湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析不等式的综合考查考点透析.pdf

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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析不等式的综 合 考 查 考 点 透 析 rIt was last revised on January 2,2021湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析8：不等式的综合考查考点透析【考点聚焦】（解、用、证）（两小半大）考点1 ：不等式的性质与重要不等运用考点2：不等式的解法考点3：不等式的应用问题考点4：不等式的综合问题【考题形式】1。小题与集合，函数定义域、值域结合；（1小是肯定的）2.不等式组与线性规划。3O大题形式多样与其他知识结合，不会出现单独的不等式题。【问题1】不等式的解法1 .已知 R 为全集，A=x|l o g,(3-x)2-2,B=x|W

2、2 1,gA C 1B=(B )2(A)-2x-l (B)-2x T 或 x=3(C)-2WxT(D)-2WxWl2.设 a0,则关于x 的不等式42x2+ax-a2x-3 B .；1厂 x+1C .x+-2 D .l o g,x2+-0 x耳 2e (x2-3x+2)(x-4)2,、4.不等式-二40 的解为 Dx+3A.-14W1 或 xN2 B.尤 -3 或C .x=4 或-3Vx近 1 或 x2 D .x=4 或 x-3 或 1 W%W22ex-,x2的解集为log3U-l),x2,(A)(1,2)u (3,+o o)(B)(V10,+8)(C)(1,2)u(Vio,+oo)(D)(1

3、,2)解：令2 6 2 (x 2),解得 1x2。令 10g3(f T)2(x 2)解得 x(V10,+8)选 c【精例 1】已知 4=丁+2工 82 0,8=M J9-3X4 J2x+19,C=A|X2-4ar+3a2 0),若A c B g C,求实数。的取值范围.解：由题意可得，A=xx2 B=x-2 x 3 贝 A c B=x|2Wx43而 C=x|(x-tz)(x-3a)3【精例2 解不等式logi(x+D+l o g 2-b g J 2 .(12分)2 2解：I原不等式o-lo g 2(x+l)-log2(6-x)-log2 12原不等式的解集为:耳-1 2或3cx 00 x+1

4、工(2元 1)-5 5解得X 2了,原不等式的解集为 x|x 4)x+l0 x0 时，段)Wg恒成立，x0,l时，2x+t0 恒成立，x+1 0.xWO,l 时，-2 x 恒成立，即 x e0,1时，r-2+V+l12-2x+J x+1恒成立，于是转化为求-2X+V 7 T T (xe 0,l)的最大值问题.令”=7 7 7 1,贝i j x=u 21,由 X G0,知 u e i,拒.-2x+-Jx+l-1(M-l)+u=-2(w-l)2+4 8当u=l时，即x=0时，-2+77工1有最大值为1.的取值范围是t 2 L点评：对于含参数问题，常常用分类讨论的方法；而恒成立问题，除了运用分类讨论

5、的方法外，还可采用分离参数的方法.【精例6 解关于X的不等式:|logf(ax2)|0,且a w 1)点拨与提示：用换元法将原不等式化简，注意对a的讨论.解：设l o g“x=f,原不等式化为|l+2t|-|t|2(1)当时，-l2t +t-3,2 2(2)当时，l+2t+t 2,：.-t 02 3 2(3)当 t 20 时,l+2t-t 2,AK I,.OWt v l综上可知：一 即一 3V l o g。x l 时，-L x a,当 0。1 时，x-La a3所 以 当 时，原不等式的解集为 x x。,当0 a l时，原不等式的解集为a x|a x 0 用定义证明f(x)在 -1,1上是增函

6、数；(2)解不等式:m +ni_f(x+2)f(T)；(3)若 f(x)Wt 2-2at+l 对所有x -1,1,aE -1,1恒成立，求实数t 的取值范围【思路分析】(D 问单调性的证明，利用奇偶性灵活变通使用已知条件不等式是关键，(34可利用单调性把f(x)转 化 成“1”是点睛之笔(1)证 明 任取 X 0,又 X1-X2V0,Xj -x2.次n)-*x2)v 0,即於)在-1,1上为增函数-1 x+12 3解 於)在-1,1上为增函数，.1 1 一 解 得：,I 21 1X+1 成立，故产一2点0,i Eg(a)=t2 2at,对 1,1,有g(a)0,只需g(a)在 -1,1上的最小

7、值大于等于0,g(-D 0,g(l)0,解得，y 一2 或仁0 或f 2.；的取值范围是：小-2 或/=0或12点评本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力它主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问 题(2)、(3)要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用【问题4】线性规划【精例10不等式|2 x+y +川 3表示的平面区域包含点(0,0)和 点 则 加 的 取 值范 围 是(A)A.2 m 3 B.0 m 6C.3 m 6 D,0 m 3【精例11】已知点(3,1)和 点(-4,6)在直线2y+m=0的两侧

8、，贝IJ (B)A.m 24 B.-7 m 01。下，当3 4 x 4 5时,y+xsy+2x4目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是A.6,15 B.7,15 C.6,8 D.7,8【精例13】已知”(0,2),当a为何值时,直线/,:ax-2y=2a-4l2:2x+a2y=2a2+4及坐标轴围成的平面区域的面积最小？(12分)解：/2=如,y轴分别为。(1+2,0),C(0,2+4),a a4v0a2,-.2-0i由题意知4与右 及坐标轴围成的平面区域为ACOD,当a=5时，（SACO。）m i n =W .【问题4】不等式的实际应用问题对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与

9、量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题【精例13】（天津卷）某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，贝 吨.解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买外 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运费与总存储费用之和为您-4+4xX万元，-4 +4 x 1 6 0,当 心&=4 x即x=20吨X X时，一年的总运费与总存储费用之和最小。【精例13】某人在一山坡尸处观看对

10、面山项上的一座铁塔.如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线0C,塔高B颂（米），山高OB22Q（米），OA20Q（米），图中所示的山坡可视为直线/且点夕在直线/上，/与水平地面的夹角为，t an a=；.试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角勿个最大（不计此人的身高）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则4（200,0）,直线/的方程为y =（x 200）t a n c,即=上 芳设点P的坐标为（X）,贝 二 二 产）（x 2 0 0）由经过两点的直线的斜率公式2 0 0-300,2 x-800kpc=-=6(0,220),C(0,300).0AXX2xkpn22。Xx-6402x由直

11、线PC到直线PB的角的公式得160tan BPC=卜8 _ kpc _ 2x_ _ _=-l+kPBkPC 1+x-800 x-640 x2-288x+160 x640%1 160 x64 2g2x 2x xx200)要使tanBPC达到最大，只须x+弛3 竺 288达到最小.X由均值不等式X +160X 64-28822J160 x 640 288.当且仅当x=幽3”时上式取X X等 号.故当x=320时tanBPC最大.这时,点j_ 户D 的xA A纵n 坐ki标-丁4为 =-3-2-0-2-0-0=6(0八.rr _ _由此实际问题知，0N8PC（口。8，,其中为大于2 的整数，log2

12、 表示不超过2 3 n 2log 2 的最大整数.n a设数列。“的各项为正，且满足q =伙 ）,。-,=2,3,4一（I ）证明“1.n1 1 1 1 1所有不等式两边相加可得 厂 一 丁 之 不+可+二1 乙 D IL由已知不等式知，当nN 3时有，-L-Ll lOg,n.a.%2,.1 1 1 n i 2+/?l o g9 nL5现 刈=2厂2ba-2+bog,n(I I)2b 2-2+/?f l o g27 i l o g 2 川1-5 l o g2 n 10,=n 2I()=1024,故取N=1024,可使当n N时，都 有/g.【课后训练】一、选择题：1、不等式J-/x解 集 是(

13、)A (0,2)B (2,+8)C (2,4 D (-co,0)U(2,+co)2.函数/(幻=-的定义域为()l o g2(-x+4J C-3)A.(1,2)U(2,3)B .(-o o,1)o(3,+o o)C .(1,3)D .1,33、(06上海)若关于x的不等式(1+左+4的解集是M,则对任意实常数上，总有()G M,0 G M ；/，0史M ；G M,0金M ；e、O E M .4.若函数/(x)是定义在R上的偶函数，在(一8 上是减函数，且/(2)=0,则使得/(x)2(B)a2+-z-a+a a(D)J a+3-J a+1 4 J。+2-x-2 l(A)(0,V3)；(B)(V

14、3,2)；(C)(V3,4)；(D)(2,4)07、若不等式|x-l|a成立的充分条件是0 x4,则实数a 的取值范围是()A、al B、a3 C、al D、a3r 18.集合 A=x 0=,B=U|x-b|,若 2=1”是“ACIBX。”的充分x+1条件，则 b 的取值范围是()A.-2Wb0 B.0bW 2 C.-3 b -1 D.-lW b 0)上 变 化 则/+2 y 的最大值为()4 b,A3 +4(0b 4),+4(0 /?2),bA.4)2b(ft2)二、填空题：11.(上海卷)三个同学对问题“关于x 的不等式仁+25+|%3-5/后用在“，12上恒成立，求实数。的取值范围”提出

15、各自的解题思路.甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”.乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”.丙 说：“把不等式两边看成关于X的函数，作出函数图像”.参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即。的取值范围是.解:由/+25+11-5/I 2n,而x+252p 5=i o,等号当且仅当x=5el,12时成立；且|/_ 5 在 0,等号当且仅X V X当 x=5w l,12时成立；所以，ag(x)时，求函数驾山的最小值./(x)16、已知正项数列同 满足a尸P(OP 1),且求数列的通项an ；1 +%(I I)求证：幺+W+人 1.23

16、4 n+17.设於)是定义在-1J上的奇函数，g的图象与段)的图象关于直线x=l对称，而当xe 2,3时，g(x)=-x2+4x-4.(1)求 的 解 析 式；对于任意的再,马 且*孙 求证：|/(七)-/($)|2卜-X#对于任意的七,巧e 0,l 目/产，求证：|/32)-/(马)氏1.(14分)18.已知/(x)=l o g“(x+l),点P是函数y=f(x)图象上任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象.(1)当0。1,x 0,1)时，总 有 珈)+g2加恒成立，求?的范围.点拨与提示：利用对称性求出g(x)的解析式，4闰+g2加恒成立，即加W 12/+gm i

17、n.利用重要不等式求出产=孙)+8的最小值即可.19.解关于x的不等式：x|x-4W葛(a0)分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数”进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当X粉 时，不等式可转化可，2即 尸=2.-.a x -a9xx-a)2a2 9x2-9ax-2a2 0 b4.D提 示：.,函数/(x)是定义在R 上的偶函数，在(-8,0 上是减函数，且/(2)=0,f(-2)=0,在(-a),0 上/(x)0的光的取值范围是(-2,0，又由对称性 0,+a),.在 R

18、 上f(x)0,得 x 的取值范围为(-2,2)5.C提 示：因为|。-/?|=|(。-。)-伍-。)归|0-。|+附-cc+a=(a4 5 6 7-+a)N 0=(a-l)-(a-1)N 0b时，恒成立，a/a+3+/a+l y/a+2+y/a6.C7.B提 示：t=|x-l|在 x0,4的最大值为3,故 a23.”乌 或 女 故 不 等 式 的 解 集 为 Joo：3 3 3 参考答案：x 01 .C提 示：原不等式转化为4龙-0,解此不等式组可得x 的范围.4 x-x2 0 J x33、A.方法1:代入判断法，将x=2,x=0分别代入不等式中，判断关于人的不等式解集是否为R；方法2:求出

19、不等式的解集：(1 +22口人 4 +4 n+4k2+D+岛-2=三 靖+1)+岛 一 2濡=2 5 28.D 提 示：由题意得：A：-lxl,B:b-axa+b 由a=l”是“A c B W 的充分条件则A：与 B:b-lxl+b交集不为空.所以-2 b 2,检验知：-1 2能使A cBw .9.8 C 解：(三角换元)ix=cos a,y=l+sina,c xy=-costz sincr 1 =-V2sin(a+)-1,4 c V 2-l,故选 C.10.A 提示：设 x=2cosc(,y=bsina,贝 lj x2+2y=4cos2a+2bsina=-4sin2a+2bsina+4b h

20、2=-2(sin2o(-bsina-2)=-2(sina-y)2+4+,2 c ii 曰 /士 x i 4 H-0 /?4二、填空题：11.解：由 x?+25+*-眸 1*12=4*+三+|d-5%|,而x+三 22卜 平=1 0,等号当且仅当x=5el,12时成立；且|/_ 5 蚱 0,等号当且仅当X=5G1,12时成立；所以，a0且a(a+b+c)+Z?c=4 2石，所以a?+ab+ac+bc=4-2y/3,4-2/3=a2+ab+ac+bc=(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)(4a2+4ab+4ac+2bc+b2+c2)4 4(2q-2)2 W(2a+b+c)2,贝lj(2a+力

21、+c)N 2百一2,13.a2+h2 提 示：最小值为叱+?=a2+b2a2+b214 2后 提 示 叵 亘 叵 王 g(x),得 X+2X2-X-6,B P (X+2)(X-4)0,得-2X0,则 以 2-3,其中等号当且仅当x+2=l,即x=-l时成立誓 山 的 最 小/(X)/(-V)值是-3.16、解：由已知得an+i an=an-S n+i-=1,由q =p,得=F(n 1)n an-.-+i%an p n+-P(2)证 明：()p l -p1 +I-1-11 P17.解析:(1)由题意知 f(x+l)=g(l-x)=/(x)=g(2-x)当一l W x M 0 a、J,2 M 2-

22、x M 3,/(x)=-(2-x)2+4(2-x)-4 =-x2当 0 v x 4 1时，一 1 M-x v。,/(-%)=-%2,由于 f(x)是奇函数.,./3)=/(2)当.,尤2 0,1且X|H%2时0再 +芯2 2(3)当 X),X2 W 时 Q 4 X 2 l,0 x22 l.,.-l x22-x,2 1 叫-X|2|1.18.解：设点Q的坐标为(x,y),由点P、Q关于原点对称，得P点坐标为(-乂-y).又点 P 在函数 y=f(x)的图象上，-y=l o g“(l-x),即 y=-l o g“(l-x)得 g(x)=-l o ga(l-x).(1)由利劝+g a)2 0得2啕(+1)2108式1一劝,V 0 a 0 x-ll-x0=x-l x0(x+1)2 l,且x(T。时恒成立.记以少啮.戏 )则问题等价“(4而(x+1)2(x-1)2-4(x-l)+441-X=(1 7)-4 +-X1 -X令1=(1-x),t G(O,l,可证得 H (x)=，+；-4在f e(o,l 上单调递减.，H(t)的最小值为H (1)=1,又a l,，F(x)的最小值为0,故相的取值范围为z WO