江苏五年数学高考真题.pdf

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1、2008年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共7 0分.l ./(x)=c os(y x-高 的 最 小 正 周 期 为 其 中3,则=.2 .一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 .3 .34 表示为 a+e R),则 a+b=.4.A=X|(X-1)1 2 0)的一条切线，则实数b=.9在平面直角坐标系x O y中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0)，点P(0,p)在线段AO上的一点(异于端点)，设a,b,c,p均为非零实数，直线B P,C P分别与边A C,AB交于点E、F ,某同学已正确求得O E的方程：

2、(2一工 一,y =0,请你完成1 11 21 3 1 4 1 5按照以上排列的规律，数阵中第n行(n 2 3)从左向右的第3个数为 y21 1 .已知及y,z c R+，满足x-2 y +3 z =0,则2-的 最 小值是 .XZx1 y21 2.在平面直角坐标系直为中，设椭圆=+2T=1(的焦距为2 c,以点。为圆心,a b。为半径作圆M,若 过 点 尸,0所作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为6 =k c)1 3 .满足条件A B=2,A C=V 2 BC的三角形A B C的面积的最大值是 1 4.设函数x)=a x 3 3x +l (x R),若对于任意x e 1,1,都有/(

3、x)2 0成立，则实数a=.二、1 5.如图，在平面直角坐标系x O y中，以O x轴为始边做两个锐角二，力，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为也,还10 5(I )求 t a n(a+)的值；(I I)求a +2 的值.1 6 .如图，在四面体AB C D中，C B=C D,A D B D,点E、F分别是A B、BD的中点，求证：(I )直线E F 平面A C D ；(H )平面E F C _L平面B C D .1 7 .如图，某地有三家工厂，分别位于矩形A B CD的两个顶点A、B及CD的中点P处，已知A B=20 k m,C B=1 0 k m ,为了处理三

4、家工厂的污水，现要在该矩形A B C D的区域上(含边 界)，且 与A、B等 距 离 的 一 点O处建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道A O,B O,O P ,设排污管道的总长为y k m.(I )按下列要求写出函数关系式：设/B A O=6(r a d),将y表示成夕的函数关系式;设OP=x(km),将 y 表示成x 的函数关系式.(H)请你选用(I)中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短.18.设平面直角坐标系xoy中，设二次函数/(x)=x2+2x+b(x e R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.(I)求实数b 的取值范围；(I I)求

5、圆C 的方程；(I I I)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无 关)？请证明你的结论.19.(I)设,是各项均不为零的等差数列(”2 4),且公差d w O,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列：当 n=4时，求色的数值；求”的所有可能值；d(I I)求证：对于一个给定的正整数n(n 2 4),存在个各项及公差都不为零的等差数列仇也,也，其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.20.若工卜)=少一叫/2(力=23卜那，xeR,P 1,2为常数，函数;定义为：对每个给定的实数X,上陶牖工（I ）求 x）=/x）对所有实数X成立的充要条件（用P 1,P 2表示）；（I

6、 I）设a,6为两实数,满足a b,且0卬2 44为），若 a）=/,求 证:x）在区间目上的单调增区间的长度之和为2 9 （闭区间上/的 长 度 定 义 为m）.2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题：本大题共I 小题，每小题5 分，共 7 0 分.1 .【答案】1 02 .【答案】1 2【解析】本小题考查古典概型.基本事件共6X6个，点数和为4 的有（1,3）、（2,2）、（3,1）共 3 个，故=3=-!1-6 x 6 1 23 .【答案】14.【答案】0【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式.由（x-4 3x-7 得 V5X+8 2 I-i解得2

7、后 2 x V2 x故当x =2五 时取得SMBC最大值2亚1 4.【答案】4若x =0,则 不 论Q取 何 值，/(%)0显 然 成 立；当x0即尤E1,1 时，/(x)=a x 3 3 x +l 2 0 可化为，a-.设g(x)=,-y,则g1(x)=3。,X X X X X所 以g(x)在 区 间(0，上 单 调 递 增，在 区 间pl上 单 调 递 减，因此g(x)m ax=g|=4,从而a 2 4：当 X V 0 即 1,0)时，/()=。1 3-3彳 +1 2 0可化为4 4彳一1，g(x)=3(l,2 x)0g(x)在区间-1,0)上单调递增，因此g(x)m i“=g(-l)=4

8、，从而a W 4,综上a=4B 21 5.解：由已知条件及三角函数的定义可知，c os a=i r c o s尸二二一，因为夕为锐角,所以 s in a=今 ,s in 0=咚 因 此 t ana=7,t an/?=(I)t an(a+尸 tana+tan 尸=_ 31 -t an a t an/3.c o 2t an 4 叱.cta n a +t an I B ,(I I)t an2/7 =-J =-，所以 t an(a+2)=-=-ll-t an2y 0 3 /1-t an a t an 23 4 3 7 r:a,/?为锐角，0 a+2/?,J a+2 =7-1 6解：(I )；E,F分别

9、是A B,B D的中点,AEF是4 ABD的中位线，E F A D,V E F t Zf f i A C D ,A D c z 面 A C D ,二直线 E F面 A C D .(H ),:A D 1 B D ,E F/7 A D,E F 1 B D.V C B=C D,F 是 B D 的中点，A C F 1 B D.又 E F P|C F=F,.B D J _面E F C.；B D u 面 B C D,二面 E F C L面 B C D.1 7.解：(I )延长P O交AB于点Q,由条件知P Q垂直平分A B,若/B A O=6(r ad),贝i 04=-=-,故c os 0 c os 6O

10、 B =-I。,又OP=1 0-l Ot and 1 01 0t a6,c os。所以 y =OA +O 8+O P=-+-+1 0-1 0t an6,c os 6 c os 0所求函数关系式为y =+1 0 o。若 OP=x(k m),则 OQ=1 0-x,所以 OA=OB=(l O-x)?+1 0?所求函数关系式为y =X+2&-20 x+200(0 x 1 0)皿 收,-1 0co sco s(20-1 O si n 0)(-si n 0 1 0(2s in-l)(I I)选择函数模型，y =-J-L=二5-c os2e c os 01j r j r令y =o 得s in e=,因为oe

11、,所以e=,2 4 6当工 时，y 0,y是6的增函I 6j 6 4J数，所以当。=工 时，y m m =1 0+1 6。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边61 0 7 3,.-k m 处。31 8 .解：(I )令x=0,得抛物线与y轴交点是(0,b)；令/(“=/+2x+b=0，由题意b#0且 0,解得b l且b0.(I I)设所求圆的一般方程为/+y2+Dx+Ey+F=0令y =0得尤2 +D r +/=0这与x?+2x+b=0是同一个方程，故D=2,F=b.令x=0得y 2+E y =0,此方程有一个根为b,代 入 得 出 =b1.所以圆C的方程为/+丁+2X一3 +1“+匕

12、=0.(I I I)圆C必过定点(0,1)和(一2,1).证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得左边=。2+2X 0-(b+1)+b=0,右边=0,所以圆C必过定点(0,1).同理可证圆C必过定点(一2,1).1 9.【解析】本小题主要考查等差数列、等比数列的有关知识，考查运用分类讨论的思想方法进行探索分析及论证的能力，满 分1 6分。解：首先证明一个“基本事实”：一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差面=0事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数歹I J,则 a2=(d-do)(a+d0).由此得d0=0(1)(i)当 =4 时，由于数列的公差d#0,

13、故 由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2 或a3若删去的，则由a iMN成等比数列，得+2 dy=a(ai+3 d)因 d W O,故山上式得3 =-4 d,即2=-4,此时数列为一4 d,-3 d,-2 d,一d,满d足题设。若删去a?,则由 声2 招 4成等比数列,W(ai+d)2=ai(ai+3 d)因 d W O,故由上式得ai=d,即2=1,此时数列为d,2 d,3 d,4 d,满足题设。综上可d知，生的值为一4或 1。d(i i)若“26,则从满足题设的数列如也,而中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故 由“基本事实”知，数列a,

14、a2,新的公差必为0,这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n W 5,又因题设”?4,故 n=4 或 5.当 n=4 时;由(i)中的讨论知存在满足题设的数列。当 n=5时，若存在满足题设的数列为应也处用，则 由“基本事实”知，删去的项只能是 a?,从而 ai,a2,a4,a5 成等比数列，i (ai+d)2=ai(ai+3 d)(ai+3 d)2=(ai+d)(ai+4 d)分别化简上述两个等式，得 ad=d2 及 a=5d,故 d=0,矛盾。因此，不存在满足题设的项数为5 的等差数列。综上可知，n 只能为4.(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d 的 n 项等差数列b i b+d

15、,b,+(n-l)d (bi d W O),其中三项 bi+m i d ,bi+n)2 d ,bi+m s d 成等比数列，这里 O Wm K m X nu WnT,则 有(bi+m z d )2=(bi+m i d )(bi+i m d)化 简 得(nh+m 3-2 ni 2)bi d =(-m i nu)d(*)由bi d#0知，m i+m 2 ni 2 与 或 同 时 为 零，或均不为零。若小1+所 2 m 2=0 且 一 叫 四 二 0,则有(一 j一-)2-m i m3=0,E P (m i-nb)2=0,得 m i=ni 3,从而叫二叱二叱,矛盾。因此，m i+ni 3-2 m 2

16、 与 欣-m ni h 都不为零，故 由(*)得b、-mxm3d mi+机3 -2m2因为3,o h,均为非负整数，所以上式右边为有理数，从而3是一个有理数。d于是，对于任意的正整数n2 4,只要取4 为无理数，则相应的数列bi,b2,也就是满足要d求的数列，例如，取bI=l,d=后，那么，n项数列1,1+VL1+2VL，1+（-1）及满足要求。2 0.【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值函数、不等式的综合运用.（I ）X）=/（x）恒成立 o -（x）f2（x）o 3 1 f l 2 o 3 1 f H f l 3l 02=|x-P i H x-2 归/%2（*）因为|X-PI|TX

17、 P 2|W（X-PJ -（XP 2）|=|PP 2|所以，故只需1 P l -小|/叫 2.(1)当 P 1 -“2 log32 吐/(x)=3 f,xe p|,b3PX,xe a,p力（）=y-x e p2,b 3 叫当 x e Pi,b ,2L=3-。一叫2 0,人(x)0，所 以h(町/1(x)3。=力 因 为 工（工）0,力（犬）所 以工（x）/2（x）故 力=/2（力=3 3+晦2因为=所以3 =3-2,所以b-PL-。+晦2,即Q+。=P+10g3 2当X P 2，P时，令f(x)=/2(x)，则3 =3”时 嘀2,所以x =且 土 写 也2,当 xJ p|+P ;哨2 时,y,

18、(x)/2(x),所以 x)=(x)=3 F+嘀 2xw+P 2 2,P 1 时，/(x)4/2(x),所以/(x)=/|(x)=3 外“X)在区间可上的单调增区间的长度和b-P i+/乙+P；I%2 _p 2P i+P 2 +唾3 2,a+b h-a b-二-:=b-=-2 2 2 当 P 2-P /oga2 时.工()=尸f ,x w p,可7 2 (%)=3 A 叫xeM，可3吁，+电2”,也 当 x e p2,b ,=23。=1,因 为 /1(x)0,/2(x)0 ,所 以于2力(x)/2(x)，故 x)=/2(x)=3 f+2当x e a,P i=-喝23=1,因 为 （力0/（力0

19、,所以工（同&（力故 x)=E(x)=3，c因为/(“)=/他)，所以3什=3&+啕2,所以a+b=P +p 2 log3 2当x e p”P 2 时，令 0,0）在闭区间-,0 上的图象如图所示，则 3=.5.现有5根竹竿，它们的长度（单位:m）分别为2.5,26,27,2.8,2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3 m的概率为.6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2.3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次.投中的次数如下表:学生1号2号3号4号5号甲班67787,乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为，2=.7.右图是一个算法的流程图,最后输出的=

20、A-8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1乞厕它们的面积比为1：4.类似地,在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为（第4题图）（开冲）I s：o I UI S丁9.在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=P -10 x+3上，且在第二象限内,巳知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为_ 4 _.10.已知a=6针L函数/（X）=a.若 实 数 满 足/（m）/（n）,则m,n的大小关系为 .七Sb/g（第7同图）16 11.巳知集合人=|x|l o g2z 2|,B=(-,a),若AC 8,则实数a 的取值范围是(c,+8),其中c =12.设a和6 为不

21、直合的两个平面,给出下列命题：(I)若a内的两条相交直线分别平行于B内的两条直线，则a平行于6；(2)若 a外一条直线/与a内的一条直线平行,则！和a平行；(3)设 a和6 相交于直线/.若a内有一条直线垂直于/.则 a和8 垂直；(4)直线/与a垂直的充分必要条件是/与a内的两条直线垂直.上面命题中.耳包学的序号是 .(写出所有真命号的4 号)13.如图，在平面宜角坐标系Q y中，4 .4,4.当为椭圆捺+/1(a b 0)的四个顶点,F 为其右焦点，直线A4 与直线相交于点兀线段o r 与椭圆的交点M恰为线段o r 的中点，则该椭圆的离心率为 .(第13题图)14.设 山 是公比为g的等比

22、数列，l g l I,令 b.=a.+1(n=1,2,).若 是 列 有 连 续四项在集合 1-53,-23.19,37,821 中，则6q=二、解答题:本大题共6 小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)设向量 a =(4c o s a,s i n a),b=(s i n ,4c o s 6)，c=(c o s/3,-4s i n j 8)-(1)若。与6-左 垂 直，求 Mn(a +6)的值；(2)求 e+c l 的最大值；(3).t a n a t a n 3=16,水证：a/b.16.(本小题满分14分)如图，在直

23、三棱柱ABC-4 4 G 中，/分别是4 B 4 C 的中点,点。在瓦G 上，4。X B.C.求证：(1)EF 平面A 8C；(2)平面4 收5 1 平面8B|GC(第I6JR图)17.(本小题满分14分)设l a j 是公差不为零的等差数列，S.为其前n 项和，满足a；+&=a：+a；,S,=7.(1)求数列i a.l 的通项公式及前n 项和S.；(2)试求所有的正整数m,使 得 手 1 为数列|a 1 中的项.18.(本小庵满分16分)在平面直角坐标系M y中,已知圆G：(x+3尸+G-1)J 4 和圆 G：G-4)2+(y _ 5)2=4.(1)若直线/过点4(4.0),且被圆G 截得的

24、弦长为2万,求直线/的方程；(2)设 P 为平面上的点，满足:存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线。和4,它们分别与圆G 和G 相交,且宜线/,被圆G截得的弦长与直线4 被圆G截得的弦长相等.试求所有满足条件的点P的坐标.19.(本小题满分16分)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a元,如果他卖出该产品的服价为m元，则他的满意度为 一;如果他买进该产品的单价为n元.则他的满意度为m +a 一.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为儿和砥.则他对这两种交易n +a的综合满意度为6 K.现假设甲生产.4,8两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产4,8两种产品的单件成

25、本分别为3元和20元 设 产 品A.B的单价分别为m,元和F元,甲买进A与卖出H的综合满意度为小,乙卖出A与买进B的综合满意度为必(1)求G.和 心 关 于mt,mB的表达式；当m,=-j-m,时,求证：A.=(2)设m,=/如,当m,m,分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合清意度为多少？(3)记(2)中最大的综合满意度为七，试问能否适当选取啊,n的值,使得。和h&N儿同时成立,但等号不同时成立?试说明理由.20.(本小题满分16分)设 a 为实数，函数/(x)=2x+(*-a)l z-a l.(1)若/(0)M I,求a的取值范国；(2)求*)的最小值；(3)设函数M x)

26、=人*),x e(%+8)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式A(x)1的解集.数学I试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1.-206.0.411.4二、解答题2.37.2212.(1)(2)3.(-1,11)4.3 5.0.28.1：8 9.(-2,15)10.mn13.277-5 14.-915.本小题主要考查向量的基本概念，同时考查同角三角函敷的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式，考查运算和证明的基本能力.满分14分.(1)斛:因为a与b-2 c垂直,所以a(b-2c)=4cosasinj3-8cosacos/9+4si

27、nacos/3 8sinasin/3=4$in(a+6)-8cos(a.0)=0,因此tan(a+尸)=2.(2)解：由 =(sin6+c(6 4cos8-4sin0).得lb 4-cl=，(sicf+cos 用 +(4cos 0-4sin f)=y/l-15sin 2f t 4 .又当6=-年时.等号成立，所以B+cl的最大值为4 .证 明:由53 16得普=悬 所 以。川16.本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力.满分14分.证明：(I)由E.F分别是4,B.A,C的中点知EF/BC,因为EF =1.由点到直线的距一公式得4=-*厚；4)1,从而*

28、(%*+7)=o/I+*1即k=0或 小-，所以直线2的方程为”0或7*+24y-28=0.(2)设点P(a,6)满足条件，不妨设直线4的方程为y-B=*-a),&K 0,则直线4的方程为y-6=T().因为H 1 G和 J 的半径相等,及直线1,被圆C,装得的弦长与直线。被圆C2截得的弦长相等,所以圆C,的圆心到直线Z,的距离和圆G的圆心到直线。的距离相等，即整理得 11+3k+ak-b=l 5*+4-a-W I,从而 1 +3*+。4-6=54+4-0,即 a a,/(x)=2xJ+(*-a)l x-a l =|、3，3 ，,l(x +a)J-2a2,xWa,(i)当 a m 0 时，-a

29、)=-2/，由(2知-2a:此时g(a)=-2a2.(i i)当a a,则由知上)三宁？；若*这明则 x +a W 2a j a2.此时 g(a)=y a2.当a e(-8,-野u 亨.+8)时,解集为(a,+8)；5)当a w名 亨)时,解 集 为 二手父+8)；(i i i)当a w (堂-亭)时,解 集 为(明=争药 3”玄 能 适,+8).20-数学n (附加题)A B(X 2 I-A K H)参考公式：+2?+3?+/2r 4621选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，毋小题】0分，共计20分.请在答题卡指军乌境内作答.解答时应写,出,文3 4庙、证明过程或演算步骤.儿选修4

30、-1：亢 靛E明选讲如图.在四边形A8C0中，ZUBCsfi L B AD.求证：AB/CD.B.选修4-2：矩阵与变换求矩阵A=；的逆矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程X =4i -T-,已知曲线C的参数方程为，Q为参数.，0).7=3(：+7)(第 22题留)求曲线C的普通方程.0.选修4-5：不等式选讲设 a M 6 0,求证：3a 26J M 3a%+2必.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步舞.22.(本题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C的顶点在原点,经过点4(2.2),其焦点F在，轴

31、上.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求过点F,且与直线。4垂直的直线的方程；(3)设 过 点5f(m.0)(m 0)的 *线 交 抛 物 线C于D.E两点，M E=2 0 tf.记/)和E两点间的距离为/(m),求m)关于m的表达武23.(本题满分10分)对于正整数n M 2,用T.表示关于x的一元二次方程/+2 +6=0有实数根的有序数组(a.b)的组数，其中a,6e 11,2.-.n|(a和b可以相等)；对于随机选取的a,6 e|1.2,-.n|(a和6可以相等).记P,为关于x的一元二次方程/+2a*+6=0有实数根的概率.求 心 及 匕；(2)求证：对 任 意 正 整 数.有 匕 I

32、吩.数学口(附加题)参考答案21“选做题】A.选修4-I：几何证明选讲本题主要考查四边形、全等三角形的有关知识,考查推理论证能力.满分10分.证明：由&48Cq 得 Z.4CB=乙BDA,故.4.8.C.D四点共圆，从 而乙CAB=L C D B.再 由ABC q dB A D得/乙CAB=4084.因此乙DBA=LCDS,/所以 48 CD.”、B.选修4-2：矩阵与变换 A B本18主要考查逆矩阵的求法,考查运算求解畿力.清分10分.-21-解:设矩阵A的逆矩阵为；3.叫*|n3x+2z 3y+2叫 _ 11 01 切31 2z=1,f3y 2w=0.I 2x+z 2y+w I。1J ,f

33、lXl2x+z=0,l2y w=1.解得 x=-1,2 =2,y=2,w=-3.从而A的逆矩阵为A =C.选修4-4：坐标系与参数方程本场主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力.满分10分.解:因为丁=,+-2,所以/+2=,+/=多故曲线C的普通方程为：3/-y+6=0.D.选修4-5：不等式选讲本题主要考查比较法证明不等式的常见方法，考查代数式的变形能力.满分10分.证明：3a+26-(3/6+2a/)=3a(a-6)+2A“6-a)=(3as-262)(a-6).因为 a Mb 0.所以 a b 0,3a2 26，0,从而(3a-2b1 j(a-6)NO,即 3a+2/

34、M 316+lab2.22.【必做题】本题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力.满分10分.解：(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2.2)I在抛物线C上，所 以p=1.因此，抛物线C的标准方程为/鼠/=2x/(2)由(1)可得焦点F的坐标是(/.0),又直 线(M的斜率为 球#j-=1 ,故与直线0A垂直的直线的斜率为-1.因此,所求直 户、线的方程是x+y 4=0.(3)解法一：设点。和E的坐标分别为(M-九)和(与.打)，直线。的方程是y=fc(r-m),AWQ,将 x=+m=2x,有 4/-2y-2Jan=0,解彳*”=1士，+*

35、.由ME=2DM知1 +/I +2mi2=2(+2版 -1),化简得好=且.因此=(*,-X j)3+(y,-y,)1=(I+-y j力.产 铲.金+.)所以m)-1-ym1+4m(m 0).解法二：设 0(1,3),E(j,t).由点 M(m,O)及 配=2 而 得#-m=2(m-j),I-0 =2(0-s).因此 =-2s,m=?.所以f(m)=DE=J(2/-(-2s-s)?=m2+4m(m 0).23.1必做题】本题主要考查概率的基本知识和计数原理，考查探究能力.满分1 0分(1)解:因为方程/+2 ax+6 =0有实数根,所以A =4 1 -4 b M 0,即b W a2.(i)当

36、n W a W n 时.有 n W a.又 3 e I .2,.n，故总有 6 W a,.此时,a有-n+1种取法.6京/种取法,所以共有(储-n+1)储组有序数组(a,b)满足条件；(i i)当1 Wa Wn-l时，满 足1 的b有/个.故 共 有，+2,+3 1 +(n-1尸=血二乎口 组有序数组(明防清足条件.由5)可得口=+1)储+迎 二 铲r l l =迎网4,u h n%6/-4 n2*3 n+I从血匕1=/=-后-(2)证明:我们只需证明:对于随机选取的。/e 1 1,2,方程/+6 =。无实数根的 概 率 -P A 若 方 程*s+2+6 =0无实数根，则d =4 a2-4 6

37、 0.即a2。.由6&八知。R.因此，满足 6的有序数组(。间 的组数小于几万，从而，方 程/+2 s 6 =0无实数根的概率旦 所 以P.-y/n JR2010江苏高考数学试题及参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5 分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应的位罩上.1.设集合 A=1,1,3,8=a+2,/+4 ,I c 8 =3,则实数 a 的值为 .2.设复数z 满足z(2 3i)=6+4i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为 .3.盒子中有大小相同的3 只白球，1 只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是 A.4.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了

38、100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间 5,40 中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有 根在棉花纤维的长度小于20mm.5.设 函 数/(x)=x(e+a e T)(x e R)是 偶 函 数，则 实 数 a=.2 26.平面直角坐标系xO y中，双曲线 一 台=1上一点M,点 M 的横坐标是 3,则 M 到双曲线右焦点的距离是 .7.右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ./输 出S/8 .函数y =Y(x0)的图像在点(a/)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+l,k为正整数，。/=1 6,则+.9 .在平面直角坐标系X。)，中，

39、已知圆/+2 =4上有且仅有四个点到直线1 2 x 5 y +c =0的距离为1,则实数c的取侑范围是 .1 0 .定义在区间 o,上的函数y =6 c o s x 的图像与y =5t a n x 的图像的交点为P,过 点 P 作 PP,I x轴于点P p直线PPi 与=s i n x的图像交于点P2,则线段P,P2的长为 .(第 7 题图)1 1 .已 知 函 数/(*)=卜2+Lx Z,则 满 足 不 等 式“1 x 2)/q x)的 的 范 围 是1,x 0,%0,乃 cSk 求证：c 的最大值为5 .20.设/(x)是定义在区间(L+o o)上的函数，其导函数为了(X).如果存在实数。

40、和函数h(x),其中/(x)对任意的 x e(l,+8)都有(x)0,使得r(x)=/7(x)(/-4X +1),则称函数/(幻 具有性质尸伍).b+2(1)设函数/(x)=/(%)+(%1),其中b为实数X+1(i )求证：函数/*)具有性质P S)；(i i)求函数/(x)的单调区间；(2)已知函数 g(x)具有性质 P，给 定X1,x2 (1,+8),X%2,设加为实数,a =m x+(1-m)x2P=(-m)xi+mx2,且若|g(a)-g(0|a-t an 8 =_ _ _ _ _h _ _&_B 1 +t an t an)3 d +H(H-h)2y H(H-h),d当且仅当 a=0

41、(蚱),即 d =/H(H-h)=/125 x(125 -4)=5 5万 时，上式a取等号.所以当d=556时，t an(a-B)最大.因为。(尸a y-,故所求的d是5 5 7 5贝lj 0&_夕 0,S,=；也/=-d2k2=ySt.所以c 的最大值a 4 4另一方面，任取实数a.设 k 为偶数，令 m=/:+1,n-k-1,则 m,九/符合条件，且Sn+S,=d2(m2+n)=d2(yfc+l)2+(y i-l)1)=y d2(9V+4).于是，只要9必+42蕾，即当/时，就有S+S 1 时，从)=1 ,0,所以函数/(*)具有性质P(6).x(x+1)(ii)当 6W2 时，由工1 得

42、，-岳:+1M-2x+l=(工-1尸 0,所以广(工)0,从而函数/1(H)在区间(1,+8)上单调递增.当 b2时，解方程，-k+1 =0得b-Vb1-4 b+Vb2-4Xj=-,x2=-.“，6-4 2因为X,=2 12 6+Vb2-4所以当工(1,七)时,广(工)0；当“盯时,/(x)=0.从而函数f(x)在区间(1,右)上单调递减，在区间(町，+8)上单调递增.综上所述，当 6这2 时，函数f(x)的单调增区间为(1,+8)；当b 2时，函数八工)的单调减区间为(1 ,士等4),单调增区间为k+b2-4、(-2-+8)-(2)由题设知，g(x)的导函数g，(x)=Mx)(-2x +l)

43、,其中函数乂工)0对于任意的工e(l,+8)都成立，所以，当工1时，g.)=4(Z)(X-1)20,从而g(h)在区间(1,+8)上单调递增.当 m e(0,l)时，有 a=m/+(1 -m)x2 m x1+(1-m)xx=x,a m x2+(1-m)x2=x2,得 at (航，x2),同理向得。(与，盯)，所以由 g(%)的 单 调 性 知 g(a),g(6)E(g),g(町)，从 而 有 l g(a)-g(6)l l,6 1及g(%)的辛调性如g(6)Wg(勺)Q(。2 +M).【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或

44、演算步骤.2 2 .(本小题满分1 0分)某工厂生产甲、乙两种产品.甲产品的一等品率为8 0%,二等品率为2 0%；乙产品的一等品率为9 0%,二等品率为1 0%.生产I件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元.设生产各件产品相互独立.(1)记X(单位：万元)为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；(2)求生产4件甲产品所获得的利润不少于1 0万元的概率.2 3 .(本小题满分1 0分)已 知 4 8 C的三边长都是有理数.(1)求证：c o s A是有理数；(2)求证：对任意正整数n,c

45、 o s n A是有理数.数学n（附加题）参考答案21.【选做题】A.选修4-1：几何证明选讲本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力.满分1 0分.证明:连结0 0、8 D因 为 他 是 圆。的直径，所以 N 4 O B=9 0。，AB =2O B.因为D C是 圆。的切线，所 以4C0 0 =9 0 .又因为D A=D C,所以=4C,于 是4 O B CO。，从而 4 B =C0,即 20B =O B +B C,得 0 8 =B C.故 AB=2B C.B.选修4-2：矩阵与变换本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力.满分1 0分.解：由 题 设 得=K

46、 J =?o l-.ol=?JO2=-2?切 可 知4（0,0）,B,（0,-2）,G（k,-2）.计 算 得 A B C的面积是1,4&G的面积是I川，则由题设知I川=2 X 1 =2.所 以G的 值 为-2或2.C.选修4-4：坐标系与参数方程本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.满分1 0分.解:将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为即（工-1）2+/=1,直线的方程为3 x+4 y+a =0.由题设知，圆 心（1,0）到直线的距离为1 ,即有1 3 x1 +4 xO +a l ,-二，解 得a=-8,或a =2.故a的值为-8或2.D.选修4-5：不等式选讲本

47、题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力.满分1 0分.证明：由a,b是非负实数，作差得a3+b3-/ab（a2+b2）=a1/a（/a-（冲）.当a b时，从 而（石）仁（乃）5,得（了-历）石 尸-（历）5）0;当a 0.所 以 丁+/4（a2+b2）.22.【必做题】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解的能力.满分1 0分.解:（1）由题设知，X的可能取值为1 0,5,2,-3,且P（X =1 0）=0.8 x0.9=0.7 2,P（X=5）=0.2 x0.9 =0.1 8,尸（X =2）=0.8 xO.1 =0.0 8,P（X=-3）=0.2 x0.1 =0.0 2.由此

48、得X的分布列为:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _X-3251 0P0.0 20.0 80.1 80.7 2（2）设生产的4件甲产品中一等品有几件，则二等品有4-n件.姓 1 4由题设知4 n-（4 -几），1 0,解 得n N亍，X n e N,得 n=3,或 n=4.所以 P=Cj-0.83-0.2+Cj-0.84=0.8192.故所求概率为0.8192.23.【必做题】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分

49、析问题、解决问题的能力.满分10分.证明：(1)由 四、BC、A C为有理数及余弦定理知cos 4=迪 拦 与”是有理数.Z/LD,/1C(2)用数学归纳法证明cos n/4和sin 4 sin nA都是有理数当几=1时，由(1)知cos 4是有理数，从而有sin A-sin A=1-cos2A也是有理数.假设当n=k(A N 1)时，cos 1和sin 4-sin kA都是有理数.当n=k+1时，由cos(A+1)A=cos A cos kA-sin A sin fc4,sin A,sin(A +1)A=sin A,(sin A-cos kA+cos A,sin fc4)=(sin 4,si

50、n 4),cos AA+(sin A sin 4),cos A,及和归纳假设，知cos(A+1)4与sin 4 sin(+l)4都是有理数.即当几二A+1时，结论成立.综合、可知，对任意正整数九，cos nA是有理数.2011江苏高考数学试卷一.填空题：本大题共1 4 小题，每小题5 分，共计7 0分，请把答案填写在答题卡的相应位S.1、已知集合A =-1,2,2,4,8 =-1,0,2,则 Ac8=,2、函数/(x)=log5(2 x+l)的单调增区间是3、设复数1 满足，a+1)=-3 +2，(1 是虚数单位)，则 2的实部是4、根据如图所示的伪代码，当 输 入 分别为2,3时,最后输出的