概率统计课后习题一.pdf

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1、习题一(-)填空题1.设一批产品中，一、二、三等品各占60%,30%,1 0%,从中随意取出一件，结果不是三等品，则取 到 的 是 一 等 品 的 概 率 为 .解：设A表 示“取到的不是三等品”，8表 示“取到的不是三等品”，则所求为P(叫 A)=2/31 60%+30%2.将C,C,E,E,I,N,S等七个字母随机地排成一行，那么，恰好排成英文单词SC I E N C E的概率为解：设A表 示“排成英文单词SC I E N C E”，则所求为 八 I x 2x l x 2x l x l x l 1P(A)=-=-7!1 2603.设对事件 有 P(A)=P(8)=P(C)=0.25,P(A

2、 8)=P(8 C)=0,P(A C)=0.1 25,贝ijA,B,C三个事件 中 至 少 出 现 一 个 的 概 率 为.解：因为 ABCuAB,所以 0 M P(A 8 C)P(A 5)=0,即 P(A 8 C)=0,故所求为P(A +8 +C)=P (A)+P (5)+P (C)-P (A B)-P (BC)-P(C 4)+P (ABC)=0.25x 3-0 x 2-0.1 25+0=0.6254.设 A,8 为随机事件，P(A)=0.7,P(A B)=0.3,则 P(而)=.解：因为 0.3=P(A 8)=P(A)-P(A 8)=0.7-P(48),所以 P(A B)=0.4,从而有P

3、(A B)=1 P(A B)=”5.甲乙二人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为.解：设A表 示“甲射中”，8表示 乙射中”，由题设知事件A与8独立，则所求为P(AA+B)=尸=-里&-=-=0.751 P(A +B)P(A)+P(B)-尸(A)P 0.6+0.5-0.6 x 0.5 6.假设尸(A)=0.4,尸(A +B)=0.7,那么：(1)若A与3互不相容，则P(B)=；(2)若A与3相互独立，则P(B)=.解：(1)因为A与B互不相容，即43=中，所以0.7=P (A +8)=尸(A)+P (B)=0.4+P(B)故所求为P(8

4、)=0.7 0.4=0.3(2)因为A与6相互独立，即P(A 8)=P(A)P(B),所以0.7=尸(4+8)=P (A)+P (B)P(A)尸(8)=0.4+P(B)0.4P(8)=0.4+0.6P(B)故所求为P(6)=(0.7 0.4)/0.6=7.设A,8是任二随机事件，则 巴(彳+8)(A+B)(,+火)(A +方)=解：(X +6)(A +5)=0)+X 6 +A 8 +8 =8(X +豆)(A +B)(b+A B +A B+B B故所求为P(A+B)(A+B)(A +B)(A+B)=P(BB)=08 .设两两独立的三个事件A,8和C满足条件：A B C =，P(A)=P(B)=P

5、(C)0.5且已知9P(A+B+C)=,贝i J P(A)=.解：因为 A,8,C 两两独立，即 P(A B)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(C 4)=P(C)尸(A)；又A B C =，即尸(A B C)=0,所以9=P(A +8 +C)=P (A)+P (B)+P(C)-P(A)P(B)-P(B)P(C)-P(C)P(A)+0 而1 6P(A)=P(B)=P(C)0.5,则有9=3P(A)-3P(A)n 1 6P 2(A)-1 6P(A)+3=01 6故所求为P(A)=0259.设两个相互独立的事件A与8都不发生的概率为，A发生8不发生的概率与5发生A不发生的9概率相

6、等，则P(A)=.解：因为A与5相互独立，所以A与 豆，彳 与B,1与后均相互独立，又P(A B)=P(A.B)n P(A)P(A)P(8)=P(A)P(目)=P(1)P(B)=P(8)P(A)P(8)从而有P(A)=P(8),而1,1=P(A B)=P(A)P(B)=22(4)=尸(A)=93故所求为P(A)=1-P(M)=2/31 0.区间(0,1)中随机地取两个数，则两数之差的绝对值小于的概率为.2 一 一 一解：设所取两数分别是x 和)，.则x及)，均可能取区间(0,1)内的任一值，即。为0 4 x V 1,0 W y t0(B)T(2)r0 (C)T(3)ZO(D)T(4)t0解：“

7、电炉断电”E这一事件发生，意味着四个温控器至少有两个显示的温度值大于或等于%，即若4个温控器上的值及),7；2),7；3)，丁设从小到大排序的话，排 在 第 3 的温度值一定大于或等于%，即有%N%，故正确选项为(C).2.设4,8，。是三个相互独立的随机事件，月.O P(C)1,则在下列给定的四对事件中不互相独立的是 (A)A +8与C (B)衣 与 乙 (C)4-8与9 (D)靠 与 心解：由于A,8,C是三个相互独立的随机事件，故其中任意两个事件的和、差、交、并、逆与另一个事件或其逆是相互独立的，根据这一性质(A)、(C)、(D)三项中的两事件是相互独立的，因而均为干扰项，故正确选项为(

8、B).3.已知0尸(3)1且尸(A+A忸)=4(闺8)+尸(4怛)，则下列选项成立的是 (A)P(A+A2B)=P(A|J)+P(A2|B)(B)PAXB+A2B)=P(A,B)+P(A2B)(C)P(Ai+A2)=P(AB)+P(A2B)(D)P(B)=P(A,)P(A,|f i)+P(A2)P(A2|B)解：因为产(4+4 2忸)=F (A,+A2)B _ P(A1B+A2B)P(B)P(B)P(A|B)+P(&忸)=3+*=尸 仍 +P(A 1 1 P(B)P(B)P(B)而尸(A+4|8)=P(A 1+P(A 2，所以有P(A N +4B)=P(A B)+尸(48),故正确选项为(B)

9、.4.设O P(A)1,0 P(B)(彳忸)=以4曳+皿亘11 P(B)l-P(B)而 P(AB)=P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(A B),所以有P(B)1-P(B)=P(AB)l-P+P(A)-P(B)+P(AB)整理得：P(A B)=P(A)P(B),故正确选项为(B).5.设当事件A和8同时发生时，事件C必然发生，贝”J(A)P(C)P(A)+P(B)-1(C)尸(C)=P(A 6)(D)P(C)=P(A +8)解：由题设知 ABu C,从而P(AB)W P(C),所以有1 N P(A +8)=P(A)+P(B)-P(AB)P(A)+P(B)-P(C)即 有P(C)N P(A

10、)+P(B)1,故正确选项为(B).6.设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是(A)1与否互不相容(B)九与否互相容(C)P(A8)=P(A)尸(8)(D)P(4-6)=P(4)解：由题设知 A8=05,且P(A)0,P(8)0,所以有PA B)=P(A)P(AB)=P(A)故正确选项为(B).7.从A表示事件甲种产品畅销，乙种产品滞销，则其对立事件,为(A)甲种产品滞销，乙种产品畅销(B)甲、乙两种产品均畅销(C)甲、乙两种产品均滞销(D)甲种产品滞销或乙种产品畅销解：设 片 表示“甲种产品畅销”，A2表示“乙种产品滞销”,则A=A A2,所以有才=*=4 +4

11、,即.为甲种产品滞销或乙种产品畅销，故正确选项为(D).8.设 A,B 是两个随机事件，且OP(A)0,P(8|A)=P(8R),贝 那 (A)P(AB)=P(AB)(B)P(AB)WP(AB)(C)P(AB)=P(4)P(f i)(D)P(AB)#P(A)P(B)解：因 为P(邳4)=生 竺 (用 才)=必2=名 竺 二”竺1,而 尸(布)=(3区)，所以有1 P 1 P(A)1-P(A)1 1P(A)P(B)-P(A)P(AB)=1 -P(A)P(AB),整 理 得:P(AB)=P(A)P(B),故正确选项为(C).9.将一枚硬币独立地掷两次，引进事件4 =掷第一次出现正面,A?=掷第二次

12、出现正面,43=正、反面各出现一次,A,=正面出现两次,则事件(A)A，A2，A3相互独立(B)相互独立(C)A”A2，A3两两独立(D)&，A3，A4两两独立解：因为 P(A)=g,P(A2)=g,P(A3)=g,P(A4)=；且 P(4 4)=卜(胴3)=卜(4&)=卜(A2A4)=卜(&A2A3)=0所以有P(4 4 2)=P(AJP(4),P(4 4)=p(4)p(4),p(&)=P(&)P(A3)P(4 A2 A3)H 尸(A)p(4)P(A3),p(4 4)+P(4)P(4)即4，4 2,两两独立但不相互独立；A2M3M4不两两独立更不相互独立，故正确选项为(C).10.对于任意两

13、事件A和 3,(A)若，则一定独立(B)若 A3。，则 4,8 有可能独立(C)若 A 8 =，则 A,B 一定独立(D)若 4 8 =，则 A,6 一定不独立解：由题设逐一分析各选项关 于(A),当 AB。时，假 设 A u 8 ,则P(AB)=P(A),但 只 要P(B)H 1 ,则P(AB)=P(A)P(A)P(B),所以 A,3 不一定独立，(A)不成立；关于(C),当A B =0)时，P(A B)=0,但 P(A)尸(8)0,所以A,8也不一定独立，(C)也不成立；关 于(D),当 A 8 =0 时，P(AB)=0,假设 P(A)=0 或 P(B)=0 或尸(A)=P(B)=0,则P

14、(AB)=P(A)P(B),即A,8可以独立，从而)也不成立；关于(B),当 ABH且Au B,P(B)=1 时，P(A B)=P(A)=P(A)P(B),即 A,B 可能独立.综上，正确选项为(B).(三)综合应用题1.写出下列随机试验的样本空间(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和解：。=3,4,，1 8 (2)生产产品直到有1 0 件正品为止，记录生产产品的总件数解：Q=1 0 ,1 1 )(3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果.用“0”表示次品，用“1”表示正品.解：Q=0 0,

15、1 0 0,0 1 0 0,0 1 0 1,0 1 1 0,1 1 0 0,1 0 1 0,1 0 1 1,0 1 1 1,1 1 0 1,1 1 1 0,1 1 1 1 (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标解:Q=(x,y)l x2+y2 (),y (),z()，x +y +z =1 其中x,y,z 分别表示第一、二、三段的长度2 .按要求写出样本空间：(1)1 0 只 产 品 中 有 3只 次 品，每 次 从 其 中 取 一 只(取 后 不 放 回)，直 到将3只 次 品 都 取 出，写 出 抽 取 次 数 的 样 本 空 间；解：其 中 e,表 示“抽 取 i 次”的事件，1 =3,

16、4,/()(2)“在(1)中，改 成“有 放 回 抽 取”，写 出 抽 取 次 数 的 样 本 空 间.解：Q=e 3，e 4,其 中/表 示“抽 取 i 次”的事件，i =3,4,3.互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系(1)2 0 个产品全是合格品与2 0 个产品中只有一一个废品；(2)2 0 个产品全是合格品与2 0 个产品中至少有一个废品.解：互不相容:A B =6；对立事件：A B =(&且 A +8 =。.由此可知，对立事件一定互不相容,但反之未必.(1)互不相容；(2)对立事件4.设C 为三事件，用 A,8,C 的运算关系表示下列各事件(1)A 发生，B与。不

17、发生；(3)A,8,C 中至少有一个发生;A,8,C 都不发生；(7)A,6,C 中不多于两个发生;解：A 豆B；(2)A B C；(2)A 与B都发生，而C 不发生：4 民。都发生；(6)4,8,C 中不多于一个发生；(8)4,8,C 中至少有两个发生.(3)A +B +C ；(4)A B C；(5)ABC；(6)AB+A C +B C-(7)A +B +C；(8)A B +A C +B C5.盒内装有1 0 个球，分别编有1 一 1 0 的号码，现从中任取一球，设事件A表 示“取到的球的号码为偶数”，事件8表 示“取到的球的号码为奇数”，事件C 表 示“取到的球的号码小于5，试说明下列运算

18、分别表示什么事件.(1)A +B；(2)A B；(3)C；(4)A +C ；(5)AC；(6)A C；(7)B+C(8)B C .解：(1)必然事件；(2)不可能事件；(3)取到的球的号码不小于5；(4)1 或 2或 3 或 4 或 6 或 8或 1 0；(5)2或 4；(6)5或 7 或 9(7)6或 8或 1 0；(8)2 或 4或 5 或 6 或 7 或 8 或 9或 1 06.指出下列命题中哪些成立，哪些不成立.A +8 =“+B；(3)A+B C =A B C(2)A B =A +8；(4)(AB)(AB)=-.(5)若 AuB,则 4 =48；(6)若 A B =。，且 C uA,

19、则 B C =；若 AuB,则后uN；若 3uA,则A +B =A.解：(1)成立；(2)不成立；(3)不成立；(4)成立;(5)成立；(6)成立；(7)成立；(8)成立7 .设一个工人生产了四个零件，A,表示事件“他 生 产 的 第 7个 零 件 是 正 品 (i =1,2,3,4),用A】，4，&，A 4 的运算关系表达下列事件.（1）没有一个产品是次品；（2）至少有一个产品是次品：（3）只有一个产品是次品；（4）至少有三个产品不是次品.解：（1）B=A1A2A3A4；（2）8 2 =A +A 2 +&+A 4 =44A3A4（3）B3-A-yAA+A A）A 3 A 4 +A A7 A

20、3 A 4 +A4A3 A 4（4）B4 A j A2 A3 4 +4 4 3 A +4 4 4 4 4 +A&“4 +A 4 2 ”3，48 .设 瓦F,G是三个随机事件，试利用事件的运算性质化简下列各式：（1 ）（+FX+/?）5（2）（+/?）（E+F）（E+F）;（3 ）（E +F F +G）.解:（1）原式=（式 AE）U（EU 尸）u（Enk）u（尸 U）=E（2）原式=（E U尸）n（弁U）n（EU户）=尸0但1 1户）=2JE（3）原式=（EnF）u（EnG）u（EnE）u（FnG）=FU（EnG）9 .设A,8是两事件且尸（A）=0.6,P（B）=0.7,问:（1）在什么条件

21、下尸（A3）取到最大值，最大值是多少？在什么条件下尸（AB）取到最小值，最小值是多少？解：AuB,P(A B)=0.6；A+B =O,P(A B)=0.31 0 .设事件A,B,C分别表示开关a,b,c闭合，。表示灯亮，则可用事件A,B,C表 示：（1）0：方.解:1 1.(1)O=AB+C；(2)D=(A +B)C从一副扑克牌的13张黑桃中，有放回地抽看三次，每次取 张.分别求以下事件的概率：（1）“三张没有同号的；（2）“三张中有同号的；（3）“三张中最多有两张同号”.解：设A表 示“三张没有同号的”，B表 示“三张中有同号的，C表 示“三张中最多有两张同号”,则(1)P(A)J3X12X

22、11=4=1 3 x 1 3 x 1 3 1 33 1 6 91 32 37 P(B)=1-P(A)=1 6 9 1 6 91 2.兜中有红、黄、白球各一只.每次任取一只，有放回地抽看三次.试分别求下列事件的概率:A一“三只全为红色”；C-三只颜色全不同”;E-“三只中无红色的”;B “三只颜色相同”；D-三只颜色不全同”；尸 一”三只中既无红色的又无黄色的”;G 一“三只中无红色的或无黄色的；H-“三只中全是红色的或全是黄色的”.3 3 x I2 1 43?8解：P(A)=P(B)=-=-P(C)=4 =P(D)=1-P(S)=-33 27 33 9 33 9 923 c I3 1 5P(E

23、)=k=白 P(尸)=行=4 G)=2P(E)-P(F)=-33 27 33 27 92P()=2P(A)=271 3.从 0,1,2,，9等十个数字中任意选出三个不同的数字，试求下列事件的概率：A 产 三个数字中不含0和 5 ；42=三个数字中不含。或 5 ；4=三个数字中含0 但不含5 .解：从 0,1,2,，9十个数字中任意选出三个不同的数字的所有选法即从十个数字中任意选三个不同数字的全部组合数为G 3它就是所研究的样本空间中的全部基本事件数，而 A 所含的基本事件数为 它 是 从 1,2,3,4,6,7,8,9等八个数字中任选三个不同数字的组合数，因此C3 7p(4)=T =。1 5类

24、似地考虑，有、2C；+C：1 4、,-x,C 1 4（4）=I?或（4）=1 2 4）=1请 打1 4.考虑一元二次方程/+B x +C =0 ,其中8、C分别是将一枚色子接连掷两次先后出现的点数.求该方程有实根的概率p和有重根的概率q .解：一枚色子(骰子)接连掷两次，其样本空间中样本点总数为36.设事件4=方程有实根,A?：方程有重根,则 A 尸 B2-4 C 0 =C 0,y 0,x+y 0,l y 0,x +y 0,P(B)0,若P(A|8)P(A),试证：P(BA)P(B).证：因为 P(A)0,P(B)0,且P(A)P(A)P(B)从而有P(理 A)P(AB):P(A)P(6)P(

25、A)P(A)P(B)命题得证！30.设A,8是任意二事件，其中A的概率不等于0和1,证明P（B|A）=P（8口）是事件人与3独立的充分必要条件.证：由题设知P（A）wO且P（A）w l,从而0 P（A）l且0 P（X）l,即P（闿4）与P（8口）都存在.先证必要性：当A与3独立时，有P（4B）=P（A）P（B）及尸（彳8）=尸（彳）P（B）,即彳与8也独立,则P(6|A)=P(AB)P(A)尸(A)尸尸(A)=P(8)尸（平）=P(AB)P(，)P（辿P（彳）=P(8)因 而 尸（回A）=P（8口）.再证充分性：由已知P（MA）=P（M X）,则P(AB)_ P(AB)_ P(B)-P(AB)P(A)P(A)l-P(A)化简得P(A)P(B)-P(A)P(AB)=P(AB)-P(A)P(AB)即尸(AB)=P(A)P(B),所以A与3独立.综上，命题得证！