2016年数值分析习题与答案.pdf

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1、第一章绪论习题一1.设x 0,x*的相对误差为5,求 f(x)=l n x 的误差限。解：求 In x的误差极限就是求f(x)=l n x的误差限，由公式(1.2.4)有邺*)=1 购/X*)0.印 蠲 I /(r)|5(x*)已知x*的 相 对 误 差 3 满 足 Vr-51,而f(x)=l n x,f(x)=,|x-x*|5(r*)=z.1 x*1 故|I n x-i n x*瑞|l|r-x*区 J；口n Ja(l n r*)、=|-x-x-*-|-1-lH 1 +x2(2)解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。()=t a n(N +l)-a r c t a n

2、N(2)24.近似数x*=0.031 0,是3 位有数数字。15.计算=（痣-1）6取我口 1 4,利 用：（3+2收）3式计算误差最小。-,（3-2 7 2）3,。_,99-7 0拒四个选项：（近+D （3+2亚）第二、三章 插值与函数逼近习题二、三1.给定/3）=l n x的数值表X0.40.50.60.7L n x-0.91 62 91-0.6931 47-0.51 08 2 6-0.35667 5用线性插值与二次插值计算In O.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=l 及 n=2 的L a g r a n g e 插值或N e w t o n 插值,并应用误差估计（5.8）。线性

3、插值时，用 0.5及 0.6两点，用N e w t o n 插值h 0.54 -0.6931 47 +一0508 2 6+。.6931 47 _ =0.6-0.5-0.62 02 1 9误 差 限 因归；%卜-0.5）（0 0.6）|,因f(x)=l n x,f (x)=峪=黑 总06 3=4x x,故区区 g x 4x0.04x0.06=0.0048二次插值时，用 0.5,0.6,0.7三 点,作二次N e w t o n 插值In 0.54 -0.62 02 1 9+/0,5,0.6,0,7(0.54-0.5)(0 54-0.6)=-0.62 02 1 9+(-1.408 50)x0.04

4、x(-0,06)=-0.61 68 39误 差 限|2(x)|0.5)(x-0.6)(x-0.7)I，2fH，(X)-X=髅g 0.7|3?a(x)|X 1 6X 0.04X 0.06X 0.1 6 0.001 02 4271 62.在-4 W x W 4 上给出/(x)=e，的等距节点函数表，若用二次插值法求,的近似值，要使误差不超过10 1函数表的步长h应取多少？解：用误差估计式(5.8),=2 J(x)=e X j”,(x)=e*翳/-%区黑 4 F 3!0,=二 小 一 西 )()一 西令玉 _1 x 占+1，%=Xj-玉 _1，X j _ i=不 一 ,玉+1 =玉 +h2 1因一-

5、演)(X X j+)=1 0 6Q /Q得 犷 x l 0 ,/?0,00663.若/XX)=X7+/+3X+1,求 2。,2 1.,2 7味叨2。,2 1.,2 8 .解：由均差与导数关系正 ，尸)/(x)=/+/+3x+l J。)=7!J(X)=0于是/2。,2 -,2，=；7!=1,42。,2 1.,2 8 =04 .若*x)=+i(x)=(x-x()(x-均)。-/),%(，=0,1,J)互异,求 f x0,x1,-,xr 的值,这里p J(x J/叫+2 5)=J，+1，=1i-0(%)f o,P 0=%-1 +以-1 -机-2+乃-Axo=A x,-A x o6 .已知f(x)=s

6、 h x的函数表Xi00.200.3 00.5000.201 3 40.3 04520.521 1 0求出三次N e w t o n均差插值多项式，计算f (0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表X if (x j一阶均差二阶均差三阶均差000.200.201341.00670.300.304521.03180.083670.500.521121.08300.170670.17400由式(5.1 4)当n=3时得N e w t o n均差插值多项式N 3 (x)=l.006 7x+0.083 6 7x(x-0.2)+0.1 7400 x(x-0.2)(x-

7、0.3)由此可得f(0.23)N 3 (0.23)=0.23 203由余项表达式(5.1 5)可得限(0.23)1 =力 丽,程均O 23(0.23)由于加飞,马,心，看,0.23股0.0 3 3 1 3 3(0.23)区 0.0 3 3 1 3 3 x 0.23 x0.0 3 x0.0 7 x0.27 4.3 2x W67.给定f(X)二C O S X的函数表x0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.61.00000 0.99500 0.98007 0.9553 4 0.921 06 0.87758 0.8253 4用 N e w t o n 等距插值公式计算co s 0.048及

8、co s 0.56 6 的近似值并估计误差解：先构造差分表f (Xi)A W)*俨力A4Z(V4/)%俨力1.00000-0.005000.99500-0.00993-0.014930.000030.98007-0.009800.00012-0.024730.00025-o.000020.95534-0.009550.00010-0.034280.00035-o.000010.92106-0.009200.00009-0.043480.00044-0.00876-0.052240.85234计算COS0.04&X=0.048K=0.1=T=0.4 8,用.4 得 N e w t o n 前插公

9、式N4(X0=纺)=%+4/o 一D+1)-2)-1)(Z-2)(/-3)=1.0。00+。排0.0050。-0.52仁 竺 理一向竺哂-2.52X%吗误差估计由公式(5.1 7)得%。048)区牛除-1)-2)-3)-4)旷=15845 X10-7其中Ms=|sin 0.6|=0,565计 算 c o s O.5 6 6时 用 N e w t o n 后插公式(5.1 8)x=0.566,x6=0.6,/=-0.34V2/A3/A4/co s 0.56 6 阳 跖(通 +纺)=A +乜 +tt+1)+1)(/+2)+t(t+1)(Z +2)Q +3)=0.8253 4-0.3 4 x -0.

10、05224+0.6 6 x-0.00876，乙-+1.6 6 x20.00044 0.00009-+2.6 6 x-2460.84405误差估计由公式(5.1 9)得I凡(0.56 6)1 M 争(+1)(/+2)(/+3)(/+4)犷 ()=二(端+2 K。)=/+2(3 )2-0 2-0fl f ，兀=0Jo X W E(x)dx=20,k0f、2 6 3K x)=x-x +(4)5 10第 4 章 数 值 积 分 与 数 值 微 分习题41.分别用复合梯形公式及复合S i mps o n公式计算下列积分.解 本题只要根据复合梯形公式(6.11)及复合S i mps o n公 式(6.13

11、)直接计算即可。对取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按 式(6.11)求出4=0.111402 4,按 式(6.13)求得$4=0.1115 7 2 4,r l x=0,1115 7 17 8积分 Jo 4+%22 .用 S i mps o n公式求积分口一,八，并估计误差解：直接用S i mps o n公 式(6.7)得f l 1 -,9好 1 +4/2 +/)=0.6 3 2 3 3由(6.8)式估计误差,因曲)=)叫 力=尸,故*|=(_L Y1 1 尸 3,5x1 0 1 2 1 I 180人 2)180 163.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求

12、积公式所具有的代数精确度.fl(D fo/(x)dx x A f(0)+B/CX i)+(7(1)r2 h(2)L/抗 M A j(-h)+4 4 0)+4 4 3(3)1：/(乃 击 削 用(上)+8/。1)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。(1)令小)=L x/,/代入公式两端并使其相等，得A+B+C=lS 0 1Bx；+C=g解此方程组得=5*=/=/=%,于是有1/(0)+|/(1)+1/(1)f1 4,2 .1.4 1 5再令/1()=X、得JoA 2 +6=2 4故求积公式具有3次代数精确度。(2)令小)=1，/代入公式两端使其相等，得4+4+4=4%J4

13、_J+4 =04(一犷+型2=|(2)3 +4吟力g4解出乙=4=/4=-/初 止/得3 d为=|旗叫3+必=0而对八x)=x，不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。(3)令“0 =1，x*代入公式精确成立,得A+B=2hkA+Bx j =013 1解得=/八/=之 得求积公式Cj(x)dx(一4)+37(；初对/=/0=1 J3d x =?(一4)3+3 3町3 =一 1N故求积公式具有2 次代数精确度。*T4.计算积分 =ysmx d 若用复合S i mpson公式要使误差不超过I I。二 问区间电自要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间电学应分为多少等分？解：由 S

14、i mpson 公式余项及x)=si n X./(4)(X)=si n X得冗以 小 焉(苏 喘益”叫到=2L(ly(ly -(-)3x l 05 6.46 x l 04即 6 2心2 54.2取 n=2 55才更使复合梯形公式误差不超过,2 _ 尸小5.用 Romb e rg 求 积 算 法 求 积 分 而，取 出=3解：本题只要对积分 尸公使用Romb e rg 算 法（6.2 0）,计算到K 3,结果如下表所不。以，*00.68394010.6452350.63233320.6354100.6321350.63212230.6329430.6321210.6321200.6321202

15、1于是积分忑 爻 Q 积分准确值为0.7132 726.用三点Ga u ss-L e g e nd re 求积公式计算积分.C x2exdxJo解：本题直接应用三点Ga u ss公式计算即可。_ 1由于区间为 0，所以先做变换x f l 0 v rl 1 0 hM）/=（x2e dx=J 京（+1）.2 dt于是I-0,555556 X (1.7745972 e 8872 98+(1-0,774597)2.e0 112 70 2)+0.888889s0 J =0.7182 528本题精确值上”2 =0.7182 8182 87.用 三 点 Ga u ss-C h e b ysh e v求 积

16、公 式 计 算 积 分I=J1/1 dx解：本题直接用Ga u ss-C h e b ysh e v求积公式计算即/)=七z y于 是 l x1后 区，因n=2,即为三点公式，于是2 为+1,一招 _ n _ 73xk=cos-区,1f c =0,1,2 gpzo=2rXi=-7后3故-j=+l+1=2.6304118.试确定常数A,B,C,及a,使求积公式f /dx 4/(-a)+a(0)+7 J有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Ga u ss型的求积公式?解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令7&)=1,兀/,才对公式精确成立，得到A+B+

17、C=J；dx=4-aA-v aC=xdx=0,J-2a2A+a2C=C x2dx=匕 3-以 34+白 3c=0由(2)(4)得人二口(1)这两个方程不独立。故可令/。)=吃 得a2J4+a4C=j j%x=?(5)由(3)(5)解得“二,A=C10D_ 16代 入(1)得好互9,则有求积公式f/（X）右 吟 彳-栏）+枭（0）+与 彳 栏）令曲）=/公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Ga u ss型的。第五章解线性方程组的直接法习题五1.用Ga u ss消去法求解下列方程组.111八尸产+铲3=91 1 1 o1勺+1工2+-%3=8(X 1

18、 +X 2+2向=8解 本 题 是Ga u ss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。1 1 1 nx,+x,+x,=94 5 61 160 2 451315x3=-154=-154x153=-177.69x2=-60(-4+x3)=476.92故再=4(9 一 一 3与)=一2270812再-3X2+3X3=15 -18勺+3X2+3X3=-152.用列主元消去法求解方程组及+叼+=6 并求出系数矩阵A 的行列式detA的值解：先选列主元句=2,2行与1行交换得-183-1-15-183-1-is-0-175屋平=12-33is7317,311116消元06186 _

19、3行与2行交换037676-1 -1517 3118 622 66o回代得解x3=3,x2=2,Xj=1行列式得7 22detA=-18*1 =-666 73.用 Doolittle分解法求的解.解：由矩阵乘法得14A=LU=-321-41-36 1J1 15 61 _ J _60 451315再 由 求 得y =(9 T 7 5 4)r由以=丁解得x=(-227.08,476.92,-177.69)r4.下述矩阵能否作Dool i t t l e 分解，若能分解,分解式是否唯一？12 3A=241467j11 ,-126.221 C =251533161546解：A 中 生=。，若A 能 分

20、 解，一 步 分 解 后，&2 2 =2 2+2 2 =以2 2 =，3 2 =4 2+0+0,相互矛盾，故A不能分解,但deM w 0,若 A中 1行与2 行交换，则可分解为LU对 B,显然生=5=0,但它仍可分解为1B=2 1,3 自1 1 10 0-11J|_O 0 J _2_分解不唯一，J为一任意常数，且 U奇异。C可分解，且唯1 I ric=2 16 3 1216315.用追赶法解三对角方程组A x=b,其中2-100o,1-12-1000A=0-12-10,b=000-12-10000-120解：用解对三角方程组的追赶法公式(3.1.计算得12 3 481=一 尸2=_耳，尾=一了

21、 A=-y_0 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6al-2,%-于-号。4 -J，%一 5_/1 1 1 l、r 一5 2 1 1 1、了y2,3,4,5,6)，X6,3,2,3,6),16 4 84 5-46.用平方根法解方程组1 一4 2 2解：用心盘分解直接算得4L=1 22 -3 3由沙=匕 及 乃x=y求得1y=(-l,2,6)r,x=(-1,4,2)r7.设x eW,证明 闻2 如 怵 口解：卜 I：=号鬻君+W=同：即卜卜凡，另一方面|成=X；+君+X；6.忖|=小和(3.1.3)故凡工俐W L0.6 0.5A =8.设L01 0 3 计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数解：风=

22、11，1 4 =0&1 =衍=0 3r r 0.3 7 0.3 3 1 r j=c”，/口）=0.6 8 5 3 40.3 3 0.3 4故|即=J 06 8 5 3 4=0.8 2 7 8 59.设间为R*上任一种范数，PeR2是非奇异的，定义H =M,证明 1K=h4kli证明：根据矩阵算子定义和比定义，得I I .max _axxio下UM同令 PX,因P 非奇异，故 x 与 y 为一对一，于是|即=鬻一/=|取丁|回1 0.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计1 吐,2 40-3 19网317 7 9 2 40 目，即 A12 40-3 19.5 卜i 3 17 9.5 2 4

23、0 xj 田，即（力+闻（x+凉）”解：记-2 40 3 19 F 0-0,5 A=,SA=-17 9 2 40 J -0.5 0_则=5的解工=（4,豕,而5+硼。+a）=力的解（工+示）=（8,6/故同9=4,1矶=4而1 2 40=499 17 93 192 40 C。必也=|儿=6 2 6.2IK=05k1LK =0 56012由（3.12）的误差估计得 网(|CondA-=0 5 6 0 1 2 1,2 7 4帆 舞 0 43 98 8IK M L2 7 4帆 5.10表明估计I制 =4略大，是符合实际的。11.是 非 题（若是在末尾O 填+,不是填-）：题目中x=Qi，勺）了 附.

24、）6五 双*（1）若 A对称正定，底丈，贝!1札=（小，”严是月上的一种向量范数（）（2）定义四=吧鬻是一种范数矩阵（）（3）定义/=（马 严 是 一种范数矩阵（）（4）只要d e M w O ,则 A总可分解为A=L U,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵（）（5）只要d et H w 0，则总可用列主元消去法求得方程组45的解（）（6）若 A对称正定，则 A可 分 解 为 人 其 中 L为对角元素为正的下三角阵（）(7)对任何Ae短嘟有M L川儿NMil()(8)若A为正交矩阵，贝 心。必 益=1()答案：(1)(+)(2)(-)(3)(+)(4)(-)(5)(+)(6)(+)(7)(

25、一)(8)(+)第六章解线性方程组的迭代法习题六1 .证明对于任意的矩阵A,序列L收敛于零矩阵解：由于网引邮而比打 =r 1 。故 匕 中-02 .方程组5无1 +2X2+x3=-12 一 工1 +4X2+2X3=202勺-3町 +10 x3=3(1)考查用J a c o b i 法和G S法解此方程组的收敛性.(2)写出用J 法及G S法解此方程组的迭代公式并以=0W计算到产”-0L 为止一5 2 1 A=-1 4 2解：因为 L -3 10,具有严格对角占优，故 J 法与G S法均收敛。(2)J 法得迭代公式是X产1)=_；(1 2 +2津+卓)x产)=；(2 0 +染-2岁)x y)=5

26、(3 -2 x 4 +3邛)土=0,1,-取”)=(0,0,0)，迭代到1 8 次有/8)=(-3.999996,2.99997 4,1.99999-|x(1 7)-x(1 8)|L 0,4 1 4 5 x 1 0 G S迭代法计算公式为X产=_；(1 2 +2 x#+X肾)铲)=(2 0 +铲)-2本)铲)=焉(3 -2 x严)+3铲)沈=0,1,取/)=(-4.0 0 0 0 3 6,2.99998 5,2.0 0 0 0 0 3)r|x(7)-x(8)|L 1,解此方程组的G S法不收敛。1 1 0 a 0A=b 1 0 b5.设.a 5 ,d et A W O,用a,b 表示解方程组A

27、 x=f的J 法及G S法收敛的充分必要条件.解J 法迭代矩阵为Q（8）=U _ L 1100 0z 01010b bb bc c 3 ab 八B =-0 -,d e t（/?J-B）=2=兄（42 一 -TT）=010 1010 101000-00-255,100故 J 法收敛的充要条件是回 三。G S 法迭9代矩阵为-10 0O-0 aO-G =b 10 000-b0a5_ 000 _b 1 To o-i oa b a500-500 00 0J。5-a 00-b0 00b0a-io以bi o o-a 2bb-10ab50.0L 500=（为2 喘）（4由(=需 1得 GS法收敛得充要条件是

28、网T6.用 SOR方法解方程组（分别取3=1.03,3=1,3=1.1）4句-x2=1 4 54对于 S OR 法 WQ j 3.4001一 一，取 K=58.填空题a 1 0 A=10-(1)2j 要使，4=0 应满足().则解此方程组的Ja c o b i 迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度R(B)=().2-1,(3)设方程组A x=b，其中 I】词其 j法的迭代矩阵 是().G S 法的迭代矩阵是().%+ax2=4(4)用 G S 法解方程组t 眄+x?=-3；其中a为实数,方法收敛的充要条件是a 满 足().-1(5)给定方程组.一队a 为实数.当a 满足(),且 0 V3 V2

29、 时S OR 迭代法收敛.答:回 】(2)J 法是收敛的，R(5)=(-lnX?(5)=-ln0.8=0.223)0-0-B=2 G=22 1 J 法迭代矩阵是 r3 ,G S 法 迭 代 矩 阵 一 打 礴 足*5礴足同 】第七章 非线性方程求根习题七1.用二分法求方程-钎1 =0的正根，使误差小于0.05解 使 用 二 分 法 先 要 确 定 有 根 区 间 句。本题f (x)=x2-x-l=0,因 f(l)=-l,f (2)=1,故区间 1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在 1,2内。用二分法计算各次迭代值如表。%4=1.59 375其误差 5 E=1,故迭代法发散。在迭代(1

30、)及(2)中，因 为(2)的迭代因子L 较小，故它比(1)收敛快。用(2)迭代，取厮=1.5,则勺=1.4 8 1 2 4 8,叼=1.4 7 2 7 0 6,x3=1,4 6 8 8 1 7,x4=1,4 6 7 0 4 8x5=1.4 6 6 2 4 3,x6=1,4 6 5 8 7 7,x7=1,4 6 5 7 1 0,x8=1,4 6 5 6 3 4x9=1.4 6 5 5 9 9,x1 0=1.4 6 5 5 8 3,xn=1.4 6 5 5 7 7,x1 2=1.4 6 5 5 7 4x1 3=1.4 6 5 5 7 2,=1.4 6 5 5 7 23.设方程1 2-3 x +2

31、c o s x =0的迭代法2xk+i =4 +-c o s xf c(1)证明对 而e玛均有比x 产,其中x*为方程的根.(2)取、。=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过1 0 ,并列出各次迭代值.(3)此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论解：(1 )迭 代 函 数W(x)=4+gc o s x ,对 鹏 有3 (?(x)5,故 乃(x)e (-0 0,+0 0)M(x)=-gs i nx,|(P(X)|-=Z 1(2)取而=4,则有各次迭代值%1 =3.5 6 4 2,x2=3,3 9 2 0,x3=3,3 5 4 1,x4=3,3 4 8 3xs=3.3 4 7 5,x6=3,3 4 7

32、 4,x7=3,3 4 7 4取产.3.3 4 7,其误差不超过I O?l i m Xg+无 _、lim.x xf CD(3)x*双凝）一磔高2=江(x*)=-y s i n x*靛一 x*故此迭代为线性收敛4 .给定函数*x）,设对一切x,/（X）存在，而且0 m 4 f（x）4 M.证明对0。，/为单调增函数，故方程。）=。的根是唯一的（假定方程有根父）。迭代函数内）=彳犷，/x）=l-元私）。令加工儿 贝|J =m ax|l-刀 町,|1-电|zk-i -xk 7-8-1 加-1 z,-2九+政令x0=1.5,7 o=14142 15,z0=1,5 5 37 7 1X =1.467 34

33、3,%=1.462 7 90,4=1.469969X2 =1.465 5 7 6,为=1 465 5 64/2 =1,465 5 82x3=1.465 5 7 1,1.465 5 76.用 N ew t on 法求下列方程的根,计算准确到4 位有效数字.(1)/(X)=X3-3Z-1=0 在/=2 附近的根.(2)/(为=芯2-3x-e*+2=。在通=1附近的根解：(1)/(X-(X)=3X2-3N ew t on 迭代法x：3 通1展 3()取%=2 ,贝 卜=1.8889,必=0.2 5 7 5 1,x3=0.2 5 7 5 3,x4=0,2 5 7 5 3,取1.87 9f(x)=x?-

34、3 x-/+2J，(x)=2五 _ 3 _ L2 Q 戒 cXj.-3Xc-6+2(2)i f -2x-J 3令两=1,ljl!)i=0.2 6894,x2=0.2 5 7 5 1,x3=0.2 5 7 5 3,x4=0.2 5 7 5 3,取x*0.2 5 7 57.应 用 N ew t on 法于方程#-a =o,求立方根痂的迭代公式，并讨论其收敛性.解：方程#-a =o的根为产=短 用 N ew t on 迭代法X：一 以 2 ,A 4=工 工 -3炉 =3X k+3x9 二 此公式迭代函数“）=铲十万则|-寻0；故 迭 代 法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设。0,对飞。2 a 2XQ+以 3 厂X1 =3%0 +-3-5-=-3-x-；5-3一般的，当取 。时有x“i =三 敢 +2 痂,k=0,1,3 30这是因为-遍）2（2改+盼）=2城+a -3卷区20当敌）0时成立。1从 而 凝 一，即 表明序列二）单调递减。故对K。,迭代序列收敛于指