高考理科数学模拟试题2.pdf

《高考理科数学模拟试题2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理科数学模拟试题2.pdf（32页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高考理科数学模拟试题2一、选择题1-V 3 i(VWA+包4 4C+乌D-.乌4 4 2 2 2 2 分析 本题主要考查复数的四则运算，以及简单的数值计算技能.解答本题必须正确用好复数的四则运算法则，既可用复数的代数形式进行演算，也可用三角形式进行演算.解法1原式二烝小一厮解法2=-(-2-2V 3z)=-8 4 4原式=-甘 ,=_；(1+V3i)-(1-V 3i)2 41 V3.=-1.解法3原式=4 4-i(V 3+i)(V3+i)2V3+i1 5-1.4 4=一 沁。答案B4.2.已知x w|一与0 k o s x=g,则 tan2x=D-T 分析 本题主要考查三角函数的基础知识和基本

2、三角函数公式的简单应用，以及基本的计算技能.作为常规解法，可先由已知条件求s i n x,推 得t a n x的值，再应用倍角正切公式求得答案，如解法1：作为灵活解法，可用估值快速求解，如解法2.解法1因为x e兀,olcosx=1,所以sinx=-A/1-cos2 x,则3tanx=,4由此得c 2 tan xtna2x=-；1 -tan x24T(注：也可用下式得解:八 sin2x 2 sin x cos xtan2x=-cos2x cos-x-sin-x24T而不需求t a n x.)解法2 因为一g x 0,坐 。坐，2 2 5 2则由 c o s x =得一vx 一1,5 4 6从而

3、2 x 6(一夕一高则 t a n 2 x -石,故排除A、8 和C,得。为答案.答案 D2-x-1.x 0.A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(8,2)U (0,+8)D.(8,1 )U (1,+8)分析 本题主要考查分段函数的概念、指数函数与塞函数的性质、不等式组的求解等基础知识，以及简单的推理计算能力.根据函数f(x)的分段表达式，画个草图可快速判断，如解法4；也可将不等式f(X o)l化为等价的不等式组求解，如解法1；也可用特殊值排除法求解，如解法2:还可以利用单调性，结合解方程求解，如解法3.解法1 f(x0)1 等价于下列不等式组至少有一个成立：1-OXOI-20OXX解不等式

4、组得X。L 综合得X 0的取值范围为(8,1)U (1,+8).解法2 由1()=2。1 二 1,排除人和氏 由 f(0.04)=0.2 l,排除C,得答案D.解 法 3 考虑方程f(X)=l,由1 2-x -1 =1,x 0,解得x=l.因 为 f(x)在(-8,0 上是减函数，在(0,+8)上是增函数，所以得f(X o)l的取值范围为(一8,1)U (1,+8).答案 D4 .0 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足(-T、t t A R A COP=OA+X:一+；A c 0,4-oo),J ABI lAC则 P 的轨迹一定通过A A B C 的A.外心 B.

5、内心 C.重心 D.垂心 分 析 本题主要考查平面向量的线性运算等基本知识和计算技能.解法1为书写方便与直观起见，宜作图表示（如卜图）.图中，有回=Ai，=A IABI IACI AB+AC|=AP1,则动点P满足OP=OA+X A ,Xe0,+oo）所 以，点P的 轨 迹 是 由 点4出 发 的 射 线4耳.-.-因为 IAB1 l=l=IAC l,AB 幺CP,所 以AR平 分NBAC,因此，点P的轨迹定通过aABC的内心.得答案为B.解法2当入0时，(4 -AR AC因为AP=O P-O A =+工0,J ABI I AC -Ap.AR所以c o sAP,AB=匕 分;I API-1 A

6、BI(X.AC-AB,+-，IAPI(l ACI-IABl J+-r 一 AP-ACc o s4P,AC=:二IAPIIACIf AA W.=-+1 .I API/l BI IACI)得 cos 解法3考虑特殊情形，取AABC为等腰直角三角形，即：ABJ.BCABI=IBCI,如图这时，ABC的外心为A C 的中点D,垂心为点B.而由题设知点P 的轨迹是由点A 出发，方向为AB AC-7 -IABI IACI的射线/,不经过点D,也不经过点B,故排除A、1)两个选项.其次，由于I A C H A B I,所以射线/不平分B C,即不通过A A B C 的重心，排除选项C.从而得选项B 为答案.

7、Y +5.函数y =In-,x e (1,+8)的反函数为x-1ex-1A.y -,x e (0,+c o)ex+1e +1 B.y =,x e (0,+c o)e -1ex-1ex+1C.y =-,x e (-o o,0)D.y =-,x e (-8,0)ex+1ex-1 分析 木题主要考查对数函数、指数函数的性质和求反函数的方法，以及基本的计算技能.根据反函数的概念，求给定函数的反函数，可用解方程的方法，如解法1；作为选择题，还可用特殊值排除法求解，如解法2.解法1 解方程不等式组X 1,因为 ey+1 (),所以 0 0,因此，所求的反函数为ex+1J=-,x e(0,+o o).e-1

8、解 法 2 因为点(2,l n 3)在原函数的图像上，所以点(l n 3,2)应在反函数的图像上.因此，由噌心In 3 0,可排除选项C、D：由e +1可排除A,应取B 作答.答案 B6.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为3a3B.44 分析 本题主要考查棱柱、棱锥等多面体的基本知识和体积计算，以及基本的空间想象能力.题设的八面体(记为ABCDEF)如图所示.图中将原正方体略去，以使图线清晰.该八面体的三条轴线AC、BD、EF两两互相垂直,且AC=BD=EF=a,A把这个八面体看作共底(BFDE)的两个四棱锥的组合体，应用棱锥体积计算公式，得所求的八面体的体积

9、为V-lA C-f-B D E F .3 (2 )6对于空间想像力比较好的考生，不作图便可由心算得出答案.心算的方法比较多，例如，与上法共通地把八面体看作共底的两个四棱锥，底面积是正方体的一个面的面积之半，锥高是正方体棱长之半，即可得体积为6 乂如，由对称性，将正方体切成相等的八个小正方体，这时题没的八面体也被切成八个相等的三棱锥，每个三棱锥的体积等于小正方体的体积的所以八面体的体积是正方体体积的即a 3 6 答案C7设a O,f(x)=a x?+b x +c,曲线y =f(x)在 点P(x 0,f(x。)处切线的倾斜角的取值范围为0工 4 则点P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为A.0

10、,-B.0,a j|_ 2 aC.0,b2 a 分析 本题主要考查导数的儿何意义，多项式函数求导数的方法，点到直线的距离，二次函数的性质等基本知识，以及推理和计算技能.解答本题，宜先求出X。的取值范围，进而根据曲线y=f(x)对称轴的方程，便可求得点P到对称轴距离的取值范围，如解法L此外，也可用特殊值排除法求解.解法1依题设知点P的横坐标X。必须且只须满足冗0/z(x0)ta n =1.因为 f (x)=2 a x +b,所以 0 2 a x0+b 0,所以 d=I 2 a xo+b l 0.即得d的取值范围为1 0,乙 答案为B.解 法2取 特 殊 值a=l,b=-2,c=0.可知曲线y=f

11、(x)(即丫:*?-2 x)的时称轴为直线1：x=l.曲线在点P处切线的斜率为k =2 x0-2,7Tta n 0 =0,tna =1由4 及ta nx的单调性，依题设知k的取值范围为 0,1 ,所以0 2 x0-2 0,l-n 0,且I J1 m=_ 或 1 J1-n=一4 4若1-V I=/=L则机=工,且等差数列为4 16245i-y/l-n,l+V T n,741 -J1 n=4 3所以4-4得m=，从而lo16 16_2若1-二，则 类 似 的 推 导 可 得m*从 而 同 样 可 得 肉-n吟 答案 C9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(J 7，),直 线 y=x-l 与其相交

12、于M、N两点,M N 中点的_ 2横坐标为则此 双 曲 线 的 方 程 是2 23 42 2B-J,4 32 2CO j5 22 2D.-J2 5 分析 本题主要考查双曲线的基本知识，以及推理和计算技能.本题要求确定双曲线的方程，而双曲线的已知条件比较复杂，涉及到与已知直线相交的背景.在这种情况下，宜用待定系数法求解.因为双曲线的中心在原点，点F(J7，)又是双曲线的一个焦点.故双曲线的方程可写为x277-a21,a 0为待定系数，可用不同方法求得.解法1 将 y=x l 代人方程，整理得(7-2 a2)x2+2 a2x-a2(8-a2)=0,由直线y=x-l 与双曲线相交于M、N两点，故此二

13、次方程有不等的两个实根x”X 2,分别为点M、N的横坐标.从而M N 中点的横坐标为2_ X 1+X 2 aX 0 T2 7-2 a22由题设X。所以a2 _ 27-2 a2 3,解得a?=2.代入方程，得所求双曲线方程为亡 一 亡 72 5解法2 依题设，可记J 2 5 、I 3 3 )其中t 为某个常数，且 tw o.由M、N 在双曲线匕得2 _ 5a2-7-a2，解得a?=2.代入式,得所求双曲线方程为2 2-x-y-=i1.2 5上述解法计算量偏大，为了快速解答，可采用定性与定量相结合的方法求解.解法3 由双曲线与直线y=x-l 有两个交点M和 N,且焦点在x 轴上，可知双曲线渐近线的

14、斜率绝_ 2对值应大于1,由此排除B、C：其次，由M N 的中点的横坐标为 3,可估计双曲线的张口应比较大，D的可能性比较大.为此，作定量检验，将直线方程代人A 所示的双曲线得x2+6x-=0,2可知MN中点的横坐标应为-3#-彳,排除A,得答案D.答案 D1 0.已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和 D(0,1).一质点从A B 的中点R)沿与A B夹 角 为 9的方向射到B C 上的点L后，依次反射到C D、D A 和 A B 上的点02、P3 H P4(入射角等于反射角).设 4 的坐标为3 4,0)若1*4 2,则 f a n。的取值范围是 分析 本题以运动质

15、点碰壁反射问题为背景，主要考查直线、轴对称和函数等基础知识及其应用，以及分析解决问题的能力.依题意可知点P 4 的横坐标X 4 是 ta n e的函数，试题要求由X 4 的取值范围确定ta n 9的取值范围，也即由函数的值域求定义域.为此，宜从建立函数关系式入手，如解法2.不过，作为选择题，本题可以用特殊值排除法快速求解，如解法1.tan。解 法 1取特殊的0 角，当 5 时，根据反射原理，得点P”P2，P3和 P4依次是BC,CD,DAx4=1,13此彳和 A B 的中点，即有 2 不属于所求的tan 9 的取值范围.从而，可排除选项A、B 和 D,应取 C 作答.解法2依题设可作图如下.记

16、各点的坐标如下：Po(l,O),P|(2,tanO),P2(X2,1),P3(O,y3),P4(x4,0).根据反射原理得：1-tan 0 _-=-tan0 x 2 2y 3 T _ o-y30-x2 x4-O 所 以X 2=3-高,y 3=1 -x 2 tan 0=2-3 tan 0,X4tan0 tna0-3.从而1 x4 2等价于1 -3 2,tna即得tan 0的取值范围为：2 ta n 0 9或+或+第+第nC+C+C+-CjA.3ciB4D.6 分析 本题主要考查组合数的性质、数列极限的计算等基木知识，以及基本的计算技能.本题要求考生计算两个和式之比的极限.由于和式的项数随n 的增

17、加而无限增加，因而不能简单应用极限四则运算法则求极限，必须将和式化简成有限的形式.原式中，分子、分母的和式是组合数求和，应充分借助组合数性质，将其化简.例如，应用公式m+cm+1 _ cm+1可顺利化简原式.此外，也可采用数列求和的方法求解.解法1因 为c；+c；+c：+.y=C：+C：+c；=C：+C；=以又 G+c；+c：+-C=-1 +c；+c；+c；+c：+c：=T+c；+c；+c.+c：i+c：+c：=1+C3所以原式=l i mn(C-1).(+1)(-1)l i m-1 8 3(-+-2)1-3-解法2因为C：+C；+C；+C；=-2 -1 +3 2 +4 -3 +n(n -1)

18、=+2*+3。+R2)(1+2 +3 +-+n)=1 1 n(n +l)(2 n +1)-1 n(n +1)2 6 2=-n(n +l)(n -1),0又+c|+c i +-+c i=2+3 +4+-+n(n -l)(n +2)2 ，所以 原式=l i m (+D(T)=工n T 8 3 (-1)(+2)3 答 案 B12.一个四面体的所有棱长都为J 5,四个顶点在同球面上，则此球的表面积为A.3n B.4n C.3 j 7 T D.6n 分析 本题主要考查正多面体和球的基本知识，以及空间想象能力和几何计算能力.本题给出棱长为亚的正四面体，要求推断外接球的表面积.为此，必须先求该球的半径，宜作

19、图进行推算或估算.为了图像清晰，可只作正四面体进行讨论，不画出球的图线.如附图，四面体ABCD各棱长都为正.解 法1如图，点0为球心，OA、OB、OC、0D都是球的半径，因为ABCD是正四面体，所以这四条半径的两两夹角彼此相等，设其大小为0.F由空间中的一点0,引四条射线，两两的夹角都等于6 ,则有冗八 2 0 7 C.2 3因为球半径r=OA=,AB=旦2 sin 2.7t 0.兀sin sin sin,4 2 3日 口 后 .0 6t!|J sin ,2 2 2所以得 J|r l,因此，球的表面积S=4 一满足8 口 .q 兀 S .综合得本题的答案为.D解法2 如果记正方体对角线/所在的

20、对角截面为a.各图可讨论如下：在图中，M N,N P 在 平 面 a 上的射影为同一直线，且与/垂直，故/，面 M N P.事实上，还可这样考虑：/在上底面的射影是M P 的垂线，故/，M P；/在左侧面的射影是M N 的垂线，故/，M N,从而/1 面M N P.在图中，由卜口上面a,可证明M N 在平面a上的射影不是/的垂线，故/不垂直于M N.从而,不垂直于面M N P.在图中，点M 在 a上的射影是/的中点.点P在。上的射影是上底面的内点，知M P 在 a上的射影不是/的垂线，得/不垂直于面M N P.在图中，平 面 a 垂直平分线段M N,故又/在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角

21、线)与 M P 垂直，从而,_ L M P,故/_ 1_ 面 施.在图中，点 N在平面a上的射影是对角线/的中点，点 M、P在平面a上的射影分别是上、卜 底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且 与这一直线垂直.从而/，面 M N P.至此，得为本题答案.解法3 如图建立空间直角坐标系O-x y z,设正方体的棱长为2,则对角线/的方向向量可取为7=(2,2-2).对图，有MP=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0),MN=(0,0-1)-(1,0,0)=(-1,0-1),-由1 MP=0,/MN=0得/1 而MNP.对图，有MN=(2,2-1)-(1,0-2)=(1,2,1)

22、,由1痴。0知/与面MNP不垂直.对图，有MP=(0,1,0)-(2,0-D =(-2,1,1),-由/MP w 0知/与面MNP不垂直.对图，有MP=(1,0-2)-(2,0-1)=(-1,0-1),MN=(0,2-1)-(2,0-1)=(-2,2,0),由=0,7.加=0得/1 面MNP.对图，有MP=(2,1,0,)-(1,0-2)=(1,1,2),MN=(0,2-1)-(1,0-2)=(-1,2,1),-由/MP=0,/.M N =0 得/J.面 MNP.综合得本题答案为.从解法3 可以看到；应用向量法讨论两直线是否垂直卜分方便，操作也比较简单，无须多动脑筋,只需要计算正确即可.答案

23、三、解答题17.已知函数 f(x)=2sinx(sinx+cosx).(I)求函数f(x)的最小正周期和最大值：71 71(11)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x在区间L 2 2 上的图象.V-5-223-2 命题意图 本小题主要考查三角函数的性质和恒等变形的基础知识，同时考查动手画图的技能.作为三角函数的日答题，力求较全面地覆盖三角函数的基础知识，因此，试题的设计给出个三角函数的解析式，通过运用和角与倍角的三角函数公式，变形为单个三角函数的表达式，从而求出它的周期和最值.恒等变形过程强调通性通法，以适应文科考生的实际.在这个基础上要求作出这个函数的图像，强化了作图技能的考查，倡导考生

24、重视实践，学会动手操作.解题思路 首先把给出的函数解析式变形为单个三角函数的表达式，再按问题的要求答题.解法 1 f(x)=2sin2x+2sinxcosx=l-cos2x+sin2x=14-V2 sin 2x cos-cos 2x sin I 4 4所以函数f(x)的最小正周期为兀，最大值为l+啦.解法 2/(%)=2 sin x(sin x+cos x)=2sinx-V2cos x-I 4)-V2 sin(2 x-5)+sin?=1 +V2sin2x-j.所以函数f（x）的最小正周期为兀，最大值为1 +V2.（n）解 由（I）知3兀71兀3冗5兀88888Y11-V211 +V2118.如

25、 图，在直三棱柱ABC A|B|C|中，底面是等腰直角三角形，NACB=90.侧棱A A|=2,D、E分别是CC与A B 的中点，点E在平面ABD上的射影是4ABD的重心G.4GB,（I）求A 与平面A B D 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；3）求点4 到平面4瓦）的距离.命题意图J 本小题主要考查线面关系和直三棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.新课程的立体几何教材分为（A）、（B）两个版木，即传统的逻辑推理体系和向量运算方法.为了,适应不同地区的选用情况，前几年高考的立体几何试题是命制出（甲）、（乙）两道平行题目由考生选作.今年试验改变这种做法，原课程与新课程统命

26、制道通用的试题，基本要求是用传统方法或向量方法，解题难度相当.于是，试题的知识载体定位于直棱柱.理科用直三棱柱，文科用正四棱柱.理科试题中的图形实际上是半个正方体，它的原型是正方体的一个性质：“若 点 M是正方体A|B C|D|-ABCD的棱D Q的中点，则正方体的中心。在截面AMC上的射影恰好是a A M C 的重心”.试题基本上是采用其逆命题，且只给出半个正方体，把问题提为“正方体的条对角线与截面所成的角”，隐蔽了上述性质，提高了对考生空间想像力和推理能力的要求，以期更好地考查考生的数学能力.解题思路 本题（I）的基本解法是先求出三棱柱的底面边长，可以在直三棱柱中求解，也可以补形成正四棱柱

27、或直平行六面体求解，思维层次高者可以发现E B=D F 避开计算，通过线段比求角的三角函数值.（1 1）问的解法用等积法最为简便.运用向量方法则（1）问较易，（0）问较难，总体难度相当.（1）解法1 如图，连结B G,则 B G 是 B E 在面A B D 的射影，即N E B G 是人月与平面ABD所成的角.设 F 为A B 中点，连结E F、F C,因为D、E 分别是CC1、人 1 B 的中点，又D C _ L 平面A B C,所以C D E F 为矩形.连结D F,G 是a A D B 的重心，故G G D F.在直角三角形E F D 中,EF2=FGFD=gFD2,由 EF=1 知 F

28、D=VI于是ED=拒,EG1x72 _ V66一7，因为 FC=ED=&,则 AB=272,A B=2 瓜 EB=Q.所以sin/EBG=|=乎-美=tLD J yj 3 J即A平面ABD所成的角是arcsin牛.解法2同解法1图.因为 VE_A D B=VD_A E B,所以 A B D F E G=A B E F D E,其中E F=1.设 BC=x,M ODE=CF=FB=x,2=l+x2,DF2=DB2-FB2=-x2+1.2又 EG?-D F-D F-D F2,gPEG=DF.3 3 9 3整理得 X2-3X+2 =0,解 得x=2（x=l与题设矛盾，舍去）,则EG=J-x 4 +l

29、=.3 V2 3所以sinNEBG嘿考/加冬解法3如图，将直三棱柱补形成直平行六面体-ABCH,取HH的中点p,连结PD,PA,PB,则ABD P是平行四边形,PB必过4 AD B的重心.截取 PQ=1 PB,连结 PA,A Q,则 A Q EG,故A Q J.PB.所以 AF-PQ2=AB-Q B2,即 A|B2-A|P2=QB?-PQ2=（：PB =1PB2.gBC=xJIBD2=DA2=PA2=x2+1,AB2=PD2=2x2,在平行四边行 ABDP 中,PB 2 +AD2=2AB2+2BD2,所 以 PB2=5 X2+1,又 A p =x 2+1,AB=2X2+4,I J 1 I J

30、2 X2+4-(x2+l)=-(5 x2+1)3解得x=2所以 Q B=g j5 x 2+1=1&L人 用=收2+4 =2万故c os Z A,BQ -:=乎 ./1.D J即A 与 平 面ABD所 成 的 角 为arc c os*.解 法 4 如解法1图，由解法1知，CD EF是矩形，故 D E=CF,而 EF=FB,所以R t AD EF ACFB,则D F=EB.又 EG?=F G G D,1 D F-2 D FEG2=EG G D=3 3 =21 仪 EBL D F2.D F2，所以 s in NEBG=.EB 3解法5 连结BG,则 BG是 BE在面ABD 的射影，即,A|BG是A

31、B与平面ABD所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为0.设 CA=2a,则 A(2a,0 ,0),B(0 ,2a,0),1)(0 ,0,1),4 伽，。?),E(a,a,1),G停 驾)所 以a=目,BB=(0,-2a,l).2 2则 GE-BD =a2+_ =0,解 得 a=l.3 3 (2 4 1、那么 B A】=(2,-2,2),BG=则有c s 4 B G=封后=叱 3=包IBA,IIBGI 2百，历 33即A B与平面ABD所成角是arccos f.(H)解法 1 因为 ED _ L AB,ED 1 EF,又 EFCAB=F,故又E D u 面AED,所以平面AED _L平面A A

32、B,且面AED c 面A AB=AE.作A|K J.A E,垂足为K,则A*_L平面AED.即A*是A1到平面AED的距离.五 人人A口 小 八 A|A-A|B1 2x272 276在3AB|中,A K=-二 =一六一 =AB1 2j3 3所以A1到平面AED的 距 离 为 詈.解法2连结A R 有VAADE=VD-AAjE,因为 ED _ L AB,ED EF,又 EFD AB=F,所以ED，平面A】AB,设A1到平面AED的距离为h,则 SAAED-h=SaA|AE-ED.又SAiAE=3$附9=W AA-AB=&,SAAEDJAE.E D邛.r-cn(,V2 x V2 2A/6所以h=广

33、.76 3V97即A1到平面AED的距离为 等.解法 3 如(I)问解法 5 中图，A(2,0,0),AI(2,0,2)E(I,1,D,D(0,0,1).WJAE-ED=(-1,1,1).(-1-1,0)=0,AAr ED=(0,0,2)-(-1-1,0)=0,所以ED，平面AA|E,又E D u 平面AED,则平面AED 1 平面AA|E,而面AED c 面AA E=AE,所以点A1在平面AED的射影K在AE上.T A K =XAE,则 A|K=A|A+AK=(兀兀九一2).由赤 泰=0,即入+入+大一2=0,解得九=；2.即 电=(-15,-所以1A|=孚.9r故A倒平面A E D的距离为

34、詈.1 9.设 a 0,求函数f(x)=一 ln(x+a)(x (0,+c o)的单调区间.命题意图 本题主要考杳函数的求导，导数在研究函数性质中的应用和不等式的求解等基本知识，以及运算能力.本题给出的函数比较简单，为寤函数人与对数函数ln(x+a)之差，让考生求这个函数的单调区间.直接应用单调函数的定义，难以进行有效的讨论，宜借助求导的方法求解.以此可以考查函数求导的技能，以及讨论导数正负性的方法.所设的函数含有参数a,讨论函数单调区间时，应顾及a 值的影响.这样，也就考查了分类讨论的数学方法，强化了试题对能力的考查功能.解题思路 可从求函数的导数入手，再讨论导数的正负性变化区间，便可确定函

35、数的单调区间.由于所得导数含有x的根式和分式，在讨论导数正负性时，将遇到解含根式和分式的方程或不等式，须正确运用同解变换的思想方法和技能.解法 1 因为 f 0,a 0.令f(x)=0,则有x +a=2X9同解于(4-l)2=l-a.(i)当a l 时，方程无解，即 (x)=0 无解，(x)在区间(0,+8)上正负性不变，故由11 +a 0,知 f (x)0 在区间(0,+8)上恒成立,所以(0,+8)是 f(x)的单调区间，f(x)在(0,+8)上是增函数.(i i)a=l 时，方程有惟一,解x=l.这时，由呜卜一 0,知当O X 0；由当f (2)=-0,2 7 2 3知当x l 时,恒

36、有(x)0.所以，当 a=l 时，函 数 f(x)在区间(0,1)上是增函数，在区间(1,+8)上也是增函数.又f(x)在x=l 连续，所以(0,+8)是 f(x)的单调区间，&)在(0,+8)上是增函数.(i i i)当0 a l 时，方程有两个根：X =(l-A/l-a)2,x2=(1 +J 1 -a/.这时，由于x0 x,1 x,0,X1 +4 a2 1 +af，(4)=l-l-0,4 4 +a可知:当 0 x x 2时，f (x)0；当X V X V x 2时,f (x)0,a 0.2 j x x +a所f (x)0 =x2+(2 a-4)x +a2 0,f (x)()=x 2 +(2

37、 a-4)x +a2 l 时,2 a-4 -2,由 x 0 知x2+(2 a-4)x +a2 x2-2 x +l =(x-l)2 0,即f (x)0,此 时f(x)在(0,+s)内单调递增.(i i)当 a=l 时，x2+(2 a-4)x 4-a2=(x-l)2 0,当且仅当x=l 时取等号.即当(K x l 或 x l 时，f (x)0,知 f(x)在(0,1)或(1,+8)内都单调递增.又 f(x)在 x=l 处连续，因此，f(x)在(0,+8)内单调递增.(出)当Ov av l时，令 f (x)0,即x2+(2 a-4)x +a2 0,解 得 x 2 -a+2 j l -a.因此，函 数

38、&)在 区 间 2-一2川一2)内单调递增，在区间(2-+2，1-2,+8)内也单调递增.令 伊(x)0,即x2+(2 a-4)x +a2 0,解得 2-a-2 jl-a x 0,X E R.消去实数九,得点P(x,y)的坐标满足方程y(y-a)=-2a2x2,整理得8(l)因为a 0,所以得：近a (i)当 2时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和 F；/.I-、0 a 吏时解法2依题设，有实数m 和 n 满足方程也表 示 椭 圆故 焦 点为合乎题意的两个定点.OP=m(c+Xi)=(Xm,am),AP=n(i-2Xc)=(n,-2Xan),因 为 加=oX+OP,OA=(0,a),

39、所以(入 m,am)=(n,(l-2Xn)a).得九m=n1 -2Xn=m.求 得m=品所以点P (x,y)的坐标为,九X =A,m =-91 +2九2ay=a m =-1 +2X2解得九=2,从而,y（、2J a x a1+2 =一,I y）y即y?+2a2x2-a y=0,整理得点P的坐标满足方程以下的讨论同解法1.此处从略.22.设a 为 常 数，且a”=3 T-ZaUn为 正 整 数).证 明 对 任 意n 21,a 0=1 3n+(-1)-2n +(-l)n-2na0;(H)假 设 对 任 意n N l有a”a.”求a 的取值范围.命 题 意 图 本小题主:要考查数列、等比数列的基础

40、知识和数学归纳法，同时考查抽象推理等理性思维能力.数学高考中较难的数列解答题，一般都是给出一个递推关系，通过它或者转化为等差、等比数列，或者通过由特殊到一般的猜想、归纳，或者通过顺次迭代，以求出其通项.而试题的难度则由给出的递推关系与初始值来调整.2002年的数列解答题给出相邻四项的数量关系，较为新颖，2003年定位于回归到考生较为熟悉的相邻两项的数量关系，基本递推关系为“a n =t-a”i+3 1，.理科试题改变以往给出初始值的做法，给出常数a。，证明数列 a 的一个通项公式。这种提问方式反映出新的考查角度，不让考生死套题型，有利于考查独立思考能力和理性思维能力，对文科考生则降低抽象思维的

41、要求，递推关系简化为基本形式a”=an_ 1 +3 T(n N 2)”，并给出初始值a=b使试题难度较为切合文科考生的实际.解题思路常规方法是通过递推关系的变形转化为等比数列，但过程较繁，用数学归纳法或迭代方法较顺畅.(I)证法1 当n=l时，由已知a】二l -2a(),等式成立；(i i)假设当n=k(k)时等式成立，即a k=1 3 k+(-l)k T 2k +(T)k 2k a o，那么 a k+i=3 J 2a k=3k-3k+(-i)k-12k-(-l)k2k+la0=1 3k+,+(-l)k 2k+,+(-l)k+l 2k+la0,也就是说，当 1 ax（n为正整数）等价于（-1

42、严（5a 0-l）图 （n为正整数）.(i)当n=2k-l,k=l,2,时,式即为(-l)2k-2(5a0-l)|yk I即也骋+?式对k=l,2,都成立，有。5 5 3(i i)当n=2k,k=l,2,时，式即为(-l)2 i(5 a o _ l).x图+|-式对k=l,2,都成立，有4=0-综上，式对任意正整数n成立，有0 a。%-1,所以a”一an_|=3,-3 a l 。用通项公式a-i代入，化简得(一1严(5a0-l)图.以下同解法1 an 2“伪正整数)成立,特别取1 I=1,2有H|a0=1 3a0 0,解法3 a2 -ai 6 ao 0，因此 0a0 1.00.下面证明当 3由a”通项公式5(an-an_1)=2x3n-1+(-l)n-13x2n-1+(-l)n5x3x2n-la0.(i)当 n=2k-1 ,k=l,2,时,5(an-an_l)=2x3n-1+3x2-5 x 3 x 2n-1a02x2n_1+3 x 2 1 5x3x21=0.(i i)n=2k,k=l,2时,5(an-an_l)=2x 3-1-3 x 2n-1+5 x 3 x 2n-|a02x 3 1 1-3 x 2-10.故a 的取值范围为（0,g