河南省中考数学模拟考试试卷.pdf

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1、2018年河南省中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3 分，共 30分）1.（3 分）的相反数是（）A.B.3 C.-D.-3【分析】根据相反数的概念解答即可.【解答】解：的相反数是添加一个负号即可.故选：C.2.（3 分）据统计，2018年 2 月 11日到到现场观看平昌冬奥会的观众有约有176500人，则176530用科学记数法表示为（）A.1765x105 B.1.765x105 C.17.65x105 D.0.1765x105【分析】科学记数法的表示形式为axIOn的形式，其 中 l|a|10,n 为整数.确定n 的值时,要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的

2、绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值多时，n 是非负数；当原数的绝对值-1 B.k-1 J.k/0 C.k-1 D.k0,解 得kN-1且k/0.综合两种情况可以得出结论当k-1时，函数图像与x轴有交点故 选A.7.（3分）如图，将 ABC绕 点C顺时针旋转60。得A E D C,点B的对应点D恰好落在CA延长线上，连 接A D.下列结论不正确的是（）A.NADB=NACE B.ZCBD=6O0 C.BDCE D.ABEC【分析】由旋转的性质得到NBCD=NDCE=60。，CB=CD,推出 CBD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质，综合判断后可得结论.【解答】解：:ABC绕 点C顺时

3、针旋转60。得AEDC,二 ZBCD=Z DCE=60，CB=CD,.CBD是等边三角形，.BD=CD=CB,二 ZBCD=ZDCE=ZBDC=NDCE=60故A,B都正确再根据平行线的判定综合判断C正确故 选D.8.（3分）一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其 中2个红球，1个黑球.从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再 摸 出1个球，则两次摸到的球为一红一黑的概率是（）A.B.C.E）.【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出黑球情况，再利用概率公式即可求得答案.【解答】解：解设两个红球为，黑球为，画树状图得：.共有9种等可能的结果，两次摸得为一红

4、一黑的情况有4种情况，,两次摸出红球的概率为；故 选D.9.（3 分）（2017河南）如图，在 RtA ABC 中，ZABC=90,AB=3,AC=5,ZBAC,NACB的平分线相交于点M,过 点M作MNBA交AC于 点N,则MN的 长 为（）A.B.C.D.【分析】做辅助线如图，由勾股定理得BC=4,设 MF长度为x,因为角平分线上得点到三边的距离相等，且4 AMB,MBC,AMC上面积之和等于小ABC的面积可以得到MF的长度，然后因为X A BCAN FM,代入相关数据可得MF的长.【解答】解：如图，作 MEJ_BC于点E,作 MDJ_AB于点D,作 MFJ_AC于点F,由勾股定理得BC=

5、设 MF=x解得x=lVMN/7BA二 ZBAC=Z M N F,且/ABC=/MFN=90AAABCANFM即得故答案为A10.(3 分)如图，已知在正 ABC边长为4 中，以AB为直径作半圆O,交 BC、AC于点D、E,则阴影面积为()A.B.C,D.【分析】连接AD,BE,OD,OE,D E,可知AOBD为正三角形，ODCE为菱形，将两块阴影互相结合可得阴影面积总和为正 EDC的面积。【解答】解：连接AD,BE,OD,OE,DE,；AB为直径，.,.ZADB=90,即 AD_LBC,.D为 BC中点，同理可知E 为 AC中点，ABC 中位线，故OE、DC的关系平行且相等，且圆半径OD=O

6、E.,ODCE为菱形.扇形OBD旋转后可与扇形ODE重合工两块阴影的面积之和为正 EDC的面积，且 EDC的面积与4 EDO面积相等故答案选A二、填空题（每小题3 分，共 15分）11.（3 分）计算：=.【分析】根据二次根式乘法和0 次塞意义进行化简，合并同类二次根式进行计算即可.【解答】解原式=12.（3 分）（2017河南）不等式组并把解集为.【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集.【解答】解：（1）解不等式，得：x -l；解不等式，得：x2;，不等式解集为-1 0）上，过点P 作 PQ，x 轴，垂足为Q,OP的垂直平分线交x

7、 轴于点M,若等腰RtA ABC的周长为，则k=.【分析】解 设 PQ=y，等 腰 RtA ABC中，根据周长为结合垂直平分线性质算得PQ=MQ=1,PM=OM=,得 P 点坐标为，代入之后求K.【解答】解：OP的垂直平分线交x轴于点M,，OM=AP,ACA PMQ=PQ+MQ+PM=OM+MQ+PQ=OQ+PQ.PMQ为等腰直角三角形设PQ=y,因为三角形周长为得y=l.P点坐标为/.k=15.（3分）如图，将ABCD沿MN对折，使B、D重合，若NB=45。，AD=6,A B=,则CN的长为.【分析】过 点D作DFLBC,交BC的延长线于点F,易证 DCF为等腰直角三角形，从而可知CF=DF

8、,设D F=x,利用勾股定理列出方程即可求出x=3,因 为BN=DN,在RtA DFN中，设CN=y，可得方程，解得.【解答】解过点D作DFJ_BC,交BC的延长线于点FVAB/7CD工 /B=NDCF=45.二DCF为等腰直角三角形设DF=CF=x,利用勾股定理列出方程,x=3由于口 ABCD沿MN对折，得BN=DN设 C N=y,在 RtZiDFN 中解得；.CN的长为三、解 答 题（本题共8个小题，满 分75分）16.（8分）化简并求值，其中.【分析】根据通分法则合并，然后再通过整式的加减合并分子进行化简，最后把已知等式变形代入即可求值.【解答】解：原式=则原式=.17.（9分）为了调查

9、平昌冬奥会某项目参赛运动员的年龄情况，奥组委作了一次年龄调查,根据运动员的年龄绘制出如下的不完整统计图.请根据相关信息将统计图补充完整，并回答下列问题：(1)本次接受调查的运动员人数为，扇形统计图中2 0 岁所对的圆心角为；(2)补全条形统计图和扇形统计图(2)求统计的这组运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.【分析】(1)条形统计图中1 9 岁的人数为1 0 人，结合扇形统计图可知占了被调查总人数的,因此得总人数为6 0 人，求差可以得到2 1 岁的运动员有1 2 名；(2)结合计算结果补全图形。(3)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可.【解答】解：(1)、1 0+=6 0 (人)，6

10、0-4-1 0-1 6-1 8=1 2 (人)；(2)、结合第(1)问中的数据补全图形如下(3)平均数=(1 8 x 4+1 9 x 1 0+2 0 x 1 6+2 1 x 1 2+2 2 x 1 8)+6 0=2 0.5,2 2 出现1 8 次，次数最多，众数为2 2；6 0 个数据顺序排列，第 3 0、3 1 两数的平均数为中位数，即1 8.(9 分)已 知 AB是。O的直径，B C 是。的切线，Z C=6 0,B C=,E 是上一点，连接D E 交 D E 于点M.(1)如图1,求/E的大小；(2)如图2,当A E=D E 时，求阴影面积.【分析】(1)如图1,根据切线的性质，得/A B

11、 C=9 0。；因为AB为直径，所以N A D B=9 0。，所以根据同角的余角相等得/A B D=/C=6 0。，故/E=/A B D=6 0。(2)如图 2,/E=6 0,A E=D E 得 A E D 为正三角形，Z A D E=Z C=6 0 ,由此得D E B C,得 A B _ L D M,用扇形O B D 面积减去 OM D面积为得阴影面积.【解答】解：(1)如图1,.连接B D,：B C 是。O切线，A B 是。O的直径，二 Z A B C=9 0,；AB为直径Z A D B=9 0,由同角的余角相等得N A B D=N C=6 0。,.,.故/E=/A B D=6 0；(2)

12、如图2,连接B D,O D在 4AED 中，AE=DE,ZE=60,.AED为正三角形，ZADE=60,VZADE=ZC=60,；.DEB C,得 AB_LDM在 RtA ABC 和 RtA BDC 中，ZC=60,BC=由三角函数得AB=6,BD=3扇形OBD为圆心角为60。的扇形，OMD为含有30。角的特殊直角三角形又故阴影面积为19.(9 分)如图，一艘海警沿着海岛O 的北偏东方向6()。方向行进，行驶10()海里到P 点，然后折向正南到Q 点，最后回到出发点，若Q 点在O 的东偏南50。方向，请问这首海警船的行了多少海里.(结果保留整数).参考数据：sin50o-0.77,cos500

13、.64,tan501.19,-1.732.【分析】由题目可知PQLOG,分别在R s OPG,RtA DGD中求解即可解决问题.【解答】解：由题意知/POG=90-60=30，在 RtAOPG 中,sin30=,cos30=,.PG=OPsin30=50,OG=OP cos30=-86.6 海里，在 RS OGQ中，V ZGOQ=50,OG=,.GQn03.1 海里，OQH35.3 海里.*.OP+PQ+OQ-100+50+86.6+103.1+135.3s475答：海警船的航行全程为475海里.20.(9 分)已知一次函数y=klx+b与反比例函数的图象交于第一象限内的M(m,6),N(3,

14、2)两点，与x 轴交于P 点.(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点N 关于原点的对称点N，的坐标；(3)求NNPO的正切值.【分析】(1)将 N(3,2)代入，可得反比例函数解析式，将 M(L 6),N(3,2)两点代入一次函数解析式得二元一次方程组可得一次函数解析式；(2)根据中心对称的性质，可得点N 关于原点的对称点N 的坐标；(3)过点N，作 N，Q，x 轴，垂足为Q,构造直角三角形，依据N Q 以及QP的长，即可得到NNPO的正切值.【解答】解：(1).点N 在反比例函数的图象二把点N(3,2)代入可得：k2=6,反比例函数的表达式为，把将M(1,6),N(3,2)分别代入丫

15、=卜以+1?中，得解得，,一次函数的表达式为y=-2x+8；(2)点N 关于原点的对称点N，的坐标为(-3,-2),如图；(3)过点N，作N Q L x轴，垂足为Q,VN1(-3,-2),.NQ=2,QP=3+3=6在 RtA NQP.tanZNTO=21.“均衡发展”如火如荼，为了验收达标，某中学招收了甲、乙两个工程队对教学楼进行二次粉刷维修.若两队合作，1()天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3 天后，剩余部分由乙队单独做需要24天才能完成.(1)求甲、乙两队独做需要各需多少天？(2)甲队每天工资2000元，乙队每天工资1500元，学校要求在12天内将教楼交付使用，若完成该工程甲队工作

16、m 天，乙队工作n 天，求学校需支付的总工资w(元)与甲队工作天数 m(天)的函数关系式，并求出m 的取值范围及w 的最小值.【分析】(1)设甲队单独完成需要x 天，乙队单独完成需要y 天.列出分式方程组即可解决问题；(2)设乙先工作x 天，再与甲合作能完成任务.贝U，解得得烂3.由此可得m 的范围，再构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题；【解答】解：(1)设甲队单独完成需要x 天，乙队单独完成需要y 天.由题意，解得经检是分式方程组的解，甲、乙两队单独完成工作的各需15天和30天.(2)因为乙费用较低，因此尽可能安排乙的施工量才能使得费用较低。设乙先工作x 天，再与甲合作能完成任务.

17、则解，得 xW3.12-3=9,乙独做的时间在3 天或者3 天以下，故甲的时间应该超过9 天或者9 天以上，但不能超过工期12天.,.9m12.完成该工程甲队工作m 天，乙队工作n 天，n=30-2m,.,.w=2000m+1500（30-2m）=-1000m+45000,V-1000-1 B.1-1且 2 0 C.k-1 D.卜 -1或 10,解得k*1且 k邦.综合两种情况可以得出结论当kN-1时，函数图像与x 轴有交点故选A.7.（3 分）如图，将 ABC绕点C 顺时针旋转60。得A E D C,点 B 的对应点D 恰好落在CA延长线上，连接A D.下列结论不正确的是（）A.ZADB=Z

18、ACE B.ZCBD=6O0 C.BDCE D.ABEC【分析】由旋转的性质得到NBCD=/DCE=60。，CB=CD,推出A CBD是等边三角形，然后利用等边三角形的性质，综合判断后可得结论.【解答】解：；AABC绕点C 顺时针旋转60。得4 EDC,二 N BCD=Z DCE=60,CB=CD，.CBD是等边三角形，.*.BD=CD=CB,/.ZBCD=ZDCE=ZBDC=/DCE=60故A,B 都正确再根据平行线的判定综合判断C 正确故选D.8.（3 分）一个布袋里装有3 个只有颜色不同的球，其中2 个红球，1个黑球.从布袋里摸出 1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的

19、球为一红一黑的概率是（）A.B.C.D.【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出黑球情况，再利用概率公式即可求得答案.【解答】解：解设两个红球为，黑球为，画树状图得：共有9 种等可能的结果，两次摸得为一红一黑的情况有4 种情况，两次摸出红球的概率为；故选D.9.（3 分）（2017河南）如图，在 R s ABC 中，ZABC=90,AB=3,AC=5,ZBAC,/A C B 的平分线相交于点M,过点M 作 MNBA交 AC于点N,则 MN的长为（）A.B.C.D.【分析】做辅助线如图，由勾股定理得BC=4,设MF长度为x,因为角平分线上得点到三边的距离相等，且

20、4 AMB,MBC,A AMC上面积之和等于小ABC的面积可以得到MF的长度，然后因为AABCsZxNFM,代入相关数据可得MF的长.【解答】解:如图，作 MELBC于点E,作 MDLAB于点D,作 MFLAC于点F,由勾股定理得BC=设 MF=x解得x=l：MNBAA ZBAC=ZM NF,且NABC=NMFN=9().ABCANFM即得故答案为A10.(3 分)如图，已知在正 ABC边长为4 中，以AB为直径作半圆O,交 BC、AC于点D、E,则阴影面积为()A.B.C.D.【分析】连接AD,BE,OD,OE,D E,可知AOBD为正三角形，ODCE为菱形，将两块阴影互相结合可得阴影面积总

21、和为正 EDC的面积。【解答】解：连接AD,BE,OD,OE,DE,AB为直径，/.ZADB=90,即 AD_LBC,.D为 BC中点，同理可知E 为 AC中点，：OE为A ABC中位线，故OE、DC的关系平行且相等，且圆半径OD=OE.ODCE为菱形扇形OBD旋转后可与扇形ODE重合.两块阴影的面积之和为正 EDC的面积，且 EDC的面积与4 EDO面积相等故答案选A二、填空题（每小题3 分，共 15分）11.（3 分）计算：=.【分析】根据二次根式乘法和0 次幕意义进行化简，合并同类二次根式进行计算即可.【解答】解原式=12.（3 分）（2017河南）不等式组并把解集为.【分析】分别求出每

22、一个不等式的解集，根据各不等式解集在数轴上的表示，由公共部分即可确定不等式组的解集.【解答】解：（1）解不等式，得：x -l；解不等式，得：x2；，不等式解集为-1 0）上，过点P 作 PQJ_x轴，垂足为Q,OP的垂直平分线交x 轴于点M,若等腰R 3 ABC的周长为，则k=.【分析】解 设 PQ=y,等 腰 RtA ABC中，根据周长为结合垂直平分线性质算得PQ=MQ=1,PM=OM=,得 P 点坐标为，代入之后求K.【解答】解：OP的垂直平分线交x 轴于点M,；.OM=AP,/.CA PMQ=PQ+MQ+PM=OM+MQ+PQ=OQ+PQ.VAPMQ为等腰直角三角形设PQ=y,因为三角形

23、周长为得 y=lP点坐标为1 5.（3 分）如图，将 A B C D 沿 MN对折，使 B、D重合，若/B=4 5。，A D=6,A B=,则CN的长为.【分析】过点D作 D F L B C,交 BC的延长线于点F,易证 D C F 为等腰直角三角形，从而可知C F=D F,设 D F=x,利用勾股定理列出方程即可求出x=3,因为B N=D N,在 R t A D F N 中，设 C N=y，可得方程，解得.【解答】解过点D作D F L B C,交BC的延长线于点F：A B C D二 Z B=Z D C F=4 5.D C F 为等腰直角三角形设D F=C F=x,利用勾股定理列出方程x=3由

24、于。A B C D 沿 MN对折，得B N=D N设 C N=y,在 R S D F N 中解得；.C N 的长为三、解答题（本题共8 个小题，满分7 5 分）1 6.（8 分）化简并求值，其中.【分析】根据通分法则合并，然后再通过整式的加减合并分子进行化简，最后把已知等式变形代入即可求值.【解答】解：原式=则原式=.1 7.（9分）为了调查平昌冬奥会某项目参赛运动员的年龄情况，奥组委作了一次年龄调查,根据运动员的年龄绘制出如下的不完整统计图.请根据相关信息将统计图补充完整，并回答下列问题：（1）本次接受调查的运动员人数为，扇形统计图中20 岁所对的圆心角为；（2）补全条形统计图和扇形统计图（

25、2）求统计的这组运动员年龄数据的平均数、众数和中位数.【分析】（1）条形统计图中1 9 岁的人数为1 0 人，结合扇形统计图可知占了被调查总人数的,因此得总人数为6 0 人，求差可以得到21 岁的运动员有1 2名；（2）结合计算结果补全图形。（3）根据平均数、众数和中位数的定义求解即可.【解答】解：(1)、10+=60(人)，60-4-10-16-18=12(人)；(2)、结合第(1)问中的数据补全图形如下(3)平均数=(18x4+19x10+20 x16+21x12+22x18)+60=20.5,22出现18次，次数最多，众数为22；60个数据顺序排列，第 30、31两数的平均数为中位数，即

26、18.(9 分)已 知 AB是。O 的直径，BC是。O 的切线，ZC=60,BC=,E是上一点，连接DE交 DE于点M.(1)如图1,求/E 的大小；(2)如图2,当AE=DE时，求阴影面积.【分析】(1)如图1,根据切线的性质，得NABC=90。；因为AB为直径，所以NADB=90。，所以根据同角的余角相等得NABD=NC=60。，故NE=NABD=60。(2)如图 2,NE=60。,AE=DE 得 AED 为正三角形，ZADE=ZC=60,由此得DEB C,得 ABJ_DM,用扇形OBD面积减去小OMD面积为得阴影面积.【解答】解：(1)如图1,：连接BD,.BC是。O 切线，AB是。O

27、的直径，二 NABC=90。，AB为直径二 ZADB=90,由同角的余角相等得/ABD=NC=60。，.故 NE=NABD=60；(2)如图2,连接BD,OD在 AAED 中，AE=DE,ZE=60,.AED为正三角形，二 ZADE=60,VZADE=ZC=60,.DEB C,得 AB_LDM在 RtA ABC 和 RIA BDC 中，ZC=60,BC=由三角函数得AB=6,BD=3扇形OBD为圆心角为60。的扇形，OMD为含有30。角的特殊直角三角形又故阴影面积为19.(9 分)如图，一艘海警沿着海岛O 的北偏东方向60。方向行进，行驶100海里到P 点，然后折向正南到Q 点，最后回到出发点

28、，若 Q 点在O 的东偏南50。方向，请问这首海警船的行了多少海里.(结果保留整数).参考数据：sin50M).77,cos500.64,tan501.19,-1.732.【分析】由题目可知PQJ_OG,分别在RtA OPG,RtA DGD中求解即可解决问题.【解答】解：由题意知/POG=90-60=30,在 RtZOPG 中，sin30=,cos300=,.,.PG=OPsin30=50,OG=OP cos30=-86.6 海里，在 RtA OGQ 中,V ZGOQ=50,OG=，.GQH103.1 海里，OQR35.3 海里.*.OP+PQ+OQ=100+50+86.6+103.1+135

29、.3=475答：海警船的航行全程为475海里.20.(9 分)已知一次函数y=klx+b与反比例函数的图象交于第一象限内的M(m,6),N(3,2)两点，与 x 轴交于P 点.(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)写出点N 关于原点的对称点N，的坐标；(3)求NNPO的正切值.【分析】(1)将 N(3,2)代入，可得反比例函数解析式，将 M(1,6),N(3,2)两点代入一次函数解析式得二元一次方程组可得一次函数解析式；(2)根据中心对称的性质，可得点N 关于原点的对称点N，的坐标；(3)过点N，作 NQ，x 轴，垂足为Q,构造直角三角形，依据N Q 以及QP的长，即可得到/N PO 的正切

30、值.【解答】解：(1).点N 在反比例函数的图象把点N(3,2)代入可得：k2=6,反比例函数的表达式为，把将M(1,6),N(3,2)分别代入丫=14以+1)中，得解得，,一次函数的表达式为y=-2x+8；(2)点N 关于原点的对称点N的坐标为(-3,-2),如图；(3)过点N，作N，Q，x轴，垂足为Q,VN1(-3,-2),.*.NQ=2,QP=3+3=6在 RIA NQP/.tanZN,PO=21.“均衡发展”如火如荼，为了验收达标，某中学招收了甲、乙两个工程队对教学楼进行二次粉刷维修.若两队合作，10天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做3 天后，剩余部分由乙队单独做需要24天才能完成

31、.（1）求甲、乙两队独做需要各需多少天？（2）甲队每天工资2000元，乙队每天工资1500元，学校要求在12天内将教楼交付使用，若完成该工程甲队工作m 天，乙队工作n 天，求学校需支付的总工资w（元）与甲队工作天数 m（天）的函数关系式，并求出m 的取值范围及w 的最小值.【分析】（1）设甲队单独完成需要x 天，乙队单独完成需要y 天.列出分式方程组即可解决问题；（2）设乙先工作x 天，再与甲合作能完成任务.则，解得得烂3.由此可得m 的范围，再构建一次函数，利用一次函数的性质即可解决问题；【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x 天，乙队单独完成需要y 天.由题意，解得经检是分式方程组的解，二

32、甲、乙两队单独完成工作的各需15天和30天.（2）因为乙费用较低，因此尽可能安排乙的施工量才能使得费用较低。设乙先工作x 天，再与甲合作能完成任务.则解，得 烂3.*2-3=9,乙独做的时间在3 天或者3 天以下，故甲的时间应该超过9 天或者9 天以上，但不能超过工期12天.,.9m12.完成该工程甲队工作m 天，乙队工作n 天，n=30-2m,.,.w=2000m+1500（30-2m）=-1000m+45000,V-10000,m=12时，此时费用最小，；.w 的最小值为-12000+45000=33000 元.22.（10分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABOC是矩形，A

33、C=,NABC=6（）OE是对角线BC上一动点（不与两端点重合），作矩形A EFD,使 F 点在x 轴上滑问题探究填空：点A B 的长度为，B C 的长度为在E 点的滑动过程中，AE、EF是否有固定的数量关系？如果存在，请写出理由；问题拓展是否存在这样的点E,使得AEFB是等腰三角形？若存在，请求出BE的长度；若不存在,请说明理由；【分析】问题探究在RtZ ABC中AC=,ZABC=60,利用三角函数知识可求得AB=1,BC=2.AE,EF有固定的数量关系，因为NAEF=NABF=90。，所以A、E、F、B 四点共圆，故ZAFE=ZABC=60,在 RtA AEF 中 tan60=,故问题拓展

34、存在这样的E 点使 EFB为等腰三角形，分两种情况分析：.在图1中知道/AEF=NABF=90。构造以EF为直径的圆，EF=B F,并且,因此可知AE=AB,在NABC=60。的情况下4 ABE为等边三角形，得 BE=AB=1在图 2 中，BE=BF,ZEBF=150,得NBEF=15。，故 NAEC=180 1590=75,因为/ACB=30,得/AEC=I80-75-30=75,所以 CE=AC=BE=【解答】问题探究解：在R 3 ABC中VAC=,ZABC=60得 AB=1,BC=2.AE,EF有固定的数量关系，理由如下：ZAEF=ZABF=90,:.A、E、F、B 四点在以AF为直径的

35、圆上，故 NAFE=/ABC=60在 R 2 AEF 中 tan60=,故问题拓展存在这样的E 点使AEFB为等腰三角形，理由如下：点 F 在 B 左侧时，由图1中知道NAEF=NABF=90。构造以EF为直径的圆，假设EF=BF,在 RtA AFE 和 RtA AFB 中，AE=AB,且 NABC=60故4 ABE为等边三角形，得 BE=AB=1点F 在 B 右侧时，在图 2 中，BE=BF,NEBF=150。,得 NBEF=15,故 ZAEC=180-15-90=75,VZACB=30,二 ZAEC=180o-7 5-3 0o=75,.CE=AC=故 BE=23.(11分)(2017河南)

36、如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴交于A(1,0),B(-3,0)两点，与 y 轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是 y 轴上的一点，且以A,C,M 为顶点的三角形与 ABC相似，在图2 中画图求解点M 坐标；(3)如图3,CNx 轴与抛物线相交于点N,点P 是CN上方抛物线上的动点，过点P 且与y 轴平行的直线PQ交 AC于Q,试探究当点P 运动到何处时，四边形PNQC的面积最大，求点P 的坐标及最大面积；【分析】(1)根据根据交点式然后再代入C 的坐标可确定出抛物线解析式；(2)分两种情况，利用相似三角形的比例式即可求出点M

37、的坐标；(3)先求出直线AC的解析式，进而求出四边形PNQC的面积的函数关系式，即可求出最大值；【解答】解：(1).已知抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴交于A(1,0),B(-3,0)两点，与y 轴交于点C(0,3)设解析式为，过 C(0,3)得.解析式为(2)因为NAOC=90。，AO=CO=3,AC=ZOAC=ZOCA=45CAB中/BAC=45。,且两夹边之比为Z.ACAM中/ACM=45。,两夹边之比为所以，分两种情况进行分析：如图，aCABsAACM得 CM=4AM(0,-1)如图，ziCA BsaM CA得CM=AM(0,)(3)设 P(t,-t2-2t+3),：CNx 轴，.点c 的纵坐标为3,在抛物线上，-x2-2x+3=3,/.x=0 或 x=-2,ACN=2,设直线A C 的解析式为y=kx+b,且 过(-3,0)(0,3)/.y=x+3，PQ 纵轴：.Q(t,t+3),/四边形PNQC对角线互相垂直整理得 当时，四边形PNQC的面积最大为.