《概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.pdf

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1、一、填空题(每小题3分，共15分)1.设事件A,3仅发生一个的概率为0.3,且P(A)+P(3)=0.5,则A,8至少有一个不发生的概率为.答案：0.3解：P(AB+AB)0.3即0.3=P(A耳)+P(AB)=尸(A)P(AB)+P(B)P(AB)=0.5-2P(AB)所以P(AB)=0.1P(A UB)=P(AB)=l-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且尸(X 1)=4P(X=2),则P(X=3)=.答案：1.-6解答：P(XD=P(X=0)+P(X=D-P(X=2)=万 I由 P(X )=FY(J)=(VJ)=4V?6 o,其它.解答：设y的分布函数为弓(y),X的分布

2、函数为F x(x),密度为/x(x)则FJy)=P(YW y)=P(X?Wy)=P(-6X 4 6)=Fx(6)Fx(6)因为 X U(0,2),所以&(一4)=0,即 K(y)=&(4)故4(y)=8(y)=自 fx(4)i=.4yy0 ,0 y 4,其它.另解在(0,2)上函数y=V 严格单调，反函数为/2(y)=J 所以1fy(y)=fx(6),二=4 1 0 ,0 y l)=e-2,则2=,P m in(X,y)1)=1 P(X Wl)=e =e-2,故 2 =2P mi n(X,F)1=1-P(X l)P(y l)=1-.5 .设总体X 的概率密度为f(x)=(e +l)d,0 x

3、1.0,其它X1 ,乂2,X”是来自X 的样本，则未知参数6的极大似然估计量为答案：八 I0=1 n-1-fin%解答：似然函数为,%;6)=n(6+l)郎=(6 +1)(石，i=I n L=ln(e +1)+。彳 I n 玉dnL n-=-Fde e+ii=lfin%D O/=1解似然方程得e的极大似然估计为八 Ie=-1 ,=|二、单项选择题(每小题3分，共15分)1.设 为 三 个 事 件，且 相 互 独 立，则以下结论中不正确的是(A)若尸(C)=l,则AC与 也 独 立.(B)若P(C)=1,则AUC与B也独立.(C)若P(C)=0,则AUC与8也独立.(D)若C u B,则A与C也

4、独立.()答案：(D).解答：因为概率为1的事件利概率为0的事件与任何事件独立，所 以(A),(B),(C)都是正确的，只 能 选(D).事实上由图可见A与C不独立.2.设随机变量X N(0,1),X的分布函数为(x),则P(X|2)的值为(A)21-0(2).(B)2 1.(C)2-0(2).(D)1-20(2).()答案：(A)解答：X N(0,l)所以 P(|X|2)=1-P(|X|W2)=1-P(-2XW 2)=1一(2)+(-2)=1 2(2)1=2。一 应 选(A).3.设随机变量X和 丫不相关，则下列结论中正确的是(A)X 与丫 独立.(B)D(X-Y)=DX+DY.(C)D(X

5、-Y)D X-D Y.(D)D(XY)DXDY.()答 案:(B)解答：由不相关的等价条件知，Pxy=ncov(x,y)=0D(X-y)=O X +)y+2 cov(x,y)应 选(B).4.设离散型随机变量x和y的联合概率分布为(x,y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)p1111 0-一 a B若X,丫独立,2(A)a-,6 9 1 8 3则 的 值 为.(A)a .9 9 9/3=-(D)a =,/?=6 1 8 1 8(C)91a =一,6答 案:（A）解答：若x,y独立则有a=P(X=N y=2)=P(X=2)P(y=2)1 1 2 1=(-+/?)(-+)

6、=-(-+)口 二，29 9故 应 选（A）.5.设总体X的数学期望为,X1,X2,，X”为来自X的样本，则下列结论中正确的是（A）是/的无偏估计量.（B）X 1是/的极大似然估计量.（C）X,是的相合（一致）估 计 量.（D）X1不是的估计量.（）答案：（A）解答：EX】=，所以X 1是的无偏估计，应 选（A）.三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.0 5,一个次品被误认为是合格品的概率为0.0 2,求（1）个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.解：设AB则（1）=任取一产品，经检验认为是合

7、格品=任取一产品确是合格品二P（A）=P（B）P（A|B）+P（豆）P（A|B）(2)=0.9x0.95+0.1x0.02=0.857.d瑞 二 暇 卢。则7.四、（1 2分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为2 3P(X=Q=CR(#k=0,1,2,3.X 0123即2 7P 1 2 5尸(x)=，E X =3D X=3x-54368X的分布函数为1 2 5r 0,2 71 2 55811 2 551 1 71 2 51 ,2 6x-=一,

8、5 5_2 z 3 一_1_85 5 2 51 2 5 1 2 5x0,0 x 1,1 x 2,2 x 3.五、（1 0分）设二维随机变量（X,y）在区域O =（x,y）|x?0,y0,x+y l 上服从均匀分布.求（1）（X,Y）关于X的边缘概率密度；（2）Z =X +Y的分布函数与概率密度.（1）（x,y）的概率密度为2,羽 y)=nu，D其它./（%）=二/。，丁）办=2 -2 x,0 x l0,其它(2)利用公式上(z)=J f(x,z-x)dx其中其2,它0 x l,0z-JC 1-X J。2,，其0它x.l,x z.当 2 1 时/(z)=0，AI/=X O W z W l 时./

9、z(z)=2 j：=2 x|：=2 zX故Z的概率密度为fz(z)=2 z,0 z 1,0,其它.z 的分布函数为z o r o,zo,/z(z)=J/(y)数=J；2 y dy,0 z l=z2,0 z 1 、1 ,z 1.或利用分布函数法0,z 0,Fz(z)=P(Z W z)=P(X+y W z)=(j j 2dxdy,0z 1.0,z 0,=z2,0 z 1.fz(z)=F；(z)=.:u ，0 z -I c+-cre 8 rdrdO=e 8 r2dro J o 4 J 0身二意历.七、（1 1分）设某机器生产的零件长度（单位：c m）X今抽取容量为1 6的样本，测得样本均值亍=1 0

10、,样本方差，1=0.1 6.（1）求/的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设（显著性水平为005）.（附注）.5（1 6）=L746,（1 5）=1.753,（1 5）=2.1 32,-6）=2 6.2 96,-5）=2 4.996,=2 7.488.解：(1)4的置信度为1 -a下的置信区间为(GT a/z S-l)-，N+G/2(T)生)7n 7n又=1 0,5=0.4,=1 6,a =0.05,ZO O 2 5(1 5)=2.1 32所以4的置信度为0.95的置信区 间 为(9.7868,1 0.2 1 32)（2）%：0的拒绝域为2/（一1）.1 5 V2Z2=-=1 5X1.6

11、=2 4,-05（1 5）=2 4.996因为 力2=2 40,则尸(8A)=0.(2)设随机变量X其概率分布为 X|T 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4则 PXW1.5=()。1-2o6S(3)设事件4与4同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是()(A)P(A)=P(A 4)(B)P(A)P(A1)+P(A)-1(C)P(A)=P(&U A2)(D)P(A)WP(4)+P(4)1(4)设随机变量x N(-3,1),y N(2,1),且X与y相互独立，令 z=x-2 y+7,贝Z().(A)N(O,5);(B)N(O,3);(C)N(O,46);(D)N(O,54).(5)设

12、乂 乂 2,X”为正态总体N(,CT2)的一个简单随机样本，其中。=2/未知，则()是一个统计量。(A)X,2+(r2(B)(X,)2i=1 i=l(C)歹-4(D)三N(7(6)设样本XI,X?,X”来自总体X N 3,),/未知。统计假设为H ：=/o(/Zo已知)4 H 4。则所用统计量为()(A)U=(B)T=(J/v n S/J(C)Z2(D)/2=(x,_4)2二、填空题(每空3 分 共 15分)(1)如果 P(A)0,P(B)0,P(A|B)=尸(A),则 P(BA)=.(2)设随机变量X 的分布函数为0,x 0.则X 的密度函数/(x)=,P(X 2)=.(3)设京,灰,仄是总

13、体分布中参数e 的 无 偏 估 计 量,吊-2打+3仄，当。=时，。也6 是的无偏估计量.(4)设总体X 和y 相互独立，且都服从N(0,l),X1,X2,X9是来自总体X 的样本，元,丫 9是来自总体y 的样本，则统计量 u=十十八9/4+.+宁服从 分布(要求给出自由度)。二、填空题(每空3分 共 1 5 分)Y(X X 0l.P(B)2./(x)=,3/2 3.-1 4.r(9)0 x 0其 它 求随机变量丫=2 X+1 的概率密度。解：因为y =2 x+l是单调可导的，故可用公式法计算.1 分当xNO时，r i.2分由 y =2 x+l,得x=%=.4 分2 2从而y的密度函数为/y(

14、y)=.5 分0 y 12.6分0 y0,y0,/(-V,y)=,.0,其他求：(1)P(0WX l,ow y2)；(2)求X 的边缘密度。1 2解：(1)P(0 X 1,0 r 0.2 分4 0 x1 c 八y=5 .3 分100-300 0X y 4cov(X,y).6 分=2DX+DY-4yDXyDYpXY=l2.8 分十、（7 分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已知每户每日用电量（单位：度）服从0,20上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正态分布函数。）的值表示）.解：用匕表示第，户居民的

15、用电量，则X,.U0,20 野2=1喂*2 分1000则 1000户居民的用电量为X=E；X j,由独立同分布中心极限定理;=1px 10100=l-p x 101003 分=1-0(4分6分)1001000X=1-0)(.7分H 一、（7分）设的,X”是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为/(X)=(。+1)一,0,0 x 1,其他,其中。0未知，求。的最大似然估计。解：最大似然函数为心区，居，夕）=口/（尤,）=口（6+1）非2分=（e+l）（X，x“）e.3分则In L(X1，4,6)=Mn(6+1)+8 ln(x),)0X,%0,则尸(B|A)=O.(2)离散型随机变量X 的分布律为

16、PX=k=bAk,(2=1,2,)的充分必要条件是(A)6 0 且 0 4 1;(C)一 1 且 A 1;(3).(B)=1 -2 且 0 2Q.1 +bx,0 x 1连续随机变量X 的概率密度为/(%)=2-x,1X x +,求（1）常数A,8；（2）P（凶 0其它求随机变量的函数y=的密度函数4（）。八、（6分）现有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m,现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3 m的钢材不超过3 0的概率。（计算结果用标准正态分布函数值表示）九、（10分）设二维随机变量（X,y）的联合密度函数为.一。），x o,y （）,f（x,y）=.0,其他求：（1）P（

17、Ox 1,0 r2）；（2）求x,y的边缘密度；（3）判断x与丫是否相互独立十、（8分）.设随机变量（x,y）的联合密度函数为f(x,y)=1 2/0,0 y x l,其他求E（X）,E（y）,E（x r）,进一步判别x与y是否不相关。十一、(7分).设X1,X?,X”是来自总体X的一个简单随机样本，总体X的密度函数为(2xW，Ox0,/()=0,其他，求e的矩估计量。十二、(5分)总体XN(,l)测得样本容量为100的样本均值攵=5,求X的数 学 期 望 的 置 信 度 等 于0.9 5的 置 信 区 间。(r0.05(100)=1.99,(1.96)=0.975)一、单项选择题：（1 5分

18、）1、D2、D3、B4、A5、C二、填空题：（1 2分）1、f,9：2、-13、更4、:（XX+L/2（T）苧）;S/y/n V r t三、（7分）解：P(A B)=P(A)P(B|A).4分=0.5 x 0.8 =0 4.7 分四、（9分）解：(1)由 1 =A +5 X.1 分2I T0 =F(-e o)=A-B-.2 分2得A，B=.3分2 71F(x)=+a r c t a n x .4 分2 n(2)P(|X|)=F(1)-F(-1)=1 .6分(3)f(x)=F(x)=-?(-0 0 x +8).9分7T(+X)五、（6分）解：B=从仓库随机提出的一台是合格品4 =提出的一台是第i

19、车间生产（i=1,2）2 3P（A,）=-,P M2）=-.2分P（臼 A）=1 -0 15=0.85,P（例 4）=1 -0.12=0.88.3分则 P（B）=P（4）P（B|A）+P（4）P（8 1 4）.5分2 3=-x0.8 5+-x0.8 8=0.8 6 8.6分5 5六、（8分）解：设用X表示乙箱中次品件数，则X的分布律为1P（X=O）=c：20CC；9p（x =1）=-=c：20r3c 1P（X=3）=-=以 20.4分X的分布函数尸（x）为分8123ox尢XX一X-3O1一201-219一201r、F(=七、（7分）解：Y=ex可能取值范围为1,+8),y 的分布函数为4(y)

20、=P(y Wy)=P(eX y).3分当 y-).5分则y 的密度函数为6()=Fx(ln 二10yie-in y-y四.6分0yl二y2.7分0yi八、(6 分)解：设 X 为100根钢材小于3加的钢材根数贝 U X 8(100,0.2).2分E(X)=100 x0.2=20,D(X)=100 x0.2x0.8=16.3 分由中心极限定理：P(X30)=P(与然与当V165分 0(2.5)=0.99386分九、(10分)解：(1)P(0 X 1,0 y 2)=12e-(3x+4y)dy.2分=(l-e-3)(l-e-8).3 分(2)关于X 的边缘分布：fx(x)=pV(x,y)dy.4 分

21、J OO=产“0.6分0 x0 八/r(y)=J fx,y)dx=-.8 分J、0 y 0(3)因为f(X,y)=fx(X)fY(y)(-0 0 X +o o,-o o y +oo)所以X 与丫相互独立。.10分十、(8 分)解：E(X)=J xf(x,y)dxdy-V x 2y2dxdy=.2分E(K)=yf(x,y)dxdy=y 2y2dxdy=.4分矶 XV)=匚 匚 xyf(x,y)dxdy=工 xy 2y2dxdy-.6分因 为 E(X Y)E(X)E(Y),所以X 与丫是相关的。.8分H-、(7 分)解：E(X)=J：V(x，e)公=，号 lo=1 .3 分1 fl令 E(X)J X j.5 分。的矩估计为A a=EX(-.7 分2 ,=i十二、（5 分）解：因为户1,所以4的置信度为0.9 5=1-0.0 5的置信区间为.1分(X-2 爷,X+%/2 玲).3分7n yjnT V_其中a=0.0 5,-=0.0 2 5,a/2=1.96,鹿=100,X=5.4分2所求区间为(4.804,5.196).5分共8页 第8页