2015年五年高考数学(理)真题——专题03导数与应用(大题).pdf

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1、3 5.【2 0 1 1 新课标，理 2 1】已 知 函 数/*）=也 +2,曲线y=/（x）在点（1,犬1）处的切线方程为x+2 yx+1 X-3 =0.(1)求 a,b 的值;(2)如果当 x 0,且 xW l 时，/(x)-n-Y +-k,x-Xa(W-In x),【解析】：八 )=汽飞-0),X则 h(x)=(&T)(*：+l)+2”X(i)设 ZO.由+D-L 知，当 时,h (x)0,可得一-h(x)0 ；当(1,+8)时，TJ(JT)0.1-x*1-三从而当”o,且 g时，f(x)-_)0,x-1 X即/(x)+-.x-1 X(i i)设 OV jJ r 0,故 力 (”)0.而

2、方(1)=0,故当(1,1-k )时，力可得一L，:(x)vO,与题设才盾.l-k 1-.Y(i i i)设 5 2 1.此时力(x)0,而力(1)=0,故当(L+8)时,力(x)0,可得J 76 a)0时,g(x)0,求人的最大值；(I I I)已知1.4 1 4 2 8 0,g(x)0；(2)当b2 时，若x满足 2 ev+”*2匕-2,即 0 x l n(b-l +炉豆)时，g (x)0 ,而 g(0)=0 ,因此当0 x l n3-l +时，g(x)0,I n 2 0.692 8 s当 5=乎+1 时，I n。-1 +6 7 5)=1 1。,(l nV 2)=-1-2 V 2+(3V

3、2+2)l n2 0,l n2 Y 0,6934,所以I n 2 的近似值为0.693.2 83 7.【2 0 1 2 全国，理 2 0】设函数y(x)=or+cos x,x 0,兀 .讨论於)的单调性；(2)设段)W l+s i a r,求。的取值范围.【解析】：(1)f1(x)=a s i nx.27 T当21时，f(x)2 0,且仅当a=l,工=时，f U)=0,所 以F(x)在 0,冗 是增函数;2当 a W O 时，/(x)0,F(x)是增函数；当(汨，X 2)时，s i nx a9 f (x)0,F(x)是增函数.由/*(力 W l+s i nx,得 F(兀)W l,a冗一K,2所

4、以a K-.兀令 屋J T)=s i nx-x(OW x ),7 F贝I J g(X)COSA.7 1当 JTE(0,axccos 二)时，/7 1当(arccos 二，工)时，g(x)0.7 1 2又 g(O)=g(g)=O，所以 g(*)三0,即二 sinx(OWjrW).7 1 1当 W 时，有/(x)W 二 JT+COSX.7 1 7 1当 时，二jrs in x,COSJT I,2 7 1所以 f(jr)W l+s im n当 兀 时，f(x)jr+-co sjr=l+(A)-sin(A N)W l+s in x.2 7 1 n 2 2综上，a的取值范围是：-8,三.38.2 0 1

5、 5高考新课标2,理2 1(本题满分1 2分)设函数/(1)=*+/一 优.3(I)证明:_/(尤)在(-8,0)单调递减,在(0,+0 0)单调递增;(I I)若 对 于 任 意 都 有|石)-/(%2)区6-1,求机的取值范围.【答案】(I)详见解析：(I I)-1,1.【解析】(I)/(x)=m(em*-l)+2 x.若 mNO,则当 xe (-8,0)时，emv-l 0,f(x)0,f(x)0.若“0,则当 xe(8,0)时，f(x)0:当 xe(0,+oo)时，emr-l 0.所以，/(X)在(-8,0)单调递减，在(0,+8)单调递增.(I I)由知，对任意的，*f(x)在-L 0

6、 单调递激，在 0 3单调递噌，故/(X)在x=0处取得最小 f r n-r r oi e-l1 1.所以对于任意4|八项)一/(七)区0-1的充要条件是：；：0.；.2 7即W .一冷？2 一 ：，设函数g(r)=e -f-c+l,贝=当 r 0时，g (r)0时，+W e-Lg (r)0.故g )在(-弓0)单调递减，在(0,+x)单调递噌.又g(D =O,g(-l)=e-1+2-e 0,故当，6-1 1 时，g(t)0.当力?时，g(w)0 g(w)者1时，由g(r)的单调性，g(w)0 即 戈-/?2-1;当W V-1时，g(-?)0,即0-+。一1,综上，m的取值范围是-U.【考点定

7、位】导数的综合应用.3 9.1 2 0 1 1四川，理2 2(本小题共/4分)已 知 函 数/(x)=|x +g,/?(x)=&.设 函 数/(X)=/(X)-/(X),求尸(X)的单调区间与极值；3 3(H)设a e R,解关于x的方程log/i/Xx-l)-/=log,/z(a-x)-log2(4-x)1 0 0 i(HI)试比较/(1 0 0)/1(1 0 0)-y h(k)与一的大小.k=i 6【答案】当x e 0,2)时，尸(x)是减函数；x e ,+oo)Ht,F(x)是增函数；函数F(x)在x =2处有得极1 6 1 6 1 6o I_ _小值F(Z)J：(0)若4 a (),方

8、程有两解工=3 后 兀：若a =5时，则 =(),方程有一解1 6 81 0 0 1x =3；若或a 5,原方程无解；(I I I)f(10 0)h(10 0)-h(k)-.4即为 log,(1-1)=log：防 二 一 log：/二=log：,且 ;【解析】(I )由F(x)=x+V x (x 0 )知，尸(x)二4五 3,令 尸,(了)=0 ,得工=2.3 2 6 1 6o 9当 X(0,)时,F x)0 .1 6 1 6故当x e 0,2)时，尸0)是减函数；工 ,+8)时，F(x)是增函数.a 9 1函数F(x)在x =处有得极小值F()=1 6 1 6 8(II)方法一：原方程可化为

9、lo g,R F(x-l)-；=log：M a-K)-log：力(4-x),a,X45当l a 4 时，1 x 0,此时x=二二七 二 3二后,V l x 4 时，1 x 4,由得工：一6.-4 二。，4-xa=36-4(a-4)=20-4 a,若 4 a 5,原方程无解._方法二:原方程可化为 log K x-1)+log2 h(4-x)=log2 h(a-x)，即I og2(x-1)+log2 J 4一犬=log2y/a-x,5x 1 0,4 -x 0,(a-x0,(x-)(4-x)=a-x.1 c x 4 xa,a=-(x-3)2+5.当l a 4 4 时，原方程有一解x =3-j 5-

10、a ；当4 “5 时，原方程无解.(I I I)由已知得；?(*)=布.!*设数列&的 前”项和为$一，且 s.、)0从而a=$=l,当 2 4 K 4 1 Q Q 时，a=S-S.-把 我二!6 6又 与-册=1 (代-3)V?-(4 i;-1 i y/c-1 66(4 -3：-(4 0一g_”100即对任意2 4 1 0 0 时，有生 事,又 因 为%=1 =我，所以4点.1故/(1 0 Q W(lQ 0)-二网穴)：.1 640.12012四川，理22】(本小题满分1 4 分)-a已知a为正实数，为自然数，抛物线y =-d+5 与轴正半轴相交于点A，设/()为该抛物线在点 A处的切线在y

11、轴上的截距。(I )用a和表示/()；(I I)求对所有n都有 止1 成立的a的最小值；(i n)当o aJ)=a l（2）由 知f（，7）=a ：,则 一 上 口 三 二 成立的充要条件是a ：22/+1/（）+!*1即知，片：2?3+1对所有口成立特别地，取n=2得到a S:汇当a =，2 3时,a 4 =(1+3尸=1 +C 3 +C*3:+C*33+-1 +C3+C*3:+C35,1,=1 +2 丁+：网 5 S 2)+(2 n-5)2 3+1当，?=0;时，显然（6）2%3 +1.故a =斤 时，2M二l 2 对所有自然数n都成立./（?!）+1 ,?+1所以满足条件的a的最小值为V

12、 1 7.(3)由 知/()=42/(1)-/(?)7苜先证明：当0 x l时，xX-X*4设函数g(x)=+0 x 则 丁(工)=下您一三)当 0 x 三时，g Y.x)0；当三 0故g(x)在 区 间(0,1)上的最小值g(x)R =g()=0.3所以，当 0 c x 0 1 E调 一 Xx-x*4由 0a l知 O v a 1 (/r e A )1 *7因此-a -a 4从而丁-i-/(0)-/(l),考点定位：本小题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识.考查函数、转化与化归、特殊与一般等额学思想方法上41.【2 0 1 3

13、四川，理2 1(本小题满分1 4分)已知函数/(幻=1+2 x +0的两点，且玉%2.(I )指出函数/(X)的单调区间；(I I)若函数/(x)的图象在点A ,8处的切线互相垂直，且 马 0,求 七的最小值；(I H)若函数/(x)的图象在点A,B处的切线重合，求a的取值范围.8【答案】(1 )减区间为(-8,-1),增区间为-1,0)、(0,+8)；(I I)略；(HD (-I n 2-1,4-00).【解析】(I)函数的单调逑减区间为(-8,-1)，单 调 递 噌 区 间 为(0,+0 ).3分(I I)由导数的几何意义可知，点/处的切线斜率为r(z),点方处的切线斜率为了(士)，故当点

14、力处的切线与点处的切线垂直时，有 了(项)-=-1.当x因为再 毛 0 因此x：-演=与一(2项+2)+(2 x,+2)戊-(2司+2)卜(2 +2)=1，3 1当且仅当-(2巧+2)=2均+2 =1，即 苴=一7，七=一三时等号成立.所以，函数f(x)的 图 象 在5处的切线互相垂直时，七-芭的最小值为L7分(I I I)当玉%2 0 时，/(%)W /(工2)，故.0 九2当王 0时，函数/(用 的图象在点B(X2J(X2)处的切线方程为y-nx2=(x-x2),BP y =x +I n x2-1.X2 x2两切线重合的充要条件是=2 x,+2,(1)2 x2I n%-1 =-x；+a,(

15、2)由及芭0/知，-1%0由得4=尢：+I n -1 =X)2-ln(2 X1 +2)-1.2 x j +2设力(x j =xf-l n(2xx+2)-1 (-1 Xj 0 ),9则?(演)=2演-七+1所以，(内)(-1 xx 网0)=-ln 2 T,所以a -I n 2-1.又当苞w(-LO)且趋近于-1时，(苞)无限噌大，所以a的取值范围是(-ln 2-l:+x).故当函数f C v)的图象在点H，B处的切线重合时，a的取值范围是(-历2-L+x).1 4分【考点定位】本小题主要考查基本函数的性质、导数的应用、基本不等式、直线的位置关系等基础知识，考查揄论证能力、运算求解能力、创新意识、

16、考查函数与方程、分类与整合、转化与化归等数学思想.第(I )问两个增区间之间错加并集符号；第(H)问没有注明均值不等式中等号成立的条件：第(I I I)问不会分离变量，把所求问题转化为函数值域问题。4 2.1 2 0 1 4四川，理2 1】已知 函 数/(幻=/一 2 一区一 1,其中a/e R,e =2.7 1 8 2 8 为自然对数的底数.(I )设g(x)是函数/(x)的导函数，求函数g(x)在区间 0,1 上的最小值;(I I)若/(1)=0,函数/(x)在区间(0,1)内有零点，求a的取值范围【答案】(I )当时，g(x)N g(O)=l 匕：当时，g(x)2a-2al n(2a)-

17、b；当 时，g(x)e-2a-b.(I I)a的范围为(0,1).【解析】试题分析：(I )易得g(x)=2 一 g (x)=2 a,再对分a情况确定g(x)的单调区间，根据g(x)在 0,1 上的单调性即可得g(x)在 0,1 上的最小值.(I I)设/为/(幻 在区间(0,1)内的一个零点，注意到/(0)=0,/(1)=0 .联系到函数的图象可知，导函数g(x)在区间(0,X。)内存在零点玉，g(x)在区间(/,1)I P内存在零点，即g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.由(I)可知，当及时，g(x)在(0,1)内都不可能有两个零点.所 以;a 0,g =e-2 a-b 0 .山/(

18、I)-e-a-h-0io 得：代入这两个不等式即前得。的取值范围.:试题解答：(I )g(x)=ex-2ax-btgr(x)=ex-l a当a K O时，g x)=;-2 a 0,所以g(.x)2 g(0)=1 -6.当 a 0 时，由 g (x)=废 一 2。0 得 2atx ln(2 a).若a:,则ln(2 a)0；若则ln(2 a)Lw所以当O c a 时，g(x)在 OJ上单调递噌，所以g(2 g(0)=1-当。时，g(x)在 0 J n 2旬上单调递减，在 I n 2 a J上单调递增，所以:g(x)g Q n 2 a)-2 a-l ai n 2a-b.当a =时，g(x)在 0

19、上单调递减，所以g(x)N g(D =e-2a-b.一 J(n)设/为/(x)在区间(o,i)内的一个零点，则山/(o)=/(/)=o可知，/(x)在区间(0,%)上不可能单调递增，也不可能单调递减.则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负.故g(x)在区间(0,x0)内存在零点X同理g(x)在区间(/)内存在零点马所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点.山(I)知，当时，g(x)在 0,1 上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.当az 时，g(x)在 0,1 上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点.1 e所以上 a 0,g=e-2a-b 0 .山/(l)=e a

20、人 一 1 =0得：b=e-a-,代入上两个不等式得：g(0)=l-&=a-e +2 0,g(l)=?-2 a-/?=l-a 0.解得 e-2 a l.当e 2 a lB寸，g(x)在区间 0,1 内有最小值g(ln(2 a).11若g(ln(2a)20,则冢回 20(X E CU),从而/(.Y)在区间 O J上单调递噌，这与/(0)=/(I)=0矛盾，所以g(ln(2a)0.又g(。)=0.g(l)=1-a 0,故此时g(x)在(0:ln(2a)和QnQa)内各只有一个零点演和 工.由此可知/(、)在 电网 上单调递噌，在(5二)上单调递减，在 上 上单调族噌所以外 甬)/(0)=0,/(

21、x：)0.(1)设g(x)是一(X)的导函数,评论g(x)的单调性:(2)证明：存在a e(0,l),使得/(%)2 0在区间(1,+oo)内恒成立，且/(尤)=0在(1,+8)内有唯一解.11 -Jl-4 a 1 +Jl-4cz【答案】(1)当0 a W时，g(x)在区间(0,2),(；+)上单调递增，在区间1 -Jl 4a 1 +J1-4a 1(弓 巴)上单调递减；当aN 1时，g(x)在区间(0,+oo)上单调递增.(2)详见解析.【解析】(1)由已知,函数/(无)的定义域为(0,+8),g(x)=f(x)=2x-2a-21nx-2(l+-),X所以 g(x)=2 2+g =2(xg)2

22、+2(a：)1 i 0 1),.1+x J由 J(x)=1-1 2 0知，函数”(x)在区间(1.+工)上单调递噌X所以0=迫/(x：)=0；当 xw(冷,+x)时，有了(勺)0,M/(X)/(X.)=05所以，当 x w(L+0在区间(1,-)内恒成立，且/(x)=0 在(1,一 如 内有唯一解.【考点定位】本题考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合，化归与转化等数学思想.4 4.(2013年.浙江卷.理22】(本题满分14分)已知a C R,函数火x)=f 3 f+3 6 一3。+3.求曲

23、线y=/(x)在点(1,1)处的切线方程；(2)当x d 0,2 时，求仪灯的最大值.【答案】【解析】：(1)由题意/(x)=-6x+3a,/(1)=3a-3.又大1)=1,所以所求的切线方程为y=(3 a-3)x-3 a+4.(2)由于/(x)=3(x-l)2+3(a-1),0WxW2,故当aWO时，有/(x)W O,此时y(x)在 0,2 上单调递减，故l/WImx=max I，火 2)|=3-3a.当a 2 l 时，有/(x)2 0,此时x)在 0,2 上单调递增，故 火 山 二 max做 0)|,叭 2)|=3a1.当 0 a 1 时，设 Aj=I-J l-a、必=1 +J l-a ,

24、则 0 X X 2 0,危|)-J(x2)=4(1-a)y jl-a 0,从而段1)贝 处)|.所以婚)|1rax=max伏；0),贝2),於).13当 Q V a V 二 时,7i O)f l2).又 工：)一1-a)J la -【1-%)=-；:-0 2(1-a M -a +2 -3故 工)3：=.仆;)=1 +111 幻 J l-a .7当二 W a V l 时，且j ，.3 4 a 1二=二：1 ；J 一一匚二一二=-,-2 i j l-a +3 a-2 3所以当一WaV时,E Ofl.3 4故网工）：=.*工:）=1+:1笛yfl-a.r当三 W a V l 时，f l,v ：r 1

25、2）.4故 心）U：=.心）=3 a-L综上所述，3-3 a;a 0,_ _ _ C网 工)x s x=11 -2 i 1 -q)M-a：0 Q.I 445.【2 0 12 年.浙江卷 理2 2】已知 0,Z?eR,函数加：)=4 a?2一。+江(1)证明：当 O W x W l 时，函数,/(%)的最大值为|2 一 +J(x)+2ah +a 0；(2)若一 1 9/U)W 1 对 0,1 恒成立，求 a+方的取值范围.【答案】(1)详见解析；(2)的取值范围是(7,3 1【解析】(1)证明：f(x)=12ax2-2b=1 2a(f -).6 a当。WO 时，有/(x)20,此时 x)在 0,

26、+8)上单调递增.b h当心 0 时，f(x)=2a(x+)(x),6 a 6 ab b此时y(x)在 o,】上单调递减，在 ,+8)上单调递增.6 a 6 a所以当O W x W l 时，3a-b,b 2a由于0 W x l,故当 b2ci 时，J(x)+2a-h +a=於)+3 -b=4 ar3-2h x+2a 4aj -4ax+2a=2a(2x3-2x+1).当 2a时，f(x)+2a-b+a=九0 -a+b=4 4 f+20(1 -x)-2a 4ax3+4a(1 -x)-2a=2a(2x3-2x+l).14设 g(x)=2?-2x+1,0 W x W 1,则g，(x)=6 f -2=6

27、(x -y)(x+),于是X0(。，今V 3T1g(x)一0+g(x)1减极小值增1江 V 3 4 百所以，gOOm in=g(-y)=1 -90，所以，当 0 W x 0,故/(x)+|2a-b-a 2a(2xi-2 x+1)0.(2)由知,当 OW x W l 时，T OOm ax =|2a-。|+。,所以|2-b|+aW l.若|2a-b|+W l,则由 2)知人工)2 -(|2一|+4)2 1.所以-iq(x)W l 对任意O W x W l 恒成立的充要条件是 2a-h -a 0,2a-b 0,3a h 02a-b 0,b-a 0.在 直 角 坐 标 系 中，不等式组所表示的平面区域

28、为如图所示的阴影部分，其中不包括线段8 c作一组平行直线=n reR),|得一 1 V 4-9W 3,所 以a-力的取值范围是：一1,3 1.，,4S.【20 1 1年.浙江卷.理22】(本题满分1 4分)设函数/(x)=(x-a)2 1 nx,aeR(I)若 尢=6为丁=/(x)的极值点，求实数a；(ID求实数a的取值范围，使得对任意的x e(0,3 e,恒有x)W 4 e2成立，注：e为自然对数的底数。【命题意图】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力.【解析】(I)求 导 得/(x)=2(x a)l n

29、x +fc-=(x a)(21 nx+l-9).X X x =曲(x)的极值点，f e)=(e _ a)(3 _ 与=0,e解得a=e或a=3 e经检验，符合题意，.。=6或。=3 8(II)当0 x l时，对于任意实数a,恒 有/(x)0 4/成 立当l x W 3 e 时，由题意，首先有f(3 e)=(3 e a)2 1 n3 e4 e215解得 3 e/一 V，W 3 e+/由(I )知 fx)=(x-)(2 In x +1 -)Jl n(3 e)Jl n(3 e)x令 h(x)=2 In x +1 -幺 则/(1)=21 nl +l-Q=l-0 x且(3 e)=2l n(3 e)+l-

30、2 l n(3 e)+1-4n(%)=2(in3e J 03e 3e 3，l n(3 e)又h(x)在(0:+x)内单调递增,所以函数h(x)在(0,+x)内有唯一零点,记此零点为七,则1 v毛v 3 e,1 X j 0 当 x w (x0.a)时 f(,x)0即(x)在(0,x：)内单调递噌，在(工 内单调递遍，在(2+工)内单调展噌.所以要使f(x)4 4/对x w Q3 e恒成立，只 要 七)=(七 一a)Jnxc 4 e-成立，由=：山 x +1 且=0,知 a=In 乂+x：(3)/(3 e)=(3 e-a)-l n(3 e)1.注意到函数/in-在 口：+工)内单调递增，故l x：

31、W e再 由(3)以及函数工d n x+工 在(L+x)内单调递噌，可得l v W 3 e，由(2)解得3 eJ W aW 3 e 人,所以3 6,二 工a W 3。综上，a的取值范围为3 e-T -a 3 e4 7.1 20 1 1高考重庆理第1 8题】(本小题满分1 3分。(I )小题6分(H)小题7分。)f(x)=xi+ax2+bx+l 的导数尸(x)满足 f(Y)=2a,f(2)=-其 中常数a,b e R.(I )求曲线y =/(x).在点(1,/)处的切线方程。(II)设g(x)=/(x).求函数g(x)的极值。【答案】(I)因/(力=/+办2+灰+1,故/0.故g x)在(0,3

32、)为增函数,当x w(3,+x 时，g x j v 0,故gix i在i3+x l为诚函数,从而函数gix l在 演=0处取得极小值g(0 1=-3,在x：=3出取得极大值g(3 1 =1 5e-：4 8.20 1 2高考重庆理第1 6题】(本小题满分1 3分，(I )小问6分，(I I )小问7分.)1 3设/(x)=al nx +x +1,其中a e R,曲线y =/(x)在点(1,7(1)处的切线垂直于y轴.2x 2(I)求”的值；(II)求函数f(x)的极值.Q 1 Q【答案】解：(1)因 f(x)=c i In x +F x +1 故/(%)=2 2+万由于曲线y =/(x)在点(1

33、,7(1)处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0,即广(1)=0,1 3从而a一一+=0,解得。二12 21 3/(2)由(1)知/(.r)=-ln x +旌+5工 +1(工0),r a)=1 3 r 2x2 2(3x +l)(x-l)2x23x?2 x 12 p小)=一令/(无)=0,解得玉=1,超=一；(因九2=一；不在定义域内，舍去)，当x e(O,l)时，/(力 0,故f(x)在(0,1)上为减函数;17当 X W(L +X)时,fi x 0,故在11+x 1上为噌函数；故 X)在 X =1处取得极小值11=3.49.12 013高考重庆理第17题】(本小题满分13分，(1)小问6 分，

34、(2)小问7 分.)设/(x)=a(x 5)2+61n x,其中aW R,曲线y=F(x)在点(1,HD)处的切线与y轴相交于点(0,6).确 定 a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.【答案】解：(1)因 F(x)=a a-5)2+61n x,故/(x)=2a(x5)+.X令 x=l,得 f(l)=16a,f(1)=68 a,所以曲线尸/(x)在点(L /W)处的切线方程为y 16d=(68 a)(x l),由点(0,6)在切线上可得616H=8 日-6,故a =2(2)由(1)知，f x)=(%5)L+61n x(彳 0),2F i5+mX X令 f(x)=0,解 得 汨=2,%=

35、3.当 0 x 3 时，f(x)0,故/t r)在(0,2),(3,+s)上为增函数：当 2 /3 时，f(x)/z(x)=2ae2x+2be2x-c因为r(x)是偶函数，所以r(无)=r(x),又曲线y=_/(x)在点(oj(o)处的切线的斜率为4-c,所以 有:(0)=4-c,利用以匕两条件列方程组可解的值：(II)山(I ),f(x)=2ex+2e-x-c,当c =3时,利用尸(x)的符号判断了(x)的单调性;(III)要使函数/(x)有极值，必须,(X)有零点，由于2 e,+2 e T N 4,所以可以对c的取值分类讨论，得到时满足条件的c的取值范围.试题解析：解：(I )对/(x)求

36、导得/1(=2四2*+2%Z-C,由/()为偶函数,知(一 力=:(力，即2(3(e 2*+e 2)=o,因e 2,+e小 0,所以。=匕又/=2 a +2。-c,故a =1,0=1.(II)当c =3时，f x =e2 x-e2 x-3 x,那么/(x)=2e2x+2e-2 x-3 2 j 2e2 x-e-2 x-3=l 0故 了(%)在R上为增函数.(III)由(I )知r(x)=2-+2 c-*-c,而2/+2 也/.或 =4,当x =0时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c 0，此时f lx l无极值；当 c =4 时，对任意 x h 0:f x =+2e:-4 0 此时 f I x

37、 l 无极值；当c 4时，令 户=r,注意到方程二+三 一 =0有两根，二4 7 6 0,t4即ff I x)=0有两个根演=：ln 4或 工1 =:ln r：当X vxv工时，f(X)0从而，i x l在：v =x：处取得极小值综上，若 川 有极值，则c的取值范围为T+m.考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.193 I*2 -L/7V5 1.【2015高考重庆，理20】设函数x)=d(aeR)若在x=0处取得极值，确定a的值，并求此忖曲线y=/(x)在点(1,/)处的切线方程;(2)若/(x)在 3,+8)上为减函数，求a的取值范围。9【答案】(1)。=

38、0,切线方程为3x冲=0；(2)H-,+oo).I 6x+ale-(3x*+ax|【解析】对工)求导得八 月=-,-W+1 6-a lx+a因为f(x)在x=0处取得极值，所以f(0)=0,即a=C L当a=o时，K)=二，r(x)=E二故i)=j r(i)=从而“X)在点a /(1)处的切线方程eeee为 j-3 =3(x-l)：化简得 3x-ey=0,一3冗2 +(6 Q)X+Q由得，八上一令 g(x)=-3/+(6-ajx+a.、人 6-a-y/a2+36 6-a+a2+36由 g(x)=0,解得内=-,x2=-6 6当时,g(x)0,故/(x)为减函数;当王%0,故/(x)为增函数；当

39、了 工2时，g(X)0|.20(I )求的 长 度(注：区间(a,)的长度定义为夕a )；(H)给定常数Z e(0,1),当时，求/长度的最小值./7 1 k【答案】(I )(I I)2 3.1+2 2-k2+k3【解析】(I)因为方程ax-(l+az)x:=0(a 0)有两个实根演=0/、=-=，/(x)0的解集为1 +a*N x1x,则 d(a)=一一、,令 d(a)=0,得 a=l,由于 O v k v l,故当 l-k 4 a 0,d(a)单调述噌；当l a l +k时，d(a)0,d(a)单调递减；所以当l-k 4 a W l +kl-k时，d(a)的最小值必定在a =l-左或a =

40、l +k取得，而 卫 二 色=上上=曰二二1，故d Q+k)1 +k 2-kf1+(1 +一)：d(l-k)Q，知依：-2依+1三。在R上恒成立，因此=“：-4 a=M a-DW 0,由此并结合a Q,知：J V a W L54.【201 4,安徽理1 8】(本小题满分1 2分)设函数/(无)=1 +(1 +。)%-%2一%3,其中。()(I )讨论/(X)在其定义域上的单调性；(I I )当xe 0,l 时，求/(%)取得最大值和最小值时的x的值.【答案】(I)/(%)在(8,%)和(,+8)内单调递减，在(%,%)内单调递增；(I D所以当0。1时,f(x)在=1处取得最小值；当。=1时，

41、/(X)和=0和 =1处同时取得最小只；当1。4时，F(x)在 =0处取得最小值.【解析】试题分析：(I)对原函数进行求导，f x)l +a-2 x-3 x2,令f(x)=0,解得 1 J 4 +3 4 1 +4 +3 4X =-,x2=-,J V,x2,当 x%2 时/、(x)0；从而得出，当%0.故I/(%)在(-00,%)和(%2，+)内单调递减，在(芯,马)内单调递增 UD依据 第(I)题，对。进行讨论，当a 2 4时，x2 1,由(1)知，/(%)在 0,1 上单调递增，所以/(%)在x =0和x =l处分别取得最小值和最大值.当0。4时，/(I 由(D知，F(x)在 0,%2上单2

42、2 1 4-+q a调递噌,在 三 上单调递瀛,因此/(x)在x =.0=三 处取得最大值.又/(0)=l./(l)=a,*n所以当0 V a 1时，/(x)在x =1处取得最小值；当a =1时，/(X)在K=0和x =1处同时取得最小只；当l a 4时，/(x)在x =0处取得最小值试题解析：/(x)的定义域为R,/(x)=l +a-2 x-3 x:./,(x)=0,得 1 J 4 +3 a 1 +4 +；以&=-；.X,=-；.X j x;.所以/(x)=-3(x-&)(*_ x、).当x X、时/(x)0；当n x0.故/(x)在(-:c,%)和(x+o c)内单调递遍,在(X ：工)内

43、单调递噌.因为a0,所以演C O,乙。,当4时，x2 1,由(J)知，f(x)在 0,1 上单调递增，所以/(%)在x =0和x =l处分别取得最小值和最大值.当0 a 4时，/%=二*z处取得最大值.又。)=以=/所以当时，了 在%=1处取得最小值：当a =l时，f(x)在x =0和x =l处同时取得最小只：当1。4时，f(x)在x =0处取得最小值.考点：1.含参函数的单调性；2.含参函数的最值求解.5 5.201 3,安徽理20】(本小题满分1 3分)设函数4(x)=l +x +!?+!?+(x e R”N),证明：2(1)对每个%，存在唯一的毛 ,满足力(乙)=0；(I I)对任意pe

44、N,由(I )中当构成的数列%,满足0七一%,+0 0,故力(x)在(0,+QO)内单调递增.由2 n于工(%)=0,当2 2,3(l)=*+*+L+,0,故工(1)20,又23fni+2+H3 k221 1-1 3 481-(251-23 0时，4.1(x)=/:(x)2-1XH-r (2).，故 f z(/)Z.(x,:)=：_ i(”)=0，由工：_ (在(0：+x)内单调递噌知，：7工耳，故(工)为单调递减数列.从而时任意的p w.V,K，对 任 意 的 由 于 工.(*)=-1+%+1十+1 =0、*2*n(1)=-1 +x-+吉xZl_ k.J-(，1)一S+”0(2)式 漏 法(

45、1)式并移项，利用0 v工:W1,得:-r y:y-11 1 1-=-=0)aex 求/(x)在0,+00)上的最小值;3(H)设曲线y =/(x)在点(2,/(2)的切线方程为y =求a,h的值.【一答案】(I)当时，/(x)的最小值为a+8 ；当0 a 0=卜=成+工+5在2之1上是噌函数，得：当r =1(工=0)时，/(x)的最小值为 6.当at aOwl 时，y=at b 2+b；当且仅当f =l(f =e:=-sx=T n a)时，/(x)的最小值为 b+2.at a(II)f(x)=ae+b=f(x)=由题意得：ae ae/(2)=3/,(2)=15 7.12015高考安徽，理21

46、】设函数“)=/一 公+6TT 7T(I )讨论函数/(s i n x)在(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(II)记/)(幻=%2 一 研+%,求 函 数|/(s i n x)-/)(s i n x)|在一,?|上的最大值D；2(III)在(H)中，取 为=%=0,求z =b?满足D W 1时的最大值.2【答案】(I)极小值为。-亍；(II)D=a-a0+b-b0i(III)1.【解析】冗 冗(I )/(s i n x)=s i n2 x-as i n x b=s i n x(s m x-a)+b,-y x .71 7 t(s i n x)=(2 s i n x-(7)co

47、 s x ,x .JI 乃 .因为一一 x 0,-2 2s i n x 2.2 2当a V 2 SeR时，函数/(s i n x)单调递增，无极值.当aN2,Z?e A时，函数/(s i n x)单调递减，无极值.当一2。2,在(,)内存在唯一的天,使得2 s i n 4=a.TT7T一5 不(尤0时，函数/(s i n x)单调递减；时，函数/(s i n x)单调递增.25(II)一 三二工工 时，/(s i n x)-/(s i n A)H -a)s i n.v-b6-d:等号成立，由此可知，函数|/(s i n x)-工(s i n x)|在 -(一 上的最大值为D=a-a：+5-6(

48、III)D 1,即 a+b 1,此时O W a*从而z =6-/1.取a=0力=1,贝U a|+1d|并且二=5?=1.由此可知，z =5-土 满 足 条 件D S i的最大值为L4【考点定位】1.函数的单调性、极值与最值；2.绝对值不等式的应用.5 8.【2011天津，理19】已知a0,函数/(九)=ln x 以2,%0.(/(X)的图像连续不断)(I )求/(幻 的单调区间；(II)当。=时，证明：存在x()e(2,+8),使/(X o)=/(1o；(川)若存在均属于区间 1,3 的a,且 a N l,使/=f(0),证明In 3-In 2,In 2-a 2,则g(x)=2,且g(x)0即

49、可)(Ill)证明：由/(a)=/()及(1)的结论知。心 /(a)/(IX 即 J i n 2-4。”，故 即(/(2)/()/(3).1In 2 4 a21n 3 9 a.In 3 -In 2 In 2-a 0.求”的值；(2)若对任意的x e 0,4-o),有负x)Wf c?成立，求实数火的最小值；(3)证明-ln(2 n+l)0,故 k W O 不合题意.当 k 0 时，令 gg=j t v)沃 二，即g(x)=x ln(x+1)kx-.-x2fcv-(l-2)x+1令 g(工)=0，得 士=0，x:=-1.1当上2二时，-工0，g (x)V 0 在(0,+8)上怛成立，因 此 g(x

50、)在 0,+8)上单调递减.从2 2k而对于任意的x E 0,+8),总 有 g(x)Wg(O)=O,即.我 工)W h 二在 0,+8)上恒成立，故 k 2 g 符合题意.1 -2 k 1 -2k-2 k当OVkV一时，-0,对于x(o,-),g(x)0,故 g(x)在(0,-)内单调递增.因2 2k 2k 2k-2 k此当取 x O(O,-)时,g(x O)g(0)=0,即 f (x O)Wk x 0 2 不成立.2k故 0 k L不合题意.2综上，k的最小值为1.2(3)证明：当 n=l 时，不等式左边=2 In3 V 2=右边，所以不等式成立.n 2 当 心 2时，/(口)=2/=1