北京市2017年数学中考真题（解析版）.pdf

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1、2 0 1 7 年北京市高级中等学校招生考试数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1.如图所示，点 P 到直线/的距离是（）【答案】BC.线段PC的长度 D.线 段 的 长 度【解析】【详解】解：由点到直线的距离定义，点 P 到直线/的距离是线段P B 的长度,故选：B.2.若 代 数 式 上 有 意 义，则实数x 的取值范围是（）x-4A.x=0 B.x=4 C.x#0 D.x*【答案】D【解析】【详解】由分式有意义的条件:分母不为0,即 x-4#）,解得存4,故选D.3.某几何体的展开图如图所示，该几何体是（）A.三棱柱 B.圆锥C.四棱柱 D.圆柱【答案】A【解析】【分析】侧面为

2、三个长方形，底面为三角形，故原几何体为三棱柱.【详解】观察图形可知，这个几何体是三棱柱.故选：A.【点睛】本题考查的是三棱柱的展开图，考法较新颖，需要对三棱柱有充分的理解.4.实 数 在 数 轴 上 对 应 点 的 位 置 如 图 所 示，则正确的结论是（）ab-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5A.a T B.b d Q C.b+c 0 D.同 同【答案】D【解析】【分析】根据数轴上点的位置关系，可得。，匕，c,d 的大小，根据有理数的运算，绝对值的性质，可得答案.【详解】解:由数轴上点的位置，得：-5a-4,-2b-1,0cl,4=4,A、a-4,故 A 不符合题意；B、bd0,故

3、 B 不符合题意；C、b+c4,bh,故 D 符合题意;故选：D.【点睛】本题考查了数轴、绝对值以及有理数的混合运算，根据数轴确定点的位置和点表示数的大小是关键.5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）【答案】A【解析】【详解】A.是轴对称图形不是中心对称图形，符合题意,B.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意，C.是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意，D.是轴对称图形也是中心对称图形，不符合题意,故选：A.【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形，正确地识别是解题的关键.6.若正多边形的一个内角是150,则该正多边形的边数是（)A.6B.12C.16D.18【答案】B【

4、解析】【详解】设多边形的边数为n,则 有（n-2）x l 8 0=n x l 5 0 ,解得：n=1 2,故选B.7.（2 0 1 7 北京市，第 7 题，3 分）如果。2+2。-1 =0,那么代数式（。一3 二 的 值 是（）（a J a-2A.-3 B.-1 C.1 D.3【答案】C【解析】【详解】原式=必&-=。（。+2）=/+2。,当 +2。一1=0时，a2+2a=l，故选C.a a-28.（2 0 1 7 北京市）下面的统计图反映了我国与“一带一路”沿线部分地区的贸易情况.2 0 1 1 -2 0 1 6 年我国与东南亚地区和东欧地区的贸易额统计图八贸易额亿美元50004802 _,

5、-东南亚地区“东欧地区3000 3632.52000 1523.6 1660.6 茴誓21000 1440.1 I）“。m N。0 201120122013201420152016 蠢分（以上数据摘自“一带一路”贸易合作大数据报告（2 0 1 7）根据统计图提供的信息，下列推理不合理的是（）A.与 2 0 1 5 年相比，2 0 1 6 年我国与东欧地区的贸易额有所增长B.2 0 1 1 -2 0 1 6 年，我国与东南亚地区的贸易额逐年增长C.2 0 1 1 -2 0 1 6 年，我国与东南亚地区的贸易额的平均值超过4 2 0 0 亿美元D.2 0 1 6 年我国与东南亚地区的贸易额比我国与

6、东欧地区的贸易额的3 倍还多【答案】B【解析】【分析】【详解】A.与 2 0 1 5 年相比，2 0 1 6 年我国与东欧地区的贸易额由1 3 3 2.0 增加到了 1 3 6 8.2,正确；B.从 2 0 1 4 年开始，我国与东南亚地区的贸易额逐年下降，错误：C.（3 6 3 2.6+4 0 0 3.0+4 4 3 6.5+4 8 0 3.6+4 7 8 1.7+4 5 5 4.4）+6=4 3 5 8.1 4 2 0 0,正确；D.4 5 5 4.4+1 3 6 8.2=3.3 2,正确，故选B9.小苏和小林在如图所示的跑道上进行4 X 5 0 米折返跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距

7、离y （单位：?）与跑步时间r （单位：s）的对应关系如下图所示.下列叙述正确的是（）A.两人从起跑线同时出发，同时到达终点B.小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小苏在跑最后1 0 0”的过程中，与小林相遇2 次D.小苏前1 5 s 跑过的路程小于小林前1 5 s 跑过的路程【答案】D【解析】【分析】通过函数图象可得，两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根 据 速 度路=程豁，根据行程问题的数量关系可以求出甲、乙的速度，所以小苏跑全程时间的平均速度小于小林跑全程的平均速度，根据图象小苏前1 5 s 跑过的路程小于小林前1 5 s 跑过

8、的路程，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方有两次，即可解答.【详解】解：由函数图象可知：两人从起跑线同时出发，先后到达终点，小林先到达终点，故 A错误；根据图象两人从起跑线同时出发，小林先到达终点，小苏后到达终点，小苏用的时间多，而路程相同，根据速度=7路程*，所以小苏跑全程的平均速度小于小林跑全程的平均速度，故 B错误；时间小林在跑最后1 0 0 m的过程中，两人相遇时，即实线与虚线相交的地方，由图象可知1 次，故 C 错误；根据图象小苏前1 5 s 跑过的路程小于小林前1 5 s 跑过的路程，故 D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数

9、据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论.1 0 .如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果.0 500 1 000 IS00 2000 2S00 3000 3$00 4 000 4 500 SMX）用后次数下面有三个推断：当投掷次数是5 0 0 时;计算机记录“钉尖向上”的次数是3 0 8,所 以“钉尖向上”的概率是0.6 1 6；随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.6 1 8附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.6 1 8；若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1 0 0 0 时，“钉尖向上”的频率一定是0.6 2 0

10、.其中合理的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【详解】当频数增大时，频率逐渐稳定的值即为概率，5 0 0 次的实验次数偏低，而频率稳定在了 0.6 1 8,错误；由图可知频数稳定在了 0.6 1 8,所以估计频率为0.6 1 8,正确；.这个实验是一个随机试验，当投掷次数为1 0 0 0 时，钉尖向上”的概率不一定是0.6 2 0.错误，故选B.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键.二、填空题（本题共18分，每题3 分）1 1 .请写出一个比2 大且比4小的无理数：.【答案】兀（逐 或 J7）【解析】【分析】利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算，

11、然后找出无理数即可【详解】设无理数为五，4 5 x-71 8.解不等式组：,x +1 0 I -3-2x【答案】x 5 x-7 试题解析：4x+10 .A，-2X 2)I 3由得:x 3,由得：x 2,不等式组的解集为：x S 短 彩EBM：=SAABC-（+）易知，SAADC=SAABC，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _=可得S 矩 形NFGD=S 矩 形EBM F【答案】SA A EF,S&C F U；SA AN FJ SA A EF；SA EGC,SA CT

12、W.【解析】【详解】试题分析：由矩形的对角线的性质，对角线把矩形分成两个面积相等的三角形计算即可.试题解析：由矩形对角线把矩形分成两个面积相等的两部分可得：S矩形NFGD=A A C 一+S矩形ABC +&FMC)，S1 sADC=S BC SM NF=SM EF，SAFGC=S&FMC,S矩形NFGD=S矩形殖M F 21.已知关于x的方程左+3）x+2 Z +2=0（1）求证：方程总有两个实数根（2）若方程有一个小于1的正根，求实数k的取值范围【答案】证明见解析；1%0，方程总有两个实数根(2)f (%+3)x+2攵 +2=0.Z+3 (1)x 2玉=女+1,=2.方程有一个小于1的正根0

13、 攵 +1 1 1 =9(),E 为 AD的中点，连接BE.(1)求证：四边形BCOE为菱形；(2)连接A C,若AC平分 4 4 Z),BC=1,求AC的长.【答案】(1)证明见解析.(2)0.【解析】【分析】(1)先证明四边形BCOE是平行四边形，再证明一组邻边相等即可；(2)连接4 C,根据平行线性质及等角对等边证明A8=l,AD=2,可知NAO3=3 0 ,再根据菱形的性质即可得出入4。是含30。的特殊三角形，最后根据勾股定理即可求AC的长.【小 问1详解】.4)=2 6 C，E为A。的中点，:.D E=B C，-,-AD/BC,：.四 边 形 是 平 行 四 边 形，vZABD=90

14、-AE=D E，/.BE-DE，四边形BCCE是菱形.【小问2 详解】解：连接AC.-,-AD/BC,AC平分NfiAD,ABAC=ADAC=ZBCA，：.AB=BC=1，AD-2BC-2，.ZAT3=30，ND4c=30。，V四边形BCDE是菱形.ZADC=2ZADB=60，ZACD 90在 用 八4。中，.AD=2，:.CD=1,1 AC=6【点睛】本题考查了菱形 性质与判定，勾股定理等，解题的关键是连接AC构造RrAACD.2 3.如图，在平面直角坐标系x O y 中，函数y=&(x0)的图象与直线y=x-2 交于点A(3,m).X(1)求 k、m 的值；(2)已知点P(n,n)(n0)

15、,过点P 作平行于不 轴的直线，交直线y=x-2于点M,过点P 作平行于y 轴的直L线，交函数y=E(x 0)的图象于点N.X 当 n=l时，判断线段PM与 PN的数量关系，并说明理由；若 PNNPM,结合函数的图象，直接写出n 的取值范围.【答案】(1)k 的值为3,m的值为1；(2)0 P M,即 P N 2,.O V n W l 或*3点睛：本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出反比例函数与一次函数的解析式，本题属于基础题型.2 4.如 图，AB是。O的一条弦，E是AB的中点，过 点E作ECLOA于 点C,过 点B作。的切 线 交C E的 延 长 线 于 点D.(1)求

16、 证：D B=D E;(2)若 A B=1 2,B D=5,求OO 的半径.【解 析】【详解】试题分析：（1）由切线性质及等量代换推出N 4=/5,再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出s i n/D E F 和 s i n/A O E 的值，利用对应角的三角函数值相等推出结论.试题解析：（1）V D C 1 O A,.,.Z l+Z 3=90 ,：B D 为切线，.,.OBJIBD,A Z 2+Z 5=90 ,V O A=O B,.*.Z 1=Z 2,V Z 3=Z 4,.*.Z 4=Z 5,在A D E B 中，Z 4=Z 5,.D E=D B.作 D F _ L A B 于 F

17、,连接 O E,V D B=D E,.,.E F=1BE=3,在 R T z D E F 中，E F=3,D E=B D=5,E F=3 ,A D F=r-DF 4 *4 AE 4J 52-32-4.,.s i n Z D E F=-,V Z A O E=Z D E F,.在 R T Z X A O E 中，s i n Z A 0 E=一，心 S T DE 5 AO 51 5V A E=6,.*.A 0=.2【点睛】本题考查了圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数等知识，结合图形正确地选择相应的知识点与方法进行解题是关键.2 5.某工厂甲、乙两个部门各有员工4 0 0 人，为了解这两个部门员

18、工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整.收集数据从甲、乙两个部门各随机抽取2 0 名员工，进行了生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：甲 7 8 86 7 4 81 7 5 7 6 87 7 0 7 5 9 07 5 7 9 81 7 0 7 4 80 86 6 9 83 7 7乙 9 3 7 3 88 81 7 2 81 9 4 83 7 7 8380 81 7 0 81 7 3 7 8 82 80 7 0 4 0整理、描述数据按如下分数段整理、描述这两组样本数据:成绩X人数部门4 0 x 4 95 0 x 5 96 0 x 6 97 0 x 7 98 gx 89 9 0 x

19、 1 0 0甲0011 171乙（说明：成绩80 分及以上为生产技能优秀，7 0 7 9 分为生产技能良好，6 0 6 9 分为生产技能合格，6 0 分以下为生产技能不合格）分析数据两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：部门平均数中位数众数甲7 8.37 7.57 5乙7 880.581得出结论：a.估 计 乙 部 门 生 产 技 能 优 秀 的 员 工 人 数 为；可以推断出 部门员工的生产技能水平较高，理由为.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）【答案】a.2 4 0,b.乙；理由见解析.【解析】1 2【详解】试题分析：（1）由表可知乙部门样本的优秀率为：X 1 0 0%=6

20、0%,则整个乙部门的优秀率也4 0是 60%,因此即可求解；（2）观察图表可得出结论.试题解析：如图：整理、描述数据按如下分数段整理按如下分数段整理数据：成绩X人数部n4 0 x 4 95 0 x 5 96 0 x 6 97 0 x 7 98 0 x 8 99 0 x 1 0 0甲0011 171乙1007102a估计乙部门生产技能优秀的员工人数为400X =240（人）；40b.答案不唯一，言之有理即可.可以推断出甲部门员工的生产技能水平较高，理由如下：甲部门生产技能测试中，测试成绩的平均数较高，表示甲部门生产技能水平较高；甲部门生产技能测试中，没有生产技能不合格的员工.可以推断出乙部门员工

21、的生产技能水平较高，理由如下：乙部门生产技能测试中，测试成绩的中位数较高，表示乙部门生产技能水平优秀的员工较多；乙部门生产技能测试中，测试成绩的众数较高，表示乙部门生产技能水平较高.2 6.如图，P 是弧AB所对弦AB上一动点，过点P 作 PM_LAB交 AB于点M,连接M B,过点P 作PNLM B于点N.已知A B=6cm,设 A、P 两点间的距离为xcm,P、N 两点间的距离为y c m.（当点P 与点 A 或点B 重合时，y 的值为0）小东根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与

22、 y 的几组值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.10.90（说明：补全表格时相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 PAN为等腰三角形时，AP的长度约为 cm.【答案】（1）1.6,（2）作图见解析，（3）2.2（答案不唯一）【解析】【详解】试题分析：（1）通过画图画出大致图象，估算当A P=4 时，P N-L 6；（2）根据题意画出图象即可；（3）作 y=x 与（2）中的函数图象交点即可得.试题解析：（1）由题意可大致画出图象，据此估计估算当A P=4 时，P N

23、 1.6,故答案为1.6；2 7.在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y=x 2*4 x+3 与 x 轴交于点A、B （点 A在点B的左侧），与 y 轴交于点 C.（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y 轴的直线1 与抛物线交于点P（西,y）,。（马，必），与直线BC交于点N（f,%），若X|X2X3,结合函数的图象，求X1+X2+X3的取值范围.【答案】（1）y=-x+3;7X1+X2+X38.【解析】【详解】试题分析：（1）先求A、B、C的坐标，用待定系数法即可求解;达式为y=k x+b,.1由于垂直于y 轴的直线1 与抛物线y =f 一 叔+3要保证司&，则 P、Q两点必位于x 轴下

24、方,作出二次函数与一次函数图象，找出两条临界直线，为 x 轴和过顶点的直线，继而求解.试题解析：（1）由抛物线y =f-4x+3 与 X 轴交于点A,B（点 A在点B的左侧），令 y=0,解得x=l 或x=3,二点A,B的坐标分别为（1,0）,（3,0）,.抛物线y =9-4%+3与 y 轴交于点C,令 x=0,解得y=3,.点C的坐标为（0,3）.设直线B C 的表k=lb=3，直线B C 的表达式为：y=-x+3.（2）.由 y =Y -4 x +3 =（x-2）2 -1,工抛物线的顶点坐标为（2,-1）,对称轴为直线x=2,V =y2，,X +4=4.令 y=T，y=-x+3,x=4.x

25、2 x3,/.3X34,即 7 玉+工2+无 3 ：8,3k+bO,c，解得b=3X+X3 的取值范围为：7 +/8.【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性等，结合图形正确地求解是关键.2 8.在等腰直角 A B C 中，ZACB=90,P 是线段BC上一动点（与点8、C不重合），连接AP,延长B C至点Q,使得C Q=C P,过点。作 QH LAP 于点H,交 A B于点（1）若N B 4 C=a,求乙4MQ的 大 小（用含a的式子表示）.（2）用等式表示线段M8与 P。之间的数量关系，并证明.A【答案】(1)/AMQ=45o+a；(2)线段MB

26、与PQ之间的数量关系：P Q/MB,理由见解析.【解析】【分析】由直角三角形性质，两锐角互余，可得/AMQ=180。,解得/4用0=45。+(1；(2)由题意得AP=AQ=QW,再证R。APC丝小 QME,.全等三角形对应边相等得出PC=ME,得出 MEB为等腰直角三角形，贝1 。=及BM.【详解】(1)N4W(2=45+a.理由如下:V ZPAC=a,ACB是等腰直角三角形，.NELB=45-a,ZAHM=90,：.ZAMQ=1SO-ZAHM-ZPAM=45+a；(2)线段MB与PQ之间的数量关系：PQ=V2 MB.理由如下：连接A Q,过点M作 AC_LQP,CQ=CP,：.ZQAC=ZP

27、AC=af：.NQAM=a+45o=NAMQ,：.AP=AQ=QMf在 Rm APC 和 Rm QME 中，AMQE=PAC ZACP=NQEMAP=QM；RS APCRtA QME,：.PC=ME,，AM EB是等腰直角三角形,/.-PQ=MB,2 2：.PQ=42MB.2 9.在平面直角坐标系无0 y中的点P和图形M,给出如下的定义：若在图形M存在一点Q,使得P、Q两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.（1）当。0的半径为2时，在点6（2,O），8 中，。的关联点是-点P在直线y=-x上，若P为。0的关联点，求点P的横坐标的取值范围.（2）。（2的圆心在*轴上，半径为2,直线y

28、=-x+l与x轴、y轴交于点A、B.若线段A B上的所有点都是。C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.【答案】（1）P2、P3,一 逑 Wx W一 变 或 也 x ；（2）-2 x l 2 x 2 V2 .2 2 2 2【解析】【详解】试题分析：（1）由题意得，P只需在以0为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由。鸟,。4的值可知鸟,乙为。0的关联点；满足条件的P只需在以0为圆心，半径为1和3两圆之间即可，所以P横坐 标 范 围 是 一 逑 x 或 旦 x；2 2 2 2（2）.分四种情况讨论即可，当圆过点A,C A=3时；当圆与小圆相切时；当圆过点A,A C=1时；当圆过点B时，即可得出

29、.试题解析：(1)0耳=3,0 吕=l,O A=g,点 与。最小距离为；，点尸2与。的最小距离为1，点 G与。的最小距离为，二。的关联点为名和巴.根据定义分析，可得当直线y=-x 上的点P 到原点的距离在1 到 3 之间时符合题意；设点P 坐标为P(x ,-x),当 O P=1时，由距离公式可得，0P=J(x _ 0)2+(*0)2 =1,解得x =三，当 0P=3 时,可得，0P=J(x-0)2+(%O f =3，/+f=9 ,解得x =逑，.点的横坐标的取值范围为一逑 x -2 E 或 也 x!l2 2 2 2由距离公式(2)y=-x+l 与轴、轴的交点分别为A、B两点，令 y=0得，-x

30、+l=0,解得x=l,令得x=0得,y=0,；.A(1,0),8(0,1),分析得：如 图 1,当圆过点A 时，此时C A=3,.点C坐标为，C(-2,0)图1如图2,当圆与小圆相切时，切点为D,；.C D=1,y”图2又.直线A B所在的函数解析式为y=-x+1,直线A B与 x 轴形成的夹角是45。，二 R T A A C D 中，CA=V2，二C点坐标为(1-、巧，0)C点的横坐标的取值范围为；-2W X,如图3,当圆过点A 时，AC=1,C点坐标为(2,0)y：c；;图3如图4,当圆过点B时,连 接 B C ,此 时 B C=3,在 RSOCB中，由勾股定理得O C=J学7=2血，C点坐标为（2 夜，0）.y 八：。X 卢、了；：困4C点的横坐标的取值范围为三毛W 2 c ；综上所述点C的横坐标的取值范围为一述 或 叵 xc!l.2 2 2 2【点睛】本题考查了新定义题，涉及到的知识点有切线，同心圆，一次函数等，能正确地理解新定义，正确地进行分类讨论是解题的关键.