概率论与数理统计课后习题答案复旦版.pdf

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1、概率论与数理统计复旦大学习题一1.略.见教材习题参考答案.2.设4 B,C为三个事件，试用B,C的运算关系式表示下列事件:(1)N发生，B,C都不发生；(2)4与8发生，C不发生；(3)A,B,C都发生；(4)A,B,C至少有一个发生；(5)A,B,C都不发生；(6)A,B,C不都发生；(7)A,B,C至多有2个发生；(8)A,B,C至少有2个发生.【解】(1)ABC(2)ABC(3)ABC(4)AUBUC=AB CU ABC UABC U ABCUAB CUABC UABC=ABC(5)ABC=AU BJC(6)ABC(7)ABCUAB CUABC U AB ABC U Z 8C U ABC

2、=ABC=A U 5 U C)ABUBCUCA=ABC UABCU ABCUABC3.略.见教材习题参考答案4.设a 8 为随机事件，且 P )=0.7/(4-8)=0.3,求 P(AB).【解】P(AB)=-P(AB)=1-0.7-0.3=0.65.设/,8是两事件，且P=0.6,尸=0.7,求：(1)在什么条件下P CAB)取到最大值？(2)在什么条件下P CAB)取到最小值？【解】(1)当时，P(4 B)取到最大值为0.6.(2)当/U 8=Q时，P CAB)取到最小值为0.3.6.设 B,C 为三事件，且 尸(4)=尸(B)=1/4,P(C)=1/3 且 P(AB)=P(BC)=0,P

3、(AC)=1/12,求4 B,C至少有一事件发生的概率.【解】P(y i U g U C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)1 1 1 1 3_ _+_-4 4 3-1 2-47 .从 5 2 张扑克牌中任意取出1 3 张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？【解】尸/c：3co et8 .对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率;(3)求五个人的生日不都在星期日的概率.【解】(1)设小=五个人的生I I 都在星期日,基本事件总数为7 5,有利事件仅1 个，故P

4、(小)=4=(-)5(亦可用独立性求解，下同)75 7(2)设4=五个人生日都不在星期日,有利事件数为6,故/、6，6 5P(-2)=-j-=()75 7(3)设 4=五个人的生日不都在星期日P(小)=1-尸(小)=1-()59 .略.见教材习题参考答案.1 0 .一批产品共N件，其 中 A/件正品.从中随机地取出n件(n 30.如图阴影部分所示.p_ 302 _ l22.从（0,1）中随机地取两个数，求：（1）两个数之和小于的概率；5（2）两个数之积小于的概率.4【解】设两数为x,y,则 0 x,产 1.（1）x+y =0,1,2.又设8=抽出一球为白球.由贝叶斯公式知w）=在k ,尸 4由

5、4）P（B）P（8 P（4）/=0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2/3 xl/3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ l/3 xl/3 +2/3 xl/3 +l xl/3 -328.某工厂生产的产品中9 6%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设/=产品确为合格品,8=产品被认为是合格品由贝叶斯公式得PQ4B)P尸(/P(A)P(BA)P(N)P /)+P(N)P /)0.9 6 x0.9 80.9 6 x 0.9 8+0.04 x 0.05=0.9 9

6、 829 .某保险公司把被保险人分为三类：“谨慎的”，“一般的”，“冒失的”.统计资料表明，上述三种人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.1 5和0.3 0；如 果“谨慎的”被保险人占20%,“一 般的”占5 0%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故，则他是“谨慎的”的概率是多少？【解】设4=该客户是“谨慎的”,8=该客户是“一般的”,C=该客户是“冒失的”卜 该客户在一年内出了事故则山贝叶斯公式得P M D)=生 丝2=P P(。/)P(D)尸(Z)P(0/)+P(8)P(0 8)+P(C)P(0 C)0.2 x 0.050.05 70.2 x 0.05 +0.5 x0

7、.1 5 +0.3 x 0.33 0.加工某一零件需要经过四道工序，设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独立的，求加工出来的零件的次品率.【解】设4=第，道工序出次品（4 1,2,3,4）.4 _p（U4）=i尸（4 4 4 4）/=1=1P（4）P（4）P（4）P（4）=1-0.9 8 x 0.9 7 x 0.9 5 x 0.9 7=0.1 243 1 .设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?【解】设必须进行次独立射击.1 一 (0.8)N 0.9即为(0.8)4 0.1故 力

8、1至少必须进行1 1次独立射击.3 2.证明：若P (A 1 B)=P(A I B),则Z,8相互独立.【证】P(-B)=P(川豆)即名也=尸(好)P(B)P(B)亦即 P(A B)P 5)=P(AB)P(B)P(JB)1-P(B)=P(4)-P(J B)P(5)因此 P(AB)=P(A)P(B)故4与8相互独立.33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为工，-求将此密码破译出5 3 4的概率.【解】设4=第i人能破译(E23),则P(j 4)=1 -尸 不 =1-P(%)P(石尸()i=i,4 2 3=1 x x =0.65 3 434.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的

9、概率分别是0 40.5,0.7,若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设/=飞机被击落,5=恰有i人击中飞机,1=0,1,2,3由全概率公式，得3P(m =E P(A Bj)P(B)i=Q=(0.4 X 0.5X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5X 0.7)0.2+(0.4 X 0.5 X 0.3+0.4 X 0.5 X 0.7+0.6 X 0.5 X 0.7)0.6+0 4 X 0.5X 0.7=0.45835.已知某种疾病患者的痊愈率为2 5%,为试验一种新

10、药是否有效，把它给10个病人服用，且规定若10个病人中至少有四人治好则认为这种药有效，反之则认为无效，求：(1)虽然新药有效，且把治愈率提高到3 5%,但通过试验被否定的概率.(2)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.3【解】a=(0.35)&(0.6 5严*=0.5138k=010(2)p2=Z C o(0.2 5)，(0.75产*=0.2 2 41k=436.一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求下列事件的概率:(1)A=某指定的一层有两位乘客离开”；(2)8=“没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；(3)C=恰有两位乘客在同一层离开”；(4)A”至少有两位

11、乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为I O、种.C294(1)P(A)=,也可由6重贝努里模型：106小)=或(/白(2)6个人在十层中任意六层离开，故P6P(B)=一106(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有C；。种可能结果，再从六人中选二人在该层离开，有C：种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有C；C：C；种可能结果；4人同时离开，有C；种可能结果；4个人都不在同一层离开，有P；种可能结果，故P=C：C；(C；C：C；

12、+C；+P；)/1。6(4)D=瓦故P6P(D)=1-P(B)=1-瑞37.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求下列事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果个人并排坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】pt=-Z 7-1(2)P23!(3)!(H-1)!3小，(-1)!1，3!(-2)!(3)Pi ；Pz=,，2 3n n n38.将线段 0,团任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率【解】设 这 三 段 长 分 别 为 则 基 本 事 件 集 为 由Qxa f i ya f i a-x-ya-x-yx-v a-x-y)yy-

13、(a-x-y)x构成的图形，即0 y 色2；x+y PABU C)=P(AB J AC)=P(AB)+P(AC)_ P(ABC)P(AB)+P(AC)-P(BC)4 2.将 3 个球随机地放入4 个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1,2,3 的概率.【解】设 4=杯中球的最大个数为，,i=l，2,3.将 3 个球随机放入4 个杯子中，全部可能放法有43和 1，杯中球的最大个数为1 时，每个杯中最多放一球，故尸(4)=C#33=1 3而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故P(4)=WC1 13 43 163 1 9因此 P(A2)=-P(Ai)-P(A3)=-=-o l o l o

14、或尸(4)=FH=正43.将一枚均匀硬币掷2次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷 2次硬币，可能出现：/=正面次数多于反面次数,8=正面次数少于反面次数,C=正面次数等于反面次数,A,B,。两两互斥.可用对称性来解决.山于硬币是均匀的，故 尸(4)=2(3).所以P(3野由 2重贝努里试验中正面出现次的概率为P =G,(；)g)故 P(4)=jl C.44.掷次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设 4=出现正面次数多于反面次数,8=出现反面次数多于正面次数,由对称性知P(4)=P(B)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等.由尸(Z)+P(8)=1 得尸(Z)=P(8

15、)=0.5(2)当n为偶数时，由上题知1 巴 14 5.设甲掷均匀硬币+1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】令甲片甲掷出的正面次数，甲 反=甲掷出的反面次数.乙”=乙掷出的正面次数，乙反=乙掷出的反面次数.显然有(甲正 乙正)=(甲正W 乙Q=(+1-甲 反 乙 反)=(甲反2 1+乙反)=(甲反 乙反)由对称性知产(甲正 乙正)=p(甲反 乙反)因此P(甲 止：乙1H尸;46 .证 明“确定的原则”(S ur e-t h i n g)：若 P(AC)P(BQ,P(AC C),则 尸(J)2 P.【证】由P(4 P(B Q,得P(A Q P BC)P(C)-P(C)即

16、有 P(A C)N P(B C)同理由 P(AC)P(BC),得 P(AC)P(BC),故 P(A)=P(AC)+P(AC)P(BC)+P(B Q =P(B)47 .列火车共有节车厢，有必t 2)个旅客上火车并随意地选择车厢.求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设4=第i节车厢是空的，(E,)，则P(4)=J(yn np(4 4)=a-与nP(4 4 4)=(i上yn其 中。/2,/是1，2,，中的任-1个.显然节车厢全空的概率是零，于是a 1 1SI=ZP(4)=(IT=C；(IT/=!P(4 4)C(1-%l/J =i n n n48.设随机试验中，某一事件/出现的概率为 0.试证明

17、：不 论 e 0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，则/迟早会出现的概率为1.【证】在前次试验中，4 至少出现一次的概率为1-（1-）-1（/7-00）49.袋中装有加只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）.在袋中任取只，将它投掷/次，已知每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设/=投掷硬币厂次都得到国徽8=这只硬币为正品由题知 P（B）=一,P（B）=一m+n m+n1-P（）=p P（m 5）=1则由贝叶斯公式知尸（8 =以些=P（8）P（川 P（4）P（B）P（AB）+P（B）P（AB）m 1=m+n 2 二 mm n m+2 7-1-1/M+H 2 m+n

18、50.巴拿赫（Banach）火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N 根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时（不是发现空）而另一盒恰有/根的概率又有多少？【解】以5、电 记火柴取自不同两盒的事件，则有2 与）=?（鸟）=；.（1）发现一盒已空，另一盒恰剩r 根，说明已取了 2-厂次，设次取自与盒（已空），”-厂次取自5 盒，第 2-什1次拿起台，发现已空。把取2-/次火柴视作2-厂重贝努里试验，则所求概率为Pi =2 C 屋,（；）”（；）-；=C二苴式中2 反映囱 与为盒的对称性（即也可以是当 盒先取

19、空）.（2）前次取火柴，有”-1 次取自5 盒，-厂次取自用盒，第 2-r 次取自5盒，故概率为2 =2Ck-1 =C；二 T（g）2-i51.求重贝努里试验中A出现奇数次的概率.【解】设在一次试验中A出现的概率为p.则由(q+P)=C：p。/+Cnpq-1+C；p2g-2+.+C：pq。=1(q P)=C。/+C；p#+C犷 矿-2 一+(T)”c：p，q。以上两式相减得所求概率为PI=C：PL+C：PW-3+=1l-(l-2Pr 若要求在重贝努里试验中/出现偶数次的概率，则只要将两式相加，即得A=i i+(i-2Pr .52.设4 8是任意两个随机事件，求尸 (J+B)(A+B)(A +B

20、)(A+B)的值.【解】因 为(NU B)C l (A U B)=A B U A B(A UB)n (TIU 5 )=ABU AB所求(7+8)(/+8)(7+豆)(+豆)=(/另 UN8)n(N8+存)=0故所求值为0.53.设两两相互独立的三事件，A,8和C满足条件：ABC=,P(A)=P(B)=P(Q 1/2,且 尸(J U 5 U C)=9/1 6,求 尸 ).【解】由 P(N U 8 U C)=尸(Z)+P+P(C)P(AB)-P(A Q-P(5C)+P(ABC)=3 P(N)-3 P(Z)?=21 61 3 1 1故PQ)=上或士，按题设尸(A)上，故P (A)=-.4 4 2 4

21、54.设两个相互独立的事件工和8都不发生的概率为1/9,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，求P (4).-1【解】P(A 自=P(AB)故 P(A)P(AB)=P(B)P(AB)故P(A)=P(B)由4,8 的独立性，及、式有 =1 P Q)P(8)+P(4)P(8)=1 2 P(Z)+P(/)?=口-尸（，）2故1 尸（3）=；2 4故 尸（/）=或 p（/）=5 （舍去）即 p （J）=-.355.随机地向半圆0 y0四 册）=1,试比较尸（4 U8）与尸的大小.（2006研考）解：因为 P（AU 5）=P（A）+P（S）-P（AB）P(AB)=P(B P(Z 忸)=P(B)

22、所以P(A U B)=P(4)+P(B)_ P(B)=P(A).习题二1-一袋中有5只乒乓球，编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律.【解】X=3,4,5p(X=3)=-=0.1J5-3524-35c3-cc-c0.3=0.6故所求分布律为X345p0.10.30.62.设在1 5只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样,以X表示取出的次品个数，求：(1)X的分布律；(2)X的分布函数并作图；(3)1 3 3PX-,P X-,PlX-,P1 X 2.【解】X=0,1,2.C3 22p(X=0)=4=4C：

23、5 35CC?,12小35C1 1P(X=2)=空 J.%35故X的分布律为X012P22121353535(2)当 x0 时，F(x)=P(X W x)=022当 时，F(x)=P(X W x)=P(X=O)=一当 lWx2 时，尸(x)=尸(XWx)=P(X=O)+P(X=)=一当 x22 时，F(x)=P(XWx)=1故 X 的分布函数0,2 x)=223534351,x 00 x l1 x 2P(X 4)=呜)=|,3 3 34 34P(l .-)=F(i)-F(l)=-=03 3 I?尸(1乂 5)=尸(丫 =1)+尸(1工(1 X2)=P(X=2)+P(X=3)=0.896故 X

24、的分布律为X0123P0.0080.0960.3840.512分布函数0,x00.008,0 xlF(x)=0.104,lx20.488,2x 34.(1)设随机变量X 的分布律为PX=k=a ,其中QO,1,2,4 0为常数，试确定常数a(2)设随机变量X的分布律为P X=k=a/N,k=l,2,，N,试确定常数a【解】(1)由分布律的性质知1 =P(X=k)=a =a ek=0 k=Q k!故a=e(2)由分布律的性质知,v N1 =P(X=k)E =ak=t=l N即a =l.5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：(1)两人投中次数相等的概率；(2)甲比乙投

25、中次数多的概率.【解】分别令X、一 表示甲、乙投中次数,则刀/(3,0.6)，卜6(3,0.7)(1)p(x =y)=p(x =o,y=o)+p(x =i,y=i)+p(x =2,y=2)+p(X =3,Y=3)=(0.4)3 (0.3)3 +C；0.6(0.4)2 C；0.7(0.3)2+C(0.6)20.4C(0.7)20.3+(0.6)3(0.7)3=0.32076(2)p(x y)=p(x =i,y=o)+p(x =2,y=o)+p(x =3,y=o)+P(x =2,y=i)+p(x =3,y=i)+p(x =3,y=2)=C；06(0.4)2(0.3)3 +C2(0 6)2 04(0

26、.3)3+(0.6)3(03)3+C；(0.6)2().4C；0.7(0.3)2+(0.6)3C；0.7(0.3)2+(0.6)3C3(0.7)20.3=0.2436.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02,且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.0 1(每条跑道只能允许一架飞机降落)？【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则 后 6(2 0 0 0 0 2),设机场需配备N条跑道，则有P(XN)0.01即利用泊松近似200Z C：O O(O.O 2)“O.9 8)2 M N)工

27、B-4 4A (0.7/=0.35293k=31 0 .某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布，而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1)求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率._3 _5【解】P(X=O)=e 3(2)P(XN1)=1 -P(X=O)=1 -J11.设 PAHt=C：p(l p)2*仁0,1,2PY=m=C：pm(l-p)m,w=0,l,2,3,4分别为随机变量x,y的概率分布，如果已知p x 2 i=*,试求尸y、i.5 4【解】因为尸(X 21)=,故尸(X1)

28、=,.而尸(X 3 0 0 0 0)=P(X 1 5)=1-P(X 1 0 0 0 0)=P(X 2 0 0 0 0)=P(X 5)5 e-5 5/-0.6 1 5 9 6 1*=0 K I即保险公司获利不少于2 0 0 0 0 元的概率约为6 2%1 5.已知随机变量X的密度函数为J(x)=Ae _8X+8,求：(1)/值；(2)P 0*l;(3)F(x).【解】由 ,/(x)dx =l得1=j Je dx =2 (Aexdx=2A故A=-.2(2)p(0 l)=|e-rd,r =|(l-e-1),V 1 1当 时，/(工)=当了2 0 时，F(x)=-e|v|dx =.，dr+J e-vd

29、rx 0故尸(x)=0I 216.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为1 0 0,/)=1 0 0,x 1 0 0.在开始150小时内没有电子管损坏的概率;在这段时间内有一只电子管损坏的概率；F（%）.(1)P(X W 1 5 0)=fJ l(150)F49（2）2=C；(3)当 xvlO O 时 尸(x)=0当 x2100 时 f(x)=f /(/)d/H 00 e xI /辿+辿,1 0 0/=1-x故如）=,1 0 01-X0,x 1 0 0 x 017.在区间 0,上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在 0,a 中任意小区间内的概率与这小区间长

30、度成正比例，试求X的分布函数.【解】由 题 意 知 先 密 度 函 数 为/(x)=0,0 X(7其他故当x a 时,F(x)=1即分布函数xa0,x 0YF(x)=,0 x a18.设随机变量X在2,5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率.M l X-U2,5,即10,其他P(X 3)=f|d x =|故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布E，).某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出y的分布律，并求【解】依题意知x E(J),即其密度

31、函数为1 ，/、一e 5,x 0/U)=50,x10)=L 1 e 5dxy /5,e-2),即其分布律为P(Y=k)=C*(e-2/(1-e-2 产,A:=0,1,2,3,4,5P(y 21)=1 -P(y=0)=1 -(1-e-2)5=0.516720.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N(40,IO?)；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N(50,42).(1)若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？(2)又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？【解】(1)若走第一条路，祢N(40,IO?)

32、,则(Y-40 6 0-4 0、P(X 60)=J。J=玄2)=0.97727若走第二条路，XN(50,42),则P(X 6 0)=P(X；50 60；50)=也.5)=0.9 9 3 8 +故走第二条路乘上火车的把握大些.(2)若 XN(40,102),贝 IJ(X-4 0 4 5 4 0、P(X 4 5)=Pl I。.J =3(0.5)=0.6 9 1 5若 X-N(50,42),则心 JX-5 0 4 5 5 0、八P(X 4 5)=-2,PX3;(2)确定 c 使尸Xc=PXc.【解】(1)P(2 X 5)=P2-3 X 3 5-3-2 2 2=0(1)_ 0=0 1 +0 出=0.8

33、 4 1 3 1 +0.6 9 1 5 =0.5 3 2 8尸(4 X M 1 0)=P-4-3 X-3 1 0-3-2)=尸(X 2)+P(X 3)=P(-)=1-0(0)=0.5(2)C=322.由某机器生产的螺栓长度(cm)-N (10.05,0.062)，规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】尸(|X-1 0.0 5 1 0.1 2)=尸X 1 0.0 50.0 60.1 2)-0.0 6 )=1-0(2)+0(-2)=2 1-。(2)=0.0 4 5 62 3.工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（1 6 0,/）,若要求尸 1 2 0 VX

34、W2 0 0 0.8,允许。最大不超过多少？1 2 0-1 6 0 X-1 6 0 2 0 0-1 6 0【解】尸（1 2 0 X V 2 0 0）=尸-（T CT CF=3 1.2 5故2 4.设随机变量X分布函数为1.2 9F(x)A+B ex,0,x 0),（1）求常数/,B；(2)求巴XW2 ,P X 3 ；(3)求分布密度/(x).【解】（1）由+ocl im F(x)=l im F(x),x 0+x 0A=1B =l得V(2)P(X 3)=1-F(3)=1-(1-e)=e(3)/(x)=F,(x)=0 x 02 5.设随机变量X的概率密度为x,0 x 1,f(x)=2 x,1 x

35、2,0,其他.求X的 分 布 函 数/（x）,并画出/（X）及 尸（X）.【解】当x 0时F（x）=0当 o&v i 时 E（X）=。/（/）由=y（/）d/+，/）山/d/=2当 l Wx 2 时 E(x)=/f(t)dt=/(/)d/=/(r)d/+J7(/)d/=p d/+j (2 -t)dt-+2x-2当 x 2 2 时尸(x)=/(/)d/=l故/(x)=0,x2万，X2-h 2.x 1,21,x 00 x ll x 22 6.设随机变量X 的密度函数为(1),f(x)=q e M,入 0;b x,0 x 1,y(x)=4，1 X 0/(x)=；2-eAx x 0 时 F(x)=f(

36、x)dx=&dx +故其分布函数2F(吁12x 0 x 0(2)由1=j/(x)dx =j 4d x=g+；得b=l即X 的密度函数为x,/a)=4X0,0cx 11 x 2其他当xWO时 尸(x)=0当 0%1 时 F(x)=/(x)dx =/(x)dx+/(x)drxdx=-2当 l Wx 2 时 E(x)=j/(x)dx =j*O dx +jx dx +=3 _ J_2 x当xZ 2时 尸(x)=1故其分布函数为2 x1,x 00 x ll x 22 7.求标准正态分布的上a分位点,(1)a=0.0 1,求 z 相(2)a =0.0 0 3,求 Za，za/2.【解】尸(X z“)=0.

37、0 1即l 0(Za)=O.O l即0(Z)=O.O 9故2a=233(2)由尸(X z0)=0.003 得l-0(z j =0.003即 0(z j=0.997查表得 Z=2.75由 P(Xz/2)=0.0015 得l-0(za/2)=0.0015即0(za/2)=0.9985查表得 Z-/2=2.9628.设随机变量X的分布律为X-2-1 0 1 31/5 1/6 1/5 1/15 11/30求 丫 三铲的分布律.【解】y可取的值为0,1,4,9P(Y=0)=P(X=0)=(1 1 7p(y=l)=p(X=-l)+P(X=l)=-+=6 15 30P(Y=4)=P(X=-2)=|=9)=P

38、(X=3)q故y的分布律为Y0149pk1/57/301/511/3029.设 PX=k=(H A l,2,，令v 1,当X取偶数时Y=v-1,当X取奇数时.求随机变量X的函数y的分布律.【解】P(Y=l)=P(X=2)+P(X=4)+-+P(X=2A)+2p（y =T）=l _ p（y =1）=3 0.设 A-N （0,1）.（1）求 人 的概率密度；（2）求 y=z*+i的概率密度；（3）求 Q 1 X 1 的概率密度.【解】（1）当y 0 时,5 3)=尸(y “)=P(e*)=P(X o(2)P(r =2X2+l l)=l当y Wl 时4(y)=P(y l FY(y)=P(Y y)=P

39、(2 X2+1 y)当yW O时 为。）=/（丫）=0当yX)时FY(刃=P(|Xy)=P-y X 05/2 7 13 1.设随机变量六。(0,1),试求：(1)片/的分布函数及密度函数；(2)Z=-2 l n 的分布函数及密度函数.【解】(1)尸(0 X l)=l故 尸(1 丫 =e*e)=1当 y w i 时 4(y)=p(y(y)=o当 l y e 时 片(y)=P(e*)=P(X ny)fin y=I dx=ny当 户e 时 耳(y)=P(e X )=l即分布函数0,y耳l y e故y的密度函数为f i ,1 y 0)=1当 z WO 时，Fz(z)=P(Z 0 时，Fz(z)=P(Z

40、 z)=P(-2l nX z)=P(l nX e-2)=L =l 一e*即分布函数z 0故Z的密度函数为j_ _ z为(z)=0z 032.设随机变量X的密度函数为2x7(x)=无 2，0,0 X 7 1,其他.试 求y=sio的密度函数.【解】p(o y i)=i当 y W0 时，FY(y)=P(Y y)=0当 05y1 时，FY(y)=P(Y y)=尸(sin X y)=P(0 X arcs in y)+尸(兀-arcs in y X n)dx +17-arcsin v 兀 一arcsin 歹?+1 一 二(兀 一 arcsin y)2TC2arcsine兀当时，耳(歹)=1故y的密度函数

41、为2/1,o y l0,其他33.设随机变量X的分布函数如下：12x)=TTF，X(，x N (3).试填上，,(3)项.【解】由lim尸(x)=l知填1。由右连续性li m F（x）=F（x0）=1知/=0 ,故为0。从而亦为0。即-x 0F（x）=03 4.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律.【解】设4=第i枚骰子出现6点。（i=l,2）,P（4）=L且为与出相互独立。再设C=每次6抛掷出现6点。则p（c）=p（4 U 4）=P（4）+P（4）P（4）P（4）故抛掷次数x服从参数为 的几何分布。3 63 5.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现 次的概率不小于

42、0.9?【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含个数字，则X-b（n,0A）P（X 1）=1-P（X=0）=1-C：（0.1）。（0.9）”0.9即(0.9)W 0.1得 2 2 2即随机数字序列至少要有2 2个数字。3 6.已知0,x 0,F(x)=x H ,0 x 一,2 2则 尸（x）是（）随机变量的分布函数.（A）连续型；（8）离散型;（C）非连续亦非离散型.【解】因为尸（x）在（-8,+8）上单调不减右连续，且li m F（x）=1,所以F（x）是一个分布函数。X f+Q O但是尸（x）在尸0处不连续，也不是阶梯状曲线，故 尸（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）3

43、 7.设 在 区 间6 上，随机变量X的密度函数为加 尸s i n r,而在 a用外，X x）=O,则 区 间 a,6 等 于()。，；(5)0,i t ;3(Q 一 无/2,0;(D)0,-n .7 E r/2【解】在 0,上sinxNO,且 sinxdx=l.故y(x)是密度函数。在 0,兀 上f sinxdx=2 w l.故7(x)不是密度函数。7T在 -5,0 k s in x 0,故人 工)不是密度函数。3 3在 ，兀 t,当兀兀时，siiuy。，也不是密度函数。故 选(4)。38.设随机变量齐N(0,。2),问：当。取何值时，X落入区间(1,3)的概率最大？【解】因为X N(0,b

44、2),P(lX 3)=P(L )(y(7 (73 1=中(一)-(一)令g(b)C T C T =利用微积分中求极值的方法，有3 3 1 1g 3)=(-7)+b(J (T a3 1 -9/2 C T2,1 1 -l/2 a2=一募诟.而1 2 2令=._?e-1/2a l-3e-8/2a =01 2兀 b、4得 其=方,则又gff(To)O2故4 -7=为极大值点且惟一。闹2故当b =时X落入区间(1,3)的概率最大。Vln339.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P(X ),每个顾客购买某种物品的概率为P，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的

45、人数丫的分布律.yn【解】P(X=m)=-，加=0,1,2,m设购买某种物品的人数为匕 在进入商店的人数齐加的条件下，Y-b(m,p),即P(Y=kX =m)=Cpk(l-p y-k,k=Q,l,-,m由全概率公式有00P(Y=k)=E 尸(X=P(y=kX =m)m=koo-A【m8=m-kAm左!（加一左）!;P”(1 P尸(4 p)卬-P)L（;一 女）！(P)k Z(l-p)k=0,1,2,-此题说明：进入商店的人数服从参数为人的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为3.40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：勺1-e-在区间（0,1）上服从均匀分布.【证】X

46、的密度函数为由于尸(。0)=1,故 01-亡%1,即 P(0/1)=1当 yWO 时，Fy(y)=0当 时，Fy(y)=1当 0产 时，FY(y)=P(Y 1 -=P(X -1 ln(l-y)-JT2 2e_dx-y即y的密度函数为1 0 y l/心)=I。，其他即 YU(0,1)41.设随机变量X的密度函数为0 x 1,.)=3 x 6,0,其他.若人使得P X 2 储=2/3,求 4的取值范围.(2 0 0 0 研考)2 1【解】由 尸(X 2 k)=一知P(X k)=-3 3若 k0,P(X k)=0苻1 k 1若 QW kW l F(X k尸-dx =-加3 3 3当时尸(X k)=-

47、3若 1 W A W 3 时 P(X(k)=f；dx+f 0 dx =1j 祐 2 2 1 1若 3%W 6,则 P(X 6,贝 I P(X vk)=12故只有当1WZ3时满足(X 2 4)=-.34 2.设随机变量X的分布函数为0,x 1,0.4,1 x 1,F(x)=0.8,1 x 3.求 X的概率分布.(1 9 9 1 研考)【解】山离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为X-113P0.40.40.24 3 .设三次独立试验中，事件/出现的概率相等.若已知/至少出现一次的概率为1 9/2 7,求 4在一次试验中出现的概率.【解】令 X为三次独立试验中/出现的次数，

48、若设P(4)则X-b(3,p)1 9 8由 P(X 2 1)=知 P(A=0)=(1 p)2 7 2 74 4 .若随机变量X在(1,6)上服从均匀分布，则 方 程/+如 1=0 有实根的概率是多少？【解】0,其他4P(X2-4 0)=P(X 2)+P(X 2)=-4 5.若随机变量人 (2,。2),且 P 2 X 4 =0.3,则P X 0 =.7 _ o y _ 7 4 _ 7【解】0.3=P(2 X 4)=P(-)a a a2 2=0()-0)(0)=0()-0.5故(2)=0.8crY 2 0 2 7因此 P(X 0)=P(-9 6)=p=1-0()V (J (7)(J故查表知从而 X

49、N(72,122)2 40()=0.9 7 7a2 4=2，即 o=12故 尸(6 0 WX 4 84)=尸 6 0-7 2 X 7 2 84-7 2-I 1 2 1 2 1 2=0(1)-0(-1)=2 0(1)-1=0.6 8248.在电源电压不超过200V、200V240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1,0.001和0.2(假设电源电压X服从正态分布N(220,252).试求:(1)该电子元件损坏的概率(2)该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率【解】设小=电压不超过200V,为=电压在200240V,小=电压超过240V,8=元件损坏。由 X-N

50、(220,252)知P(4)=P(X 200)/X-2 2 0 200-220、一 I _ 2 5-25-J=0)(0.8)=1-0)(0.8)=0.212=P(200 W X 4 240)_ 200-220 X-220 240)=1-0.212-0.576=0.212由全概率公式有3a =P(B)=P(AjP(B Aj)=0.0642Z=1由贝叶斯公式有B =P(A2|B)=P(4)P 4)x o oo949.设随机变量X在 区 间(1,2)上服从均匀分布，试求随机变量Ke?*的概率密度力(y).【解】/x（x）=1,1 x 20,其他因为 P C i X 2)=1,故 尸(e2y e4)=