湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析7：数列的综合考查.pdf

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1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析7：数列的综合考查数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数

2、列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与儿何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。（文科考查以基础为主，有可能是压轴题）一、知识整合1 .在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2 .在解决综合题和探索

3、性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.3 .培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.二、方法技巧1.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n2的任意自然数，验证明-4 T 为同一常数。(2)通项公式法:若 冬=0 1+(n-1)d=&+(n-k)d ,则 4 为等差数列；若,则

4、 q,为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。2.在等差数列 4 中，有关S“的最值问题常用邻项变号法求解：a 0(1)当q O,d O 时，满足 八的项数m 使得与取最大值.I-W 0(2)当为 0 忖，满足 的项数m 使得f取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1 .证 明 数 列%是等差或等比数列常用定义，即通过证明。用-%=氏-*_|或也=乌 _ 而 得。a%2 .在解决等差数列或等比数列的相关问题时，基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问

5、题常转化为等差、等比数列求解。Si W 0 n=13 .注意与a“之 间 关 系 的 转 化。如：a“=1 八 ，k-S _,0 n24 =4+Z(4 一 心.k=24 .数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.5 .解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.四.典型考例【问题1】等差、等比数列的项与和特征问题P 4 9 例 1 3o P50例 2 P56例 1 P59T6.注 1 文中所列例

6、题如末给题目原文均为广州市二轮复习资料上例题例(四 川 卷)数列 可 的前项和记为5“吗=1 必m=2 S“+1(2 1)(I )求 为 的通项 公 式；(H )等 差 数 列 也,的 各 项 为 正，其 前 项 和 为 7；,且 4=15,又%+4,。2 +%，。3 +4成等比数列，求骞本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力。满 分 1 2分。解：(I )由 +1=2S+l 可 得 4=2S,I+1(？2),两 式 相 减 得。+1-4=2 4，。“+1=3。“(2 2)又 电=2S I+1 =3.4=34 故 4 是首项为1,公比为3 得等比数列 二4=3 T(

7、H )设 仇,的公比为d 由4=15得，可得仇+/+%=15,可得瓦=5故可设=5 d 力3 =5 +d 又q =1,g=3,%=9由题意可得(5 d +l)(5 +d +9)=(5 +3)2 解得&=2,4=1 0 等差数列 ,的 各 项 为 正，A d 0 ：.d =2n(n-l )T,3及 H-x 2=+2 21 .设等差数列”,的首项a,及公差d都为整数，前n项和为5.(I )若 au=0,S i 4=9 8,求 数 列 斯的通项公式；(I I)若“B 6,an0,1 4 W 7 7,求所有可能的数列 an的通项公式2.(上海卷)设数列%的前项和为S“，且对任意正整数，an+Sn=40

8、9 6o (1)求数列&的通项公式？(2)设数列 lo g?。”的前相项和为却 对数列亿，从第几项起Tn(1)Va+S n=409 6,；.ai+S,=409 6,at =2048.当 n 2 2 时，an=Sn S”-产(409 6 an)(409 6 a,.-1)=a,an/.=怎t 2an=2048(1)n-1.(2)Vlog2an=log22048()n=12-n,(-n2+23n).由TW 5 09,解 得n土叵，而n是正整数,于是,n246.二从 第46项起2Tn 0,所以解得q =g,因 而%=。闯 T=5,=1,2,.（I I）因为%是首项为=；、公比夕=；的等比数列，故-(1

9、-)1S,=2=-2“,1 2 21-21 2 n则数列 aS 的刖 n 项和 Tn=(1 4-2+,+/I)(+亍)T 1 1 2 =(1 +2+7?)(H +2 2 22 23n-12n、+三)T 1 11 1前两式相减，得_(1 +2+“)一(I +,H-)H-2 2 2 22 2 2+1(1-)n(n+1)2 241-2n 十 n(n+1)1 n+-即 T,=-+-+-2.2+i 2 2 i 2【问题2】等差、等比数列的判定问题.P*T7 例P54 T9 例P54 T 上海卷）已知有穷数列 明 共有2k项（整数k 2 2）,首项q =2.设该数列的前项和为 S，且a“+i =(-1)5

10、“+2(=1,2、,2k 1),其中常数。1.(1)求 证：数 列%是 等 比 数 列；(2)若 a=2 2 J,数 列 a满 足/=匕 o g,(%)(=1，2,2 k),求数列 仇,的通项公式；n若(2)中的数列 2,满足不等式|仇 一3 +也 一3 +l k 23+|砥 一 不3W 4,求攵的值.(1)证明 当 n=l时,a2=2a,则”=a；a2 n 2k 1 时，an+i=(a1)Sn+2,an=(a 1)Sn-i+2,S n+I-an=(a1)an,二巴包=a,J.数列 小 是等比数列.%?:(-1)-U+解：由 得 an=2a，.ai a2.an=2 a 2i+(T)=2 a 2

11、=2 2k-1.(九 一1 n,b n=-n+-+1 (n=1,2,.,2k).n 2K-1 2K-13 1 3(3)设解得n k+-,X n 是i E整数,于是当nk+l 时,bn.2_.3 3 3 3 3原式=(7 b i)+(b2)+.+(bk)+(bk+i .+(b 2k)2 2 2 2 2=(bk+1+.+b2k)-(b|+.+bk)(k+2k-)k!(0+k l 4 2=-+k-+k=2k 1 2k 1 2 k-l当-4,W k2-8k+4 0,4-2 J 3 k2,2k 1当 k=2,3,4,5,6,7时，原不等式成立.4.例,已知数列%中，5,是其前项和，并且S“+|=4Q“+

12、2(=1,2,I),%=1,设 数 列b=all+-2a(n=1,2,)，求 证：数 列 也,是 等 比 数 列；设 数 列cn=墨,(=1,2,),求证：数列 c j 是等差数列；求数列%的通项公式及前项和。分析：由于也 和 c 中的项都和 a 中的项有关，但 中 又 有 S=4 a +2,可由S+2-S+1作切入点探索解题的途径 注 2 本题立意与2007年高考题文科20题结构相似.解：由 Sn+1=4a+2,S“+2=4 a,j 2,两式相减，得 S n+2-S+1=4(a+1-a ),即a“+2=4a“+T a”(根 据 b 的构造,如何把该式表示成b,用 与 b 的关系是证明的关键,

13、注意加强恒等变形能力的训练)a“+2-2a.+=2(a,+2a“)，又 b,尸，所以 b“+=2b“已知 S2=4a+2,a,=l,aI+a2=4a1+2,解得 a2=5,b j=a2-2a=3 由和得，数列 3 是首项为3,公比为2 的等比数列，故 b=32 i.因为、哮 耻 叫，所 见-%=舞-藁 如 津 标32 32*-4 a 1=空:，是 为:，2 2 z 43 1C*=4Q4 因 为 外=%与所以圣咛、=6-D当 n22 时，S“=4a._I+2=2T(3n-4)+2；当 n=l 时，S=a=l 也适合上式.综上可知，所求的求和公式为S“=2T(3n-4)+2.说明：1.本例主要复习

14、用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件5,出=4%+2 得出递推公式。2.解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用.【问题3】函数与数列的综 合 题 P51例 3数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点.PSi例 3(2 0 0 6 湖 北 卷)已 知 二 次 函 数 y=/(x)的图像经过坐标原点，其导函数为fx)=6x-2,数列 4 的 前n项和为S,点(,s“)(i N*)均在函

15、数卜=/(x)的图像上。(I )、求数列%的通项公式；(H)、设 仇=,7；是数列也J的前n项和，求使得看 X+4 3 f 2=%+1 一 工2“_|=(X 2“+|+b 1 14=一 口 仍 是以一 的直线交抛物线于点?用，设点p“(乙,%).数列也,是等比数列.并求数列也,的前项和为sn”X,+1)在抛物线上,故 X：=4y,”x +；=4 yn+I,即岂 L二&=_L,代入可得X.+I-瑞 21X.=?2-2(-.-始-)2+,1)22-2 2 3 22 2/7入n /刁 4 4 为公比的等比数列；5=-(1-)-S+l=,J【问题5】数列与算法 L8.数列 也 的前n 项和为S =/+

16、2n-l,试用程序框图表示数列通项。的过程,并写出数列的前5 项和通项公式.9.根据流程图，求 生 )若。=，求 n.40 1 5【问题6】数列创新题10.(安徽卷)数列 也 的前项和为S”，已知 =；，S“=n2a-n(n-l),n(I)写出S“与S i的递推关系式(3 2),并求S“关于的表达式；(I I)设九(x)=(PXP R)，求数列也 的前项和Tnn解：由 S“=2a“-n(n-1)(3 2)得：S=n2(Sn-S.,)-n(n-1),即M +1 M(H2-1)S-H2S,1=(-1)-所以S“一S“_|=l,对“3 2 成立。n n-1,及+1 n n n-1 3 2由s“-S“

17、I=1 ,Sn,-Sn 2=1,_y=n n-I n-I n-2 2 I +1 I nS -2S 1=-l,又 d=q=,所以S,=,当=l 时，也成立n 1 1 2 n+1匕()=l s开始=1,2,景1 相加得：oqn(I D 由力 Q尸-7%n+l，得=f：(p)=P。n n+1而(?=p +2 P 2+3p 3+(-1)p +npn,=p2+2p 3+3p 4+(-l)p +npn+1,(1-P)Tn=p+p2+p 3+P-+p.p +i=二1-P)一 np,+1-PH.(福建卷)已知数列 斯 满足“|=,%+1=1+2我们知道当。取不同的值时，得到不同的数列，如当。=1 时，得到无穷

18、数列：1,2,3”.;当。=-时,得到有穷数列：_ _ 1。2 3 2 2(I)求当。为何值时“4=0；(I I)设数列%满足b i=-1,卜+1=(n e W+)求证a取数列 b“中的任一个数，都 可 以 得 到 个有穷数列 “；(I)解法一：a 1=a,an+t=1 +,a“,i 1 i 1 Q+1 1 2a+l i 1 3。+2 J、/2 n,八 4=1+=1+_=-=1+=-4 =1+=-.故当a=时4 =0.q a a 出 +1 /2a+1 31 11 12 2解法二：v%=0,1+=0,%-=1+-八 a2 =-va2=1+，a =-.故当=时/=0-a3%2。3 3()解法一：.

19、。仇=-1,%=,bn=一+L a 取数列也 中的任一个数不妨设a=hn.bn-1%I,=b,a2=1+=1+3=如/=,+=l+T=心.ai b a2 bn-a”=1+-=1+=仄=-1.Q +=0.Qn-H故 a取数列 bn 中的任一个数，都可以得到个有穷数列 a“12.(全国卷H I)在等差数列 a“中，公差d HO,的是为与知 的等比中项.已知数列a,a i,aki,ak；,-,ak，成等比数列，求数列化,的通项kn.解：由题意得：a =aya4.1 分B P(a,+d)2=a,(q +3 d).3 分又 dr q=d.4 分又,。3,%，2，M2 成等比数列，该数列的公比为g =%=

20、3,.6 分/d所以4=a,-3,+1.8 分A”1又 气,=a+（kn-1）J =kna.10 分kn=3B+1所以数列化,的通项为kn=3+1.12分课后训练：一、选 择 题（共 10小题，每小题3 分，共 30分）1如果-1,a,力c,-9 成等比数列，那么A./F3,ac=9 B./F-3,ac=9 C.b=3,acp-9 D.b=3,ac=-92.在等差数列 a“中，已知。1=2，2+。3=/3,贝|J“4+。5+。6等于A .4 0 B.4 2 C.4 3 D.4 53.（06广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15,偶数项之和为3 0,则其公差为A.5 B.4 C.3

21、 D.24.若互不相等的实数凡b,c成等差数列，c,a,。成等比数列，且 a +3b+c=1 0,则。=A.4 B.2 C.-2 D.-45.（06江西卷）已知等差数列 d的前n 项和为S“，若 丽=a|GX+a z o o 反，且 A、B、C三点 共 线（该直线不过原点0）,则 S 200=（）A.100 B.101 C.200 D.2016.（文科做）在等比数列 4 中 吗=2,前项和为5，若数列 4+1 也是等比数列，则5等于A.2n+1-2 B.3 C.2n D.3n-1_ /z7 .已知数列 a满 足 ax-0,a,t+I=-（e N*）,则 d =3,故选 C.5a+25d =30

22、4 D解：由互不相等的实数。也c成 等 差 数 列 可 设 =-d,c=b+d,由 +3b+c=10可得b=2,所以a=2 d,c=2+d,又c,/成等比数列可得d=6,所以a=-4,选D5 A解：依题意，a i+3200=1，故选A6(文)C解：因数列 4为等比，则4=2，i,因数列 劣+1也是等比数列，则(+i +1)2=(+D(%+2+1)=,.+i2+2/+i=aan+2+a+an+2 n an+an+2=2an+i=%(1+q 2 2(7)=0=(7 =1即4=2,所以S=2，故选择答案C。7 .A 提示：由 a i=0,a/1+1=与=-(H G N+).得 a 2=-V 3,=J

23、 J,%=，.+1由此可知：数列 a n 是周期变化的，且三个一循环，所以可得:a 20=a 2=-Ji故选A8 A解:由等差数列的求和公式可得区=3士殂可得 =2 d且d w OS6 6q+15d 3所 以 区6a.+15d 27d 3,.!-=,故选A12q+66d 90d 10点评：本题主要考察等比数列的求和公式，难度一般9 c解：在等差数列 斯 中，做+。8=8，q+卬=8,则该数列前9项和$9=2警 女=36,选 c10 C 解:数列 2 、都是公差为1 的等差数列,其首项分别为q、，且 +仇=5,%，仇G N*.设cn=ab(”e N*),则 数 列%的前1 0 项 和 等 于%+

24、电+%+i+%+9，%=%+(一 D=4，%+%+1+%+9=4+5+6d 1-13=85,选 C.11.(文)解：设等差数列%的首项为a”公差为d,由题意得4%+4(4；l)d=i4,口仙+咽产田口 弓+受。町=3 0,联立解得a1=2,d=l,所以Sg=9x2+岂f 1 =5412.2n+1-3 解：在 数 列%中,若 q =1,。用=2%+3(21),/.+3=2(%+3)(2 1),即 4+3 是以4+3 =4 为首项，2 为公比的等比数列，4 +3=4-2-=21,所以该数列的通项4 =2+1-3 .13.(一8,8)提示：解出。、瓦解对数不等式即可.答案：(一8,8)7-4-11

25、4.色|=29 提示：利用S J S 上 得解.答案：第 11项 a“=29n15.-2 提示：由题意可知 q#l,.可得 2(l-q尸(l-q/i)+(l-qn+2),即 q2+q_2=0,解得 q=-2或 q=l(不合题意，舍去),，q=-2.16 解：1 3.解：V 10Sn=an2+5an+6,二 10ai=a/+5ai+6,解之得 a2 或 a3.又 10Sn 产a n +5an i+6(n)2),由一得 1 Oan=(an2an-1 2)+6(ana,1),即(an+a D(anai-5)=0Van+an-,0,.anan-i=5(n2).当 ai=3 0t,a3=13,ai5=7

26、3.a，a3,au 不成等比数列，ai#3;当 a1=2 时，a3=12,a*=72,有 232=2冏5,；.ai=2,；.an=5n3.17.(I )证 明：,F“+2=3a“+2a“，,+2一。“+1=2(。“+1-%,)二%=1,。2=3.2 +i=2(e N*).4+i 一%是以4 一 =2 为首项，2 为公比的等比数歹!。(I I)解：由 得%+i 一%=2(e N*),/.an=(an-/_)+an_2)+(2-i)+ai=+2-2+.+2+1=2 -1(e N*).(I l l)证明：妙T“,T=&+声，.4幽+与+.也)=2曲，/.2(Z?,+b2+.+bn)-n-nbn,2

27、+b2+.+bn+2+i)-(+1)=(+1)%.一，得2(%-1)=(+1应 用-曲，即(-1)*砌+2=0.+2-(+1)超+i+2=0.一，得2+2-2%+曲=0,即+2-2“讯+超=0,么+2-a =b”+b-2 =3(1)+-=+-+3.1 2 2 2 2 21-2一(1-53 1 3 3T”=4+%+-+=-J =_ 2(1 _ )=一$+诃.1-2c 1 IT q+27数列 3 号是等差数列的充要条件是3 =An+B,(A、8是常数)n n即 Sn+ATn=A n2+Bn,3 n2-3 n.3 3、n-3 n.2、八 1 .又 S“+人(=一 夕+-+3+2(-+-)=-+3(1-)(1-)2nnn_ 3（i_ J_）八 W 3 1 3 3又T=4+/+么=T2=-（1-）=-+-“12”1 2 T 2 2川1 2红 包 上+上2n2 n（-2+A）2 21,+1c I QT 当且仅当4=2时，数列 号是等差数列.n