2018年数学中考压轴题.pdf

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1、2018年数学中考压轴题1由于受甲型H1N1流感(起初叫猪流感)的影响，4 月初某地猪肉价格大幅度下调，下调后每斤猪肉价格是原价格的，原来用60元买到的猪肉下调后可多买2 斤.(1)求 4 月初猪肉价格下调后每斤多少元？(2)4月中旬，经专家研究证实，猪流感不是由猪传染，很快更名为甲型H1N1流感.因此，猪肉价格4 月底开始回升，经过两个月后，猪肉价格上调为每斤14.4元.求 5、6 月份猪肉价格的月平均增长率解 析(1)【思路分析】设 4 月初猪肉价格下调后每斤x 元，由“下调后每斤猪肉价格是原价格的”可得原价格为每斤x 元.根 据“原来用60元买到的猪肉下调后可以多买2 斤”列方程解答.解

2、：设 4 月初猪肉价格下调后每斤x 元，则原价格为每斤x 元.(1 分)根据题意得：一=2,(3 分)解得：x=10,经检验，x=10是原方程的解.(4 分)答：4 月初猪肉价格下调后每斤10元.(5 分)(2)【思路分析】由(1)题可知，猪肉的原价格是10元，设月平均增长率为y,则第一个月上调后的价格 为 10(1+y),第二个月上调后的价格为10(1+y E 根据题意可列方程.解：设 5、6 月份猪肉价格的月平均增长率为y,根据题意得，10(1+y尸=14.4,(6 分)解得：yi=0.2=20%,丫 2=2.2(不合题意舍去)，答：5、6 月份猪肉价格的月平均增长率为20%.(8分)2如

3、图，抛物线y=ax2+bx+4(a#0)的图象过A(l,0),B(4,0)两点，与 y 轴交于点C,作直线B C,动 点 P 从点C 出发，以每秒个单位长度的速度沿C B 向点B 运动，运动时间为t 秒，当点P 与 点 B重合时停止运动.(I)求抛物线的解析式；(2)如图，当 t=l 时，求4A C P 的面积；(3)如图，过点P 向 x 轴作垂线分别交x 轴、抛物线于E、F 两点.求PF 的长度关于t 的函数解析式，并求出PF 的长度的最大值：解析(1)【思路分析】将 A、B 两点的坐标代入抛物线解析式中，即可得到关于a、b 的二元一次方程组，解方程组即可.解：；抛物线 y=ax2+bx+4

4、(aW 0)的图象过 A(-l,0),B(4,0)两点，二，解得：，抛物线的解析式为：y=-x?+3 x+4 或丫=一仪+1)(*4).(3 分)(2)【思路分析】要求4 A C P 的面积，可用4 A C B 的面积减去4 A P B 的面积.本题关键是如何求解APB的面积.过点P 作 PQ 1A B 于点Q,则 PQ 是4 A P B 的高.在4 A P B 中根据PB 的长度及NPBA的度数，利用三角函数求出P Q,该题即可得到解决.Q B第2题解图解：当t=1时，CP=.:抛 物 线y=（x+l）（x4）的图象与y轴交于点C,r.c（o,4）.ACO=4.（4 分）VZCOB=90,C

5、O=OB=4,；.NCBO=45。，；.CB=4,BP=CB-CP=3,（5 分）过点P作PQLAB于点Q,如解图,PQ=PB-si/CBA=3X=3.（6 分）SAACP=SAACB-SAABP=ABOC-ABPQ=X5X4 X5X3=.（8 分）(3)【思路分析】求出直线BC的解析式，根据/C B A的度数以及CP的长度与t的关系式，可得到OE的长度与I的关系式，设出点P、F的坐标，由点F的纵坐标减去点P的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式，结合二次函数的性质即可求出最值；由翻转特性可知PC=PC,P F=P T,若四边形PFPC是菱形，则有PC=PF,由此得出关于t的一元二次方程

6、，解方程确定t值.解：设直线BC的解析式为y=kx+m(kW0),：直线 BC 过 B(4,0),C(0,4)两点，二，解得：.直线BC解析式为y=-x+4.(9分)VCP=t,ZCBA=45,OE=t,:点P在直线BC上，点F在抛物线上，.设 P(t,-t+4),F(t,-t2+3t+4),(0Wt=6,AB=10时，求。的半径.解析（1）【思路分析】连接O E,如解图，由 BE平分NABD和 O E=O B,可得OEB D,由等腰三角形的性质得B D L A C,所以O EJ_A C,根据切线的判定定理可得AC与。O 相切.解：连接O E,如解图，（1 分）：BE 平分NABD,.N O

7、BE=/D B E,（2 分）VOE=OB,AZOBE=ZOEB,；.NOEB=NDBE,，OEBD,（3 分）VAB=BC,D 是 AC 中点，；.BD_LAC,AOEAC,；.A C 与。O 相切；（4 分）（2）【思路分析】设。O 半径为r,易证A O E s A B D,利用相似三角形对应边成比例，建立关于r的方程，然后解方程求出r.解：设。O 半径为r,则 A O=10-r,（5 分）由 知,OEBD,AAAOEAABD,=,即=,（6 分），r=,即。O 半径为.（8 分）6如图，直 线/：y=3 x+3 与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点8,把A 0 8 沿 y 轴翻折，使得点

8、A 落到点 C,抛物线过点B、C 和 0（3,0）.（1）求直线B D和抛物线的解析式；（2）若B D与 抛 物 线 的 对 称 轴 交 于 点 点N在坐标轴上，以点N、B、D为顶点的三角形与MCC相似，求所有满足条件的点N 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P,使 品网=6?若存在，求出点尸的坐标；若不存在，说明理由.解析(1)【思路分析】由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式.解：；直线1：y=3 x+3 与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点B.0),B(0,3)；.,把aA O B 沿 y 轴翻折，使点A 落到点C,；.C(1,0).设直线B D 的解析式为：y=kx+b,.点 B(

9、0,3),D(3,0)在直线 BD 上，解得 k=1,b=3；直线BD 的解析式为：y=-x+3.(l分)由于点D(3,0),点 C(l,0)均在抛物线上，故可设抛物线的解析式为：y=a(x-l)(x-3),.,点B(0,3)也在抛物线上，；.3=aX(l)X(-3),解得：a=l,抛物线的解析式为：y=(x-l)(x-3)=x2-4x+3.(3分)(2)【思路分析】解题关键首先确定a M C D 为等腰直角三角形，因为4 B N D 与a M C D 相似，所以BND也是等腰直角三角形.如解图所示，符合条件的点N 有 3 个.解：抛物线的解析式为：y=x?4 x+3=(x-2 产 一1,.抛

10、物线的对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-1).第6 题解图 直线y=-x+3 与抛物线的对称轴交于点M,，M(2,1).设对称轴与x 轴交点为点F,则 CF=FD=MF=1,.MCD为等腰直角三角形.以点N、B、D 为顶点的三角形与AM CD相似，.BND为等腰直角三角形.如解图所示：(1)若 8口为斜边，则易知此时直角顶点为原点O,/.Ni(0,0)；(5 分)(1)若 8口为直角边，B 为直角顶点，则点N 在 x 轴负半轴上,；OB=OD=ON2=3,/.N2(-3,0)；(6 分)(HI)若 BD 为直角边，D 为直角顶点，则点N 在 y 轴负半轴上,VOB=OD=ON3=3,AN3

11、(O,-3).(7 分)满足条件的点N 坐标为：(0,0),(3,0)或(0,-3).(8 分)(3)【思路分析】解题关键是求出4P B D 面积的表达式，然后根据SAPBD=6的已知条件，列出方程求解即可.第6 题解图解：假设存在点P,使SM B D=6,设点P 坐标为(m,n).(I)当点P 位于直线BD上方时，如解图所示：过点P 作 PE，x 轴于点E,连接PD、PB,则 PE=n,DE=m3.SAPBD S 梯 形PEOB-SABOD-SapDE=(3+nm-X 3 X 3-(m-3)-n6,化简得：m+n=7，p(m,n)在抛物线上，.*.n=m24m+3,代入式整理得：m23m4=

12、0,解得：m=4,m2=LH=3 1 1 2 =8,P(4,3),P2(-l,8)；(10 分)(II)当点P 位于直线BD 下方时，如解图所示：过点 P 作 PE_Ly 轴于点 E,连接 PD、P B,则 PE=m,OE=-n,BE=3n.SAPBD=S 梯 形PEOD+SABODS/pBE=，(3+m(n)+X 3X3-,(3n)-m=6,化简得：m+n=-1，VP(m,n)在抛物线上，.*.n=m24m+3,代入式整理得：m23m+4=0,A=7 0,此方程无解.故此时点P 不存在.(11分)综上所述，第6 题解图一题多解：假设存在点P,使SAPBD=6,如解图所示，过点P 作直线r 平

13、行BD,r 与 BD 的距离为d,r 与 y 轴交点为B，,V B D=3,SAPBD=BD X d=6,A d=2,V B D 与 y 轴夹角为45。，ABB/=4,将BD上移或下移4 个单位，上移4 个单位，Y解析式为：y=x+7,联立r 解析式与抛物线解析式得：x2-3 x-4=o,X|=4,X2=-1,此时点P，坐标为（4,3）或（一1,8）;下移4 个单位，解析式为y=-x l,联立1，解析式与抛物线解析式可得：x2-3 x+4=o,V A 0,此方程无解，此时点P 不存在.综上所述，点 P 的坐标为（4,3）或（一 1,8）.7如图，在aABC 和4ADE 中，AB=AC,AD=A

14、E,ZBAC=ZDAE=90.求证：BD=CE,BD1CE；（2）将图中的4 A D E 绕 点 A 顺时针旋转a 角（0。X 2=3,；.OB=3,(5 分).点N 是 O B的中点，ON=,NE=,(6 分)；FN_Lx 轴，NAEC=NEFN=45,，EN=FN=,；.EF=EN=.(7 分)(3)【思路分析】假设存在符合条件的点M,设 M(,y),过 点 M 作 M Q C D 于 点 Q,根据题意得M Q=M O,再证出用ZFQMs R f/FN E,根据相似三角形对应边成比例列出关于y 的方程求解.解：直线N F上存在点M.过点M 作 M QLCD于点Q,如解图，(8 分)与 CD

15、 相切，MQ=OM,设 M（,y）,.MQ2=OM2=+y2,（9 分）VZM FQ=ZNFE,NFQM=NFNE=90。，.,FQMAFNE,-，-，即=,整理得：4y2+3 6 y-6 3=0,解得：y,=,y2=-.（ll 分）.点 M 的坐标为：MG）、M2（,-）.（12 分）9如图，边长为4 的正方形ABCD的边ADy 轴，点 P(0,1)是 C D 的中点，以 P 为顶点的抛物线经过点B,连接BD.(1)求抛物线和直线BD 的解析式；(2)如图，若点M 是抛物线上一动点(点M 不与点A、B 重合)，过点M 作 y 轴的平行线FM 与直线AB交于点E与直线BD交于点E,当线段M E

16、=2EF时，求点M 的坐标；(3)如图，平移抛物线，使平移后的抛物线顶点N 在直线PB上，抛物线与直线PB 的另一个交点为Q，点 H 在 y 轴正半轴上，当以H、N、Q 三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的 H 点的坐标.解析(1)【思路分析】由点P(0,-1)是抛物线的顶点，可设抛物线的解析式为丫=2*21,抛物线经过点B,故可求出a 值，进而得抛物线的解析式；设直线BD解析式为：y=k x+b,用待定系数法即可求出直线解析式.解：由正方形ABCD边长为4 及点P(0,1)可得，B(2,3)、D(-2,-1),设抛物线的解析式为y=ax2-1,把 B(2,3)代入得，3=

17、4a1,解得 a=l,抛物线的解析式为y=x2-1；(2 分)设直线BD 的解析式为y=kx+b,把 B(2,3)、D(-2,-1)代入得，解得 k=l,b=l,（3 分），直线BD 的解析式为y=x+l.(4 分)(2)【思路分析】设 点 M(x,x2-l),进而表示出E,F 点坐标，再根据M E=2EF列方程，便可求出M 点坐标.解:设点 M(x,X21),则 E(x,x+1),F(x,3),.M E=x+1 -(x2-1)=-X2+X+2,E F=3-(X+1)=2-X,(5 分)当 ME=2EF 时，可列方程一X2+X+2=2(2-X),(6 分)解得x=2 或 x=l,(7 分):点

18、 M 不与点A、B 重合，A x=l,AM(1,0).(8 分)(3)【思路分析】由平移性质可知：N Q=P B,设 P B 与 y 轴的夹角为a,由正方形可得sina；以点H、N、Q 为顶点的三角形如果是等腰直角三角形，可分三种情况解答，即/H Q N=90。、/H N Q=90。或NNHQ=90。三种情况.解：由平移性质可知，NQ=PB=2,设 PB与 y 轴的夹角为a,由正方形可得si a=.当NHQN=90。时，如解图，HQ=NQ=2,在 RfZPHQ 中，sina=,解得 HP=10,AH(0,9).(9 分)当NHNQ=90。时，如解图，HN=NQ=2,在/?rAPHN 中，sina=,解得 HP=10,.H(0,9).(10 分)当NNHQ=90。时，如解图，N Q=2,过点H 作 HGJ_PB于点G,由等腰三角形三线合一的性质及直角三角形性质可得，HG=NQ=,在 R/4PHG 中，si/a=,解得 HP=5,；.H(0,4).(11 分)综上，所有符合条件的H 点的坐标为：(0,9)和(0,4).(12分)IIf0第9 题解图