多元函数的概念教案.pdf

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1、第八章多元函数8.1 多元函数的概念自变量只有一个的函数称为一元函数，有二个独立的自变量的函数称为二元函数，有三个独立的自变量的函数称为三元函数，自变量有一个的函数就称为元函数，二元及二元以上的函数统称为多元函数。以前所学的函数都是一元函数，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多。例如，一个圆锥体的体积V=力，3它有两个独立的变量八/?。为此，就需要进一步讨论自变量为两个，或者更多情形下的多元函数。本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。1.二元函数的概念定义 设有两个独立的变量X与y在一定范围。内取值，任取一组数值时，第三个变量z就以某一

2、确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与 的二元函数。记作Z=f(x,y)其中x与y称为自变量，函数z称为因变量，自变量x与y取值范围称为函数的定义域，一般记为。二元函数在点(%,%)所取得的函数值记作Z,r=.(n*或/(%)，)y=yo类似地，可定义二元函数、四元函数、元函数等多元函数。2.二元函数的定义域与一元函数相同，决定二元函数的要素仍然是定义域和对应法则。那么，二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，二元函数的定义域可以是整个孙坐标平面，可以是一条曲线，还可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面

3、。整个 坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域，围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域。开区域内的点称为内点。如果一个区域0(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称。为有界区域，即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内；否则称。为无界区域。如同区间可用不等式表示一样，区域也可以用不等式或不等式组来表示。区域。通常表示为 或)一 两种形式，前者称为X 型区域，后者称为丫型区域。最简单的区域有矩形域。=(x,y)：a x b,c y Wd和圆形域)=(x,y):x+/=，,如图 8 1

4、所示。例 1求 z=yjx-yy的定义域解该函数的 定 义 域 为D=(x,y):x2 y,0)图81例 2求下列函数的定义域。，并画出。的图形。/(,l、)z=arcsin 尤 +arcsi n y2 3(2)z=4-x2-y2+j=解(I)要使得z=arcsin 土 +arcsin上有意义，则需.23(1 1 1w即4-2 x 2-3 y 0 -、,即 1 c x +y Y 4x2+y2-1 0则需故函数的定义域。=(不丁)：1 /+2 0 就可表示(x,y)-(%,%)o在平面卬 上，(尤,y)趋于“。,%)的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果定义于(%,

5、%)的某一去心邻域的一个二元函数/(x,y)与一个确定的常数A,当点(x,y)以任意方式趋向点“0，为)时，)。，丁)总是趋向于一个确定的常数A,那么就称A是二元函数/(x,y)当(x,y)T(X o，光)时的极限。为了区别于一元函数的极限，则把二元函数的极限叫做二重极限定 义1设函数z =/(x,y)在点4(/J o)的某一邻域内有定义(点庶(鼻，为)除外)，若点P(x,y)无限地趋于点外(%,为)时，恒有|/(P)-A (%,%)时的二重极限，记 为l im /(/)=4或*,丁)-“0，%)l im f(x,y)=A。P T 品用 一6语言严格给出定义1的二重极限的定义如下定义2对任意给

6、定的正数,无论怎样小，总存在一正数S,当满足O(x-xo)2+(y-yo)2+(z-zo)2 32的一切(尤,y)恒有阿)一 曰 0,l im(x,.y)-(o,o)孙x2+y2同笆(x,y)-(0,0)/+02=0当 P(x,y)沿 y 轴趋于(0,0)时，即 x =0,y-0,l im J,=l im?义)，=o(x,y)-(0,0)_|_ y1(x,y)-(0,0)j2+yZ当 P(x,y)沿着 y =履直线趋于(0,0)时，l im -X y-l im -,(x.y)(o,o)x2+y()(o.o)x2+k2x +k随着k的取值不同，一 J 的值不同，所 以l im 鼻 不 存 在。1

7、+k (x.y)-(0,0)x2+y2注 一元函数y =/(x)的极限，点x只沿x轴趋于0,但二元函数的极限要求点P(x,y)沿以任意方式趋向点(%,%)，若P。,y)沿x轴或沿y轴或沿平行与坐标轴的直线或沿某一条曲线趋于(工0，为)时的极限都存在，也不能确定它的极限不存在。二、二重极限的运算法则正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则当(X,)一(%,%)时，/(x,y)-A ,g(x,y)-B 贝I(1)f(x,y)g(x,y)-AB(2)f(x,y)-g(x,y)-A B(3)19)f 4 ,其中 8/0g(x,y)B例2求 极 限l im(x,y)f(0,0)1 -c o s

8、(%2+/)(x2+y2)e 2y2解.1-c o +y ).1-c o s v +y-)1 1 m -=l im -；(x,，)T(0.0)(x2 +x-y(a)T(0,0)(%-+y2y2)i宁=/。三、二元函数的连续性像一元函数一样，可以利用二重极限来给出二元函数连续的概念1 .二元函数连续的概念定 义1如果当点（x,y）趋向点（%,y 0）时，函数/（x，y）的二重极限等于/（x，y）在点（%,y 0）处的函数值/（入0，乂），则称函数/（x,y）在点（X o，）o）处连续。如果/（x,y）在区域。的每一点都连续，那末称它在区域。连续。二元连续函数的和，差，积，商（分母不为零）和复合函

9、数仍是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的（多元初等函数是指由常数及其具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的可用一个式子表示的多元函数）。如果二元函数连续，又（X。,）在其定义域。内时，当在定义域。内求函数在（X,y）f 5，y。）的极限，可把用直接代入计算二元函数在点（%,%）的函数值，即为其极限。例3求 极 限l i m 2+3（/+尸）g f O O）2+.+解 2+二4 2+2）_2+：0或+）（-0）W+；2+1 -初+0 2+1 -2 .多元函数连续性的性质性 质（有界性及最大值与最小值定理）1在有界的闭区域。上的多元连续函数,必定在上有界

10、，且取得最大值与最小值。性 质（介值定理）2在有界的闭区域。上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。性 质（一致连续性定理）3在有界的闭区域。上的多元连续函数，必定在D上一致连续性。3 .二元函数间断性定 义2如果函数z =/（x,y）在（x0,y0）不满足连续的定义,那末我们就称（%,为）是/(x,y)的一个间断点。二元函数间断点的产生与一元函数的情形类似，但是二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点，还有间断线。例 4求函数z =si n 的间断线孙解 犬=0 与=0 都是函数2 =41 1 上的间断线。8.3 偏 导数在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函

11、数同样要研究它的“变化率”。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在 wy平面内，当变点由(%,%)沿不同方向变化时，函数/(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(%,九)点处沿不同方向的变化率。一、偏导数的概念若点(x,y)只沿着平行于x 轴和平行于y轴两个特殊方位变动时，函数/(x,y)有变化率。则其变化率叫做偏导数。1 .函数在点的偏导数定 义 1 设有二元函数z =/(x,y),点(%,y 0)是其定义域。内一点，把 y固定在%,而让x 在 与有增量以，相应地函数z =/(x,y)有增量(称为对x的偏增量)、z =f(x0+Ax,y0)-f(x0,y0

12、)如果与A r之比当A r f()时的极限11 m 组=5取-0 AX AXTOJ(*o +A o)-/(Xo,加A x存在，则此极限值称为函数z =/(x,y)在(%,为)处对x的偏导数，记作f；(%0 ,%)或3(%，九)注 函数z =/(x,y)在(/，先)处对x的偏导数，是把y固定在先,实际上就是把y看成常数后，二元函数的偏导数就转化为一元函数z =/(x,%)在超处的导数。同样，把x固定在飞,让y有增量y，如果极限lim婚-0/(“，九+助 九)勺存在，则此极限称为函数z =/(x,y)在(%,%)处对y的偏导数，记作/、(%,)或为I5，%)2.函数的偏导函数当函数z =/(”)在

13、(x。,%)的两个偏导数号心,%)与荒 鼠 皿 都存在时，则称/(乂丁)在(%,%)处可导。如果函数/(x,y)在域。的每一点均可导，那末称函数/(x,y)在域D可导。此时，对应于域。的每一点(x,y),必有一个对x(对y )的偏导数,因而在域。确定了一个新的二元函数，称为./(x,/对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。定义2如果函数z =f(x,y)在区域。内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在，且是x、y的函数，则称它为函数z =/(x,y)对自变量x的偏导函数，简称为偏导数，记作或 f；(x,y)OX ox类似地，可以定义函数z =/(%y)对自变量y的偏导函数，记 作 包，外,z，或d

14、y dy 3.偏导数的求法求雪时，只要把其它自变量看成常数而对x求导数即可；求察时，只要把其它ox oy自变量看成常数，对y求导数即可。这是因在求偏导数时只有一个变量在变，其它变量固定的原因，故可按一元函数的求导方法求之。例1求z=x?s i n y的偏导数解 把y看作常量对X求导数，得包=2x s i nydx把x看作常量对y求导数，得包=/c o s y例2求 =+2的偏导数。Z解 根 据二元函数的偏导数的求法来做。把)，和Z看成常量对X求导，得 包=,“+)&G+y 2 Z把X和Z看成常量对y求导，得 包=1=+二3y 后寿z把 和y看成常量对z求导，得 孚=-乌d z z例3求函数z=

15、/_ 3 +2 y 2在点(2,1)处的两个偏导数解*/=2x-3y ,=-3x+4ydx dyg a二二1，2八=2 x 2 3x 1=1,空|=3x 2+4x l=2&I(2J)办I(2,1)例4设z=x (x 0),求证x dz 1 dz _-1-=2zy dx nx dy证 明 /=y tv-,=xvlnxdx dyx dz 1 dz x v_ i 1 v,v-+-=yx+-x Inx =x+xy=2zy dx Inxdy y Inx例5设3+y2+z 2 ,求证/u、2/d z、2 加、2()+()+()dx dy dz=1证明一U =,1-(z X 2+y 2+z22)f 人 人r

16、=,=-小 2-x2+y2+z2-yjx2+y2+z2 u同 理 包=2,包 一dy u dz u(%2+(包/+(空)2=2*Idx dy dz u人，2 2 r例6函数/(x,y)=豆 仔，+KH ，求/：(0,0)和火(0,0)0,-f +y=0解 f(0,0)=li m 生=li m/(。+必。)-八。,。)=l i m 2 =0-o AJC-7 A x -A x同理 f；(0,0)=0注(l)偏导数符号左、包是一个整体的记号，不能认为是a与&、0Z与办dx dy的商。(2)函数在点的偏导数实在是偏导函数在点的函数值(3)对二元函数z=/(x,y)在(%,%)处的偏导数存在，但不能保证

17、函数在该点的极限存在，如例6。(4)二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。(5)函数在某点处两个偏导数都存在，但函数不一定可微连续。如xy 2 2c/(%y)=4了 在点(o,o)处的两个偏导数都存在，但函数点(o,o)处不连0,X2+y2=0续。4.导数的几何意义设M (x,y J(x,y )为曲面z=/(x,y)上的一点，过M作平面y=y，截此曲面得0 0 0 0 0 0 0一条曲线，此曲线在平面y=y上的方程为z=/(x,y)，则导数4f(x,y),即二元0 0(IX 0 x=x函数Z=八X,y)在点(为,%)处对x的偏导数fx(x0,yQ)的几何意义就是这曲线在点M。

18、处的切线对x轴的斜率；同样地，偏 导 数 “的几何意义就是这曲线在点M处的切线对y轴的斜率。0二、高阶偏导数设函数Z=/(X,y)在区域。内具有偏导数生=f(x,y),=/(x,y),那么在。内OX x oy y/(x,y)、f(x,y)都是x、y的函数，若这两个偏导函数的偏导函数也存在，则称它们的偏导数是函数z=/(x,y)二阶偏导数。即如果二元函数 2=/(x,y)的偏导数/；(x,y)与仍然可导，那么这两个偏导函数的偏导数称为z=/*,y)的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个5d2z ()=f.y)；ox ox ox3d2z 丁(三)=7=怠(“内；dy ox dxdy5 d2z _

19、 (G 7)=/w(x,y)ox dy cyoxS dz d2z _ 可肉)=犷其中第二、三两个偏导数称为混合偏导数。类似地，可定义三阶、四阶、以及阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数就称为高阶偏导数，而把f：(x,y)与/；(x,y)称为一阶偏导数。定 理 如 果 函 数 z=/(x,y)的两个混合偏导数匹 与 正 在区域。内连续，那么在d ydx d x d y该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。注(1)该定理说明，二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关。(2)&(x,y)与&(x,y)的区别在于：前者是先对x 求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y 求偏导再对x 求偏导

20、例 7 求函数Z=x 3y-3/y 3的二阶偏导数.解 与=6 孙 _6 y 3,=-l&x2y Z=3x2-1 Sxy2=Z-d x d y dxdy dydx 8.4全微分我们已经学习了一元函数的微分的概念了，现在用类似的思想方法来学习多元函数的全增量，从而把微分的概念推广到多元函数。1.全微分的概念这里我们以二元函数为例。定义 如果二元函数Z=/(乂月在点。0，%)处的全增量AZ可以表示为Az=A Ax+BAy+co其中A、8与Ax、Ay无关的常数，是0 =+(Ay)?的高阶无穷小,即lim色=0,夕f 0 P则称AAx+BAy为函数2=/。,历在点(%,%)处的全微分，记为d z。即d

21、z=AAx+BAy此时称函数z=/(x,y)在点(xo，%)处可微。若函数z=/(x,y)在区域。内每一点都可微，则称函数z=/(x,y)在区域。内可微。定 理1(可微的必要条件)如果函数z=/(x,y)在点(%,%)处可微，则函数z=/(x )在点(Xo，y0)处偏导数包、丝 存 在，且dx dyA=_ n=-5，%)，Qy (*O，O )证明 因为函数z=/(x,y)在点(%,%)处可微，则函数的全增量为Az=A Ax+BAy+co其中 A、B 与 Ax、Ay 无关，lim=0(lim=0)0 p 0 fo当Ay=O时，函数对x的偏增量为A,.z=AAx+(v此时p =|Ax|,于是有.（

22、Olim-=hm A+lim =AAx 。P-Ax故 A=7（x V）BY|（的00）同理3 =包|,.Gy 九）由定理1可知，函数z=/（x,y）在点（x。,%）处可微时，则,&|dz规定 Ar=dx,Ay=dy,分别称为自变量尤、y的微分，则函数z=/（%）在点“0，凡）的全微分为,dz dz2=不|5.为）公+可|（和为）y函数z=/（x,y）的全微分为,&,5z龙=市 心+不力2.可微一定连续若函数z=/（x,y）在点（与，打）处可微，所以Az=AAx+BAy+co且lim=0(hmco=0)0 f o p 0 T o则lim Az=lim(AAx+BAy)+lim co=0AA-0

23、A.r-0 p-0A y-0 Ay 0故函数z=/(x,y)在点(x0,y0)处连续。定理2如果函数z=/(x,y)在点(项),、。)处可微，则函数z=/(x,y)在点(与，打)处连续。例 1 f(x,y)=0在(0,0)点不连续。例2/。,例=J/+y 2 ,这是上半圆锥，显然在(0,0)点连续，lim/(x,y)=0=/(0,0)x-0y-0但f(x,O)-f(O,O)必|x|1,x0-=-=-=x x x -1,x 0 X 工-Xy/x2+y2 正+.2=+y 2 s in -T 0 x+yx f 0()y-0故/(x,y)在(0,0)点可微。且 J f(0,0)=fx(0,0)dx+/

24、v(0,0)J y =0c .1 2%1 2 2 n2 x s in-c o s-7,x+y wO=j%+y%+y%+y0,x2+y2=0取 点 列Pn(x,yn),x=,1,y =Q,显 然Pn(xn,%)f (0,0)(tOO)7 2rl 兀f(x“,y“)=2 J 2H 兀 c o s 2 乃 -o o(n o o)故!吧，(羽)不 存 在，从 而.(x,y)在(0,0)点不连续。由尤,y的对称性，/v(x,y)在(0,0)点也不连续。对一元函数，可微与可导是等价的，即：可 微 O 可 导。但对二元函数，可微与偏导存在并不等价，即：可 微=偏 导 存 在，反之未必。应特别引起注意。4.可

25、微的充分条件定理3 （可微的充分条件）如果函数2 =/（x,y）在点（%,）0）的某一邻域内处偏导数更、dx丝3z连 续,则 函 数 z =在点（%,%）处可微。Sy注意 在找函数相应的全增量时，为了使A z 与偏导数发生关系，我们把由（修,打）变到（x（）+A x,+A y）的 过 程 分 为 两 部：先 由 点（x0,y0）变 到 点（%,y（）+A y），再 变 到 点（x0+A r,y（）+A y）,其过程如下图所示。或者先由点（x（）,y（）变到点（x（）+,%）,再变到点(演)+A x,%+A y)o&忖 dy)例 1 求 2 =e s in(x+y)的全微分解 由于 z；=ex

26、s in(x+y)+ex c o s(x+y),z；=ex c o s(x +y)所以必=e*s in(x +y)+c o s(x +y)dx+ex c o s(x +y)dy例 2 求函数z =2，的全微分解 由 于 丝=2 y 0 T,%=2 x 2 i n xdx dy所以 dz =2yx2x2y I n xdy例 3 求函数=/s i n +6 z r v t a n 的全微分2 y解由于*嘴沙s K箸 片所以=2xdx+(c o s-7)6 +T dz2 2 y2+z y+z5.全微分形式的不变性设函数z =/(/)具有连续的偏导数，则全微分为“2 =争 +孕 口O U OV如果、u

27、 又是x、y的函数，即 =e(x,y)、v =i/(x9 y),且这两个函数具有连续的偏导数，则复合函数z =九8 a,y)w(x,y)的全微分为dz =冬d x +冬d y，将 冬=冬 丝+学 空，ox oy ox du dx dv dx生=冬 孕+冬 空 代入得oy du oy ov oydu dx dv dx du dy dv dy=-du-du dv由此可见，无论Z 在自变量、U 的函数还是中间变量、U 的函数，它的全微分形式是一样的，这个性质就叫做全微分形式的步变性。8.5多 元复合函数的求导法在一元函数中，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我

28、们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例：一.全导数(复合函数的中间变量均为一元函数的情形)由 二 元 函 数 z =/(,v)和 两 个 一 元 函 数 =夕(x,y),v-(y)复 合 起 来 的 函 数dzz =e(x,y)(y)是X的一元函数。此时复合函数的导数就是一个一元函数的导数下，称为全定 理 1 如果一元函数 =s(x)与 v =(x)在点x处均可导，二元函数z =/(,u)在点x的对应点(/)处有一阶连续偏导数包，二。则复合函数z =/W(x),(x)在对X的导数存在,du ov且dz dz du dz dv=-+-dx du dx dv dx证明 给 x以

29、增量Ar,则 力 相 应 的 增 量 为 从 而 z =/(/)的全增量为A z =于(u+A w,v +A v)-f(,v)由于己知函数z =于(u,v)在点(,v)处有一阶连续偏导数，因此可微。A z =A +包du dv且 l i m =O,其中 =J(A，)2+(A=2p 又一元函数与y 均可导，所以与U 连续，则l i m p =0A x-0故 .co.2 v rco2 p1 I co1 v(A w)2+(A v)2 v 8 2 r,du、2,dv.2.八hm(1)=h m -=l i m-l i m-9-=hm-j-()+()=0A r-o A x -p(A r)0为 p(A x)

30、0一 p dx dx因此l i m 2=0,从而有AO dz=yl.i m Az =I i mZ(3z-A-“-、)+.l i m,(d-z-A-u-、)+l i m co=d-z-d-u-1-d-z-d-v-dx-T A x AT du A x -dv A x du dx dv dx用同样的方法可把定理推广到复合函数的中间变量多余两个的情形。比如，由Z =/(,R G),=0(x),v-i/(x),。=构成的复合函数z =，在与定理相类似的条件下，则复合函数z =/e(x),(x)M(x)在点X可导，且有dv dz dco-F-.dx dco dxaz-av龙z+R成瓦&一aM-1-2龙区J

31、例z=若土 丁.Gz v-i dz v i du c _ dv x用 牛 03 r =vu,=u l n，=2 c o s 2 x,=-?du dv dx dx Jx2-1所以dx du dx dv dx y/x2.i=(sin2 x)E(2/x2-1 cot2x+x l(s in 2 x)ylx2-l注全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。二.多元复合函数的求导法1.复合函数的中间变量均为多元函数的情形定 理2如果函数 =0(x,y)及y=(x,y)都在点(x,y)具有对x及 对y的偏导数，函数z=/(,v)在对应点(,V)具有连续偏导数，则复合函数z=力奴x

32、,y)在点(x,y)偏导数存在，且有dz _dz du dz dv dz _ dz du dz dvdx du dx+dv d x，dy du dy+dv dy类似用同样的方法，设“二(p(x,y)v=四及g =奴工,y)都在点(x,y)具有对x及对y的偏 导 数，函 数z=/在 对 应 点(,乂 具 有 连 续 偏 导 数，则 复 合 函 数z=/奴乂丁),以乂丫)0(%,)，)在点(无)的两个偏导数都存在，且有dz _ dz du dz 8v dz dco dz _ dz du dz dv dz dcodx du dx dv dx dco dx dy du dy dv dy dco dyg

33、 廿”c q Gz dz例 2 若 z=e cosv,u=xy,v=2x y,求,dx dy用由工寸 d一z=e u cos v,dz =-e M sm.v,du=y,dv =2,du =x,dv =-11du dv dx dx dy dy所以&-&az-5y&一为&苏=+=exyy cos(2x-y)-2sin(2x-y)dvdx+-d-z-d-v=e rvrx cos(八2x-y)、+sin/(c2 x-y)、idv dy注定理2在求星时,将y看作常量,因此中间变量及v仍看作一元函数而应用定理1,但由于复合函数2=旗以及 =(x,y)和u=MXy)都是x、y的二元函数，所以应把定理1中的d

34、改成3,再把，同时换成工或同时换成)，即得定理2.2.复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形定 理 3 如果函数=(x,y)在点O,y)具有对x 及对y的偏导数，函数y =M y)在点y可导,函数z =/(,u)在对应点(#)具有连续偏导数，则复合函数z =/欧x,y),(y)在点(x,y)的两个偏导数都存在，且有dz dz du dz _ dz du dz dv,-dx du dx dy du dy dv dy定理3的特例 设函数z =/(,x,y)具有连续的偏导数，而=0(x,y)具有偏导数，则复合函数z =f (p(x,y),x,y具有对x及对y的偏导数，且dz df du

35、df dz _ df du df=+,=1,+,dx du dx dx dy du dy dy注 定 理 3 是 定 理 2 的 特 例；这里dz是不同的,dzdxe r是把复合函数备与z =f (p(.x,y),x,y 中的y看作不变而对x 的偏导数，是 把 中 的 及 y看作不变而对x的偏导数。黑与卓也有类似的区别。oy oy例 3 若 z =/(2,x +2 y,y s i n x),求7-,7-x dx dy解 设 =2,y =2 x +y,VP=y s i n x 则xZ =flu,V,w）由于du y 8v t dw=一-7,7-=l k=y c os xdx x ox dxdu

36、1 dv _ dw.=,=2,=s i n xdy x dy dy所以彳=fu*（一-+fv 1+,y c os x =-g/：+6+y c o s*C X X X告 k+2 月+s i n 明dy x例 4廿 -dz dz若 n =x W（x+y x 、），求 二,7-dx dy解=yf(x+y,x-y)+xy(f-+f2-l)=yf(x+y,x-y)+xyf+f)OXS z=xfQc+y,x-y)+x j t/；-1 +/-(-1)=xfx+y,x-y)+孙(力一月)Qy 8.6 隐函数的求导一.隐函数的简介一个二元方程F(x,y)=0可以确定一个一元隐函数y =y(x)；一个三元方程F(

37、x,y,z)=0可以确定一个二元隐函数z =z(x,y)：由方程组F(x,y,u,v)=O G(x,y,u,v)=0可确定一个二元函数。二.一元隐函数的求导将y =y(x)代入方程F(X,y)=0得F x,y(x)=。对x求导得F；+F；Aa x若尸：w0时，则dx F；隐 函 数 存 在 定 理1设 函 数F(x,y)在 点？(天,“的某一邻域内具有连续偏导 数，且F(XQ,=0，F您,”)手0,则方程F(x,y)=。在点(%,为)的某一邻域内恒能确定一个连续且具有连续导数的函数y=/(x),它满足条件y =/(x)，并 有 包=-乙。0 0 dx F；例1设尢2 +y 2 =2%,求 生d

38、x解 设尸(x,y)=/+y2-2工，得工X r,y)=2 x 2,q(x,y)=2 y所 以 先 美 二 号三.二元隐函数的求导设方程尸(x,y,z)=O确定了二元隐函数z=z(x,y),若 ，号 上 连续，且 理 Y 0。将z=z(x,y)代入方程/(乂 y,Z)=0 得Fx,y,z(x,y)=O两端分别对X和 y 求导得工 +哈。F；+F：=0 dy因为耳。0,所以d z =Fx-f d z _ F；8x F；d y F；隐函数存在定理2设函数尸(x,y,z)在点。(/，玉。)的某一邻域内具有连续偏导数，而且F(x,y,z)=0,尸(x,y,z)w 0，则方程F(x,y,z)=0 在点(

39、无，y,z)的某一邻域内恒能唯一确0,0 0 Z 0 0 0 0 00定一个连续且具有连续偏导数的函数z=/(x,y),它满足条件Z o=/(Xo，y。)，并有&F x d z F；=，=-；.dx F；d y F!例 2设 z、=y z,求 应解 设厂O,y)=z X-y Z,得方;=z*ln z W =-ZT，K，=XZ，T 一y所 以 包=_&=zln z 丝=_ 5.=dx F _ XZ*T-y：In y Sy F；xzx-l-yz In y故,zx In z-zyx.az=-ax H-：:-ayxzx-y:ny xzx-yzny例3设x2+2)2+3 z2=4,求 上，卷，三dx d

40、y dxdy解 设厂(苍0=炉+2y2+3 z?-4,得 理=4y,娉=6z 故dz _ F；_ xdx F；3zdz _ Fy _ 2y石=方=一 豆d 2xy()=-dy dx 9z33 z dz例4 设0(cx-az,cy-bz)=O ,证 明a +b =c,其 中a,/7,c为 常 数，夕可微dx dy(a p+b(p2 w 0)。证 明 两 端 分别对尤求导，/也、，/,dz、.P (c-a)+P2-(-/?)=0dx dx得dz _ c(pdx a(p+b(p2同理所以8z _ c(p2fdy a(p+b(p2dz.dza +b =cdx dy隐函数存在定理3 设函数产(工,乂 0

41、)、6(工,乂,口)在点尸(),七,0,)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又尸(x,y,，u)=O,o o o oG(x,y ,)=0,且偏导数组成的函数行列式0 0 0 08F(即 雅 可 比(j ac ob i)式)j=d(G)=说d(u,v)dG_8udF感 在 点 打升,兀,%)不等于零，则方程组dvF(x,%#)=0、G(x,#)=0 在点(x ,y ,，y )的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续0 0 0 0导数的函数=w(x,y),v =v(x9 y)9它 满 足 条 件 上 吗,y。),%=此,“，并有F FX Va :1 8(A G),%Gdx J 9(x,v)

42、F FI t FG Gu vdv _ 1 5(F,G)dx J 8(,x)F FIt XG GF FU VG GU VF Fdu _ 1 d(F,G)_G Gy vd y-J S(y,v)F Fli VG GU VF Fdv _ 1 S(F,G)_Gu Gydy J S(,y)F Ftl VG GU V 8.7 多元函数的极值在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值,从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。一.二元函数极值1 .二元函数极值的概念定 义1如果在(%,%)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式f(x,y)

43、f(x0,y0)成立，那末就称函数/(x,y)在点(X o，X)处取得极小值/(，为)。极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y o)称为极值点2.二元函数在(王)，为)取得极值的必要条件定 理 二元可导函数在(%,%)取得极值的条件是(/，%)=。/(%，%)=。注意：此条件只是取得极值的必要条件。定 义2凡是使力(0，%)=0；(工0，%)=0的点(x,y)称为函数/(x,y)的驻点。可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。3 .二元函数极值判定的方法定理 设(%,%)是 函 数z=/(x,y)的驻点，且函数Z =/(x,y)在(与,儿)的某一邻域内有连续的二阶偏导数

44、。令A =f(x0,y0),B=fy(x0,y0),C=/(%,%)，=B2-A C则(1)当 0,A 0时，/(X o，X)是极大值当 0时，/(%,%)是极小值(2)当A 0时，/(%,%)不是极值(3)当A =0时，/(见，儿)可能是极值，也可能不是极值。列表如下-A C/(W o)A0A0时取极小值 0非极值 二 0不定4.二元函数极值判定的方法(1)求一、二阶导数和偏导数(2)求驻点(3)计算A,5,C,A(4)确定极值。例 1：求 z=/+V-3 xy 的极值。解：z x-3 x2-3y,z y-3 y2-3x z1=6 x,z,=-3,z1,=6 y解 方 程 组-3 y =0

45、,得驻点(o,o)3 y 2-3 尤=0对于驻点(1,1)有 z：v(l,l)=6,z；,(l,l)=3,=6 ,故A 0,A=-27 0因此，Z =丁+y 3 一 3 孙在点(0,0)不取得极值二.多元函数的最大、最小值问题我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。(1)根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；(2)求出驻点；(3)结合实际意义判定最大、最小值.例2在平面3 x+4 y z=26求一点，使它与坐标原点的距离最短。解(1)先建立函数关系，确定定义域求解与原点的距离最短

46、的问题等价于求解与原点距离的平方2 2 2u=x+y+z最小的问题。但是P点位于所给的平面上，故z=3 x+4 y-26。把它代入上式便得到所需的函数关系u=x2+y2+(3 x+4 -26)2,一 0 0 c xe 4 0 0,-0 0 y +oo(2)求驻点du=+6(3x+-26)=4(5/+6 3 9),dxdu=27+8(3x+-26)=2(12 x+17 j -104).期解 包=0,包=0得唯一驻点x=3,y =4。由于点P在所给平面上，故可知z=ldx dy(3)结合实际意义判定最大、最小值由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数

47、仅有唯一的驻点。所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-l)。从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是求三元函数2 2 2u=x+y+z在约束条件3 x+4 y z=26下的最小值。一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。8.8微分在几何上的应用1.空间曲线的切线与法平面定义 加0 是空间曲线上的一点，M 是曲线r上的又一点，当M 沿着曲线趋近于点Mo 时，割 线 的 极 限 位 置 称 为 曲 线 在点”o处的切线。以 切 线 为 法 线 且 过 点M0的平面称为曲线r在点M0处的法平面。若空间曲线的方程为x=x(t)y=y(t)z=z(r)在，=%时，对应空间曲线上的

48、一点是M oa o.y o,Z o),在，=%处给，的增量为，则对应空间曲线上的点是M(x0+8,%+Z。+Az),那么割线MaM的方程为X -X o=y f 二 z.Z oAx)Ay Az上式在加 f 0时的极限即为切线M0T的方程。因此，如果空间曲线的参数方程为X=x(t)-y=y(f)z=z(r)则在曲线上点P(X o，X)，Z o)的切平线方程为*一/二 yx)二 Z-Z。Xa)-y Q o)-z(o)法平面方程为xQ o)(x-X o)+VQ o)(y-y o)+zQ o)(z-Z o)=o其中 x(r0)=x0,y(t)=%，zQ o)=zo。x=2c os r 兀例 1 求螺旋线

49、(y =2s i n r 在，=I 处的切线方程和法平面方程。z=-J 2t解切平线方程为V2x-叵 y-0 z-彳 乃-V 2 -V2-V2法平面方程为万V2(x V 2)+V2(_ y V 2)+V2(z-)04即4 x 4 y -z+行 乃=0例 2 求曲线：/在/=J _ 处的切线方程和法平面方程。z=12x2 2解号x=t,则曲线为x=tv y=16 x2z=12x2故在r =L处曲线的切平线方程为21_X_-_-2 =.-4A =z-3r1 一 16 -12法平面方程为(x-1)+16(y-4)+12(z-3)=0即2x+3 2y +2 4 z-20 1=02.空间曲面的切平面与法

50、线定义2设 是 曲 面E上的一点，如果过点Al。且在曲面E上的任何曲线在点Mo处的切线都在同一平面上，则称该平面为曲面E在点A/。处的切平面。过 点 且 垂 直 于 切 平 面 的 直 线，称为曲面Z点Mo处的法线。设曲面E的方程为尸(x,y,z)=O,在曲面Z上点A/。(%,%，Z。)处切平面的法向量为 一(%，yo，z0),一(陶，y，Z。),工(质,九,Z。)同时 x-X o，y-yo，z-Zo为切平面内一向量。则在曲面E上 点/。(/，y()，Zo)处的切平面方程为,y0,z0)(x-x0)+Fy(x0,%,z )(y-%)+f (%,%,z。)(z-z0)=0法线方程为X X o _