考点14等腰三角形与直角三角形-备战2022年中考数学必考点与题型全归纳（全国通用）（解析版）.pdf

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1、考点1 4 等腰三角形与直角三角形命题趋势该板块内容重在掌握基本知识的基础上灵活运用，也是考查重点，年年都会考查，分 值 为 1 0 分左右,预计2022年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查等腰（等边）三角形和勾股定理与中位线性质、三角形全等、三角形内外角性质、尺规作图等知识点结合考察，这部分知识需要学生扎实地掌握基础，并且会灵活运用.在解答题中会出现等腰三角形与直角三角形的性质和判定,这部分知识主要考查基础。1、等腰三角形1）等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）.推 论 1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中

2、线、底边上的高重合.推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。.2）等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推 论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形.推论2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.2、等边三角形1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。.3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60。的等腰三角形是等

3、边三角形.3、直角三角形与勾股定理1）直角三角形定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.性质：（1）直角三角形,两锐角互余；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于3 0。，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.2）勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直 角 三 角 形 的 两 条 直 角 边b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边、氏C有关系：+=0 2,那么这个三角形是直角三角形.重点考

4、向考 向 1等腰三角形的性质1 .等腰三角形是轴对称图形，它 有1条或3条对称轴.2 .等腰直角三角形的两个底角相等且等于4 5。.3 .等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.4 .等腰三角形的三边关系：设 腰 长 为 底 边 长 为6则2 C E）,点尸是AC的中点，连接AE、痔，若5 c =7,A C =5 ,则的周长为.【答案】8【分析】根据垂直平分线的性质求得N B E 4 的度数，然后根据勾股定理求出EC长度，即 可 求 出 即 的周长.【详解】解：；O E 是 A 8 的垂直平分线，.NBAE=NABE=45,BE=AE,：.Z B E A 9

5、0，；BC=7,/.BE+CE=7,/.AE+CE=7,AE=7-CE,又A C=5,.在 中，AE2+CE2=AC2（7 ）?+。炉=5?解得：C f=3,又 点 F是 AC的中点，./=R?=!AC=*,2 2 C E F 的周长=C F+C E+F E=*+3 +*=8.故答案为：8.2 2【点睛】此题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质.2.（2 0 2 1 广东广州中考真题）如图，在中，AC=BC,4 =3 8。，点。是边AB上一点，点 8关于直线C 的对称点为B ,当8

6、7）AC时，则N 8 C。的度数为.【答案】3 3【分析】如图，连接C9,根据轴对称的性质及全等三角形的判定与性质可得=4 8 =3 8 ,DCB=ZDCB,并由平行线的性质可推出N A C 9 =N9=3 8 ,最后由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可求得结果.【详解】解：如图，连接C B,点8关于直线CO的对称点为B ，C 8 =C 8 ,DB=DB.：CD=CD,D C B =A D C B,.N B =N B =3 8 ，NDCB=NDCB：V BDUAC,，Z A C B =N 8 =3 8 .V AC=B C.，Z A =N 8 =3 8 .ZACB=1 8 0-2 Z B =

7、1 0 4 .AAC B =Z AC B +Z D C B +Z D C B =Z AC B +2Z D C B=1（）4 .2 Z D C B=1 0 4 0-Z AC B =6 6 .A Z D C B =33.故答案为：3 3 .【点睛】本题考查了轴对称、等腰三角形及平行线的性质等知识，熟练掌握轴对称、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键.变式拓展1.（2 0 2 0 青海中考真题）等腰三角形的一个内角为7 0。，则另外两个内角的度数分别是（）A.5 5 ,5 5 B.7 0 ,4 0 或 7 0 ,5 5 C.7 0 ,4 0 D.5 5 ,5 5 或 7 0 ,4 0

8、【答案】D【分析】先根据等腰三角形的定义，分7 0 的内角为顶角和7 0。的内角为底角两种情况，再分别根据三角形的内角和定理即可得.【详解】（1）当7 0 的内角为这个等腰三角形的顶角1 Q Q O _ 7 f）。则另外两个内角均为底角，它们的度数为 =5 5 2（2）当7 0的内角为这个等腰三角形的底角,则另两个内角一个为底角，一个为顶角底角为7 0,顶角为 1 8 0。-7 0。-7 0。=4 0综上，另外两个内角的度数分别是5 5。,5 5。或7 0。,4 0故选：D.【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、三角形的内角和定理，根据等腰三角形的定义，正确分两种情况讨论是解题关键.2.（2 0

9、2 1 内蒙古鄂尔多斯市中考真题）如图，在中，Z A C B =9 0,A C =8,B C =6,将边BC沿CN折叠，使点B落在A3上的点8 处，再将边AC沿 CM折叠，使点4落在C B 的延长线上的点4 处,两 条 折 痕 与 斜 边 分 别 交 于 点 N、M,则线段A M 的 长 为（）D.65【答案】B【分析】利用勾股定理求出48=10,利用等积法求出CN=，从而得A N=7,再证明NMWC=/NCM5 5=45。，进而即可得到答案.【详解】解：ZACB=90,AC=8,BC=6：.AB=7 AC2+BC2=A/62+82=10，1 1 24 i；-7SAHC=义ABxCN=xACx

10、BC：.CN=,:AN=yjAC2-CN2=折叠NBCN=NBCN,ZACMZACM,V ZBCN+ZBCN+ZACM+ZACM=90,：.ZBCN+ZACM=45,门2，,:.NMCN=45,R.CN1AB,：.NNMC=ZNCM=45,：.MN=CN=一，532 24 8.：.AMAM=AN-MN -=-.故选 B.5 5 5【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键.3.（2021湖南娄底市中考真题）如图，AA6 c中，A8=AC=2,P是3 c上任意一点，PE上AB于点瓦，4。于点/，若SaABc=l，则 PE+PF=.【答案】1【分析】

11、将AABC的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出QE+P尸的值.【详解】解：连接A F,如下图：庄，于点及P F,A C于点尸，S.A8c=APC+S.”B=1 S c+SAPB=AC PF+AB PE.AB=AC=2,S“PC+S.APB=PF+PE=1,；.PE+PF=L 故答案是：1.【点睛】本题考查了等腰一：角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将AAbC的面枳拆成两个三角形面积之和来解答.考向2等腰三角形的判定1 .等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.2 .底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，

12、其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰三角形.典例引领1.（2021江苏扬州市中考真题）如图，在4 x 4的正方形网格中有两个格点A、B,连接AB，在网格中再找一个格点c,使得AAB C是筝膜禀第三角形，满足条件的格点c的个数是（）【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：A 8为等腰直角aA B C底边；A 8为等腰直角A A B C其中的一条腰.【详解】解：如图：分情况讨论：A 3为等腰直角A 2 C底边时，符合条件的C点有0个；A 8为等腰直角AABC其中的一条腰时，符合条件的C点有3个.故 共 有3个点，故选：B.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，

13、画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想.2.（2 02 1 浙江杭州市中考真题）如图，在AABC中，NA8C的平分线B0 交 AC边于点。，A E L B C于点 E.已知 NABC=6（）,Z C=4 5.（1）求证：A B =BD.（2）若 AE=3,求 AABC的面积【答案】（1）见解析；（2）9+空2【分析】（1）根据题意证明Z B A C =Z A D B即可；（2）根据特殊角的锐角三角函数求得B E、EC的长，用三角形面积公式计算即可.【详解】解：（1）因为 BO 平分 Z A B C,所以 Z D B C =-Z A B C=3 0.所以 Z A D

14、B =N D B C+Z C=7 5，2又因为 NR4C=1 8 0。NABC-NC=7 5。，所以 N a 4C=Z AD5,所以=A P 广 A E（2）由题意，得 B E =-=6，E C =-=3,所以 B C =3+G，t an Z A B C t an Z C所以AA5c的面积为-B C A E =9+3 6.2 2【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定，根据特殊角的三角函数求边长，正确记忆特殊角的锐角三角函数值是解题关键.变式拓展1.（2 0 2 1 黑龙江牡丹江中考真题）过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为一.【

15、答案】45。或 36【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案.【详解】解：如图1,c图1图2当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AC=3C,AD=CD=BD,设 NA=x。，则 N4C7NA=x。，/B=/A=x。，:.N B C K N B=x。,V Z4+ZAC+ZB=180,.,.x+x+x+x=180,解得户45,.原等腰三角形的底角是 45。；如图 2,“8C 中，AB=AC,BD=AD,AC=CD,：AB=AC,BD=AD,AC=CD,：.Z B=Z C=Z B A D,Z C D A=Z C A D,V ZCDA=2ZB,.,.ZCABZB,./8A

16、C+/B+NC=I8O。，；.5/8=180。，；.N8=36。，.原等腰三角形的底角为 36。；故答案为 45。或 36。【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定.作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解.2.（2021山东淄博市中考真题）如图，在AABC中，Z A B C的平分线交A C于点。，过点。作DE/BC-.交AB于点E.（1）求证：B E =D E；若NA=80,NC=40,求N 8D E的度数.【答案】（1）见详解；（2）Z B D E =30。【分析】（1）由题意易得NABD=NCBD,NC8

17、D=N E D B,则有NA5O=N O 8,然后问题可求证;（2）由题意易得NABC=60，则有NA3=NCB=3 0 ,然 后 由（1）可求解.【详解】（I）证明：B D平分Z A B C.：.Z A B D =/C B D，DE/BC,：.N C B D =Z E D B.：.Z A B D=Z E D B，二 B E =D E；（2）解：.ZA=80,NC=40,ZABC=180 ZA NC=60,由（1）可得 ZABE=NC5O=N5OE=30.【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定、角平分线的定义及平行线的性质是解题的关键.考

18、向3等边三角形的性质等边三角形具有等腰三角形的一切性质.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.典例引领1.（2021广西贺州市中考真题）如图，在边长为2 的等边AA5 c 中，。是边上的中点，以点A 为圆心，A O 为半径作圆与A 3，A C 分别交于E，尸两点，则图中阴影部分的面积为（）【答案】C【分析】由等边AABC中，。是 5 C 边上的中点，可知扇形的半径为等边三角形的高，利用扇形面积公式即可求解.【详解】:ABC是等边三角形，。是6 c 边上的中点.AD1BC,=百【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟练等边三角形性质

19、和扇形面积公式,求出等边三角形的高是解题的关键.2.（2021四川广元市中考真题）如图，在A B C 中，NAC8=9（）,AC=BC=4,点。是 8 c 边的中点，点 P 是 A C 边上一个动点，连接P O,以 为 边 在 P D 的下方作等边三角形P Q Q,连接C Q.则CQ的最小值是（）J33A.B.1 C.J2 D.-2 2DBQ【答案】B【分析】以C为边作等边三角形COE,连接E Q,由题意易得NPOC=NQDE,P D=Q D,进而可得 PC。丝Q ED,则有NPCD=/QE/A90。，然后可得点。是在0E所在直线上运动，所以C。的最小值为CQLQE时，最后问题可求解.【详解】

20、解：以C。为边作等边三角形C 0 E,连接E Q,如图所示：&P D Q 是等边三角形，N C E D =Z P D Q =N C D E=60,P D =Q D,C D =ED,：Z C D Q 是公共角,二 Z P D C=Z Q D E,：./PCD/QED(SAS),V Z A C B =90,AC=BC=4,点力是8 c边的中点，A ZPCr=ZQED=90,CD=CE=；BC=2,.点。是在 QE 所在直线上运动，当 CQLQE时，C。取的最小值，.NQEC=90 NCE)=30,CQ=；CE=1：故选B.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题

21、，熟练掌握等边三角形的性质、含30。直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键.变式拓展1.(2021山东滨州中考真题)如图，在AABC中，ZACB=90,NB4c=30。，A B =2.若点尸是AABC内一点，则PA+P B+P C的最小值为.B【答案】用【分析】根据题意，首先以点A 为旋转中心，顺时针旋转AAPB到A A P b,旋转角是60。，作出图形，然后根据旋转的性质和全等三角形的性质、等边三角形的性质，可以得到朋+PB+PC=PP，+P 5+P C,再根据两点之间线段最短，可以得到办+PB+PC的最小值就是C夕的值，然后根据勾股定理可以求得CB，的值，从而可以解答本题.【详解】以点

22、A 为旋转中心，顺时针旋转 P B 到旋转角是60。,连接3 、PP,C B,如图所示，B则/以 P=60,AP=AP,PB=PB,.APP是等边三角形，：.AP=PP,：.PA+PB+PC=PP+PB+PC,-：PP+PB+PCCB,：.PP+PB+PC的最小值就是C9 的值，即 PA+PB+PC的最小值就是C9 的值，V ZBAC=30,/BAB=60。,AB=ABf=2f.ZCA=90o,A8=2,AC=AB-cosZBAC=2xcos300=2x =73,2/.CB-yjAC2+AB2=x/7 故答案为：币.【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、最短路径问题、勾股定理，解答本题

23、的关键是作出合适的辅助线，得出朋+P8+PC的最小值就是CB，的值，其中用到的数学思想是数形结合的思想.2.(2020江苏盐城市中考真题)木门常常需要雕刻美丽的图案.(1)图为某矩形木门示意图，其 中 长 为 200厘米，A O 长为100厘米，阴影部分是边长为30厘米的正方形雕刻模具，刻刀的位置在模具的中心点P 处，在雕刻时始终保持模具的一边紧贴木门的一边，所刻图案如虚线所示，求图案的周长；(2)如 图 ，对于(1)中的木门，当模具换成边长为30百厘米的等边三角形时，刻刀的位置仍在模具的中心点尸处，雕刻时也始终保持模具的一边紧贴本门的一边，使模具进行滑动雕刻.但当模具的一个顶点与木门的一个顶

24、点重合时，需将模具绕着重合点进行旋转雕刻，直到模具的另一边与木门的另一边重合.再滑动模具进行雕刻，如此雕刻一周，请在图中画出雕刻所得图案的草图，并求其周长.4图【答案】4 8 0 cm；雕刻所得图案的草图见解析，图案的周长为(6 0 0 1 2 0 6 +2 0句C 7【分析】(1)过点P作P E _ L C。,求 出P E,进而求得该图案的长和宽，利用长方形的周长公式即可解答;(2)如图，过P作P Q 1 C D于Q,连接P G,先利用等边三角形的性质求出P Q、P G及/P G E,当移动到点P时，求得旋转角和点P旋转的路径长，用同样的方法继续移动，即可画出图案的草图，再结合图形可求得所得

25、图案的周长.【详解】(1)如图，过点P作P E，C。,垂足为EP是边长为3 0 cm的正方形模具的中心，.P E =5c m,同理：AB与AB之间的距离为15cvn,A D 与AD之间的距离为15cm,B C 与8 C之间的距离为15所,.-.AB=CZ)=200-15-15=170cvn,BC=A=100-15-15=7(kw,二,边形=(170+70)x2=480。？.答：图案的周长为480cm.(2)如图，连接PE、PF、PG,过点p作PQ _L C D,垂足为Q尸是边长为30。%的等边三角形模具的中心，.PE=PG=PF,ZPGF=30Q PQ-L GF,；.GQ=QF=15#cm,P

26、Q=CQ-tan3Q-15cm,PG=3Qcm.cos30当三角形EEG向上平移至点G与点。重合时，由题意可得：V?尸G 绕点。顺时针旋转30,30 7 T -30使得七G与AO边重合;.D P假点、。顺时针旋转30。至D P：.*=-=5 G.同理可得其余三个角均为弧长为5%c机的圆弧，图中的虚线即为所画的草图，,C=(2 00-3073+100-3 0 6)x 2+3 3x 4 =(600-12073+20%)cm.答：雕刻所得图案的草图的周氏为(600-1206+20%卜机.【点睛】本题考查了图形的平移与旋转、等边三角形的性质、解含30。角的直角三角形、图形的周长等知识,解答的关键是熟练

27、掌握图形平移和旋转过程中的变化特征，结合基本图形的性质进行推理、探究、发现和计算.考向4等边三角形的判定在等腰三角形中，只要有一个角是60。，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等边三角形.典例引领1.(2020四川宜宾市中考真题)如图，A46CAEC。都是等边三角形，且B,C,D在一条直线上，连结点M,N分别是线段BE,AD上的两点，且8W=8E,AN=j，则AQ0N的形状是()3 3BMcDA.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.不等边三角形【答案】C【分析】先证明B C EM AA C。，得 到 况=4），根 据 已 知 条 件 可 得=,证明 比 三4A CN，得到Z

28、MG V=6 Q，即可得到结果；【详解】A 4 8。,2 。都是等边三角形，；.5。=4。，C E =CD，N B C A =N DCE=6 0。,二 A B C A+A A C E =A D C E +/A C E，,ZBCE=ZA CD,B C =AC在 AB C E和 AACD 中，2 B C E =2 A C D ,：./B C E 三 力切（弘S）,C E =C D：.B E =A D，4 c B M =4A C N，又：,:.B M =A N ,3 3B M =A N在 ABCM 和 AACV中，,N C B M =乙A CN，二 /X B C M=XA CN（I S）,B C =

29、ACZ.B C M=A CN.M C=N C，：.A B C M A A C M =A A C N +Z A C M=6 0,，ACMN是等边三角形.故答案选C.【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，正确分析题目条件是解题的关键.2.（2 0 2 1 广东广州中考真题）如图，在四边形A 8 C。中，Z A B C =90,点 E是 AC的中点，且 A C =A。（1）尺规作图：作 NCW的平分线4 凡 交 C。于点片 连结E 尺 B 尸（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若 N 8 A D =4 5。，且N C 4 O =2 N 8 A C,证明：的广为等边三角形.【

30、答案】（1）图见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）根据基本作图一角平分线作法，作出NCW 的平分线A F即可解答；（2）根据直角三角形斜边中线性质得到BE=，AC并求出N8EC=Na4C+N4BE=30。，再根据等腰三角形2三线合一性质得出b=从而得到所 为 中 位线，进而可证B E=F,ZBEF=6 0 ,从而由有一个角是 60。的等腰三角形是等边三角形得出结论.【详解】解：（1）如图，A F平分NC4O,（2）V ZBAD=45,H ZCAD=2ZBAC,：.ZC4D=30,NBAC=15,V AE=EC,ZABC=90,：.BE=AE=-A C ,：.ZABE ABAC,：.ZBEC

31、=ZBAC+ZABE=30,2又AF 平分 NC4。，AC=AD,：.C F=D F,又,：AE=EC,：.EF=-A D =-A C ,EF/AD,2 2ZCEF=ZC4D=30,/BEF=NBEC+NCEF=60。乂 ：BE=EF=-A C ：.BEF 为等边三角形.2【点睛】本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理.变式拓展1.（2020辽宁阜新市中考真题）如图，在AABC中，ZAB C =90,A B=B C =2.将AABC绕点B逆时针旋转60。，得到VABG,则 A

32、 C 边的中点D 与其对应点D的距离是.B【答案】V2【分析】先由旋转的旋转证明：ABOA为等边三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解BD，从而可得答案.【详解】解：如图，连接。ABC绕点8逆时针旋转6 0。，分别为AC4G的中点，Z C 5 C,=ND B D =6 0 ,B D =B D,:.B D Dt 为等边三角形，D D=B D,.Z A B C =9(),D 为 A C 中点，A C =V 22+22=24 2,B D =A C =y/2,：.D DX 7 2.答案：0.【点睛】本题考查的是旋转的旋转，直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，掌握以上

33、知识是解题的关键.2.（2 0 2 0湖北荆门市中考真题）如图，AABC中，A B A C，B 8的平分线交AC于。，A EU BC交B D的延长线于点E,A尸，A3交 破 于 点F.（1）若N B 4 c =4 0,求N A F E的度数：（2）若A 0=Z）C =2,求A尸的长.【答案】（1）Z A F E =1 2 5；（2）A F =-V 3 .3【分析】（1）先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出N A B C，Z A B D，再根据垂直与外角的性质即可求出N A F E；（2）根据题意证明AADE/ACDB,再得到 A BC为等边三角形,故可得到N A B D=3 0 ,可根据

34、三角函数的性质即可求出A F.【详解】(1)；A B =AC，Z f i 4 C =4 0，/.1 8 0-40=7 0.2；BD平分 ZABC，A ZABD=NDBC=-x70=35,2；AF _L AB，；.尸=90,二 ZA庄=+ZABO=900+35=125.(2)；AE/BC.:.NE=N D B C,又 ZADE=ZCD B.AD=CD：.A D E C D B,A E C B,T NE=NDBC,ZABD=ZDBC：.ZE =ZABDt.A B A E，二 AB=CB=A C，ABC为等边三角形，A ZABC=60,：.ZABD=30-V AD=DC=2.AB=4,在 RfAAB

35、R 中，AF=-ta n 3 0Q=4x =-7 3 .3 3【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三角函数的应用.考 向5“三线合一”等腰（等边）三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.典例引领1.（2021四川眉山市中考真题）如图，AABC中，AB=AC=5,BC=6,AO平分/R 4 c交8 c于点。，分别以点A和点C为圆心，大于A C的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线MN,2交AO于点E，则O E的长为.【分析】先由等腰三角形性质求出CD以及45 _LBC,再利用作图方式确

36、定MN垂直平分AC,得到CE=AE,最后利用勾股定理即可求解.【详解】解：A BC中，AB=AC=5,BC=6,AO平 分 的C.皿 5C,（等腰三角形“三线合f但庇G=C=4，由分别以点A和点。为圆心，大于LA C的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N,作直线M V,可知,2MN垂直平分 AC,如图，连接 C E,.A E =C E.（?；=AE=AO-OE=4 DE，07在 R/AEDC 中,虑 2=。2+。2,.（4 。石）-=。e 2+3 2,解得：D E=_；87 7.）E的长为一；故答案为：一.8 8【点睛】本题综合考查了等腰三角形的性质、尺规作图线段的垂直平分线、线段的垂直平分线的

37、性质、勾股定理等内容，要求学生理解并掌握相关概念，能熟练运用勾股定理求直角三角形的线段长或建立两线段之间的关系等.2.（2 0 2 1 北京中考真题）淮南子天文训中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时;在地面上点A处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点8,使 8,A两点间的距离为1 0 步（步是古代的一种长度单位），在点8处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B 处的杆的影子的方向取一点C,使两点间的距离为1 0 步，在点C 处立一根杆.取C 4的中点。，那么直线OB 表示的方向为东西方向.（1）上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A 8,C 的位置如图所示.使用直尺和圆规，在图

38、中作C 4的中点D（保留作图痕迹）；（2）在如图中，确定了直线表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线 C 4表示的方向为南北方向，完成如下证明.证明：在AABC中，BA=，。是 C 4的中点，：.CA DB（）（填推理的依据）.直 线 表 示 的 方 向 为 东 西 方 向，直线C 4表示的方向为南北方向.【答案】（1）图见详解；（2）B C，等腰三角形的三线合一【分析】（1）分别以点A、C 为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，交于两点，然后连接这两点，与 AC的交点即为所求点D（2）由题意及等腰三角形的性质可直接进行作答.【详解】解：（1）如图所示：（2）证明：在

39、AABC中，BA =B C ,。是 C 4 的中点，.C A V D B（等腰三角形的三线合一）（填推理的依据）.直 线 衣 示 的 方 向 为 东 西 方 向，.,.直线C 4 发示的方向为南北方向；故答案为8 C，等腰三角形的三线合一.【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的尺规作图及等腰三角形的性质是解题的关键.变式拓展1.（2021浙江台州市中考真题）如图，在ABC中，N4C8=90。，A C AT-E T,:.A E 4,的最小值为 4,故选：B.【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是求出AT，ET的长，属于中考

40、常考题型.2.（2 0 2 1 山东荷泽市中考真题）如图，在R/AABC中，NC=3 0,。，E分别为AC、BC的中点，DE=2,过点3 作 8 FA C,交。E 的延长线于点尸，则四边形A 3 F D 的面积为【答案】88【分析】先根据D,E 分别为A C、5。的中点求得A B=4,再根据NC=30求得AC=8,BC=4 6，进而可求得B E=2百，最后证明四边形A B F D为平行四边形即可求得四边形A B F D的面积.【详解】解：.，E 分别为 A C、BC 的中点，DE=2,：,AB=2D E=4,D E/AB ,.在 中，NC=30,.AC=2A8=8,AC1-AB2=782-42

41、=473.又.点E 为 8 c 中点，.8E=；B C=2 jL BF/AC.四边形48打）为平行四边形，四边形A B FD 的面积=ABX8E=4X2百=8 有，故答案为：8V L【点睛】本题考查了三角形的中位线、含 30。的直角三角形、勾股定理以及平行四边形的判定，熟练掌握相关图形的性质与判定是解决本题的关键.变式拓展1.（2021西藏中考真题）如图，在心AABC中，/A=3 0。，/C=9 0。，A B=6,点 P 是线段AC上一动点，点 M 在线段AB上，当 A M=（AB时，P8+PM 的最小值为（）【答案】B【分析】作 8 点关于AC的 对 称 点 连 接 8 例 交 AC于点P,

42、则尸8+P M 的最小值为8 例的长，过点8作 B H L AB 交 H 点、,在 中，8”=3 6,”8=3,可求 M”=l,在 R d M H B 中,BM=2 币，所以P B+P M的最小值为2币.【详解】解：作B点关于AC的对称点B，连接交AC于点尸，；.BP=BP,BC=BC,：.PB+PMBP+PB+PM 的最小值为 8M 的长,过点8作交点，./4=30,NC=90,.,.NCBA=60,：A8=6,：.BC3,：.BB,=BC+BC-=6,在放 887/中，NBBH=60。,ZBBH=30,:.BH=3,由勾股定理可得：B,H=4BBr-BH2=yJ（T-32=3/3 ,-AH

43、=AB-BH=3,：AM=；AB,：.AM=2,：.MH=AHAM=1,在/?公河4 8中，BM=JBH2-M H2=3国一E=2百，.PB+PM的最小值为2屿，故选：B.【点睛】本题考查轴对称一最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出尸B+PM的最小值为8M的长.2.（2021四川内江中考真题）如图，矩形ABC,AB=,3c=2,点A在x轴正半轴上，点。在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时，点。也随之在），轴上运动，在这个运动过程中，点C到原点。的最大距离为 一【答案】夜+1【分析】取4 9的中点H，连接C”,O H，由勾股定理可求C 的长，由 直 角 角 形 的 性 质

44、 可 求 的长，由三角形的三边可求解.【详解】如图，取AQ的中点“，连接CH,O H ,矩形48cD,AB=l，B C =2,:.C D=A B =1 ,A D=B C =2,:点”是 AO的中点，A H =D H =1.CH=JDH2+CD2=/i+T=/2-.ZAOD=90,点是 的中点，：.OH=AD=,在 AOCH 中，C O F=90,BD BC 5-A D 3 20.RtAASCsRt/B。，=即-=-,解得：A D=一，故选：D.DF AC AD 4 5【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握折叠性质和相似三角形的判

45、定与性质是解答的关键.2.(2021四川成都市中考真题)如图，数字代表所在正方形的面积，则 A 所 代 表 的 正 方 形 的 面 积 为.【答案】100.【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A 所代表的正方形的面积4=36+64=100.【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36,一条直角边的平方=6 4,则斜边的平方=36+64.故答案为：100.【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理.变式拓展1.（2021山西中考真题）在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公

46、式的方法,简称为“无字证明实际上它也可用于验证数与代数,图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是（）aA.统计思想B.分类思想C.数形结合思想D.函数思想【答案】C【分析】根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，据此回答即可.【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，如勾股定理的推导是根据图形面积转换得以证明的，由图形到数学规律的转化体现的数学的思想为：数形结合思想，故选：C.【点睛】本题是对数学思想的考查，理解各种数学思想的本质特点是解决本题的关键.2.（2021甘肃兰州中考真题）如图，将 图 1 中的菱形纸片沿对角线剪成4 个直角三角形，拼成如图2 的四

47、边形（相邻纸片之间不重叠，无缝隙）.若四边形ABC。的面积为13,中间空白处的四边形瓦G”的面积为1,直角三角形的两条直角边分别为“和b,则（。+。）2=（）A.1 2 B.1 3 C.2 4 D.2 5【答案】D【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直平分，进而可得4个直角三角形全等，结合已知条件和勾股定理求得/+，进而根据面积差以及三角形面积公式求得:时，最后根据完全平方公式即可求得(“+6)2 .【详解】菱形的对角线互相垂直平分，4个直角三角形全等；Z A D H =NB AE,A D A H +A H A D=9 0 ,A D =AB =B C =C D,N D A B =9 0,二四

48、边形A B C。是正方形，又正方形A B C D 的面积为1 3,.正方形的边长为历，根据勾股定理，则a 2+/=A4=13，.,中间空白处的四边形E F G”的面积为1,4 个直角三角形的面积为1 3-1 =1 2,.疑=1 2+4 =3,.2 =1 2,(a+h)2=a2+h2+2a h ,(a+/?)2=1 2+1 3=2 5.故选 D.【点睛】本题考查正方形的性质与判定，菱形的性质，勾股定理，完全平方公式，求得g 而是解题的关键.3.(2021四川内江中考真题)己知，在A/U 5 C 中，Z A =4 5,A 8=4 历，B C=5,则A 4 3 C 的面积为_.【答案】2或 1 4#

49、1 4 或 2【分析】过点 B 作 A C 边的高 比,Rt AB D i f.Z A=4 5,A B=4&,得 B D=AQ=4,在 RtA B D C 中,B C=4,得 c o=7予=5,AABC是钝角三角形时，A 8C 是锐角三角形时，分别求出AC的长，即可求解.【详解】解：过点B作 AC边的高5 0,Rf A A B D 中，Z A =4 5 ,A B =4 应，:.B D =A D =4,在 RtA B D C 中，B C =5,.,CD=X/42+32=5 ,A A B C 是钝角三角形时，A C =A D-C =1,.5M B C=ACB=1X1X4=2:A A B C 是锐角

50、三角形时，A C =A D+C D =7,故答案为：2或 1 4.【点睛】本题考查了勾股定理，三角形面积求法，解题关键是分类讨论思想.考点冲关1.（2021贵州黔东南苗族侗族自治州中考真题）已知直线y=-x+l 与X轴、y轴分别交于A、8 两点，点P是第一象限内的点，若抬B为等腰直角三角形，则点P的坐标为（）A.（1,1）B.（1,1）或（1,2）C.（1,1）或（1,2）或（2,1）D.（0,0）或（1,1）或（1,2）或（2,1）【答案】C【分析】先根据一次函数解析式求出A、8 两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类讨论分别求出点P的坐标.【详解】解：直线y=7+1与 x 轴、），轴分别交