中考数学压轴专练专题08二次函数与菱形存在型问题（教师版）.pdf

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1、突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘(2 01 9 版)专题0 8二次函数与菱形存在型问题【典例分析】W T 如图，在平面直角坐标系中，直线A B和抛物线交于点A(-4,0),B (0,4),且点B是抛物线的顶(2)点P是直线上方抛物线上的一点，求当AP AB面积最大时点P的坐标.(3)M是直线A B上一动点，在平面直角坐标系内是否存在点N,使 以0、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.思路点拨(1)设直线的解析式为y=k x+b,将A(-4,0),B (0,4)代入得到关于k、b的方程组，然后解得k、b的值即可；设抛物线的解析式为y=ax2+4,然后将

2、点A的坐标代入求得a的值即可：(2)过点P作P Q J _x轴，交A B于点Q.设点P (a,-2+4),Q (a,a+4).则P Q=-/2 _a,然后依据三4 4角形的面积公式列出AA B P的面积与a的函数关系式，然后依据二次函数的性质求解即可：(3)先根据题意画出图形，需要注意本题共有4种情况，然后依据菱形的性质、等腰直角三角形的性质以及特殊锐角三角函数值求解即可.满分解答(1)设直线的解析式为y=k x-b .将 A (-4,0),B (0,4)代入得：”+r=0,解得 k=l,b=4,直 线 A B的解析式为y=x-4.设抛物线的解析式为y=ax=4.将 A (-4,0)代入得：1

3、 6 a-4=0,解得 a=5，1 ,.抛物线的解析式为y-x2+4.(2)如 图1所示，过点P作PQJ_x轴，交AB于点Q.设点 P 的坐标为(a,则点 Q 的坐标为(a,a-4).PQ=-；a:-4-(a-4)=-；a2-a.S_ABP的面积亏PQ(XB-X.J=TX4X(-ja:-a)=-Ta;-2a=-(a-2);-2,.当a2时AABP的面积最大,此时P(-2,3).(3)如图2所示：延长MN交x轴与点C.AMN10C.VOA=OB,ZAOB=90,，NBA0=45.：ONAB,.,.ZN0C=45o.OC=ONX=4X2=2#,NC=ONX*4X2 =2/.点N的坐标为(2*,2#

4、).如图3所示：过点N作NC，y轴，垂足为C.ZOBA=45.：ONAB,ZNOC=45.点N 的坐标为J 2&,-2 .如图4 所示：连接M N交 y 轴与点C.四边形BNOM为菱形，OB=4,.BC=OC=2,MC=CN,MN1OB.二点的纵坐标为2.,将 y=2 代入 y=x+4 得：x+4=2,解得：x=-2,.点M 的坐标为(-2,2).点N 的坐标为(2,2).如图5 所示:.四边形OBNM为菱形，Z N B M=Z AB O=4 5.，四边形OBNM为正方形.点N的坐标为(-4,4).综上所述点N的坐标为(2&,2 力)或(-2 隹，-2/)或(4 4)或(2,2).考点：二次函

5、数综合题.例 2如图，抛物线丫=仃 2 +加+；的图象经过点人(-2,0),点 B (4,0),点 D(2,4),与 y 轴交于点C,作直线BC,连接AC,C D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)E 是抛物线上的点，求满足N E C D=/A CO的点E 的坐标；(3)点 M 在 y 轴上且位于点C上方，点 N在直线BC上，点 P为第一象限内抛物线上一点，若以点C,M,N,P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长.思路点拨(1)用待定系数法求出抛物线解析式即可.(2)分点E 在直线CD上方的抛物线上和点E 在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可：(3)分CM为菱形的边和CM为菱形的

6、对角线，用菱形的性质进行计算满分解答(1).抛物线)，=以2+灰+7的图象经过点.3(-2,。)，点B(4,0),点D(2,4),.设抛物线解析式为 y=a(x-2)(x-4),-8a=4,.,.a=-?,.,.抛物线解析式为 v=-G(x-2)(x-4),即)=一二犬+x+4；(2)如 图1,点E在直线CD上方的抛物线上，记E：触CE：过E作E F 1 C D,垂足为F,由(1)知，OC=4,.ZACO=ZECF,/.tanZACOtanZECF,=设线段 E F=h,则 CF=2h,.点E(2h,h-4).点E在抛物线上，.一“2八 尸+2h+4=h+4,.*.h=0(舍)h,Ef 若四边

7、形AA6E为菱形,贝|JA B=3 3=即3 (6,0).故抛物线需向右平移5个单位，即：y=-4(x+l-5 r，+1-6 =-4(x-4)”2+-16.j 3 3 3(3)由(2)得：平移后抛物线的对称轴为：x=4,VA(-2,4),B(6,(),二直线 AB：y=-g x +3.当 x=4 时，y=l,故 C(4,1).，AC=3行，B C=6,BC=Vio.由(2)知：AB=BB,=5,即NBAC=/BBC若以点B C、D 为顶点的三角形与AABC相似，则:R，D I S RT)/B，C D=/A B C,则B C D s A B C,可得：一=，即,ABZD=3,此时 D(3,0)；

8、AB AC 5 375R，r R，D IS R，D 5 5ZBrDC=ZABC,则AB D C s/X ABC,可得：一=即、=，A BfD=-,此时 D(一，0).AC AB 3石 5 3 3综上所述，存在符合条件的D 点，且坐标为：D(3,0)或(，0).3考点：1.二次函数综合题；2.平移问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.勾股定理；5.菱形的性质；6.等腰三角形的性质；7.相似三角形的判定和性质；8.分类思想的应用.例 4 如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线、=&*2 +故+，与X轴交于0 点、A 点，B 为抛物线上一点，C 为 y 轴上一点，连接 B C,且 BC/O A,已

9、知点 O(0,0),A(6,0),B(3,m),AB=3G(1)求 B 点坐标及抛物线的解析式.，(2)M 是 CB上一点，过点M 作 y 轴的平行线交抛物线于点E,求 DE的最大值；(3)坐标平面内是否存在一点F,使得以C、B、D、F 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出符合条件的点 F 坐标；若不存在，请说明理由.(1)运用勾股定理求出m 的值，根据题意得点B 为抛物线的顶点，设设抛物线为y=a(x-3)2+6,即可求解；(2)可求VOB=2X,设 E(X,-|X2+4X),则 D(X,2X),故 DE=-j x-3？+；()、*3),从而可得结果;(3)设 F(m,n),根据菱形的判定分三

10、种情况进行讨论计算即可得解.满分解答(I)如图，过点B 作 BG1.0A于 G,由 A(6,0),O(0,0)知抛物线对称轴为直线K=3,二点B 为抛物线的顶点。/.AG=OG=3,：.AG2+BG2=AB2,即3；+m：=(3v15)S解得m=6,：.B(3,6),设抛物线为y=a(*-3)?+6,过 点 B(6,0),.9a-6=0.2一(2)可求、08=r2 阳 设 2 9+4%),则 口 (x,2x),2 7 2 7 2 3 9 3DE=-xz+4x-2x=-+2x=-(x-)2+-(0 x 3),3 3；当 x=-,DE最大=.(3)设 Fm/),D(x,2%),C(0,6),B(3

11、,6)当CD为菱形对角线时，.FDBC,n=2xx-m=3A(2X)2-62=32n=2x解得,c 3而1二3+-n1=6 4-(舍去),53 G叫=亍*2=3-%=6-F-34*=一丁 当B D为菱形对角线时，.1（-圣，6-印）m-x=3(2x)2-6 2=32n=2x18524x4=3几4二6 （舍去）当BC为菱形对角线时，D、F均在B C的垂直平分线上，且FP=P D,3 3 3 3则m=/=,则 D（13）,贝IJPD=3,则”6 =3,/.n=9,尸勺9）。综上所述，满足条件的F点共3个：F（-等，6-?）,（y,y）,C，9）。1,例5如图，抛物线y=X-+bx+c与x轴交于A、

12、B两点，与y轴交于点C,其对称轴交抛物线于点D,交x轴于点E,已知0B=0C=6.（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）连接BD,F为抛物线上一动点，当NFAB=NEDB时，求点F的坐标；（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段M N为对角线作菱形M PN Q,当点P在x轴上，且1P Q=，M N时，求菱形对角线M N的长.思路点拨(1)利用待定系数法，列方程求二次函数解析式.(2)利用解析法，NFAB=NEDB,tanZM G=tanZBD,求出/点坐标.(3)分类讨论，当M N在x轴上方时，在x轴下方时分别计算MN.详解：满分解答(1)VOB=OC=6,8(6,0),C(0,

13、-6).f l 2 ,.x6+6b+c=0 2 ，c=-61 9 抛物线的解析式为y=-x2-2 x-6.*/y=-1x 22 -2x-6=1-/(x-2、)2，-8,.,.点D的坐标为(2,-8).(2)如图，当点F 在 x 轴上方时，设点F 的坐标为(x广 产-2A-6).过点尸作尸G 1K轴于息G,易求得3=2,贝 ij A G=x-2,尸 0=4产-2 x-6.【an/EW G=l3nABDE,即 虻 工=三，Xf2 2解得无：=7,x2=-2(舍去).当 x=7 时,1-7，二.点尸的坐标为(7,7).当点尸在X轴下方时，设同理求得点尸的坐标为 5,-T).综上所述，点尸的坐标为(7

14、,今或(5,(3尸 点尸在x 轴上，根据菱形的对称性可知点P 的坐标为(2,0).如图，当 MN在 x 轴上方时，设了为菱形对角线的交点.1;PQ=MNf：.MT=2PT.设 7P=m 则 M7=2.M(2+2小 n).,点M 在抛物线上，n=；(2+2n)2-2(2+2n)-6,BP2n2-n-8 =0.-1+1-J6 5解得n=-,n2=Y(舍去).4 4：.MN=2MT=4n=yj65+l.当 MV在 x 轴下方时，设 TP=，得 M(2+2，-).点用在抛物线上，=1(2 +2 n)2 -2(2 +2 n)-6,即 2 n 2 +n-8 =0.“3 -1+J6 5 T-腐解得1 =-4

15、-，n2=-4(舍去).:.M N=2M T=4n=-1.综上所述，菱形对角线M N的 长 为 府+1或 相-1.点睛：1 .求二次函数的解析式(1)已知二次函数过三个点，利用般式，y=2+bx+c(a彳0).列方程组求二次函数解析式.(2)已知二次函数与x轴的两个交点(x1(0)(x2,O),利用双根式，y=a(x-x1)(x-x2)(a o)求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,=空122.处理直角坐标系下，二次函数与几何图形问题：第一步要写出每个点的坐标(不能写出来的，可以用字母表示)，写已知点坐标的过程中，经常要做坐标轴的垂线，第二步，利用特殊图形的性质和函数的性质，往往是

16、解决问题的钥匙.例6如图(1),已知菱形/8 C。的边长为2JJ，点力在喇负半轴上，点B在坐标原点，点。的坐标为(_ J?,3)，抛物线y=ad+仇”工0)顶点在。边上，并 经 过 边 的 中 点.(1)求这条抛物线的函数解析式；(2)点C关于直线y=h+3*工0)的对称点是C，求点。到点力的最短距离；(3)如 图(2)将 菱 形 以 每 秒1个单位长度的速度沿X轴正方向匀速平移，过点B作B E 1 CD于点E,交抛物线于点F,连接。工AF.设菱形4B CD平移的时间为例(0 t 3),问是否存在这样的t,使A4DF与A D E尸相似？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.图 图(2)思路

17、点拨(I)分别求出A 8中点的坐标，抛物线的顶点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；(2)；判断点。在以M 为圆心，依长为半径的圆上；(3)Z D F=90,ZDAF 尸与 ：尸相似，贝 必4。尸中必有一个角为直角，而N D 4/=90.(7)若 乙 皿=9 0。，N E D尸=1 2 0 -9 0=3 0 ,在 R r A D E尸中，D E=3 得*=1,DF=2,又；,3),F(r,一广+3),：.EF=3-(-fl+S)=fi,得:.d=l,V r 0,：.t=l,此 时 空=2=2,此 DE/DF _ 2_,.A D _D FEF-T-，-DE-EF又,.匕D F=E F,：Z D

18、 FSDEF,(R 若/g!=91,可证得&Ds，四，则 鬃=段,设E尸=加，则尸5=3一%.白=弟，即，M-3：”+6=Q,此方程无实数根，,此 时r不存在.综上所述，存 在 =1,使&W D尸与A D E尸相似.点睛：理解点。关于直线y=+3 的对称点。时，根据中心对称的性质可知直线丫=履+3 与 y 轴的交点(0,3)是 CC的中点，即点C 在以(0,3)为圆心，力为半径的圆上，且当点A,C,M 在一条直线上时，4C 最小,最小值为AMMC.【变式训练】1.如图，在平面直角坐标系中，点 A(4居0)是x轴上一点，以O A为对角线作菱形OBAC,使得4BOC=60。,现将抛物线y=*2沿直

19、线OC平移到)=a ix-m y +h,则当抛物线与菱形的A B边有公共点时，则 m 的取值范围是()r I-1-1U U f O f f O LA.-J3 m 3/3 B.3A/3 m C.m D.73 m【答案】D【解析】由题意可得:故选Dt,2.直线y=g x +2与 丫轴交于点A,与直线y=一 x交于点8,以A 8为边向右作菱形A2C Z),点C恰与,1原 点0重合，抛物线y=(x/7)一+左的顶点在直线，=-万%上 移 动，若抛物线与菱形的边AB、B C都有公共点，则力的取值范围是()A.2 W 力 V B.-2 h 2【答案】A3 1C.-1 h -D.-h -2 2【解析】将 卢

20、；x-2与 产-士 x联立得:=x+22，二点B的坐标为(一2).y=-2x由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为血。,将 x=h：y=k代入得 y=-：x 得：-：h=k解得 k=-:h,抛物线的解析式为E x-h)：-h.如 图1所示：当抛物线经过点C时。将 C(0,0)代入 y=(x-h)2-g h 得：h2-；h=0,解得：4 =0(舍去)，4=；如图2所示：当抛物线经过点B时。将 B(-2,1)代入 y=(x-h)2-gh 得：(-2-h)2-；h=l,整理得：2h2+7h+6=0,解得:3hx=-2,hy=-(舍去).-2综上所述,h 的范围是-2Whwg.2故选A.3.如 图 1

21、,菱形ABCD的对角线交于点O,AC=2BD,点 P 是 A 0 上一个动点，过点P 作 AC 的垂线交菱形的边于M,N 两 点.设 AP=x,ZkOMN的面积为y,表示y 与 x 的函数关系大致如图2 所示的抛物线.（1）图 2 所示抛物线的顶点坐标为（,）（2）菱形ABCD的周长为【答案】（：，I）；2752 8【解析】试题分析:根据二次函数图形得出抛物线的顶点坐标;根据函数图形可得A 0=l,根据AC=2BD可得D O=!,2则根据R S A 0D 的勾股定理可得AD=正，则菱形的周长为：4x2考点：二次函数的应用.4.二次函数 =：/的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、1

22、20度的菱形（其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y 轴上，相 邻 的 菱 形 在 y 轴上有一个公共点），则 第 2017个菱形的周长【答案】8 0 6 8【解析】试题解析：设第一个菱形边长为，2 ,(Ab、则第一个菱形在X轴正向与函数y=交点为 七叼(因为其边长与X轴夹角为3 0 )3 1 2代入=尹得 b二l；设第二个菱形边长为。，则其边长与函数交点为 日C,g c +1)代入函数表达式得片2,同理得第三个菱形边长为3,第“个菱形边长为，故第2 0 1 7个菱形边长为2 0 1 7,其周长为：2 0 1 7 x 4 =8 0 6 8.故答案为：8 0 6 8.5.如 图，在平面直角坐标系中

23、，菱形A B C D的三个顶点A,B,D均在抛物线y=a x?-4 a x+3 (a =-；(2)2 +k 经过点A (3,4),-(3 -2)2+k=4,解得：k=；(2)如图所示，设 A B 与 y 轴交于点 D,则 A D L y 轴，A D=3,O D=4,OA=AD2+OD2=7 32+42=5.四边形 O A B C是菱形，O A=A B=O C=S,B D=A B-A D=2,/.B (-2,4).令y=0,得 一/一2产+/=0,解得：X j=O,x：=4,抛物线，=一口无一2 y+三与x轴交点为0 (0,0)和E (4,0),O E=4,3 o当m=O C=5时，平移后的抛物

24、线为y=-+3尸+三，令 x=-2 得，y=-7(-2 +3)2+4,.点B在平移后的抛物线)，=一；5+3尸十三上；3 当m=C E=9时，平移后的抛物线为y=-r(x +7产+三，A 3令 x=-2 得，-2 +7尸+3=4,3 a.点B不在平移后的抛物线y=-：。+7尸+土.综上，当m=5时，点B在平移后的抛物线上；当m=9时，点B不在平移后的抛物线上.【考点】二次函数图象与几何变换：菱形的性质.7.如图,已知点A(-2,4)和点8(1,0)都在抛物线尸一+2 或+上.(2)向右平移上述抛物线，记平移后点4的对应点为A，,点B的对应点为，若四边形AA B B为菱形，求平移后抛物线的表达式

25、；(3)试求出菱形A A B B的对称中心点M的坐标.加=3【答案】(1)3 (2)y=(x 4)2 +(3)(2,2)=4;3 34 m 4m+=4,【解析】解：(1)根据题意，得：c 八.2分帆+2帆+九=0;m =_ 4解之 3 .3分n=4;(2)四边形A A B B为菱形，贝I A 4=8,8=A 8=5；.4 分：=-32_|工 +4 =一#+1)2+学；.5 分，向右平移5个单位的抛物线解析式为y=g(x-4)2+?；.7 分 来源:(3)根据平移与菱形的性质，得到 3 4)0(6 )；在Rw/BH中，过点H 作HHLr轴，点 目(3,0),点3 (1,0),极 BH=2,AH=

26、4；.8 分设菱形zUEB的中心点”，作M G l.v轴，根据中位线性质，得，MG=-AH=2,BG=；BH=1；.9分2 2因此，菱形二18 3的中心点U坐 标 为(2,2).1 0分(也可用其它方法：如求出直线-正13的解析式，然后求交点得出，参照评分.)(1)本题需先根据题意把A (-2,4)和 点B (1,0)代入抛物线y=m x 2+2 m x+n中，解 出m、n的值即可.(2)本题需先根据四边形AABB为菱形得出y的解析式，再把解析式向右平移5个单位即可得到平移后抛物线的表达式.(3)本题需根据平移与菱形的性质，得到A B，的坐标，再过点A，作A T I L x轴，得 出B H和A

27、H的值，再设菱形AABB的中心点M,作M G _L x轴，根据中位线性质得到MG、BG的值，最后求出点M的坐标8.如 图1,抛物线y =a x 2+2(a-l)x,其中(。0),点4(一2,相)在该抛物线上，过点4作直线/x轴，与抛物线交于另一点8,与y轴交于点C.(2)当a=2时，求点B的坐标.(3)如图2,以0 8为对角线作菱形OP B Q,顶点尸在直线/上，顶点。在x轴上.若P B=2 A P,求。的值.菱形0 P B Q的 面 积 的 最 小 值 是.3【答案】(1)当x=-2时，y=4a-4(a-1)=4(2)点B的坐标为(1,4)(3)/二一 菱形的最小面积=1 62【解析】3)把

28、X=-2代入抛物线丁 =办2+2(4 1)%即可得到y的值；(2)先求出抛物线表达式，然后求出X的解；(3)利用抛物线的对称轴即可求出点B的坐标和a的值以及菱形O P B Q的面积的最小值.解：(1)当 x=-2 时，y =4a-4(a-)=4(2)当a=2时，抛物线表达式为y =2.d+2当 y=4 时,2/+2 x =4，解得 X 1 =-2,X2=I把-2舍去，点B的坐标为(1,4)(3)当点P在线段AB上 时,设C P=x,则A P=2+x,B P=OP=4+2 x在 R 3 0 C P 中,/+4?=(4+2 x)2,解得=-(舍 去),=0 C P=0,CB=PB=4,点B的坐标是

29、(4,4)由题可知抛物线的对称轴：直线K=-空a=2a a|n)+4 又由点A与 点B关于对称轴对称，则=/，解得。：当 点P在射线B A上时，设C P=x,贝IA P=x N B P=OP=2 x-4在 R t A OC P 中,X2+42=(2.V-4)：,解得再=0 (舍去)，均泻，/.C P=1y6,P B=)y0,C B=：4 点8的坐标是4用,4 3由点A与 点B关于对称轴对称，则1一。_ +3 解得。=5a 2菱形的最小面积=1 6“点睛”本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是由点A与点B关于对称轴对称求出a的值，会运用方程的思想解决问题，属于中考

30、常考题型.9.如图，抛物线C i：y=-(x+3)2与x,y轴分别相交于点A,B,将抛物线C i沿对称轴向上平移，记平移后的抛物线为C 2,抛物线Q的顶点是D,与y轴交于点C,射线DC与x轴相交于点E,(1)求A,B点的坐标；(2)当CE：CD=1：2时，求此时抛物线C2的顶点坐标；(3)若四边形ABCD是菱形.此时抛物线Q的解析式；点F在抛物线C2的对称轴上，且点F在第三象限，点M在抛物线C2上，点P是坐标平面内一点，是否存在以A,F,P,M为顶点的四边形与菱形ABCD相似，并且这个菱形以A为顶点的角是钝角，若存在求出点F的坐标，若不存在请说明理由.【答案】(I)A(-3,0),B(0,-4

31、)；(2)(3,2)(3,6)(3)y=-1(%+3了 +5 月,心(3,一 聋)，4(3,-g)【解析】试题分析：(1)利用坐标轴上点的特点，确定出点A,B的坐标；(2)根据锐角三角函数的意义，和抛物线的平移，得到比例式，求出即可；(3)由点的移动情况判断出抛物线的移动情况；设出点的坐标，M(3+3a,4 a),表示出F(3,-5 a).根据点在抛物线上，求出a,从而得到F的坐标.试题解析：(D令、7,.二、h -(x-3)=0,9x=3,令 x=0,.y=4,/.A(-3,0),B(0,-4);(2)由(1)得：OA=3,OB=4,OA 3.tan N OB A=-.OB 4由题意得 AB

32、CD,ZEDA=ZOBA,_A_E_ _ _O_A_ _ _3 AD OB 4当点C在y轴负半轴时，由 CE：CD=1：2,.OE=EA=1.5,AD=2,AD(3,2)；当点C 在 y 轴正半轴时，由 CE：CD=1：2,AOE：OA=1：2,AAE=4.5,/.AD=6,rAD(3,6).(3)由解析式可得A (-3,0),B (0,-4),A B=B C=A D=D C=5即抛物线向上平移5个单位，因此抛物线C：解 析 式 为(x+3)、5；I:如图，以A F为边在对称轴右侧作菱形时，延 长B A,与抛物线C；交于点G,.ZF A G=ZB A D.当A F=A M时，点M与 点G重合，

33、菱 形A M P F s菱 形A B C D,3.t a n Z A M P=t a n ZOB A=4.设 M(3-3 a,4a),F (3,-5a).把M点坐标代入J =一m(x+3)+5,可得 a i=-1,a、=(舍去)，2 2型3,2普,当 AF=AP时，二设 M(3+3a,-a),F(3,-5a).4,把 M 点坐标代入y=x(x+3)-+5,可得 a i=-l(舍去)，a2,-4居(3，-表以A F为边在对称轴左侧作菱形时，点 F 坐标不变.II：以 A F为对角线作菱形时，由菱形的对角线性质可知，在 AF右侧作NFAP=/FAM,NP AF=NGAF=NBAD,菱形的轴对称性可

34、得P点也在抛物线Q上.设 M(3+3a,-a),F(3,-2a),5当点M 在 A F左侧时，F 点坐标不变.当点M 在 AF左侧时，F 点坐标不变.综上所述：7*(3,-)，(3,一 )用(3,-不)考点：1、抛物线的性质，2、菱形的性质，3、锐角三角函数1 0.如图，抛物线y=一一4 与坐标轴相交于A、B C 三点，P是线段A 6上一动点(端点除外),过 P作 PD 4 C,交 BC 于点D，连接CP.(1)直接写出A、B、C 的坐标；(2)求抛物线y=-犬-4 的对称轴和顶点坐标；(3)求AP CO面积的最大值，并判断当APCO的面积取最大值时，以PA、尸。为邻边的平行四边形是否为菱形.

35、9【答案】A(4,0)、8(2,0)、C(0,-4)；直线 x=l；(1,三)；不是菱形.2【解析】试题分析：根据二次函数得出点的坐标；根据抛物线对称轴和顶点坐标的求法得出答案；设 P(x,0),根据P DAC得出P D的长度，从而得到AP CD的面积，根据二次函数性质求出面积的最大值，根据最大值得出P A、P D的长度，从而判定P A是否等于P D.试题解析：4 4,0)、8(2,0)、C(0,-4)9(2)抛物线的对称轴是直线x=l 顶点坐标是(1,-)2 设 P(x,0)(-2 x 0)与 x 轴交于点0、M.对称轴为直线x=2,以0 M 为直径作圆A,以0 M 的长为边长作菱形ABCD

36、,且点B、C 在第四象限，点 C 在抛物线对称轴上,点 D 在 y 轴负半轴上：(1)求证：4a+b=0；(2)若圆A 与线段A B 的交点为E,试判断直线DE与圆A 的位置关系，并说明你的理由;（3）若抛物线顶点P 在菱形ABCD的内部且/O P M 为锐角时，求 a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）D E 与圆A 相切；（3）-a y/3 .2【解析】试题分析：（1）由题意可知（4,0）,由抛物线经过点O 可求得c=0,将 c=0,x=4,y=0代入抛物线的解析式可证得：4a+b=0；（2）如 图 1所示：由菱形的性质可知：DN=NB,D N 1A N,由 OM=AD=AB,可证明

37、AD=AB=DB,由AE=2可知A E=E B,由等腰三角形三线合一的性质可知A E,D E,从而可证明D E与圆A 相切；（3）如 图 2 所 示.设 点 P 的坐标为（2,m）.由题意可知点E 的坐标为（-2,2）,设抛物线的解析式为y=ax（x-4）,将 x=2代入得y=-4 a 即 m=-4 a.由NOPM 为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知-4a -4/3,从而可求得a 的取值范围.解：（D 的坐标为（0,0）,抛物线的对称轴为x=2,点 M 的坐标为（4,0）.抛物线经过点O,.,.c=0.将 E）,x=4,y=0 代入抛物线的解析式得：1 6 a-4 b=0.整理得：4 a-b

38、=0.（2）DE与圆A 相切.理由：如 图 1 所示：四边形ABCD为菱形，；.DN=NB,DNAN.:Z AOD=Z AON=Z DN A=90,，四边形OAND为矩形.OA=DN=2.ADB=0M=4.VOM=AD=AB,AD二 AB=DB.,A E为圆A 的半径,AAE=EB=2.,.AD=DB,AE=EB.，AE_LDE.DE与圆A 相切.(3)如图2 所示.设点P 的坐标为(2,m).VOM 为圆A 的直径，ZOEM=90.VAE=2,OA=2,工点E 的坐标为(-2,2).设抛物线的解析式为y=ax/.m=-4a.TN O PM 为锐角，点P 在点E 的下方.一 4a .24),将

39、 x=2代入得y=-4a.在 RtAAOD ip,OD=y/AD2-O A2=2-：.AC=4y/j.点P在菱形的内部,.点P在点C 的上方.，-4a-4 7 3 .解得：*.a 的取值范围是一。/3.2考点：二次函数综合题.1 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x?+bx+c经过A(0,3),B(1,0)两点，顶点为M.(1)求 b、c 的值；(2)若只沿y 轴上下平移该抛物线后与y 轴的交点为A i，顶点为M,且四边形AMMIAI是菱形，写出平移后抛物线的表达式.【答案】(1)b=-4,c=3；(2)y=x?-4x+3+28或 y=x2-4x+3-2/.【解析】【分析】(1

40、)已知了抛物线图象上A、B 两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求得m、n 的值；(2)把解析式化成顶点式，求得顶点M 的坐标，根据A、M 的坐标，易求得A M 的长；根据平移的性质知：若四边形A AB-B为菱形，那么必须满足AA产A M,由此可确定平移的距离，根据“上加下减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式.【详解】化=3 b=4(1)抛物线、fb x r 经 过 A(0,3 B(1,0)两点，则有：乂 解得，；l+b+c=0 c=3故 b=-4 c=3.(2)由(1)得：产X?-4x-3=(x-2)-1;/.M (2,-1),A(0,3/.AM=百 十(-1-3)2=2 75

41、,由平移可知：A AI M M】，A A i=P k,当 AAi=AM=2 6时，四边形A M M.A,是菱形，故抛物线需向上或向不平移2在 个 单位，即：y=x2-4x-3-2 由 或 y=x：-4x-3-2 出.【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质，注 意 第(2)问有上移和下移两种情况.1 3.如图，已知抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于点A,B,A B=2,与 y 轴交于点C,对称轴为直线x=2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设 P 为对称轴上一动，点，求AAPC周长的最小值；(3)设 D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，若以点A,B,

42、D,E 为顶点的四边形是菱形，则点D 的坐标为【答案】解：(1)V A B=2,对称轴为直线x=2,.点A 的坐标是(1,0),点 B 的坐标是(3,0)。设抛物线的函数表达式为y=(x 2)2 +h,将 A(1,0)代入得：0=(1-2)2+h，解得h=-L.抛物线的函数表达式为y=(x-2)z-1,即 y=x2 4x+3。(2)如 图 1,连接AC、BC,BC交对称轴于点P,连接PA.由(1)抛物线解析式为y=x24x+3,A(1,0),B(3,0),：.C(0,3)。*-BC=A/32+32=3/2,AC=V32+12=710 点 A、B 关于对称轴 x=2 对称，.PA=PB,，PA+

43、PC=PB+PC。此 时,PB+PC=BC,.点P在对称轴上运动时，(PA+PB)的最小值等于BC。/.APC K：Wdt=AC+AP+PC=AC+BC=3V2+V10(3)(2,-1)。【解析】试题分析：(I)根据抛物线对称轴的定义易求A(1,0),B(3,0),所以设抛物线的顶点式y=(x 2 y+h,将点A 的坐标代入即可求得h,得到抛物线的函数表达式。(2)如 图 1,连接AC、BC,BC交对称轴于点P,连接P A.根据抛物线的对称性质得到PA=PB,则zAPC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC,所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可。(3)如图2,根据“菱形

44、ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D 是抛物线y=(x-2)2-1的顶点坐标，即(2,-Dox=2D.图21 4.如图，4 B C 的顶点坐标分别为4(-6,0),B(4,0),C(0,8),把 4 B C 沿直线B C 翻折，点4 的对应点为D,抛物线y =ax2-W a x+c 经过点C，顶点M在直线B C 上.(1)证明四边形Z B C D 是菱形，并求点。的坐标；(2)求抛物线的对称轴和函数表达式；(3)在抛物线上是否存在点P,使得A P B。与 P C D 的面积相等？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答 案】(1)证明见解析，点。的坐标是(1

45、0,8)；(2)对称轴为直线x =5,抛物线的函数表达式为2y=-x2-4x+8；(3)存在.理由见解析.5【解析】【分析】(1)根据两点之间的距离公式，勾股定理，翻 折 的 性 质 可 得=C O =4 C,根据菱形的判定和性质可得点。的坐标：(2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴，设M的坐标为(5,n),直线B C 的解析式为y =k x +b,根据待定系数法可求M的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式；(3)分点P 在C D 的上面和点P 在C D 的下面两种情况，根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标.【详解】(1)证明：4(-6,0),B(4,0),C(0,8),/-A

46、B=6 +4=1 0,AC=46 2+=1 0,/.AB=AC,由翻折可得，AB=BD,AC=CD,：.AB=BD=CD=AC,二四边形4BCD是菱形，:.CD/AB,V C(0,8),.点。的坐标是(10,8)；(2).y=ax2-10ar+c,对称轴为直线x=-乎=5.设M的坐标为(5,n),直线3C的解析式为)，=kx+b,.ro=4/c+&8=b 解 得 仁/.y=-2x+8.点M在 直 线)=-2犬+8上，.n=-2 x 5 4-8=-2 又抛物线y=ax2-10ax+四 过 点C和M,.r c=8125a-50a+c=-2 解 得 卜=i.lc=8抛物线的函数表达式为，=x2-4x

47、+8j(3)存在.2理由如下：由题意可知，P在抛物线？=*-缶+8上，且到BD,CD所在直线距离相等，所以P在二次函数与B。、CD所在的直线的夹角平分线的交点上，而B。、CD所在的直线的夹角平分线有两条：一条是4。所在的宜线，解析式为y=3 +3,另外一条是过。且与BC平行，的直线，解析式为y=-2x+28,2 2y=-x-4%+8联立，$i,y=-x 4-32x=429y=一/8解得：（舍）或2 2联立,y=F -叙+8,y=-2x+28解 得:：锚（舍）或6：仁所以当APB。与 PCD的面积相等，点P的坐标为P ig,g）,P2（-5,38）.【点睛】考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：

48、两点之间的距离公式，勾股定理，翻折的性质，菱形的判定和性质，对称轴公式，待定系数法的运用，等底等高的三角形面积相等，分类思想的运用.1 5.如 图 1,已知菱形ABCD的边长为2 g，点 A 在 x 轴负半轴上，点 B在 坐 标 原 点.点 D 的坐标为（-6 ,3）,抛物线y=ax?+b（a，0）经过AB、CD两边的中点.（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x 轴正方向匀速平移（如图2）,过 点 B 作 BELCD于点E,交抛物线于点F,连接DF、A F.设菱形ABCD平移的时间为t 秒（0 t/3，RF 3 h iA sinC=o：,ZC=60,Z

49、CBE=30o A EC=-BC=J3,DE二 石。BC 2V3 2 2又,；ADBC,A ZADC+ZC=l80o A ZADC=180o-60=120要使AADF与3 E F 相似，P JIJAADF中必有一个角为直角。(I)若/A D F=901 ZEDF=120-90s=30%在 Rt&DEF 中，D E=g 得 EF=1,DF=2。又：E(t,3),F(t,-t-3),/.E F=3-(-t-+3)=t-/.t-=lo,/t 0,.t=lAD 2#、DF 2、,AD DF此时一=-y-=2,=-=2,.=DE 的 EF 1 DE EFy；Z A D F=Z D E F,.ADFSAD

50、EF。(I I)若NDFA=901 可证得A D E FsA FB A,贝”匹=空。FB BA设 E F=m,贝 ijFB=3 m.9=巴 后，即 加-3m+6=O,此方程无实数根。:此 时 t 不存在。3-m 2,3(I I I)由题意得，ZDAFZDAB=60,A ZDAF#900,此时 t 不存在。综上所述，存在t=l,使AADF与aDEF相似。2(1)根据已知条件求出AB和 C D 的中点坐标，然后利用待定系数法求该二次函数的解析式。(2)如图2 所示，AADF与zDEF相似，包括三种情况，需要分类讨论：(I)若/ADF=90。时，A A D F sD E F,求此时 t 的值。(I