时长分为A,B,C,。四个组别.学生居家锻炼时长分组表下面两幅图为不完整的统计图.组别ABcDf(小时)0r22r44t 6学生归蜜周府阳长条形统计用 学生区*-周依燥射长.形统计图请根据图表中的信息解答下列问题：(1)此次共抽取

8、 名学生；(2)补全条形统计图，并求扇形统计图中A 组所在扇形的圆心角的度数；(3)若全校有1000名学生，请根据抽样调查结果，估计。组(居家锻炼时长不少于6 小时)的人数.2 0 .如图，在平面直角坐标系中，A。4 c的边。在y轴上，反比例函数y =g(x 0)的图象经过点A和点3(2,6),且点8为AC的中点.(1)求上的值和点C的坐标；(2)求A。4 c 周长.五、解答题(21小题10分，22小题12分，共 22分)21.在一次数学课外实践活动中，某小组要测量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是5 8,沿着山坡向上走7 5米到达B处.在B处测得大楼顶部M的仰角

9、是2 2，已知斜坡的坡度7 =3:4 (坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)求大楼MN的高度.(图中的点A,B,M,N,C均在同一平面内，N,A,C在同一水平线上，参考数据：t a n 2 2 0.4,t a n 5 8 1.6)2 2.如图，在AABC中，A B =A C,以A8为 直 径 作 与AC交于点E.过点A作。的切线交8 C的延长线于点D.(1)求证：Z D =N E B C；(2)若 C D =2B C,A E =3,求。0 的半径.六、解答题(本题满分12分)2 3 .某文具店最近有A,B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5本和B款纪念册4本共需1 5 6元，购进4款纪念

10、册3 本和8款纪念册5 本共需1 3 0 元.在销售中发现：A款纪念册售价为3 2 元/本时，每天的销售量为4 0 本，每降低1 元可多售出2 本；8款纪念册售价为2 2 元/本时，每天的销售量为8 0 本,B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售 价（元 体）2 2 2 3 2 4 2 5每天销售量（本）8 0 7 8 7 6 7 4（1）求 A,8两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本4款纪念册的利润，同时提高每本8款纪念册的利润，且这两款纪念册每天销售总数不变，设 A款纪念册每本降价，九元.直接写出8款纪念册每天的销售量（用含?的代

11、数式表示）；当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最大利润是多少？七、解答题（本题满分14分）2 4 .如 图 1,在正方形AB CO中，点 M为 CO边上一点，过点例作M N _ L C 且=连接D N,BM,CN,肉、P,Q分别为的中点，连接尸Q.（2）将 图 1图2中的ADMN绕正方形AB CO的顶点D顺时针旋转a（0 a 3 6 0）.中结论是否成立？若成立，请结合图2写出证明过程；若不成立，请说明理由;若4 8 =1 0,DM=2 逐，在绕点。旋转的过程中，当 B,M,N三点共线时，请直接写出线段R2的长.八、解答题（本题满分14分）1 2 7 1任口点3（4,0）,与

12、y 轴交于点2 o 72 5 .在平面直角坐标系中，抛物线丁二一3/+法+。经过点A 一C,点 P为抛物线上一动点.y（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作;7）,43,垂足为。，作轴，垂足为S 4 9E,交AB于点尸，设?）厂的面积为5，&8石厂的面积为邑，当U =八 时，求点坐标；（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点M使得直线3c垂直平分线段PN?若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分）1 .在 旧 0,-1,2这四个实数中，最大的数是（）A.0

13、 B.-1 C.2 D.7 2【答案】C【解析】【分析】正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可.【详解】解：2 近0-1,.在 近，0,-1,2这四个实数中，最大的数是2.故选：C.【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数0 负实数，两个负实数绝对值大的反而小.2 .如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】左视图是从物体的左边观察得到的图形，结合选项进行判断即可.【详解】解：从左边看，有两列，从左到右第一列是两个正方形，第二列底层是一个正方形.

14、故选：B.【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，解答本题的关键是掌握左视图的定义.3 .下列计算正确的是()A.=a3 B.(/)=o C.3/。3=3 D.a2+4a2=54?4【答案】B【解析】【分析】根据同底数基的除法法则，幕的乘方法则，合并同类项法则逐项计算即可判断.【详解】A.4 6+。2=。6-2=。4,故选项A错误，不合题意；B.(/)4=/*4=8,故选项B正确，符合题意：C.3 a3-a3=(3-l)a3=2 a 故选项C错误，不合题意；D./+4/=(1+4)。2=5/，故选项D错误，不合题意.故选：B【点睛】本题考查了同底数基的除法，幕的乘方，合并同类项，熟练

15、掌握各个运算法则是解本题的关键.4.如图，直线的顶点B,C分别在。上，若N 8 C产=25。，则 的 大 小 为()A.55 B.25 C.65 D.75【答案】C【解析】【分析】先根据平行线的性质得到N E 8C=N B C F=25。，再利用互余得到N A 8E=6 5。.【详解】解：D E/F G，NBCF=25,二 NEBC=NBCF=25?NA8C=90,NA B E=NA B C-NEB C=9 0-25=65.故选：C.【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键.5.关 于x的一元二次方程/+4x一根=0有两个实数根，则实数，的取值范围为

16、（）A.m -4 C.m -4【答案】D【解析】【分析】由关于x的一元二次方程/+4 x=0有两个实数根，可得A n d Z+d m N O,求解即可.【详解】关于x的一元二次方程x2+4 x-m =0有两个实数根，A =42+4 m 0 解得m-4,故选：D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，即一元二次方程0+必+。=0 9/0）的根与 =_4 ac有如下关系：当A0时，方程有两个不相等的实数根；当 =（）时，方程有两个相等的实数根；当/,：.A D=B D,故选项B 成立；没有条件能证明8=A。，故选项D 不成立；2故选：D.【点睛】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质

17、，解决本题的关键是掌握基本作图方法.1 0.如图，在矩形488中，点 M在 A 8边上，把ABCM沿直线C M折叠，使点8落在A。边上的点E处，连接E C,过点B作6 E L E C,垂足为F,若CD=1,CF=2,则线段A E的 长 为（）A.V 5-2 B.73-1 C.1 D.y【答案】A【解析】【分析】先 证 明 也 ,可得OE=CF=2,再用勾股定理求得CE=石，从而可得AC=BC=右，最后求得AE的长.【详解】解：四边形ABC。是矩形，：.BC=AD,NA8C=NO=90。，AD/BC,：.ZDEC=ZFCB,：B F V E C,NBFC=NCDE,把ABCM沿直线C M折叠，使

18、点3落在A边上的点E处，：.BC=EC,在M FC与ACDE中,/D EC =NFCB 612.不等式组c,的解集为_.9-x 1【答案】l x 6【详解】解：八 9-尤 1 解不等式得：x l,解不等式得：x 8,不等式组的解集为：l x 8,故答案为：l x 8.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法并熟记解集口诀，正确解得每个不等式的解集是关键.13.甲、乙两名学生参加学校举办的“防疫知识大赛”，两人5次成绩的平均数都是95分，方差分别是扁=2.5,4=3,则 两 人 成 绩 比 较 稳 定 的 是 （填“甲”或“乙）【答案】甲【解析】【分析】根据方差的意义

19、求解即可.【详解】1=2.5,4=3,s甲 户,只需添加一个条件即可证明四边形ABED是菱形，这个条件可以是.（写出一个即可）【答 案】A B=B E（答案不唯一）【解 析】【分 析】由题目提供的条件可以得到四边形ABED是平行四边形，再添加一个条件使其成为菱形即可.【详 解】解：添 加AB=BE,/将 ABC沿 着8 c方 向 平移得到.D E F，：.AB=DE,AB/DE,四 边 形A B E D是平行四边形，又；AB=BE,四边形是菱形，故答案为：A B=B E（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质、菱形的判定、平移的性质，证 明 四 边 形ABE。是平行四边形是解题的

20、关键.15.如 图，在 正 六 边 形ABCD及 中，连 接A C,C F,则NACF=度.【解 析】360【分 析】连 接B E,交C F与点O,连 接0 4,先求出乙4。/=6 0 ,再根据等腰三角形等边对等6角的性质，三角形外角的性质求解即可.【详 解】连 接B E,交CF与 点O,连接在 正 六 边 形A B C D E F中，,-.Z A O F =3 6 0-=6 0 ,6：OA =O C：.Z O A C Z O C AZ A O F =ZO AC+Z A C F =2Z A C FZ A C F =3 0 ,故答案为：3 0 .【点睛】本题考查了正多边形与圆，等腰三角形的性质，

21、三角形外角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.1 6.如 图1,在四边形A B C。中，B C/A D,Z =9 0 ,Z A =4 5,动点尸，Q同时从点A出发，点P以缶m/s的速度沿A3向点B运 动(运 动 到B点即停止)，点Q以2 c m/s的速度沿折线A fOC向终点C运动，设 点。的运动时间为x(s),AAPQ的面积为y(c n?),若y与x之间的函数关系的图像如图27所示，当x=5(s)时，则了=c m2.c m：图13 5【答案】4【解析】【分析】根据题意SAA PQ,则点。在AO上运动时，AAPQ为等腰直角三角形，然后根据三角形面积公式得出当面积最大为9时，此时X =3,则A

22、O=2 x=6 c m,当3 X 4 4时，过点P作P/7，AO于点 尸，则此时S.APQ SAPF+S四边形pQDp-,分别表示出相关线段可得y与x7之间的函数解析式，将x=(s)代入解析式求解即可.2【详解】解：过点。作垂足为,在 用 O E中，V ZAED=90,NE4D=45,.A E _ y/2 -=-,A D 2 点P的速度 为 技m/s，点。的速度为2cm/s,A P=V2x,A Q =2x,A P _ y/2t _ y/2 而 一 三-3，在 APQ和 A D中，,：*=号4,Z A =45。，A D A Q 2:.4 AE D s*P Q,.点。在AD上运动时，APQ为等腰直

23、角三角形，AP=PQ=B,.当点。在 A。上运动时，y=AP AQ =x=x2,由图像可知，当y=9此时面积最大，x=3或-3（负值舍去）,A D =2x=6cm,当3在 应“PQ 中，A P=QX，N A =45。，:.AF=PF=x,FD=6-x,QD=2x-6,*SAAPQ=x2+(x+2x-6).(6-x)-x 6 x(2x-6),即 y=-x2+6 x,所以当 x=g(s)时，y=-(1)2+6 x|=(c m2),3 5故答案为：.4【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，求出各段函数的函数关系式是解答本题的关键.三、解答题(17小题10分，18小题10分，共 20分)1 7.先化简

24、，再求值：/+4 4,其中a =次+|2 一 _1 V Q +1 )a +1 1 2 J.-。一2 1【答案】-a +2 5【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，再利用算术平方根、绝对值、负整数指数累计算出的值，代入计算即可求出值.b j i (i 5 +2。)c i+4 a +4【详解】解：。+1-；I a +1 )a +(a +1)-5 2 a (a +2)-;-a+1 a+1_ a2-4 Q+1Q +1 (Q +2)“(a +2)(a 2)a +1a +1 .+2)2Q 2a +2 当a =3 +2 2 =3 时，【点睛

25、】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则.还考查了算术平方根、绝对值、负整数指数幕.1 8.为传承中华民族优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组(依次记为A,B,C,/).小雨和莉莉两名同学参加比赛.其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组.(1)小雨抽到A组题目的概率是.；(2)请用列表法或画树状图的方法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率.【答案】）【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；（2）通过列表法，可得共有1 6 种等可能

26、结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种，再根据概率公式求解即可.【小 问 1 详解】P（小雨抽到A组题目）=4，4故答案为：；【小问2详解】列表如下：由图得，共 有 1 6 种等可能结果，其中，小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的结果数有4种,莉莉小雨ABCDAAABACADABABBBCBDBCACBCCCDCDADBDCDDD4 1:.P（小雨和莉莉两名同学抽到相同题目）16 4【点睛】本题考查了概率公式及列表法或画树状图的方法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键.四、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分）1 9.某校为了了解疫情期间学生居家锻炼时长的

27、情况，随机抽取了部分学生，就居家一周的锻炼时长进行了统计调查，根据调查结果，将居家锻炼时长分为A,B,C,。四个组别.学生居家锻炼时长分组表下面两幅图为不完整的统计图.组别ABcD，（小时）0r22t44t6学 生 居 家 周IH网长条形统i h f l 学 生 总*图1炳 长.彩 统 计 图请根据图表中的信息解答下列问题：（1）此次共抽取 名学生；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中A组所在扇形的圆心角的度数；（3）若全校有1 0 0 0 名学生，请根据抽样调查结果，估计。组（居家锻炼时长不少于6 小时）的人数.【答案】（1）5 0 （2）补全条形统计图见解析，A组所在扇形的圆心角的度数为

28、3 6。；（3）估计。组（居家锻炼时长不少于6 小时）的人数有2 0 0 人.【解析】【分析】（1）根据C组的人数除以C组所占的百分比，可得答案；（2）先求得B组人数，可补全条形统计图；根据A组的人数比上总人数乘以3 6 0。，可得答案；（3）用全校的总人数乘以最喜欢。组的人数所占的百分比即可.【小 问 1 详解】解：2 0+4 0%=5 0（名），此次共抽取5 0 名学生故答案为：5 0；【小问2详解】解：B组人数为5 0 x 3 0%=1 5（名），补全条形统计图如图所示：学生总家一周收燎时氏条形统计用【小问3 详解】解：估计。组（居家锻炼时长不少于6小时）的人数有：1 0 0 0 x=2

29、 0 0 （人）.答：估计。组（居家锻炼时长不少于6小时）的人数有2 0 0 人.【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.2 0.如图，在平面直角坐标系中，A。4 c 的边。在 y 轴上，反比例函数y =g（x 0）的图象经过点A和点B（2,6）,且点B为 AC的中点.（1）求上的值和点C的坐标；（2）求AQAC的周长.【答案】（1）k=12,C（0,9）（2）1 4 +2 至【解析】【分析】（1）将点以 2,6）代入反比例函数解析式可求得根据点A,点 C的位置分别设出点A（a,1 2一）,点 C（0,c）,分别过点A作 A E

30、 J _y 轴于点E,过点B作 B D L y 轴于点。，根据三角形的中位线定理a得 A E=2B D,C E=2 C D,继而求出点C的坐标；（2）在（1）的条件下利用勾股定理求出A C,O A,利用数轴上两点间的距离求出OC,即可求出AOAC的周长.【小 问 1 详解】解：.y =?x0）的图象经过点6（2,6）,/.=2 x 6=1 2,即反比例函数解析式为丫=口，X 反比例函数y =*经过点A,点。在 y 轴上，x1 2 可设 A（。,）C（0,c）fa如图，过点A作轴于点 过点8作轴于点拉,.*.E(0,),0(0,6),A E/B D,B D=2,A E=aa ,点8为 AC的中点

31、，：.A E=2B Df C E=2C D,/.a=49A E(0,3),c-3=2(c-6),解得c=9,即 C(0,9).【小问2详解】由 可 知 4(4,3),(0,3),C(0,9),=9,O A =A/AE2+O E2=-/4 +32=5 ,AC=A E2+CE2=JP+e-3)2 =2 V 1 3，AOAC的周长为9+5 +2/=1 4 +2 万【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的中位线定理、勾股定理、数轴上两点间的距离等，构造直角三角形和三角形的中位线是解题关键.五、解答题(21小题10分，22小题12分，共 22分)2 1.在一次数学课外实践活动中，某小组要测

32、量一幢大楼MN的高度，如图，在山坡的坡脚A处测得大楼顶部M的仰角是5 8,沿着山坡向上走7 5 米到达B处.在 B处测得大楼顶部M 的仰角是2 2，已知斜坡A5的坡度i=3:4 (坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)求大楼用N 的高度.(图中的点A,B,M,N,C均在同一平面内，N,A,C在同一水平线上，参考数据：t an 2 2。0.4,t an 5 8。a 1.6)【答案】大楼MN的高度为92米【解析】【分析】过点B分别作8E_L4C,BFLMN,垂足分别为E、F,通过解直角三角形表示出8/、AN、AE的长度，利用8/三NE进行求解即可.【详解】过点B分别作BELAC,BFLMN,垂足分

33、别为E、F,：.NBEA=ZBFN=NBFM=ZMNA=90 四边形8ENF为矩形，BE=AN,BF=NE设 MN=x,在 应ABE中，斜坡AB的坡度i=3:4,即B黑E=:3，AE 4.BE 3sin NBAE-=一AB 5-A B 75BE=45,AE=60:.FN=45：.M F x-45MN在&AM7V 中，/tan ZMAN=，/M47V=58ANrtan 58 -1.6AN5/.AN x-x8：.NE=A N +A E =-x+608在 RtZ xB MF 中，t an N M B F=幽,N M B F=2 2 B Ft an 2 2 =0.4B F：.j(x-4 5).-.|x

34、+6 0 =|(x-4 5)解得x =92,所以，大楼MN的高度为92米.【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，准确理解题意，能添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.22.如图，在AA B C中，ABAC，以A3为直径作。与AC交于点E.过点4作。的切线交的延长线于点D.(1)求证：Z Z)=Z E B C；(2)若 C D =2B C,A E =3,求 的 半 径.【答案】(1)证明见详解-4【解析】【分析】(1)利用A8为O。的直径及A O为O。的切线，得Z A B E+A B A C =Z D A C+Z B A C=90 ,进 而 得 至 再 利 用 三 角 形 的 外

35、角 定 理 结 合 等 量代换即可求证结论.(2)设半径为，贝IAB=AC=2G 则 C E=2a-3,由(1)得ND4 B=/B E C=90,N D=/E B C,则A DB AEBC,进 而 得 空=线，根据等式解出。即可求解.A B D B【小 问1详解】证明：为。的直径,ZAEB=90,Z A B E+Z B A C=9 0,又为。的切线，Z DA B=9 0,：.Z DA C+Z B A C=9 0,:.NDA C=NA B E,又A B =A C,Z.Z A C B=Z A B C,/Z A C B为A AD C的一个外角，Z A C B=Z D+Z D A C,：.Z D+Z

36、D A C Z A B C Z A B E+Z EB C,：.Z D=Z E B C.【小问2 详解】设半径为m 则A B=A C=2a,则 C E=2a-3,由（1）得，NDA B=/B EC=9 Q。,N D=NEB C,：AADB AEBC,E C B C n r12a 3 B C 1A B D B 2a 3 B C 3得 6a-9=2a,9解得a=:，49的半径为一.4【点睛】本题考查了圆的切线性质、直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握圆的切线性质及直径所对圆周角为直角巧妙运用等量代换证明，根据相似三角形的判定及性质解决问题是解题的关键.六、解答题（本

37、题满分12分）23.某文具店最近有A,B两款纪念册比较畅销，该店购进A款纪念册5 本和B款纪念册4 本共需15 6元，购进A款纪念册3 本和B款纪念册5 本共需13 0元.在销售中发现：A款纪念册售价为3 2元/本时，每天的销售量为4 0本，每降低1元可多售出2 本；B款纪念册售价为22元/本时，每天的销售量为80本，B款纪念册每天的销售量与售价之间满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：售 价（元/本）2223 24 25每天销售量（本）80787674（1）求 A,B两款纪念册每本的进价分别为多少元；（2）该店准备降低每本4款纪念册的利润，同时提高每本8 款纪念册的利润，且这两款纪念册

38、每天销售总数不变，设 A款纪念册每本降价加元.直接写出B款纪念册每天的销售量（用含机的代数式表示）；当A款纪念册售价为多少元时，该店每天所获利润最大，最 大 利 润 多 少？【答案】（1）A,B两款纪念册每本的进价分别为20元 和 14 元；（2）8 款纪念册销售量为（8 0 2 ）本；当 A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润 是 1264 元.【解析】【分析】（1）设 A,B两款纪念册每本的进价分别为。元和6 元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设4款纪念册每本降价，元，根据这两款纪念册每天销售总数不变，则8款纪念册销售量为（80-2本：先利用待定系数法求得8

39、 款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式，再根据每周的利润=每本的利润x每周的销售数量，再根据二次函数的性质可得答案.【小问1 详解】解：设 A,B两款纪念册每本的进价分别为元和方元，依题意得5 a+4 b =15 63。+5 8=13 0解得a-208=14答：A,B两款纪念册每本的进价分别为20元 和 14 元；【小问2 详解】解：设A款纪念册每本降价机元，则 A款纪念册销售量为（4 0+2?）本，售价为（3 2-。元，则每册利润为3 2-怔20=12列（元），这两款纪念册每天销售总数不变，B款纪念册销售量为（80-2本；设 8 款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为产履

40、+，J 22k+=8023 左 +”=78 款纪念册每天的销售量与售价之间的一次函数关系式为）=-2x+124,由得：8 款纪念册销售量为（80-2?）本，售价为 80-2m =-2r+l 2 4,即 x=22+?（元），则每本利润为 22+?-14=8+，（元）,设该店每天所获利润为卬元，则卬=（4 0+2%）（12-，）+（80-2w）（8+m）=-4nr+4S m+1120=-4（/n-6）2+1264,V-4 0,.当m=6 时,w 有最大值，最大值为1264 元，此时A款纪念册售价为3 2-6=26（元），答：当 A款纪念册售价为26元时，该店每天所获利润最大，最大利润是1264 元

41、.【点睛】本题考查二元一次方程组、一次函数及二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式.七、解答题（本题满分14分）24.如 图 1,在正方形A 8 C。中，点”为。边上一点，过点用作M NLCD且。M=连接D N,B M,C N,&P,。分别为8M,CN的中点，连接P Q.（1）证明：C M =2 P Q .（2）将 图 1 中的ADAW绕正方形A B C。的顶点。顺时针旋转a（0 a ，取 MN的中点E,连接EP,EQ,证明,证明N PEQ=4 5,过点。作 QKLEP于点K，证明E K =K P =与EQ，则 E Q=PQ,根据中位线的性质即可得证;分情况讨论，根据勾股

42、定理即可求的M C的长，根据的结论即可求解.【小 问1详解】如图，连接8 0,取M N的中点E,连接EP,E。，MN 工 CD 且 DM=M N,:.ADMN是等腰直角三角形，：.ZMDN=45,四边形ABCD是正方形，则NMDB=45,且。,MB在边CZ）的同侧，.D,N,8三点共线，设 =1,M=a,则 MC=1 a,DN=2a,BD=V2,BN=/2（1 ）.E,尸分别为MM MB的中点，i5：.EP=-N B =（1-a ，2 2 V E,Q分别为M M NC的中点，=a）,EQ/DC,过点。作。尸则 QFE是等腰直角三角形:.EF=与 EQ=-a)=；EPA QF垂直平分EP：.EQ

43、=PQ,.EQ=-M C,2MC=2PQ,【小问2详解】如图，连接8D，取MN的中点E，连接EREQ,图2：NCDB=4MDN=45。,ZCDM+AMDB=4 BDN+ZMDB,NCDM=4 BDN,DM DC 1 DN-DB1 叵:.ACDMS ABDN,MC 1 NDMC=NDNB,NB V2分别为MM MB的中点，：.EP=-N B,EP/NB,2ZPEM=BNM,/PEN=180-/BNM=180-(NBND-45),E,Q分别为MN,NC的中点，:.EQ=M C,EQ/M C,ZNEQ=NNMC,NQEM=180。-ZEMC=180-(360-90-ZDMC)=ZD M C-90,E

44、Q_L.丽 一 正 ZPEQ=180。APEN-NMEQ=180180+NBND45。-NDM C+90=45过点Q作QK EP于点K，图2则AEKQ是等腰直角三角形,：.E K=-E Q,.盛=_L、前 一 正 EP=y/2EQ，:.EK=KP=?EQ,：.EQ=PQ,-：2EQ=CM,：.CM=2PQ.如图，当6,N共线，M在。的上方时,NDMB=ZDMN=90，DB=y/2AB=1 0 0，Rt ADMB 中,BM=ylDB2-D M2=J(102 一(2南=66,DM=MN=275，:.BN=BM-M N=4 5：ACDMS ABDN，MC DC 1而 一 而 一正MC=如图，当8,M

45、,N共线，M在DC的左边时,RtzD5M 中，BM=D B-D M1=675-BN=BM+MN=8 后,5MC=x 8V5=4/10,2P Q =M C 2 y u),综上所述，P Q的 长 为 所 或2河.【点睛】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，正确的添加辅助线是解题的关键.八、解答题(本题满分14分)1 1(1 2 7 1 /、2 5.在平面直角坐标系中，抛 物 线 尸 龙2+云+。经过点A -7,三和点3(4,0),与),轴交于点22k 2 8 ;(1)求抛物线和直线A3的解析式；(2)如图，点尸为第一象限内抛物线上的点，过点作 加 工 他，垂足

46、为。，作轴，垂足为S 4 9E,交A8于点F，设/小的面积为5 1,&8砂的面积为邑，当 甘=去 时，求点尸坐标；J?ND(3)点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N,使得直线3c垂直平分线段PN?若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y =g/+x+4,直线A8的解析式为y =-；x+3,pH)(3)存在N(l,3 【解析】【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解；3 E F 5 E F(2)设N A B O =a,则s in a=,中,B F =-,证明 丽 匕2瓦 丹，根据相5 s in a 3S 4 9似三角形的性质以及亍=须 建立方程,3 r

47、 ND解方程即可求解;（3）设直线PN交y轴于点K，设P E交6。于点“，连接C N,N H ,P C,证明ANHP是等腰直角三角形，则设尸，一+4）,则（2一+4）,N（l,一+4）,根据=列出方程，即可求解.【小 问1详解】抛物线 =+c经过点”一I 2 7、|和点 3(4,0),乙 O )解:1 90=x 4 +4 +。2b解得c=1=41 9 抛物线解析式为y =-f+x+4,设直线A3的解析式为，=日+优，2 7 1,=k+b.-8 2 1,0=4%+4f,3解得，4 ,b=3，直线AB的解析式为y =-x+3,【小问2详解】如图，设直线A8与y轴交于点G ,由 y =-%+3,令

48、x =0,得 y =3,则 G（0,3）,.1.OG=3,OB=4,:.BG=5,3设 ZABO=a,则 sin a =-,PE OB,PD L A B,：.4FEB=NOBG=c（,NPFD=N EF B/PD F=/F E B,：.ZDPF=NEBF=a,:.ADFPS正FB,u”丫RtABEF 中,BF=-=注,sine 3设APDF的面积为S,ABEF的面积为5,49S25Sy J P F（3PF丫 4 9/7丫-L5EFJ 一 不 g3PF 7-=一，5EF 5即 3PF=7 E F,设 P（z,一；?2 +加+4）,则 尸（相，一：m+3）,D Z 7 1 2 4 1 3 勺）1

49、2 7 17rlPF=m+机+4 机+3=+m+1,EF=2I 4）2 4-m +34二3 加+%+1(2 4m+3,解得加=3或m=4（舍）,当加=3时，一工加*+根+4=*2 2【小问3详解】设直线PN交 轴于点K,设PE交BC于点、H,连接C7V,NH,P C,如图,由、=一;V+x+4,令x=0,得y=4,则C(0,4).3(4,(),C(0,4)设过直线8 c 解析式为丁=.犹+/,4s+r=0r=4 过直线BC的解析式为y=-x+4,-OB=OC=4，AO3 c是等腰直角三角形；.NOCQ=45.%CQK是等腰直角三角形-PEVOBNQPH=45 ,直线8C垂直平分线段PNHN=HP.NWP是等腰直角三角形，NH 工 PH,设 ，一+4）,则 H（,一“+4）,N（l,-+4）PH=-J?+4-（+4）=-J2+2，NH=n 一-n2+2/1=n-12解得 n,=1+6,巧=1 一G （舍）.N（l,-l-V 3+4）即 N（l,3-6）【点睛】本题考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，二次函数线段问题，掌握以上知识是解题的关键.