第18讲 导数与函数的极值、最值（解析版）-2023年高考数学一轮总复习（新高考）.pdf

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1、第18讲导数与函数的极值.最值根据图像判断函数的极值导数与函数的极值、最 值 ,考点1：利用导数解决函数的极值问题求已知函数的极值知函数的极值(点)求参数考点2：利用导数求函数的最值-1走 进 教 材：自主回顾1.函数的极值与导数条件/(x o)=OX 0附近的左侧/(x)0,右侧/(x)0刈附近的左侧/(x)0图象y大 死)0/%。%y 知 /一犬税)J/极值7(X 0)为极大值/0)为极小值极值点X O为极大值点X O为极小值点 提醒(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点.(2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值.(3)极大值与极

2、小值之间无确定的大小关系.2.函数的最值(1)在闭区间口，6 上连续的函数兀0在。，切上必有最大值与最小值.(2)若函数7(x)在 a,切上单调递增，则 人0为函数的最小值，/。)为函数的最大值；若函数/(X)在 a,b上单调递减，则./(a)为函数的最大值，火6)为函数的最小值.I-1考 点 探 究-题 型 突 破考 点1利用导数解决函数的极值问题 名师点睛1.由图象判断函数y=/(x)的极值，要抓住两点：(1)由y=/(x)的图象与x轴的交点，可得函数y=/(x)的可能极值点；(2)由导函数y=/(x)的图象可以看出y=/(x)的值的正负，从而可得函数y=/(x)的单调性，两者结合可得极值

3、点.2 .运用导数求函数/(x)极值的一般步骤(1)确定函数兀0 的定义域；(2)求导数，(X)；(3)解方程/(x)=0,求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验，(x)在/(x)=0 的根x o 左右两侧值的符号；(5)求出极值.典例1.(2 0 2 2 浙江高三专题练习)如图是函数y=的导函数的图象，下列结论中正确的是()A.f(x)在1 2,-1 上是增函数 B.当x =3时，“X)取得最小值C.当x =-l 时，”力取得极大值 D.“X)在 上 是 增 函 数，在 2,4 上是减函数【答案】D【解析】根据图象知：当x w(-2,-l),x e(2,4)时,(力0 函数y=f(力单调递

4、减;当x e(l,2),x e(4,*c)时，/(x)0 函数)，=/(x)单调递增.所以y=f(x)在 上 单 调 递 减，在(-1,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4,内)上单调递增，故选项A不正确，选 项 D正确；故当x =T 时，x)取得极小值，选项C不正确；当x =3时，/(x)不是取得最小值，选 项 B不正确；故选：D.2.(2022江苏江苏高三期末)已知函数人x)=x，+a F x 的图象在点”(1,3)处的切线方程为y=4 x-3,则函数y=/(x)的极大值为()5 25A.1 B.C.D.-127 27【答案】A【解析】由由题意得/。)=3 1+2 以-1 ,故:

5、=3+2“-1=4,则。=1 ,所以f (x)=3x2+2x-i,令 f(x)=3x2+2x-l=0,则占=-1,毛=g，当x T 或时，r(x)o,故函数f M在x=T 时取得极大值为/(-1)=-1+1 +1 =1,故选：A.3.(2022河北 衡水市冀州区第一中学高三期末)已知函数 x)=e*-aln x 的极小值为a,则a的值为.【答案】e【解析】r(x)=，q,若a V O,则当xe(O,也)时,r(x)0,f(x)单调递增，此时f(x)不存在极值，不符合题意，所以a 0,易知尸(x)在(0,+功 匕单调递增，且当x 7 0+时，r(x)T Y,当x-y 时，/(x)-+,所以存在唯

6、一的/(),+(),使得尸(x J=O.当xe(O,x)时，r(x)0,f(x)单调递增.所以f (x)的极小值 为)=6%-aln%=a,因为广=巴,工 0a 1 1所以-41nx0=a,即-In x0=1 ,与 不)设g(x)=(-l n x,因为g(x)=-ge=e.故答案为：e4.(2021重庆巴蜀中学高三阶段练习)已知函数/(x)=M-x+LeA(1)当机=1时，求f(x)的极值;2出设函数8(1)=5一2 1-/(均，讨论且。)在区间(，+8)上的极值点的个数.u-+一、f_ x+(、x2 3x+2(x l)(x-2)【解】(1)当m=1 时，/(x)=-，/(x)=-=-e e

7、e令/(x)0，解得xe(l,2)；令/(x)0,解得x 2；故/(处在(-8,1)单调递减，在(L2)单调递增,在(2,+Q O)单调递减，1 a故“X)的极小值为了=-，极大值为八2)=3 .221(2)由题可知：g(x)=工-2x-+1 ,2 e而 2mx-mx2+x-2贝 I J g =x-2-e_ et(x-2)-m x(2-x)-(x-2)_ (x-2)(ef+znr-l)=?=?要讨论g(x)的极值点的个数，令夕(x)=e+MX-1,先讨论夕(x)的零点个数，令贝龙)=e+松-1 =0,则m=-=h(x)(x0),故“(X)=-eJ】，x厂令 p(x)=eA(x-l)-i-1 则

8、 p(x)=evx 0.故p(x)在(0,+oo)上单调递增，又p(0)=0,故x0时，(x)0,此时(无)0)无实数解，x夕(工)=3+侬-1 =0 在(0,+)没有实根，故当 x w(0,2)时，g (尤)o故 g(x)在(0,2)上单调递减，在(2,x o)上单调递增，只有一个极值点x =2；1 e2当机0g(x)在(0,包)单调递增，无极值点；-e2 eA-1匚当2 =与(1)=-有一个交点，2x9(x)=e*+/n r-1 =0 有一个实数解%,玉)0 且毛工2,此时&，(x)=o 有两个不等的实根看,2.若x(0,2),g(x)在(0,不)上单调递增，在 伍,2)上单调递减，(2,

9、+8)上单调递增,此时有2 个极值点；若厮2,则g(x)在(0,2)上单调递增，在(2,%)上单调递减，(如一)上单调递增,g(x)在(0,+o o)上有2 个极值点.综 上:当丁2-1时,g(x)在(。,+8)上只有1个极值点；l-e2当优=二 三 时，g(x)在。*0)上没有极值点；2l-e2当旭-1且加w 时，g(x)在(0,+8)上有2 个极值点.2 举一反三1.（2022全国高三专题练习）函 数 的 定 义 域 为 开 区 间（。力），导函数f（x）在（“,6）内的图像如图所示,则函数f（x）在开区间（。力）内有极小值点（）D.4个【答案】A【解析】由导函数1（x）在区间（“内的图象

10、可知,函数r（x）在（出。）内的图象与*轴有四个公共点,在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正,在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负,所以函数“X）在开区间（。内 的极小值点有1个,故选：A.2.（2022全国高三专题练习）已知函数y=/（x）的图象如图所示，那么下列结论正确的是（）C.x=b时，/（x）有极大值B./（X）没有极大值D.时，/a）有极小值【答案】D【解析】解：如图所示，设函数y=r（x）的图象在原点与（c,0）之间的交点为3,0）.由图象可知：r(a)=/()=/(c)=0.当时，/V)0,此时函数/(x)单调递增；当

11、dxc时，fW 0,此时函数f(x)单调递减；当c 0,此时函数/(x)单调递增.可得：。是函数f(x)的极小值点，d是函数/(x)的极大值点，c是函数/(x)的极小值点.b不是函数/(X)的极值点，4)=0不一定成立.且由图知，/(*)有极大值/.故选：D.3.(2022江苏南通模拟预测)已知函数 x)=(x-a)(x-A)e 在x=a处取极小值，且 x)的 极 大 值 为4,则匕=()A.-1 B.2 C.-3 D.4【答 案】B【解 析 解：/(x)=(x-6i)(x-Z?)e-ax-bx+abe,J5|f y,/z(x)=(2x-a-&)er+(x2-ax-bx+abe=e、x2+(2

12、-a-bx+ab-a-b因为函数/(x)=(x a)(x A)e 在 处 取 极 小 值，所以r(a)=e /+(2-a-b)a+ab-a-b=e!a-b)=Q ,所 以a=b,.,./(%)=(万一4)屋”,/(x)=e*x2+(2-2 a)x+/-2a=e*(x-a)x-(a-2),令 r(x)=0,得 x=a 或 三 一2,当 X W(Y O,a 2)时，_ f(x)0,所以在(v,a 2)单调递增，当尤2,a)时，r(x)0,所 以/(x)在(a,+8)单调递增，所以f(x)在 2 处有极大值为f(“-2)=4 e 7=4,解得”=2,所以沙=2.故选：B4.(2022全国高三专题练习

13、)已知函数x)=c o s +2(0O)在区间(0端 上 无 极 值，则。的取值范围 是()A.(0,5 B.(0,5)C.(0,-)D.(0,-2 2【答案】A 解 析 由已知条件得r(x)=_ysin(5 +(0),函数/（x）=c o s,x +部（w0）在 区 间 上 无 极 值，函数/（x）=c o s +6y 0）在区间（0弓）上单调，-ysin（yx+e）2 0 或-ysin（yx+）4 0在区间（0弓）上恒成立，当-sin（yx+t）2 0 时，sin6Wx+0,0 x -,r-（o x+-0,_ 71 7 1 兀 兀 TUur，兀 兀“hit zt _0 X 一,一 C O

14、X H -C D +,即一C O H K兀，力 件 倚6945,6 6 6 6 6 6 6则口的取值范围是（0,5,故选：A.5.(2021江苏苏州高三阶段练习)若函数 x)=s i n +1)在区间0,7r)内有且只有两个极值点，则正数 0,则当 X 0,4)，cox+G (071+1 要使得了(X)满足题意，只需：/OB P 2 s i n x 0,解得+2攵 乃/0,现 军 得2后乃 工）+2%肛左2所以/（力 的单调递增区间为（乃+2 Z2T+2Z/）MWZ,单调递减区间为（2米r,i +2版）/w Z,所以在X =。+2 处取得极大值,所以/（x）极 大 值=/（2 E）s i n

15、2 E +c o s 2 E=e ,k e Z,2瓜故答案为：e-加，k e Z（答案不唯一）9.（2022山东烟台高三期末）若x =-l是 函 数 力=任+依+1卜7的极值点，则“X）的极大值为4【答案】-e【解析】由/(x)=(x 2+o x +l)eT,fx)=(2x+a)e-(x1+ax+e-x因为x =-l是函数/（x）=（V+如+1）/的极值点,所以/(1)=0，即(-2+a)e(1a+l)e=O,解 彳!j a =2.所以力=(了2 +2*+1卜-*,/r(x)=(2 x+2)e-v-(x2+2 x+l)e-t=(-x2+l)e-,令f(x)=O,则(-V +l)e =0 ,得

16、x =l,X,f（x）和/（X）变化情况如下表:X(-00,-1)-1(-1,1)1(l,+o o)4所以当x =l时，函数取得极大值/(l)=4 e T=：,/(X)0+0f(x)递减极小值递增极大值递减4故答案为：一e10.(2022天津河西二模)若函数 幻=/+双2 x 9在x =l处取得极值，贝l J/(2)=.【答案】1【解析】解：/(x)=3 x2 4-2 a r-l,因为函数/(x)=d+G；2 7 _ 9在=_ 处取得极值，所以，/(-l)=3-2 a-l =0,解得。=1,此时，f (x)=3x2+2 x-l =(3 x-l)(x+l),故当/(x)0,/(X)单调递增；所以

17、，函数f(x)在x =-l处取得极小值，满足题意，所以，/(X)=X3+X2-X-9所以2)=8+4-2-9 =1故答案为：111.(2022重庆三模)已知函数/(x)=sin+V)(0 O)在区间(0,2)内有唯一的极值点，则。的取值范围是.(1 2【答案】7*716 3 _【解析】函数f(%)=s i n(口力+看卜口0),由于x w(0.2),所以一 X H-2。H-,6 6 6根据正弦函数的图象，以及/(X)在区间(0,2)内有且只有一个极值点，7 T T T 34 1 2所以工0,所以上 0,则实数加的取值范围是【答案】(F，T)U【解析】解：/(x)=x(x+l)(x-2 m)=X

18、3+(1-2m)x2-2nix,/(x)=3 x2+2(1-2 m)x-2m,因为函数f(x)=x(x +l)(x-2m)的两个极值点为X，所以不为函数/(x)=3 d+2(l-2加卜-2机的两零点，A=4(l-2/n)2+2 4/n =16 m2+8 m +4 0 恒成立，4 m-2-2？X +毛=-9=，/(i)+/(x2)=X 13+(l-2m)xI2-2mX+J3+(1-2ni)x22-2/nx2=年+制+(-2(希2+/2)-2小(玉+x2)=(X +工2)卜;一工也+A:22)+(1-2/?)(X1+Z)-2x,x2 J-2/n(X 1+x2)二(为 +%)(斗+工2-31X2J+

19、(1-2/W)(X1+X2)2-2X JX2+X2)4/?z-2 F f 4 加 一 2丫 _ 1 Z l.丫 4?.4 加 一 2=3-I-3-I+27+0-2 )I-I+2 m-=-(2/nl)0m2+5加+1),因为/(%)+/(毛)0，所以(2加1 乂46 2+5 m +1)0,或4 +5m+1 02/n-l 0解得m 一1或一!加 !，4 2所以实数机的取值范围是(3，T)U.；，；故答案为：13.(2021全国高三专题练习)已知函数 )=/+加+桁+。2,当。=。时，讨论函数”X)在区间 0,2 上的极值.【解】当8=0 时，f(x)=+c o c+a1,r(x)=3x2+2o r

20、 =x(3x+2a),广 的两个零点为 0,-：a；当一(*2,即“4 3 时，在 0,2 上/)40恒成立，所以 x)无极值；当0 -|a 2,即 3 a 0 时，在 0,-|r(x)0,所以/在 0,2 上有极小值为/(一1)=-3 3+/+/=-3+2,无极大值；当 三”4 0,即.2 0 时，在 0,2 上 r(x)20恒成立，所以“X)无极值；综上:当 a e,-3 U 0,E)时,/(x)在 0,2 无极值；当3,0)时，/(力 在 0,2 上有极小值为/(-|4=捺/+/,无极大值14.(2022北京房山一模)已知函数 x)=(l nx-a)e*.(1)当a =0 时，求曲线y=

21、f(x)在 x=l 处的切线方程；(2)若f(x)在 区 间(0,e 存在极小值，求的取值范围.【解析】(1)当。=0 时，/(x)=l nx-ev(x0),则广(犬)=1 门+：卜，所以r(l)=e,1)=0,所以曲线y=x)在x=l 处的切线方程为y=e(x-l)；(2)/r(x)=ex+(l nx-)ex+l nx-6 z l ev,令 g(x)=L l n x-a ,x e(0,e ,则x-解 g x)=0,得=1,g(力与g (%)的变化情况如下:X(0,1)1(1,e)g(x)0+g(x)极小值所以函数g(x)在 区 间(0,e 上的最小值为g =1-a,方 法 I：当aM l时，

22、g(l)=l 4 2 0.所以g(x)2 0 恒成立，即r(x)2 0 恒成立,所以函数/(刈 在 区 间(0,e 上是增函数，无极值，不符合要求，口当 时，因为g(l)=l-a 0,e e所以存 在%e(l，e),使得g(%)=0X(1,%)%(%,e)0+fM极小值所 以 函 数 在 区 间(1,e)上存在极小值/(%),符合要求，ia-H 寸，因为g(e)=IH-a a e-(a-l)-l-a =(e-2)0ae ae J所以存在为 0,l),使得g(%)=0易知，%为 函 数 在 区 间(0,1)上的极大值点.所以函数/(x)在 区 间(0,e)上有极大值，无极小值，不符合要求综上，实

23、数”的取值范围是方法2：/、一 0 1“X）在 区 间（0,e 上存在极小值”，当且仅当解得1。1 +丁证明如下：当+1 时，e因为 乂 A-所以存在%，使得g%=0,g 0X(1,%)%(%,e)g（x）（ra）一0+fW极小值所以函数/（X）在 区 间（1,e）上存在极小值.所以实数a的取值范围是1,1+J.考 点2利用导数求函数的最值 名师点睛求 函 数 在%6 上最值的方法（1）若函数在区间 a,0 上单调递增或递减，式 ）与/S）一个为最大值，一个为最小值.（2）若函数在闭区间 a,0 内有极值，要先求出 a,b 上的极值，与人），比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成.（

24、3）函数y（x）在区间（,6）上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.典例1.（2022江苏徐州市第七中学高三阶段练习）函数/（）=1 2+2%）2+6+6）满足：对立 eR,都有/（l+x）=/（l-x）,则函数“X）的最小值为（）A.-20 B.-16 C.-15 D.0【答案】B【解析】解：因为函数f(尤)=(丁+2*卜2+以+3满足：对Vx w R,都有f(l+x)=f(l-x),.0)=2)0=8(4+2a +b)/(-1)=/(3)j-(_ a +3=5(9 +3 a +6)，解得a=-6b=8所以仆)=仁+2*(/-6 x+8),则

25、:(x)=(2x+2乂_?-6了+8)+(丁+2*(2犬-6),=4(X3-3X2-2X+4),=4(x-l)(x-1 -1 +/),当x c l-6或 1 V x e 1 +6时，.f (x)i+石 时，r(x)o,所以X)的最小值为f(l +W =f(l-石)=-16,故选：B2.(2022福建莆田三模)已知函数/(x)=(x +l)2+cos(x +l)+a的最小值是4.贝l j =()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】由题，r(x)=2(x+l)s i n(x +l),r(x)=2-cos(x+l)0,所以/(外单调递增，又1)=0,所以x v-1J(x)-l,/(x)0

26、,故x =1为/3 最小值点，即/(1)=1+。=4,解得 =3,故选：A3.(2022全国高三专题练 习)已知函数x)=x+.(1)讨论函数/(x)的极值；4若函数“X)在 0 上的最小值是：，求实数的值.【解】解：由题意，函数”x)=x +-r的定义域为R，可得/(力=1-四-当a V O时，可得尸(x)0,f(x)单调递增，此时函数 x)的无极值；当a 0 时，令/(x)=O,可得x =l n a,当x I n a 时，r(x)l n a 时，/(力 0,/(x)单调递增，所以当x =l n a 时，函数取得极小值，极小值为/(10。)=111。+义=1114+1,无极大值.e综上所述，

27、当“V 0 时，函数“X)无极值；当a 0 时，函数“X)的极小值为l n a +1,无极大值.由(1)知，当V O时，X)单调递增，可得0)=；,即(舍去)；当a 0 时，函数“X)在(-,I n a)上单调递减，(I n a,)上单调递增，若I n a M O时,即 0 。41 时,函 数“力在 0可 上单调递增,所以 0)=；,解得a =(舍去)若I n a N l 时，即a N e 时，函数/(x)在 0,1 上单调递减，可得f(l)=l +/=g,解得a =：(舍去)，若0l n a l 时，即l e a v e 时，,f(x)在 0,l n a)匕单调递减，在(l n n,l 上单

28、调递增，4 1 .可得f (n a)=l n a+l =,即l n a =,解得”=滔,综上可得，实数。的值为 举一反三1.(2022广东福田外国语高中高三阶段练习)已知函数/(x)=e*+x 3 +(a-3)x+l 在区间(0,1)上有最小值,则实数a的取值范围是()A.(-e,2)B.(-e,1-e)C.(1,2)D.(-,l-e)【答案】A【解析】(力=/+3/+(。-3)在区间(0,1)上单调递增，由题意只需/(0)0 a-20 e a 0 1e+a 0这时存在xw(O,l),使得F(x)在区间(0,%)上单调递减，在区间%,1)上单调递增，即函数/&)在区间(0,1)I-.有极小值也

29、即是最小值.所以。的取值范围是(-6 2).故选：A2.(2022江苏泰州模拟预测)已知函数 x)=x2+e2r+x(ln x-a),a e R,若函数f(x)在(0,+功 上的最小值为0,则实数“的 值 是()A.2 B.3 C.e+1 D.e2【答案】B【解析】V/，(x)=2 x-e2-x+ln x-a+l,又/(x)=2+e2T+，0,J(x)在(0.+司上单调递增，/(X)在(0,+8)上存在最小值0,.玉()(0,+oo),使得r(x()=0,则当xe(O,Xo)时，/(x)0；.x)在(0,不)上单调递减，在(天,田)上单调递增，/(X).=/(%)=*+e?-%+%(In%-)

30、=。一由尸(x0)=0 得：2xo-e2+ln xn-a +l=O.,X%-:得：-(7+1)/为 +/=(%)+1 乂为-e )=0,/x0+1 0,/.x0=e2-Vo,?.lnx0=2-x0；+得：(片+2+l)+(4-l)lnx0-(x0+l)6i=(x04-l)(+l+lnx0-cz)=0；又 x()+1 0,/.a=/+l+ln/=$+1+(2-与)=3.故选：B.3.(2022辽宁丹东一模)设/。)=|。一：)-、,若函数/(0A.-2,1B.0,1C.0,2D.l,+oo)【答案】B【解析】若 0，当x 0时，/(x)=x a l n r为增函数，且f(x)e(-8,+a ),

31、不符合题意.Y X 0若a =0J(x)=0若a 0,当苍,0时,x)的最小值为0)=/.当 x 0 时，r(x)=g,若 0 x a,贝 i J/(x)a,则/(x)0,在(0,a)在，在(a,+oo)上递增，故x)的最小值为。)=。(1-1加).卜 0f l(l-l n a)a2 l-l n a a,a +l n -l 0,设g(x)=x+l n x-l,它在(0,+8)上是增函数，且g=0,所以a +l n a-140的解是0a 41.用得。1.综上，常数。的取值范围为05.故选：B.4(多选)(2022全国高三专题练习)函数y =/(x)的导函数y =/(x)的图象如图所示，给出下列命

32、题，以下正确的命题()A.-3是函数y =x)的极值点B.-1是函数y =x)的最小值点C.y =x)在区间(-3,1)上单调递增D.y =/(x)在x =o处切线的斜率小于零【答案】AC【解析】根据导函数图象可知当W(-8,-3)时，/(%)0,在x e(-3,+0,函数夕=/“)在(-8,-3)上单调递减，在(-3,物)上单调递增，故C正确;则-3是函数y=/(x)的极小值点，故A正确；布(-3,物)上单调递增，-1不是函数y=f(x)的最小值点，故B不正确；门函数y=f(x)在x=0处的导数大于0,口切线的斜率大于零，故D不正确；故选：AClog,(l-x),x U.X取值范围是;若函数

33、y=/(x)-l有4个零点，则&的值是.0【答案】(a?,4；.【解析】(1)当x 0)=0,因此要使f(x)的最小值为0,则当x 0时，x+?-4 =0有解，即 a=4x-2有解，a=4 x-x2=-(x-2)2+4 ,所以a44.(2)当x0.o所以有2 G-4=-1,解得。=：.4r Q故答案为：(-叫4；.6.(2022江苏南京市第一中学三模)已知函数/(x)=2卜2mx-l|+e、，则x)的最小值为.【答案】e$【解析】解：因为/(x)=2|e21nx-l|+e ,令e21nx-l=0,即lnx=/,所以彳=/，所以当0 0,即g(x)在 0,e?上单调递增,又g e*。=2e-be

34、e?=-2 e2。2+e e?0八,I J e1所以广()=_ 至+6，当转 审 时，(x)=2 e2 1 n x-2+e,贝 厅，(司=竺+0,所以 x)在 e,+8匕单调递增，X L 7/j_ _L 、r _L !综上可得 x)在 o,e?上 单 调 递 减,在 e/用上单调递增,所以f(x)1 nM =f e7=/,/L )故答案为：e。*7.(2022 湖北二模)已知函数f(x)=x+ln(x-l),g(x)=H nx,若/(xj=l +2 1 n f,g(x2)=*,则 一 的1 2 一 工 2最大值为.【答案】12 e【解析】由题意，/(x1)=x,+ln(x1-l)=l+2 1

35、n r,得%l +ln(5 -l)=ln/，所以In (内 1)e*T =In /,即产=(西一1)炉门 0,又g(x2)=*2 1 n w=t2,得=e&.nx2 0,y =x-e,则 y=(x+le*0 在0,+oo)上恒成立,所以y =x-e、在0,+)上单调递增，所以1 1 1*2=占一1,则不一1 1 1 工 2 =1,In f In?In r所以-=；-=尸X|X2-x2 x2-In x2 t令 力 =与。0),则 =匕 等所以人在 o，上单调递增，在 胸,水 上单调递减,所以帕故答案为：2 e8.(2022辽宁沈阳市第一二。中学高三阶段练习)设函数，(力=：一 已 知 王 小，且

36、与)=/(工2)，若一王的最小值为/,则a的值为.【答案】1-e2【解析】解:令 xJ=X 2)=f，由图象如图所示可知止(,-4因为“0 时，即a 0 ,又 e 2 0，所以尸（x）=（x2+4 x+3 +a）e 2*0,所 以 函 数 在R上单调递增，此时无最小值;当时，=1 6 4（3 +。）0则f+4 x+3 +q =0有两个不等实根，设x2+4 x+3 +a =0两个不等实根为,电（为0,所以y（x）=（x+l）2+4卜 2-0,所以要使得函数/。）存在最小值,则函数/（X）的最小值只能为f（3），且 以%）4 0,即（2 +2 4 +1 +）et j+2=（x2+1）2+a e2

37、2 0 ,所以卜2 +a 4 0 ,即 2-2 ji二 40,解得aVO,所以a Y O,0 .故答案为：（-8,0 .21 0.（2022全国高三专题练习）已知函数f（x）=+a ln x,a eR.x（1）若曲线y =/（x）在点P（I,I）处的切线垂直于直线y =x+2,求。的值；（2）求函数/*）在区间（0,e上的最小值.【解】（1）曲线y =/（x）在点P（I,I）处的切线垂直于直线y =x+2,又直线y =x+2的斜率为1,函数/a）的导数为/（）=-马+,X X/（l）=-p-+y =-l,a =l./八、2 a ax-2/八 .（2）f（x）=+=3-,XG（0,+oo）,x

38、x x当a =0时，在区间（0,e上 尸（幻=?0,此时函数了在区间（0，e上单调递减，2则函数/（X）在区间（0,e上的最小值为/（e）=）2当）0即a 0 时，在区间（0,e 上f M 0,此时函数/（X）在区间（o,e 上单调递减，2则函数/（X）在区间（0,e 上的最小值为f（e）=1 +a.7?2 2 2当0 0,此时函数f（x）在区间（一,e 上单调递增，a2 2则函数/（在区间（0,e 上的最小值为/（工）=。+。1 1 1 72 2当即时，在区间（0,e 上 f（x）40,此时函数/*）在区间（0,e 上单调递减，2 2则函数/（X）在区间（0,e 上的最小值为/（-）=+-.综上所述，当aW：时，函数/（x）在区间（0,e 上的最小值为a +j,当a；时，函数/*）在区间（0,e 上的2 2最小值为/（一）=a +a In -.a a