湖北某中学高考数学二轮复习考点解析平面向量及其运用考点透析.pdf

《湖北某中学高考数学二轮复习考点解析平面向量及其运用考点透析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖北某中学高考数学二轮复习考点解析平面向量及其运用考点透析.pdf（12页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、湖北黄岗中学高考数学二轮复习考点解析1 1:平面向量及其运用考点透析【考点聚焦】考点1:向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.考点2：向量的坐标运算、平面向量的数量积.考点3：向量的模与角的计算。.【考点小测】1 .(浙江卷)设向量,瓦工满足+=6,LB,五|=1,|面=2,则？=(A)l (B)2 (C)4(D)52 .(2 0 0 3 年天津高考题)。是平面上一定点，力、B、C 是平面上不共线的三个点，动点尸满足而 方 ,(竺 竺),2e0,+8),则P的轨迹一定通过力园的()I 初 AC(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心3 .(广东卷)如图1 所示，。是A 4 5 C 的边

2、4 8 上的中点，则 向 量 =A.-B C +-B A B.-B C-B A C.B C-B A D.B C +-B A 图 12 2 2 24.(湖南卷)已知|=2 ,产3万一区则x与y的夹角的余弦是多少？思路分析：要计算x与y的夹角0,需求出|x|,|川,的 值.计 算 时 要 注 意 计 算的准确性.解：由已知|a|=|b|=l,a 与 b的 夹 角a为6 0，得a b=a b c o s a=；.要计算x与，的夹角&需求出|x|,|y|,的值./|x|2=A2=(2 a Z?)2=4 a2 4 a -Zn-b3=4 -4 x y+1=3,l y l2=J2=(3 b a)2=9 Zj

3、|2 6 b a+a=9 6 x；+l=7.x-y=(2a-bj (3 b a)=6 a b 2 a2 3 Z/+a -bi 3=7a,b2 s2-3/x2 =7 x-2 3=-,2 2o M i又.二X 尸|x|川 c o s。，即一二=百 X V 7 C O S。，COS0=-2 1 4点评：本题利用模的性质|a|2=4,在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：如图所示，设 而=，A C-a,而=2 a,/A 4 O 6 0 .由向量减法的几何意义，得 而=而 一 族=2 a-b.由余弦定理易得|瓦5|=百，即|x|=百，同理可得I川=7 7.【考型2】向量共线与垂直条

4、件的考查例3.平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足0 C =a 0 A +P0 B ,其中a,e口且0 1 +0=1,求点C的轨迹方程。.解：(法一)设 Qx,方，则历法由历=(X,B=a(3,l)+a-l,3)=(3 a-,0+3 C./=3 -，(可从中解出a、尸)又.Q+/?=1消去Q、6得x+2产5=0y =a +3 尸(法二)利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：A,B,C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线A B的方程x+2y5=0,例4.已知平面向量a=(、6,I),b=(J L,且J.(l)若存在实数和f,便得x=a

5、+(p3)b,y=一2 2&a+/b,且x_Ly,试求函数的关系式k=f(t)；(2)根据(1)的结论，确定k=f(t)的单调区间.思路分析：欲求函数关系式k=f(t),只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？求函数单调区间有哪些方法？(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法？.一 Z2-2A/3-3 V 3 Z2-2 7 3-2解：(1)法一：由题意知x=(-,-),2 2Ij=(t-V3 k,-t+k),又 x_Ly2 2乂 产一 2 6一3 1 区 V 3/2-2 7 3-2 V 3故x 尸-x(t A/3 k)H-x(-t+k)=O.2 2 2 21 3

6、整理得：t，3t4k=0,即 k=t3 t.4 4法二：V a=(V 3 ,-1),b=(-,-6-),2 2=2,=1 且 ab 3*/xj .*.x-j=0,即一k W+t(t 2 3)网 2=0,.，3 3 t4 k=0,即 k=1 t3 111 3 3 3(2)由(1)知：k=f(t)=-t3-1 A k =f (t)=-t3-,4 4 4 4令 k V O 得一令 k 0 得 t L故k=f(t)的单调递减区间是(一1,1 ),单调递增区间是(一8,1 )和(1,+8).点评：第(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向

7、量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的(但运算过程大大简化，值得注意).第(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.例5；已知平面向量方=(百，-I),b=(-,-),若存在不为零的实数k和角a ,使向量忑=之2 2+(s in a -3)b,2 =k。+(s in a ,且 E _ L 2 ,试求实数 k 的取值范围.1 3 9解：由条件可得：k=(s in。产一一，而一1 Ws in a I-解：x _ L y o x y=0艮 屏 +(厂+1)/?k a+人)=0V 6/=(1,2),=

8、(/2,1),|z|=V3,b|=V3a-b=-V 2 +V 2 ,代入上式-3k+3 =/+-2t t当且仅当t=L即t=l时，取“=”号，即k的最小值是2.t【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.例 7.设函数 f(x)=a b,其中向量 a=(2cosx,1),b=(cosx,g sin2x),xR.(1)若 f(x)=1 J 3 且I 7C ,求 X；(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|彳)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n 的值.思路分析：木题主要考查平面

9、向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，解：(1)依题设，f(x)=(2cosx,1)(cosx,V3 sin2x)=2cos2x+A/3 sin2.r=1 +2sin(2x+)6式R 7$由 l+2sin(2x+)=1 v3,得 sin(2x+)=-6 6 2兀,一 兀 乃一、兀,54,71 7t 71,/W2x+,*2x4=,即 x=3 3 2 6 6 6 3 4(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(xm)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由(1)得 f(x)=2sin 2(尤 +1.制 V 5 ,/.m=f n=l.点评

10、：把函数的图像按向量平移，可以看成是c上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是C ,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.一般地，函数y=f(x)的图象按向量a=(h,k)平移后的函数解析式为yk=f(x-h)例 8:已知 a=(cosa,sina),b=(cos/3,sjn/3)(0a/3,(1)求证：a+b与 a-b互相垂直；(2)若Aa+5与a-奶的模大小相等(KK且4看0),求万一。解：(1)证法一：(cos a,sina),b=(cos尸,s/力 尸).a+b=(cosa+cos/B,sina+sin0),a-b=(cosa-cos

11、/3,sina-sin/B).(a+b)(a-b)=(cosa+cos/3,sina+sin/3)(cosa-cos/3,sina-sin/3)=cos2 a-cos2 3+sin2 a-siif(3=0(a+b)(a-b)证法二：a=(cosa,sina),b=(cos/3,sin/3)/.|a|=1,|d|=1二.(a+万)(&)=8-t-a2-d|2=0/.(a+b)(a-b)证法三：.*=(cosa,sina),b=(cos/3,sin/3)/.|a|=1,|b|=1,t己苏=a,OB=b,贝“苏|=|砺|=1,又a丰 伉：.O、4 3三点不共线.由向量加、减法的几何意义，可知以OA.

12、0 6 为 邻 边 的 平 行 四 边 形 是 菱 形,其 中 无=a+b,BA=a-b,由菱形对角线互相垂直，知(a+b)l(a-b)(2)解：由已知得|知+勿与|a-幼|,又|ka+b2=(kcosa+cos(32+ksina+sin(32=l+.+2kcosl3 a),|ka+b2=(cosa-kcos(32+sina-ksinl32=l+1-2kcos(13 a),/.2kcos(3 7)=-2kcos(3 a)又；女看。cos(/3 a)=0：Gapjr：.G/3 a则 X i +x2=12k23k2+11 2(A:2-1)X 1 X2=-1-3k2+V OP=ON+OM,：.四边形

13、OMPN是平行四边形.若四边形OMPN是矩形，则,“小 切 圻。.雪 山+入3 父+11 2(&2-1)24k23k2+1 3 公+1+4)=0得 1 g=2 出一(冗 1+即)+1 =3 O A -O B X；+y：收+货=如，c os，同=而丽 /网 网3 a41例 1 2.已知点G是aA B C的重心,A(0,-l),B(0,1),在X 轴上有一点M,满足|MA|=|版GM =X A B(A.W R).求点C的轨迹方程;若斜率为左的直线/与点C的轨迹交于不同两点P,Q,且满足|AP|=|藐|,试求上的取值范围.I分析本题依托向量给出等量关系，既考查向量的模、共线等基础知识，又考查动点的轨

14、迹，直线与椭圆的位置关系.通过向量和解析几何间的联系，陈题新组，考查基础知识和基本方法.按照求轨迹方程的方法步骤，把向量问题坐标化，几何问题代数化.解:设 C(x,y),则=(入 WR),.GM/AB,3 3又M 是x 轴上一点，则 M（上,0）.X|M A|=|MC|,3(|)2+(0 +1)2=(|-x)2+y2,整理得三+y2 =l(x HO),即为曲线 C 的方程.当上0 时:/和椭圆C 有不同两交点P,Q,根据椭圆对称性有|屈|=|丽当kWO时，可设/的方程为产kx+m,联立方程组4y=kx+mx2 消去 y,整理行(1+322濡+6攵 mx+3(m21)=0(*)+黄=13,直线1

15、和椭圆c 交于不同两点,/.A=(6Z:m)24(1+3Z:2)X(m2-1)0,即 1+3A2-m20.设 P（X|,yD，Q（X2,J2）,则孙工2是方程（*）的两相异实根，Xl+%2=一6 k m1 +3 1?则 PQ的中点N（xo,yo）的坐标是x.+x2的=-23 km-7，yo=kxo+m=-l +3 k2 l +3 k2即N(3 kml +3 k2 l +3 k2)(mm又 1 Ali 1=1 丽 I，也,m ,-7+1 _ i_ QL2:k W k =1,3 km-1+3 1?l +3 k22.m=将 X 号1 +3代10(k WO),即 F1,1,0)U(0,1).综合得，2

16、的取值范围是（一1,1）.对题目的要求：有较大的难度，有特别的解题思路、演变角度，要有一定的梯度.【课后训练】1.-*-*/-*-*、-*-*已 知 向 量 a =(1,2),。=(-2,-4),|c|=J 5,若(4+。)0 =,贝!)4与此夹角为()2A2.2,30B 60已知点Mi(6,2)则的值为C 120 D 150和 M 2（l,7）,直线产HU7 与线段M1M2的交点分有向线段M1M2的比为3：（）A32B231C-4D 43.已知a,b 是非零向量且满足（a2b）a,（b2a）b,则 a 与 b 的夹角是（）T CA 67 1B 32nC 35兀D 64.已知向量。百=(2,0

17、),向量次二(2,2)向量C A=(J E c o s a,、历sin a ),则 向 量 与 向 量。口的夹角的范围为()Arn,L o,-B4兀 5兀L 一,4 12r5兀 兀r r兀 57r rc ,一 D ,12 212 125.设坐标原点为0,抛物线V=2x与过焦点的直线交于A,B两点，则G A-0 B=()3434BC 3AD-36.0是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足。户=0 尺+N()，XG 0,+OO),则点P的轨迹一定通过A A B C的()A外心 B内心 C重心 D垂心7.点P在平面上作匀速直线运动，速度向量丫 =(4,-3)(即点P的运动方向与

18、U相同，且每秒移动的距离为M个单位).设开始时点尸的坐标为(-1 0,1 0),则5秒后点尸的坐标为()A(-2,4)B(-30,25)C(10,-5)D(5,-10)8.己知向量e=,对任意f G R,恒 有|一 届 闫)一 I，则()A a e B a (a e)C e (a e)D(a+e)(a e)9.P 是AABC 所在平面上一点，若 PA P B =P B P C =P C PA,则 P 是aABC 的(D)A外心 B内心 C重心 D垂心10.ZXABC 中，a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则 NC 度数是:A 60 B 45 或 135 C 120 D 3011.己知向量

19、a=(co sO,sin 0),向量b=(、Q,-l),则|2a-b|的最大值是12.把函数产源一4 x+5的图像按向量a 平移，得到产2/的图像，且a_Lb,c=(l,-l),b-c=4,则b=13.已 知 平 面 上 三 点、B、。满 足|诟|=3,|而|=4,|笈|=5,贝IA B B C +B C C A +C A A B 的值等于14.在A A B C 中，O为中线A M上一个动点，若A M=2,则O A(O B+O 0 的 最 小 值 是.15.已知向量 a=(sin。，1),6=(1,cos。)，(I)若a_Lb,求(H)求I a+b I的最大值.16.06年江西卷)如图，已知A

20、ABC是边长为1的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过AABC的中心G,设,r,?M GA =?（Jt（z 2.71）3 3（1）试将A A GM、A A GN 的面积（分别记为，与&）表示为?的函数-s,2 s221 7 .已知定点F（l,0）,动点P在 y轴上运动，过点P作 PM交 x轴于点M,并延长MP至点N,且丽 而=0,丽=丽.（1）求动点N的轨迹方程；（2）直线/与动点N的轨迹交于A、B两点，若 苏 丽=-4 且W|A W4 病，求直线/的斜率的取值范围.1 8 .己知两点M（-l,0）,N（1 ,0）,且点P使P M -P N ,NM-NP成公差小于零的等差数列

21、.（I ）点 P的轨迹是什么曲线？（I I ）若点P坐标为（x o、y0），记 为 丽 与 PN的夹角，求 t a n。.答案与提示：_51.C 提示：设0 =（x,y）,则他+人）=（一1,一 2）（%,丁）=一%一2 丁 =5，又c=y/5,所以=x +万c o s。，得c o s a =-Q,。=1 2 0,3 36+-x l 2+-x72.D 提示：设交点M（x,y）,x =-%=3,y =-=5,代入直线方程可得.1+-1+-2 23.B 提示：a22 b?a=0 b22 a?b=0,相减得I a I =I b I ,代入其中一式即可.4.D 提示：点C的轨迹是以（2,2）为圆心，J

22、5为半径的圆.5.B 提示：设 A ,B （处 2），OA,O B =X i X 2+y i ,2=（，）+为，将直线方程 y=k（x一0.5）代入抛物线方程消去x可得），皿.6.B提示：:-表示48方向上的单位向量，表示AC方向上的单位向量，+在AB AC 1 A C|A C|N BAC的平分线上，故 P点的轨迹过三角形的内心.7.C 提示：设 5 秒后点P运动到点A,则 西=司+西=5歹=（2 0,-15）,0 4 =(2 0,-15)4-QBCCA=-CB CA=-5 x 3 x-=-9,5OA+OM-2-，当|步卜|万可取等号.即OA(OB+OC)的最小值为：215.解：(I)若。_1

23、 _ 则 sin9+cos9=0,由此得 tand=-1(一，。x+2y=0.GM GA _ v3由正弦定理-=-,得GM=-sin sin(万一。一工)6sin(a+)6 6 61 sin a则 Si=-GM?GA?sin?=-12sin(a+)6同理可求得Sz=-把 9-12sin(a)6 尸#?+siY(噬)TC Z7T 71 LTC=7 2 (3+co t2?)因为一 Wa 4，所以当？=一或?=时,y取得最大值y n m=2 4 0T C当？=万 时，y 取得最小值加亩=2 1617 .略 解(1)2=4 x (x 0)(2)先证明/与x 轴不垂直，再设/的方程为y=k x+b(k

24、W O),A 3,y i),B(X 2,旷 2).联立直线与抛物线方程，得ky 4 y+4 b =0,由。4 0 6 =-4 ,得 玉/+必 为=4/?又 y=4$,%=4 ，故%内 二一 8 而 丫 1,2 =:b=-2k解得直线/的斜率的取值范围是 1,2 218 .略 解(I )设点P (x,y),分 别 计 算 出 而 加，PM PN,NM NP,由题意，可得点P的轨迹方程是 x2+y2=3(x 0)故点P的轨迹是以原点为圆心、片 为半径的右半圆.?9 前 丽 1(I I)由(I )知，XQ 4-=3 (x0 0),可得 co s。=M.网也-x：又 x o G (0,V 3)C O S 0 =/e (,1,即 e e 0,),际234 -x：4 一cos。